CC BY
51
УДК 517.98
НОД многочленов дуального переменного 1
© Н. А Малашонок
Строится аналог наибольшего общего делителя многочленов над полем для многочленов над кольцом дуальных чисел
Ключевые слова: наибольший общий делитель, дуальные числа, алгоритм Евклида
Рассмотрим два многочлена P(z) и Q(z) над кольцом D дуальных чисел z = x + iy,x,y Є Ri2 = 0. Наша задача - определить для таких многочленов аналог наибольшего общего делителя многочленов над полем. Пусть P = Pi + iP2, Q = Q1 + iQ2, P1, P2, Qi, Q2 - многочлены переменных x, y. Для многочленов p и q действительных переменных наибольший общий делитель обозначаем обычным образом (p,q).
Пусть d = d1 + id2 - общий делитель P и Q, P = hd, Q = gd, h = h1 + ih2, g = g1 + ig2 и пусть d1 = (P1, Q1). В этих обозначениях имеем
P1 = h1d1, Q1 = g1d1, (1)
P2 = h2d1 + h1d2, (2)
Q2 = g2d1 + g1d2. (3)
Согласно свойствам аналитических функций дуального переменного, P1, Q1, h1, g1, d1 - многочлены действительного переменного x, которые однозначно находятся из (1), и_P2 = P2 + yP1, Q2 = Q2 + yQ1, h2 = h + yh[,g2 = g2 + ygi, d2 = d2 + yd!1, где P2, Q2, h2,g2,d2 - многочлены действительного переменного x, причем P2 и Q2 определяюттся по исходным P и Q.
После преобразований получим, что система уравнений (2)-(3) эквивалентна системе
P2 = h,2d1 + Л-1<^2, (4)
Q2 = §2d1 + g1d,2. (5)
Система (4) - (5) относительно функций h 2,g2 и d 2 либо не имеет, либо имеет бесконечно много решений, таким образом, в традиционном смысле наибольшего общего делителя у многочленов P и Q не существует. В последнем случае выберем способ однозначного вычисления этих функций, исходя мз требования, чтобы их степени, то есть степени этих многочленов, были наименьшими из возможных. Именно таким образом построенный общий делитель d назовем HOD многочленов P(z) и Q(z).
хРабота поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/9191, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом
1.5.07.
Обозначим a1 = (d1,h1) a2 = (d1,g1). Если P2 или Q2 не делятся, соответственно, на а1 и а2, то система (4) - (5) решений не имеет. Если P2 делится на а1 и Q2 делится на а2, то поделим уравнения (4) и (5), соответственно, на а1 и а2. Поэтому изначально можем считать, что (d1,h1) = 1 (d1,g1) = 1.
Известно, что два многочлена p и q взаимно простые тогда и только тогда, когда существуют многочлены и и v такие, что up + vq = 1. Можно воспользоваться алгоритмом Евклида, чтобы найти такие и и v.
Применяя этот способ, находим общие решения h2, d1, и g2, d2 уравнений (4) и (5). Затем в семействах d1, и d2 находим общий элемент, если он существует, с наименьшей степенью, причем применяем еще раз алгоритм Евклида. Именно этот элемент выбираем в качестве d2. Построенный таким образом d = d1 + id2 называем HOD многочленов P и Q. Если d не существует, многочлены P и Q называем взаимно простыми.
N. A. Malaschonok. GCD of polynomials in the dual variable
For polynomials on the ring of the dual variable, an analog of GCD is constructed Keywords: greatest common divisor, dual numbers, Euclidean algorithm
УДК 517.98
Об умножении контравариантных символов 1
© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова
Вводится умножение контравариантных символов в полиномиальном квантовании на пара-эрмитовых симметрических пространствах. Для простоты изложения мы ограничиваемся ключевым примером такого пространства: однополостным гиперболоидом в М3. Умножение индуцируется умножением операторов. Оно задается некоторым интегралом. С другой стороны, ядро этого оператора дает преобразование (аналог преобразования Березина), которое переводит ковариантные символы в контравари-антные. Его можно выразить через оператор Лапласа-Бельтрами. Для полученной алгебры контравариантных символов справедлив принцип соотвествия.
Ключевые слова: группы и алгебры Ли, представления групп Ли, пара-эрмитовы симметрические пространства, многочлены, исчисления символов
хРабота поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/9191, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом
1.5.07.
