Факторизация многочленов над двумерными алгебрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Формулы (4.1), (4.2) получаются из соответствующих формул для классического преобразования Фурье - с помощью замены р = (1 — х2)г].

Эти формулы можно объединить формулой разложения дельта-функции 6(г), сосредоточенной в точке £ = 0, по сферическим функциям:

1. Ю. В. Дунин. Представления группы движений плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2010, том 15, вып.

Yu. V. Dunin. Harmonic analysis on the Lobachevsky-Galilei plane Harmonic analysis on the Lobachevsky-Galilei plane is constructed

Keywords: canonical representations, boundary representations, Lobachevsky plane, spherical functions, Plancherel formula

УДК 517.98

Факторизация многочленов над двумерными

Рассматриваются классические задачи для многочленов над алгебрами обобщенных комплексных чисел (двумерными алгебрами над полем вещественных чисел): количество корней, тип корней, разложение на множители

Ключевые слова: ассоциативные алгебры, делители нуля, многочлены над алгебрами

Рассмотрим двумерную ассоциативную алгебру Л над Е, состоящую из элементов (чисел) 2 = х + гу, х, у Є М, с соотношением г2 = а + 2(3і, где а, (3 -некоторые фиксированные числа из Е. Обозначим О = а + /З2. В [1] рассматривалась классическая задача о многочленах Р(г) = апгп + ап_\гп~1 + ... + а0,

Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

Литература

б, 1708-1712.

алгебрами 1

© Н. А. Малашонок

155Ы 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 16, вып. 1, 2011

ап ф 0, над А: об их корнях и о разложении их на множители. Здесь мы рассмотрим более общий случай, касающийся немаксимального количества корней и ситуации, когда несколько первых коэффициентов многочлена являются делителями нуля (для гиперболичесих и параболических чисел).

Алгебра А называется алгеброй эллиптического, гиперболического или параболического типа соответственно при И < О, О > О, И = 0. Алгебра С комплексных чисел принадлежит эллиптическому типу, для нее а = —1, /3 = 0, так что Б = — 1. Для алгебр эллиптического типа указанные выше задачи решаются точно так же, как для С.

Алгебра А гиперболического типа (Б > 0) обладает делителями нуля, они образуют два идеала /1 = Кеі, /2 = Мег, где

В качестве базиса в А удобно взять эти элементы ег- Для них имеют место соотношения е\ = б1, е\ = ег, е\в2 = 0. В этом базисе число г = х + гу запишется так: г = £е\ + Г]е2, где £ = х — сад, г] = х — сад. Разложим коэффициенты многочлена Р(г) по этому базису: а* = щех + г^е2. Уравнение Р(г) = О равносильно системе двух вещественных алгебраических уравнений степени ^ п:

где А(£) = ^ и^к, В(г]) = ^ суммирование по к = 0,1,..., п. Если не все коэффициенты аь лежат в одном из идеалов, то ни одно из уравнений (1) не превращается в тождество (0 = 0), пусть £1}... , £г и 77!,..., 77/ - решения этих уравнений, тогда многочлен Р(г) имеет г1 корней 1 + г)3е2 (назовем

их корнями первого типа, их не больше, чем п2). Если все а,к принадлежат одному идеалу, например, 11, то второе уравнение в (1) исчезает, а уравнение Р(г) = 0 имеет бесконечно много решений, они располагаются на г прямых + /2, параллельных идеалу /2 (эти прямые назовем корнями второго типа).

Рассмотрим сначала случай, кода старший коэффициент многочлена не является делителем нуля. Пусть Р(г) имеет ровно п2 корней Возьмем какую-нибудь перестановку £ ь-> з(£) индексов {1,...,п}. Имеет место разложение на множители:

Имеется п! таких разложений.

Пусть оба уравнения (1) имеют только действительные корни, причем одно из уравнений имеет г простых корней и один корень кратности п — г, другое / простых корней и один корень кратности п — I, г ^ /. Разложение на множители имеет такую же структуру, как в (2). Количество различных разложений на множители в этом случае равно

Л(О=0, В(г)) = 0,

(1)

(2)

В частном случае, при г = п, число разложений равно .

(га-0!

Рассмотрим общий случай: первое уравнение (1) имеет т вещественных корней с кратностями А^,..., кт, второе уравнение (1) имеет 5 вещественных корней с кратностями ..., 15. Тогда количество различных разложений на множители есть решение следующей комбинаторной задачи (по-видимому, весьма трудной): найти количество матриц с т строками и 5 столбцами, у которых матричные элементы - целые неотрицательные числа такие, что их сумма по г-ой строке равна к(, а сумма по j-oмy столбцу равна /у.

В случае, если среди корней уравнений (1) есть комплексные (классические комплексные) числа, разложение многочлена Р{г) обязательно содержит неприводимые над кольцом двойных чисел многочлены второй степени. Разложение на неприводимые множители и в этом случае, вообще говоря, неоднозначно.

Пусть теперь а*;, к = принадлежат одному идеалу, например, 1\.

Тогда имеет место следующее разложение на множители многочлена Р(г):

Р(г) = <2(г) П (г - Ч*(о) ■

При этом все коэффициенты многочлена кроме свободного члена, являются элементами того же идеала /ь а, следовательно, не имеют нулей в А. Разложение неоднозначно.

Алгебра А параболического типа (I) = 0) тоже обладает делителями нуля, они образуют один идеал / = Ее2, где е2 = —(3 + г, так что е\ — 0. В качестве базиса в А удобно взять элементы е\ = 1 и е2. Тогда для г, а^, Л(£), В(г]) получаем те же выражения, что и выше, с изменением: £ = гг + (3у, 7] = у. Уравнение Р(г) = 0 равносильно системе двух уравнений Л(£) = 0, В(£) + А'(£)у = 0. Простому корню ^ многочлена Л(£) отвечает корень Zj = ^е\ — В(^)/А'(^)е2 многочлена Р(г) (корень первого типа). Пусть корень ^ - кратный и В(^) = 0. Тогда все точки прямой ^ + / являются решениями уравнения Р(г) = 0 (такую прямую назовем корнем второго типа). Таким образом, Р(г) имеет не более чем п корней (первого или второго типа). Разложение на множители, вообще говоря, неоднозначно.

Для наглядности рассмотрим многочлен Р{г) = а2г2 + а\г + ао, а* = 7* + к = 0,1,2, над кольцом дуальных чисел. Пусть \а2\ / 0 и Р(г) имеет корень второго типа го = Хо + г?/, у ЕЖ. В этом случае имеем бесконечно много разложений на множители Р(г) = ап(г — г\)(г — г2), = Хо + гу 1, г2 = £о + гу2,

где у\ и у2 удовлетворяют условию:

2/1 + 2/2 — 2А, А —

71 ^1

72 62

12

Если \а2\ = 0 и имеется один корень первого типа г0, то р(г) = С}(г)(г — г0), (2(г) не имеет нулей над А.

Литература

1. Н. А. Малашонок. Многочлены над двумерными алгебрами. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2008, том 13, вып. 1, 12-13.

N. A. Malaschonok. Factorization of polynomials over two-dimensional algebras For polynomials over algebras of generalized complex numbers (two-dimensional algebras over the field of real numbers), some classical problems are considered: existence of roots, types of roots, factorization

Keywords: associative algebras, zero divisors, polynomials over algebras

УДК 517.98

Надгруппа и преобразование Пуассона для пара-эрмитова пространства 1

© В. Ф. Молчанов

Для канонических представлений на пара-эрмитовом пространстве О/Н, (7 = 8Ц2, Е), Н - диагональная подгруппа (так что (7/Н - однополостный гиперболоид в М3), мы находим явно взаимодействие операторов Ли надгруппы С х О с преобразованиями Пуассона, связанными с каноническими представлениями

Ключевые слова: пара-эрмитовы пространства, канонические представления, надгруппы, преобразования Пуассона

Рассмотрим пара-эрмитово симметрическое пространство (7/#, где (7 - группа 8Ь(2,К), а Н - ее диагональная подгруппа (так что О/Н - однополостный гиперболоид в К3). Надгруппой для С? служит прямое произведение (7 = (7 х (7. Эта группа накрывает псевдо-ортогональную группу 80о(2, 2) с кратностью 2. В группе С? естественным образом выделяются три подгруппы, изоморфные С. Первая из них, обозначим ее (7й, есть диагональ, состоящая из пар (<?, д), д Е (7. Еще имеются две компонентные подгруппы, обозначим ИХ (^1 И (?2, состоящие соответственно из пар (д,Е) и (Е,д), д Е (2.

Пусть д - алгебра Ли группы £?. Тогда алгебра Ли надгруппы С? есть прямая сумма 0 = 0 + 0, а алгебры Ли 0й, 01, 02 подгрупп (7^, £1, С2 состоят соответственно из пар (А", А), (0, А), (А, 0), А Е 0.

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие

Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом

1.5.07.