CC BY
29
Keywords: dual numbers; homogeneous spaces; induced representations; Planeherel formula.
Дунин Юрий Владимирович аспирант
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов
e-mail: [email protected]
Juriy Dunin
post-graduate student
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: [email protected]
УДК 517.977.5
ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С
РАЗРЫВНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ 1
© В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк
Ключевые слова: траектории ограниченной вариации; импульсные процессы; функции Ляпунова; неравенства Гамильтона-Якоби; множество достижимости; условия оптимальности.
Аннотация: В докладе представлены результаты по оценке множеств достижимости и нелокальным условиям оптимальности для нелинейных управляемых систем с траекториями ограниченной вариации и импульсным управлением типа векторной меры со значением в выпуклом конусе. Результаты основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова, удовлетворяющих квазивариаци-онным неравенствам Гамильтона-Якоби, модифицированным для рассматриваемого класса задач.
Представлены результаты по оценке множеств достижимости и достаточным условиям оптимальности для нелинейных управляемых систем с траекториями ограниченной вариации. Результаты основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова, удовлетворяющих неравенствам Гамильтона-Якоби [1].
Рассматриваются обобщенные (об.) траектории нелинейной динамической системы
Х(£) = /(£,х(£), V(£),и(£)) + С(Ь, х(£), V(£))у(£), (1)
и(£) £ и, у^) £ К п.в. на Т := [£0,^1]- (2)
Здесь х(-), V(■) — абсолютно непрерывные, и(-), ь(-) — измеримые ограниченные вектор-функции, У(£) = ||у(£)||, V(0) = 0 и С Мй(м) — компактное множество, К С Мй(,и) — выпуклый замкнутый
конус, Т — фиксированный отрезок, ||у|| = Уй(£) — размерность вектора г. Функции
г=1
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 07-01-00741; при финансовой поддержке СО РАН, интеграционный проект СО РАН-УрО № 85.
/(£,х^,и), 0(£,х^) непрерывны по совокупности переменных, локально липшицевы по х и удовлетворяют условиям роста по х, множество /(Ь,х, V, и) выпуклое.
Об. траектории являются непрерывными справа на (£0^1] функциями ограниченной вариации. Назовем импульсным процессом системы (1), (2) табор (х(^)^(■), и(^), , где {х(), V(■))
— об. траектория, соответствующая паре {и(^), й^, в которой и() £ (Т, и) — обычное управ-
ление, dw £ С * (Т, К) — импульсное управление.
На множестве импульсных процессов системы (1), (2) рассматривается задача Р
1(Ь) — И, Ь £ С, Ь := (х0,х1^1)-
Здесь 1(Ь) — непрерывная функция, С — замкнутое множество, хо := х(Ьо-), х1 := х^), Vl :=
= V(£1).
Рассмотрим систему дифференциальных неравенств относительно локально липшицевых функций ф(1, х, V)
фг + тах(фх,/Н,х^,и)) ^ 0, тах (^х,Си,х^)ш) + фу ^ 0- (3)
пеи шек, |М1=1
Система неравенств (3) представляет собой обобщение неравенства Гамильтона-Якоби для импульсных процессов системы (1), (2).
Функции ф, удовлетворяющие (3), назовем функциями типа Ляпунова или Ь-функцпямп. Они обладают свойством монотонного невозрастания вдоль импульсных процессов системы (1), (2), задают внешние оценки множества достижимости и оценки снизу для функционала задачи Р
Пусть Q — некоторое связное множество в пространстве переменных (Ь,х, V), проекция которого на ось £ совпадает с отрезком Т= {(хо, 0) | (Ь0,х0, 0) £ = {(х1^1) | (11,х1^1) £
£ Обозначим через К^) множество пар точек (х0,^)) £ Qto, (х1^1) £ Qt1, соединимых проходящими по Q об. траекториями.
Теорема!.. Пусть Ф^) — произвольное множество решений неравенства (3) на, множестве Q. Тогда, имеет, мест,о включение
Е(^) С Еф&),
где
Еф(О) = {(х0 ,х1^1) | (х0,0) £ Qto, (х1 ,¥1) £ Qt1 ,ф(Ь,х1^1) - ф(Ь,х0,0) ^ 0 Уф £ Ф^'^-
Пусть Р^) — сужение задачи Р па множество ^ ё = (ух(^),Хг(^),и(^),й1ё^ — допустимый импульсный процесс в задаче Р^). Тогда свойство сильной монотонности Ь-функцпй позволяет рассмотреть следующую конечномерную концевую задачу
1(Ь) — М, Ь £ С П ЕФ(0), Ь := {x0,x1,V1)- (4)
Теорема 2. Если найдется множество Ь-функций Ф^) такое, что вектор Ь = [ё(10-—),х(11),У(11)) гло^льно оптимален в задаче (4), то процесс е глобально оптимален в задаче
Р (О).
Ь
произвольное множество МОМННТОВ времени -0 = 50 < 81 < - -- < вм = Ъъ Введем обозначения: Аг := [вг-1,вг], г = 1,Щ Ь0 := (х(вг-)^(в-)), Ь\ := (х^г)^(вг)), г = 0,Щ Q^i = {(^х^) | £ £
£ Аг, (1,х^) £ г = 1,Щ, Qk0 = Qto, QAN+1 = Qtl■ Каждому моменту вг, г = 0,Щ
сопоставим множество RSi{Qa.,QAi+1) — множество пар точек bo := (Zo,zvo), Ъ\ := (zi,zv 1) таких, что (si, bo) £ Qa(si, bi) £ QAi+1 и точки соединимы траекториями предельной системы
dz(r)/dr = G(si, z(t),zv(r))u(r), dzv(r)/dr = 1, u(r) £ co{v £ K | ||v|| = 1} Vr £ [0, d]
(zo := z(0), zvo := zv(0), zi := z(d), zv 1 := zv(d), d := zv 1 — zvo)- Внешние оценки для множества RSi{Qa,, QAi+i) задают, в частности, решения второго из неравенств в (3) при t = Si. Пусть $(Qa,) — произвольное множество решений системы дифференциальных неравенств (3) на Qai; i = 1, N R*s. — произвольная оценка сверху для множества Rs^Qa,,QAi+1), i = 0,N. Теперь задаче P(Q) можно сопоставить следующую многоточечную конечномерную задачу
l(bo,bi) ^ inf, (b^bi) £ {a(xo, 0), (xi,Vi)a | (xo,xi,Vi) £ C^, (5)
^i(si, bo) — ^i(si-i,bi{~1) ^ 0 V ^ £ ^(Qa, ), i = 1, N, (6)
abo,bia £ к, i=0N. (7)
Теорема 3. Если найдутся &(Qa, ), i = 1,N и R*,,., i = 0, N такие, что вектор b глобально оптимален в задаче (5)-(6), то процесс е глобально оптимален в задаче P(Q).
Применение достаточных условий оптимальности проиллюстрировано на ряде примеров, в том числе с управляемыми системами, не удовлетворяющими условию корректности перехода к импульсным процессам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дыхта В.А. Инвариантность, достижимость и оптимальность в управляемых динамических системах// Труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». 2008. Т. 2. С. 35-46.
Abstract: Reachable set estimations and non-local optimality conditions for nonlinear control dynamic systems with trajectories of bounded variation and impulsive control of type of a vector measure with a value into a convex cone will be presented; the results are based on applying of sets of strong monotone Lyapunov type functions that satisfy Hamilton-Jacobi quasivariational inequalities modified for the considering kind of problems.
Key words: trajectories of bounded variation; impulsive processes; Lyapunov type functions; Hamilton-Jacobi inequalities; reachable set; optimality conditions.
Дыхта Владимир Александрович д. ф.-м. н., профессор Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: [email protected]
Vladimir Dykhta
doctor of phys.-math. sciences, professor
Institute of System Dynamics
and Control Theory of Siberian
Department of RAS
Russia, Irkutsk
e-mail: [email protected]
Самсонюк Ольга Николаевна
к. ф.-м. н., доцент
Институт динамики систем
и теории управления Сибирского
отделения РАН
Россия, Иркутск
e-mail: [email protected]
Olga Samsonuk
candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer
Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: [email protected]
