Уравнения Лагранжа на двумерных алгебрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. J. G. Oxley. Matroid Theory. Oxford University Press, 1992.

УДК 517.98

Уравнения Лагранжа на двумерных алгебрах 1

© Н. А. Малашонок

Ключевые слова: алгебры обобщенных комплексных чисел, аффинные связности, уравнения Лагранжа

Получены уравнения Лагранжа на алгебрах обобщенных комплексных чисел, зависящие от аффинных связностей, инвариантных относительно группы движений

There are obtained Lagrange equations on algebras of generalized complex numbers depending on affine connections invariant with respect to a motion group

Мы хотели бы обсудить некоторые теоретико-механические понятия для многообразий с аффинной связностью. В настоящей работе мы получаем уравнения Лагранжа на алгебрах обобщенных комплексных чисел. Такая алгебра А состоит из "чисел" г = х + гу, г2 = а + г2в. Они естественным образом изображаются точками (векторами) г = (х,у) плоскости. Число г, сопряженное числу г, определяется условием, что отображение г ^ г есть инволютивный автоморфизм алгебры А, отличный от тождественного. Получаем г = 2/3 — г, так что для г = х + гу имеем г = х + 2ву — гу. Определим скалярное произведение чисел г = х + гу и т = и + гь:

{г, т) = 2 (гт + гт) = хи + в(хь + уи) — ауь.

Это - билинейная форма с матрицей

' 1 в

M

в —а

Ее определитель равен —к, где к = а + в2. Алгебра A имеет эллиптический, гиперболический, параболический тип соответственно при к < О, к > О, к = О. Градиент grad f функции f определяется условием, что производная функции f по вектору w равна (grad f,w). Следовательно, при к =0 вектор grad f получается из вектора (fx, fy) умножением на обратную матрицу M-1:

grad f = — ( — аfx — fy , —/3fx + fy), к = °

к

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 08-07-97507 р_центр_а, Научной Программой "Раз-

витие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

Чтобы написать градиент grad f при к = 0, умножим предыдущую формулу на к и перейдем к пределу при к ^ 0, получим

Показательная функция вг определяется как сумма ряда (г™/п!). Пусть

О - группа "движений" алгебры А: она порождается параллельными сдвигами

О аффинная связность. Движение точки - это отображение Ь ^ г(Ь), "время" Ь пробегает промежуток в К. Скорость - это касательный вектор г, точка -производная по Ь. Ускорение г определяется формулой:

При к = 0 инвариантные аффинные связности нулевые, поэтому ускорение выражается обычным образом: г = г. При к = 0 инвариантные аффинные связности зависят от трех вещественных параметров (см. например, [1]):

Восемь параметров А, В,... связаны пятью линейными соотношениями, см. [2]. Составим из этих параметров векторы

Силу Г будем называть потенциальной, если существует функция (потенциал) и такая, что Г = gradU. Обозначим Ь = Т+ и и назовем Ь функцией Лагранжа.

Пусть точка движется по одномерному многообразию (кривой) с криволинейной координатой д. Применим к Т оператор (д,/д£)(д/дд). Учитывая потенциальность силы Г, получаем уравнение Лагранжа второго рода для одномерного движения на А, а именно, если к = 0, то

grad f = [ft2fx - f3fy , -pfx + f J, к = °.

и умножениями на вг1р ("вращениями"). Пусть V - инвариантная относительно

Z = V z z

а = А + гС, Ь = В + Р + г(Б + Я), с = Q + гБ.

Ускорение при к = 0 выражается так: г = г + ах2 + Ьху + су2. Пусть точка г массой т движется под действием силы Г:

тг = Г.

Определим стандартным образом кинетическую энергию точки:

С помощью этого уравнения можно исследовать, например, задачу о математическом маятнике на алгебре A, см. [2].

Литература

1. В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. Державинские чтения V, Матер. научн. конф., февр. 2000, Тамбов, 2000, 5-7.

2. Н. А. Малашонок, В. С. Боровенникова. Математический маятник на двумерных алгебрах. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. б, 543-548.

УДК 517.98

Индикаторные системы, связанные с пара-эрмитовыми пространствами 1

© В .Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова

Ключевые слова: симметрические пространства, конечномерные представления, производящие функции

Предъявляются системы дифференциальных уравнений, выделяющие пространства конечномерных представлений группы SL(n, R), реализующихся в многочленах на группе Гейзенберга размерности 2n — 3

We present systems of differential equations to describe spaces of finite dimensional representations of the group SL(n, R) acting on polynomials on the Heisenberg group of dimension 2n — З

Мы распространяем наш результат [1] на более общие конечномерные представления группы G = SL(n, R), связанные с пара-эрмитовым пространством G/H, где H = GL(n — 1, R). Мы рассматриваем конечномерные представления, содержащиеся в вырожденной серии представлений группы G, отвечающей разбиению n = 1 + (n — 2) + 1 числа n. Они реализуются в многочленах на подгруппе Z нижних унипотентных блочных матриц. Заметим, что группа Z есть группа Гейзенберга размерности 2n — З.

Будем записывать матрицы g из G в блочном виде соответственно разбиению n = 1 + (n—2) + 1. Пусть Z и B - подгруппы группы G, состоящие соответственно

1Работа поддержана грантами: РФФИ G7-G1-912G9 ЯФ_а, G6-G6-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпла-ном 1.5.G7.