CC BY
27
УДК 517.98
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО-ГАЛИЛЕЯ 1
© Ю. В. Дунин
Ключевые слова: дуальные числа; однородные пространства; индуцированные представления; формула Планшереля.
Аннотация: Пусть Л - алгебра дуальных чисел. На плоскости Лобачевского-Галилея гг < 1, г € А, действует группа О псевдо-унптарных матриц над А. Мы разлагаем на неприводимые составляющие квазирегулярное представление группы О и представление, индуцированное характером диагональной подгруппы.
Пусть А - адгебра дуальных чисел: г = х + 1у, х,у € М, 12 = 0. Сопряженное число для г = х + 1у - это г = х — 1 у. Пусть О = Яи(1,1, А) - группа матриц
д = ^ а ’ а,Ь € Л, аа — ЬЬ = 1.
Она состоит из двух связных частей, связная компонента единицы изоморфна группе гипербо-личских движений плоскости.
Пусть С - полоса та плоскости А, задаваемая неравенством гг < 1 (т. е. х2 < 1). Назовем ее плоскостью Лобачевского-Галилея. Группа О действует на С дробно-линейно:
аг + Ь
г ^ г ■ д = ----= .
Ьг + а
Это действие транзитивно, так что С = О/К, где К - стационарная подгруппа точки г = 0, она состоит из диагональных матриц:
* = ( 1+011 1 — * )• ‘ € М
Мера йу(г) = (1 — гг)-2 йх йу инвариантна относительно О.
Мы разлагаем на неприводимые составляющие представление и группы О в пространстве Ь2 (С, йу) сдвигам и: (и (д)/) (г) = / (г ■ д) - квазирегулярное представление, а также разлагаем на неприводимые составляющие представление иш группы О в этом же пространстве, индуцированное унитарным характером ш : к ^ ехр(гЛ£), Л € М, оно задается формулой
(иш(д)/) = /(г ■ д)ехр— дх — ву
а + вх
где a = а + jpb = в + jq, z = х + jy.
Abstract: Let Л be the algebra of dual numbers. The group G of pseudo-unitary matrices over Л acts on the Lobachevsky-Galilei plane zz < 1, z e Л. We decompose into irreducible constituents the quasi-regular G
Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.
Keywords: dual numbers; homogeneous spaces; induced representations; Plancherel formula.
Дунин Юрий Владимирович аспирант
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов
e-mail: molchano@molchano.tstu.ru
Juriy Dunin
post-graduate student
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: molchano@molchano.tstu.ru
УДК 517.977.5
ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С
РАЗРЫВНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ 1
© В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк
Ключевые слова: траектории ограниченной вариации; импульсные процессы; функции Ляпунова; неравенства Гамильтона-Якоби; множество достижимости; условия оптимальности.
Аннотация: В докладе представлены результаты по оценке множеств достижимости и нелокальным условиям оптимальности для нелинейных управляемых систем с траекториями ограниченной вариации и импульсным управлением типа векторной меры со значением в выпуклом конусе. Результаты основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова, удовлетворяющих квазивариаци-онным неравенствам Гамильтона-Якоби, модифицированным для рассматриваемого класса задач.
Представлены результаты по оценке множеств достижимости и достаточным условиям оптимальности для нелинейных управляемых систем с траекториями ограниченной вариации. Результаты основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова, удовлетворяющих неравенствам Гамильтона-Якоби [1].
Рассматриваются обобщенные (об.) траектории нелинейной динамической системы
х^) = /(Ь,х(Ь), V(Ь),и(Ь)) + О(Ь,х(Ь), V(Ь))у(Ь), (1)
и(Ь) € и, у(Ь) € К п.в. на Т := [£0,^1]• (2)
Здесь х(^), V(■) — абсолютно непрерывные, и(^), ь(^) — измеримые ограниченные вектор-функции, V(Ь) = ||у(£)II, V(0) = 0 и С Мй(и) — компактное множество, К С Мй(,и) — выпуклый замкнутый
конус, Т — фиксированный отрезок, ||у|| = Уй(г) — размерность вектора г. Функции
г=1
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 07-01-00741; при финансовой поддержке СО РАН, интеграционный проект СО РАН-УрО № 85.
