Канонические представления на плоскости Лобачевского-Галилея Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

УДК 517.98

Канонические представления на плоскости Лобачевского-Галилея 1

© Ю. В. Дунин

Ключевые слова: дуальные числа, канонические представления, плоскость Лобачевского

Для плоскости Лобачевского-Галилея вводятся канонические представления, они разлагаются на неприводимые

В настоящей работе мы вводим для плоскости Лобачевского-Галилея канонические представления по схеме изучения таких представлений для классической плоскости Лобачевского, см. [3].

Приведем некоторый материал о плоскости Лобачевского-Галилея из [2]. Алгебра Л дуальных чисел есть двумерная алгебра над полем К, состоящая из элементов г = х+іу, х, у Є К, с соотношением і2 = 0. Числом, сопряженным дуальному числу г = х+іу, называется число г = х — іу. Абсолютная величина |г| числа г есть = |х|.

Плоскость Лобачевского-Галилея С есть множество на плоскости Л, задаваемое неравенством гг < 1. Это - вертикальная полоса, ограниченная прямыми х = —1 и х = 1.

хРабота поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/9191, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

Группа О движений плоскости Лобачевского-Галилея С состоит из дробнолинейных преобразований

az + b _ ,т , А

z ^ z ■ q = ------------------, aa — bb = 1, a,b Є Л.

bz + a

(1)

Она сохраняет меру

Матрицы

q

ab b a

aa — bb = 1,

соответствующие преобразованиям (1), образуют группу Яи(1,1;Л). Обозначим а = а + 3р, Ь = в+30. Условие аа — ЬЬ = 1 равносильно тому, что а2 — в2 = 1, так что оО ^ 1, т. е. а ^ 1 или а ^ —1. Следовательно, группа ЯИ(1,1;Л) состоит из двух связных кусков. Группа О изоморфна связной компоненте единицы группы Яи(1,1; Л). Эта компонента состоит из матриц д с условием а ^ 1. Для нее мы сохраним обозначение О. Параметры а и в матрицы д Е О можно записать в виде а = еЬ Ь и в = зЬ ¿, где Ь Е К. Следовательно, всякую матрицу д Е О можно записать в виде

Стационарной подгруппой точки г = 0 служит подгруппа К, состоящая из диагональных матриц:

так что L = G/K.

Представление Ta, а Е C, группы G действует в пространстве D(R) финитных функций <р(в) на R класса Cпо формуле

Ta(g)<p(s) = ip(s + t) ■ exp {a[-p sh(2s + t) + q ch(2s + t)]} ,

где t, p, q - параметры элемента g, см. (2), (3).

Эрмитова форма (скалярное произведение из L2(R,ds))

q = q(t) + зc(p, q),

(2)

где

(3)

так что для чисто мнимых а представление Та унитаризуемо.

С помощью (4) представление Та распространяется на пространство Р;(К) обобщенных функций Г на К.

Пусть Л Е С. Каноническое представление Я\ группы О действует в пространстве Р(С) финитных функций f (г) на С класса Спо формуле

формула (5) копирует соответствующую формулу из [3]. При Л = —2 это представление становится квазирегулярным представлением, см. [2].

Эрмитова форма

щенных функций на Л с носителями в С, в частности, на пространство обобщенных функций, сосредоточенных на вертикальных прямых х = ±1. Получающиеся таким образом граничные представления раскладываются по представлениям еще одной серии представлений группы О, описанной в [1]. Они не участвуют в разложении канонических представлений Ял на ^(С). Причина этого состоит в том, что для функции р Є Р(К) ее преобразование Пуассона (Р\,а р) (г), см. ниже, имеет носитель, лежащий в полосе, более узкой, чем С (в полосе |х| < 1 — є < 1), поэтому имеет нулевую асимптотику при |х| ^ 1. Поэтому в этой статье граничные представления мы рассматривать не будем.

В работе [2] мы ввели преобразования Пуассона и Фурье Ра и ^. Сейчас с их помощью мы определяем преобразование Пуассона Рл,а : Р(М) ^ С™ (С) и преобразование Фурье Гл,а : Р(С) ^ ^(М), связанные с каноническим представлением Ял:

здесь х = Ш£, с = Ш в. Преобразование Пуассона сплетает Т-а с Я\, а преобразование Фурье сплетает Я\ с Та :

(Ял(д)/)(г) = /(г ■ д) \Ьг + а\ 2л 4

= /(г ■ д) (^ ■ х + сЫ)-2л-4

(Рл,а р)(г) = (1 — гг)-Л -2 (Ра р)(г)

(*л,* /)(в) = (1 — с2)л+2 (^ /)(в)

Ял(д)Рл,а = Рл,а Т- а (д) ,

Рл,а Ял(д) = Та (д)Гл,а,

где д Е О. Преобразования Пуассона и Фурье сопряжены друг другу:

{Р-Х-2,* <р, /)с = {<Р, Рх,а/)к.

Теорема 1 Каноническое представление ЯЛ группы О в пространстве Р(£) разлагается по представлениям ТгР, здесь I = \[—1 - комплексное число, р Е К, с кратностью единица следующим образом. Сопоставим функции / Е ^(£) совокупность ее компонент Фурье Р\ ^р/, р Е К. Это соответствие О-эквива-риантно. Имеет место формула обращения:

1 Г ~

/ = 2П У Рл,-*р / ар.

Теорема следует из теоремы 4.1 из [2].

Аналогом формы Березина из [3] служит эрмитова форма

(/,к)л = |1 — гт|2Л /(г) Н(т) йхйуйийу,

</ СхС

где г = х+уу, т = и+уу. Ядро этой формы можно переписать в виде (1 — хи)2Л. В нашем случае эта форма оказывается вырожденной, она выражается через компоненты Фурье только с индексом а = 0, а именно,

Л<^

(/, Л.)л = оЬ2Л(8 — £) (^Л,с/) М (£л,0Й) (О ¿в %.

Литература

1. Ю. В. Дунин. Представления группы движений плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2010, том 15, вып. 6, 1708-1712.

2. Ю. В. Дунин. Гармонический анализ на плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2011, том 16, вып. 1, 99-103.

3. V. F. Molchanov, L. I. Grosheva. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane. Acta Appl. Math., 2002, vol. 73, 59-77.

Yu. V. Dunin. Canonical representations for the Lobachevsky-Galilei plane

For the Lobachevsky-Galilei plane, canonical representations are introduced, they are

decomposed into irreducible constituents

Keywords: dual numbers, canonical representations, Lobachevsky plane