Сложность умножения в коммутативных групповых алгебрах над полями характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

Б.В. Чокаев1

СЛОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ В КОММУТАТИВНЫХ ГРУППОВЫХ АЛГЕБРАХ НАД ПОЛЯМИ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0*

Пусть rk А обозначает билинейную сложность (также называемую рангом) конечномерной ассоциативной алгебры А. Широко исследуемыми алгебрами с точки зрения билинейной сложности являются алгебры минимального ранга. Это такие алгебры А, для которых неравенство Алдера-Штрассена выполняется как равенство, т. е. rk А = 2 dim А — t, где t — число максимальных двусторонних идеалов в А.

В работе доказано, что произвольная коммутативная групповая алгебра над полем характеристики 0 является алгеброй минимального ранга. Установлена структура и получены точные значения билинейной сложности коммутативных групповых алгебр над полем рациональных чисел.

Ключевые слова: ассоциативная алгебра, групповая алгебра, билинейная сложность умножения, алгебра минимального ранга.

1. Основные понятия. Алгеброй над полем к называется конечномерное линейное пространство А над к, в котором определено умножение пар векторов, линейное по обоим аргументам: для а и b из А определен вектор с = ab также из А, причем (aa)b = a(ab) = a(ab) для любого а из к и (а + d)b = ab + db, a(b + d) = ab + ad для любого d из А. При этом размерность соответствующего линейного пространства называется также размерностью алгебры и обозначается dim А, а базис линейного пространства называется базисом алгебры.

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: bchokaevQcs.msu.su

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00701.

Пусть А и В — алгебры над к. Прямым произведением А и В называется алгебра С = Ах В над к размерности dim С = dim A + dimB, элементы которой являются парами элементов (а, Ь), где а € А, b € В. Сложение и умножение в С производится покомпонентно: а(а, Ь) + /3(с, d) = (ста + /3с, ab + fid), (a, b)(c, d) = (ас, bd).

Алгебра называется неразложимой, если ее нельзя представить в виде прямого произведения двух алгебр. Произвольная алгебра может быть представлена в виде прямого произведения неразложимых алгебр, причем это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей (см. [1]).

Пусть А и В — алгебры над полем к и {ai,..., ат}, {Ъ\,... ,Ъп} — соответственно базисы А и В, умножение в которых определяется следующим образом:

то п

aia3 = Z 1 ^ ^ m> brbs = Z ksk, 1 < г, s < п.

¿¿=1 v=l

Определим тензорное произведение А и В: С = А ® В над к размерности тп с базисом {с(1д),... • • • ! с(т,п)} и правилом умножения

то п

C(i,r)C(j,s) = Z Z 1 i^m, 1 < г, s < п.

11=1 V=1

Нетрудно видеть, что обе операции взятия прямого и тензорного произведения алгебр являются коммутативными и ассоциативными и для произвольных алгебр А, В, С, определенных над одним и тем же полем, выполняется свойство дистрибутивности

(АхВ)®С^(А®С)х(В®С). (1)

Пусть А — алгебра над полем к размерности п, и пусть а\,..., ап — некоторый базис А. Если множество {ai,... ,ап} образует группу относительно умножения в А, то такой базис называется групповым базисом, а алгебра — соответственно групповой алгеброй. Обратно, пусть G = {д\,... ,gn} — группа порядка п и к — поле. Тогда алгебра

-В = {aigi + ... + angn | av € к, 1 < v < п} с умножением, определяемым по правилу

= Z( Z <х*Ри)9к,

v=l ' >=1 ' к=1 4-9*9 ц=9к '

является групповой. Будем обозначать алгебру над к с групповым базисом, образующим группу G, через k[G). Очевидно, что k[G) коммутативна тогда и только тогда, когда G абелева.

Пусть А и В — групповые алгебры над полем к и Ga = {«ъ • • • ■> «то}; Gb = {Ь\,- ■ ■ ,Ьп} — соответственно их групповые базисы, причем a^aj = brbs = 1 ^ г, j ^ rri, 1 ^ г, s ^ п.

Тогда одним из базисов алгебры С = А® В будет являться множество {с(1д),..., С(ТО)П)}, умножение в котором определяется правилом

c(i,r)cU,s) = 1 < г, j < m, 1 ^ г, s^ п.

Заметим, что правая часть, согласно определению, соответствует умножению в k[GA х Gb]- Таким образом,

k[GA] ® k[GB] = k[Gа х GB]- (2)

Основной задачей данной работы является установление сложности вычисления произведения элементов в алгебрах. С этой целью необходимо зафиксировать модель вычислений и функционал сложности. Общепринятой в алгебраической теории сложности является билинейная модель вычисления (см. [2]).

2. Модель вычислений. Билинейным вычислением (билинейным алгоритмом) для алгебры А называется такая последовательность (fi,gi,wi,...,fr,gr,wr), где fp,gp G А* (А* — сопряженное

пространство), wp € А, 1 ^ р ^ г, что для любых a,b £ А

г

a-b = ^2fp(a)gp(b)wp. р= 1

Число г называется длиной билинейного алгоритма. Длина кратчайшего билинейного алгоритма для А называется рангом (билинейной сложностью) и обозначается rk А

Пусть А и В — произвольные алгебры над одним и тем же полем. Тогда справедливы следующие соотношения (см. [3]):

rk(A х В) 5$ rk А + гкВ, (3)

rk(A <g> В) < rk А • rk В. (4)

Существует гипотеза (гипотеза о прямой сумме) о том, что неравенство в (3) выполняется как равенство для произвольных алгебр А и В (см. [3]).

3. Используемые методы. Подалгебра I алгебры А называется (двусторонним) идеалом А, если для любых а € А, Ь € I справедливо, что ab € I, ba € I■ Идеал I ф А называется максимальным, если из I С J, где J — идеал в А, следует, что J = А. Одним из фундаментальных результатов о билинейной сложности алгебр является теорема Алдера-Штрассена.

Теорема (А. Алдер, В. Штрассен [4]). Для произвольной ассоциативной алгебры А выполняется

ткА^ 2 dim А - t(A),

где t(A) — число максимальных двусторонних идеалов А.

Алгебры, для которых rk А = 2 dim А — t(A), называются алгебрами минимального ранга.

Прежде чем дать описание структуры алгебры минимального ранга над произвольным бесконечным полем, дадим несколько определений. Идеал I в А называется нильпотентным, если для некоторого целого числа п выполняется, что произведение любых п элементов идеала I равно нулю. Объединение всех нильпотентных идеалов алгебры А является нильпотентным идеалом в А и называется радикалом А, обозначается rad А Известно (см. [5]), что rad А содержится в любом максимальном идеале А. Будем называть алгебру А над полем к сверхосновной, если фактор-алгебра А/ rad А изоморфна алгебре к х к х ... х к.

Теорема (М. Блезер [6]). Алгебра А над полем к является алгеброй минимального ранга тогда и только тогда, когда

A = CiX...xCsx k2x2 х ... х k2x2 хВ, *---'

и раз

где C\,...,CS — такие алгебры, что dim(Co-/radСа) ^ 2, и Са = k[X}/(pa(X)d,J) для некоторого неприводимого над к полинома ра, degjv ^ 2, da ^ 1, а = 1 ,...,s, а В — сверхосновная алгебра минимального ранга над к. Любое из чисел s, и может равняться нулю, а множитель В является необязательным.

Рассмотрим алгебру к[Х i,...,Xm] многочленов над к от переменных Xi,... ,Хт. Пусть А = = к[Х 1,..., Хт]/(X™1 — 1,..., X— 1) — фактор-алгебра алгебры к[Хi,..., Хт] по идеалу, порожденному многочленами X™1 — 1,..., Х^т — 1. Алгебра А изоморфна алгебре k[G) при G = ЪПг х Z„2 х ...

... хЪПт. Действительно, обозначим элементы G через.....(. О ^ < причем gilt...jm ■gj1,...,jm =

= g(i1+jl) mod ni,...,(im+jm)mod Пт- Тогда вложение .VJ' .V'," . ^ //,,.....,,„• как нетрудно проверить,

определяет изоморфизм.

В силу того что любая абелева группа разлагается в прямое произведение циклических групп, получаем, что произвольная коммутативная групповая алгебра изоморфна некоторой фактор-алгебре алгебры многочленов от многих переменных, причем групповая алгебра циклической группы изоморфна фактор-алгебре алгебры многочленов от одной переменной. Сформулируем утверждение (см. [1]), которое будет использоваться для установления структуры групповой алгебры циклической группы.

Лемма. Если f(X) и д(Х) — два взаимно простых многочлена от одной переменной над произвольным полем к, то k[X]/(f(X)g(X)) Я* k[X]/(f(X)) х к[Х]/(д(Х)).

4. Групповая алгебра циклической группы над полем рациональных чисел. Обозначим через Q поле рациональных чисел. Рассмотрим групповую алгебру Q[Zn], где Ъп — циклическая группа, Ъп = {до,... ,gn-i}, которая определяется законом умножения д% • д,} = gi+jSymod п).

Прежде чем формулировать теорему о групповой алгебре Q[Zn], введем понятие кругового многочлена. Круговым многочленом называется многочлен вида

Фп(х) = Ц(Х^еп), к

где произведение берется по всем натуральным числам к, меньшим п и взаимно простым с п, а = cos ^ + / sin — комплексный корень степени п из единицы. Известны следующие свойства кругового многочлена:

1) многочлен ФП(Х) является неприводимым над полем рациональных чисел, и все его коэффициенты — целые числа;

2) круговой многочлен удовлетворяет соотношению

Хп^1 = Цфа(Х);

й\п

3) степень deg#n(X) = (р(п), где ср — функция Эйлера.

Теорема 1. Пусть Q[Zn] — групповая алгебра циклической группы порядка п над полем рациональных чисел и а равно количеству делителей числа п. Тогда алгебра Q[Zn] является алгеброй минимального ранга, rkQ[Zn] = 2п — а, и

Q[Zn]- х Q[X]/(#dpO). (5)

d\n

Доказательство. Так как Q[Zn] = Q[X)/(Xn — 1), то по свойству 2 кругового многочлена и сформулированной лемме получаем формулу (5). Следовательно, по теореме Блезера, алгебра Q[Zn] является алгеброй минимального ранга. Докажем, что число максимальных идеалов этой алгебры равно а. Так как алгебра Q[X]/(<&d(X)) является полем, то каждый ненулевой идеал содержит единицу алгебры и поэтому совпадает со всей алгеброй. Следовательно, единственный максимальный идеал этой алгебры есть нулевой идеал. Известно (см. [2]), что t(A х В) = t(A) + t(B), где t(A) — число максимальных идеалов А. Таким образом, t(Q[Zn]) = а.

5. Групповые алгебры абелевых групп над полем рациональных чисел. Так как любая конечная абелева группа представляется в виде прямого произведения циклических групп, то в силу (2) групповая алгебра любой абелевой группы представляется в виде тензорного произведения алгебр циклических групп. Для того чтобы воспользоваться теоремой Блезера, необходимо тензорное произведение алгебр представить в виде прямого произведения неразложимых алгебр.

Лемма 1. Пусть пит — взаимно простые натуральные числа. Тогда

Q[X]/#n ® Q[X]/#TO ^ Q[X]/#nTO.

Доказательство. Рассмотрим групповую алгебру Q[ZnTO], Так как Ъпт = Ъп х ZTO, то Q[ZnTO] = Q[Zn] <g> Q[ZTO], Применяя к обеим частям этой формулы теорему 1, а к правой части — формулу дистрибутивности (1), получим изоморфизм

X Q[X]/(#dpO)= X (6)

d\nm d\\n, d'il'm

Обе части формулы (6) состоят из прямого произведения одинакового числа алгебр, причем в левой части все они являются неразложимыми алгебрами. Следовательно, каждая алгебра из левой части изоморфна какой-нибудь алгебре из правой части и наоборот. В силу свойства 3 кругового многочлена можно записать, что

dim(Q[X]/#dl ® Q[X]/#d2) = yKdiMda) = <P{did2) = <p(d) = dimQ[X]/#d

для всех (¿i, (¿2, d, таких, что di \ n, \ m, d\d2 = d. Так как ср(пт) > <p(d) Vd: d | nm, d ф nm, то алгебра Q[X]/<&n <g> Q[X]/#TO может быть изоморфна только алгебре <0>[Х]/Фпто.

Лемма 2. Пусть р — простое число, k\,k2 — натуральные числа и к\ ^ к2. Тогда ОИ/Фр», ®<0>[Х]/Фр*2

Доказательство. Пусть п = pkl, m = рк2. Рассмотрим групповую алгебру C[Zn х ZTO], где С — поле комплексных чисел, Ъп = {д0, gi,..., gn-i}, ZTO = {/i0, hi,..., /iTO_i}. Через В обозначим групповой базис этой алгебры: В = {g%hj\ 0 ^ г ^ n — 1, 0 ^ j ^ m — 1}. Идея доказательства заключается в том, чтобы определить такую подалгебру А алгебры C[Zn х ZTO], что множество элементов этой подалгебры, имеющих рациональные коэффициенты в базисе В, образовывало бы некоторую алгебру Aq над полем рациональных чисел. Затем, используя более богатую структуру поля комплексных чисел, доказать изоморфизмы Aq - (СВД/ФП и 1Q ^ СВД/ФП ® СИ/ФТО.

Пусть £\ — примитивный комплексный корень из единицы степени п, шi — примитивный комплексный корень из единицы степени т. Обозначим е% = е\, Wj = Рассмотрим систему векторов {eij| 0 ^ г ^ п — 1, 0 ^ j ^ m, — 1}, где

J n—lrn—l п — 1 \ / 1 т~ ^ \

= — Е Е £H-9khi = (- j>t* (- Е■ ч- (?)

fc=o i=a 4 fc=o ' 4 г=о '

п—1 то—1

Пользуясь соотношениями ^ = 0, ^ Ц- = 0, легко проверить, что

к=о г=о

eij ' еы = àikàji ' eij• (8)

Отсюда, в частности, следует, что система {е^} линейно независима.

Обозначим через I множество натуральных чисел, меньших п и взаимно простых с п, через J — множество натуральных чисел, меньших m и взаимно простых с т. Очевидно, что сНт<0>[Х]/Фп = = (р(п) = |/|, (Нт<0>[Х]/Фто = (р(т) = \ J\. Пусть А есть линейная оболочка векторов {е^| i G j G J}. Согласно (8), линейное пространство А замкнуто относительно операции умножения, и поэтому А образует алгебру. Обозначим через Aq множество элементов алгебры А, которые имеют рациональные коэффициенты в базисе В, и докажем, что Aq — алгебра над полем рациональных чисел размерности dim А.

Рассмотрим систему векторов {aj\ j G J} Ç A,

a.,- = eiri}, гДе rij < rij = i • j(mod m). (9)

iei

Заметим, что каждый вектор е^ G А входит ровно в одну сумму в формуле (9), так как в силу взаимной простоты гит, Гц G J для любого j G J, и rij1 ф rij2, если j i ф j2. Согласно (8), правило умножения для векторов aj выглядит так:

aji ' aj2 = àjijï ' aji • (Ю)

Пусть j — произвольный индекс из J. Докажем, что aj G Aq. В силу формул (7) и (9) коэффициент перед вектором g^hi-, к = 0, п — 1, / = 0, m — 1, при разложении aj в базисе В равен

— Ye№ = —Уе\кШ[-4 = ^Уе^ш^1.

пт ' гз пт ' пт '

iei iei iei

к ]_ — &2

Так как по условию к\ ^ к2, то шi = е{ и, таким образом,

= ^^k^-^-i-j-l = y^£i(k+pkl-k2-j-l)

iei iei iei

Заметим, что е\ является примитивным корнем степени п = pkl, если и только если i G I. Поэтому сумма всех корней из единицы степени pkl есть сумма всех корней из единицы степени pkl~l плюс сумма всех примитивных корней из единицы степени pkl. Следовательно, сумма всех примитивных корней из единицы степени pkl равна 0 при к\ > 1 и равна — 1 при к\ = 1.

Принимая во внимание это замечание, можно доказать, что для любого натурального q выполняется

Г|/|, I 9,

5>г = {pki t?, pki~l i я,

íei [о, pkl~1\q.

Таким образом, aj € Aq для любого j € J.

Рассмотрим систему {gs -a,j\ j € J, s = 0,..., |7| — 1} из |7| • | J\ = dim А векторов. Докажем, что эта система линейно независима и, следовательно, образует базис алгебры А. Согласно (10), достаточно доказать, что для каждого j 6 J система {gs ■ a,:¡\ s = 0,..., |7| — 1} линейно независима. Вычислим произведение gs ■ ei:¡:

1 п— 1 \ / 1 т~ 1 \ / 1 n—1 \ / 1 т~ 1

1 Y ^ I. \ / 1 Y ^ 1 . \ / 1 Y ^ \ / 1

9s ■ ец = 9s ■ ( - Y,£í 'Як ) ( - Е "i ■ Ч = ■ ( - Е £i+S-9k+s ) ( - Е Следовательно

п f—' J \ т ■ / \п f—' / \т ,

к=о 7 х г=о 7 х к=о 7 х 1=0

9s ' aj = Е 9s ' eirtj = Е £i S ' Girij ■ (И)

i£l i£l

Определитель матрицы, составленной из коэффициентов векторов gs ■ a,:¡ в базисе eirij, есть определитель Вандермонда, отличный от нуля, так как е"1 ф е"1 при i\ ф i2. Этим доказана линейная независимость векторов {gs ■ a,j\ j € J, s = 0,..., |7| — 1}.

Множество Aq замкнуто относительно двух операций в алгебре А — сложения и умножения на рациональное число. Следовательно, Aq есть линейное пространство над рациональным полем с базисом {gs -a:j\ j € J, s = 0,..., |7| — 1}. Также, очевидно, Aq замкнуто относительно операции умножения в алгебре А и образует алгебру над полем Q с единицей ^ aj.

je-J

Докажем, что Aq = (<0>[Х]/Фп)dimQM/*m. Обозначим через Aj линейную оболочку векторов {gs -a,j| s = 0,..., |7| — 1} над полем рациональных чисел. В силу правила умножения (10) Aj является алгеброй и

Аг= .xAj.

3ej

Докажем, что для каждого j € J алгебра Aj изоморфна алгебре <0>[Х]/Фп. Пусть линейное отображение ф ставит в соответствие вектору bs = gs-a,j € Aj вектор Xs G <0>[Х]/Фп, s = 0, |7| — 1. Тогда достаточно доказать, что ф{Ьг • b|/|-i) = ф{Ьг) ■ ф(Ь|j|_i) = XlJl(mod Фп),

Ъ\ • V|_i = 9\i\ ' aj = Е £iU¡ ' e¿r«' (12)

íei

Заметим, что при каждом ¿ fE / корень e~l есть примитивный корень степени п из единицы и Фп(е~1) =

= 0. Так как degФn = |/|, то корень е"'1' линейно выражается через корни {e~s s = 0,..., |7| — 1} с одинаковыми коэффициентами для каждого г € I- При этом очевидно, что эти коэффициенты равны соответствующим коэффициентам, с которыми многочлен XlJl линейно выражается через многочлены {Xs| s = 0,..., 7| — 1} по модулю Фп. Следовательно, в силу формул (11) и (12) получаем, что 4>(bi • b\i\-i) = X Jl(mod Фп).

Для завершения доказательства леммы осталось доказать, что Aq = QfXj/Фи ® QfXj/Фто. Обозначим через а единицу алгебры Aq:

а = Е аз= Е

jEJ iEl,jEJ

Рассмотрим систему векторов {gshr ■ а\ s = 0,..., |7| — 1, г = 0,..., | J\ — 1} С Aq. Аналогично формуле (11) можно получить, что

gshr ■ а = V e~su)~r-eij.

/ J i

íeijej

Матрица, составленная из коэффициентов векторов двНг ■ а в базисе е^, является кронекеровым произведением двух матриц, определители которых есть определители Вандермонда, отличные от нуля,

так как е^1 ф е^1 при ¿1 ф г2 и ф ш^ при ф Поскольку кропекерово произведение невырожденных матриц — невырожденная матрица, то система векторов {д31гг ■ а\ я = 0,..., |7| — 1, г = 0,..., | «7| — 1} линейно независима. Пусть линейное отображение т] отображает вектор д8кг ■ а € Лд в вектор

б ¥}/{Фп{Х), Фт(У)) = ® 0[Х]/Фт, 5 = 0, |7| - 1, г = 0, |,7\ - 1.

Точно так же, как в случае отображения ф, можно доказать, что г] является изоморфизмом.

Прежде чем сформулировать теорему, введем обозначения. Пусть Оп — произвольная абелева группа порядка п = р^р^2 ■ ■ -Рв% гДе Р1,Р2, ■ ■ ■ ,Рв — попарно различные простые числа, которая определяется следующим образом:

Оп — О к-, х б I, х ... х б ь, (13)

V1 Р2

О к* = Ъ к,, х Ъ ¡ь2 х ... х Ъ ки , (14)

р_г р_г1 1

о = к>1 о < кц ^ к 12 ^ • • • ^ кгвг = и, ^ ^ кц = кг, I = 1, . . . , 5. (15)

¿=1

Пусть тп = р\р12 ■ ■ - Р183 ■ Тогда тп делит п и т = п Оп = Zn. Далее, пусть числа и и V таковы, что 1 ^ и ^ < и ^ 1, т. е. V однозначно определяется по и. Положим

и(вг-ь) _ (и-1)(вг-ь) V

а 1 = 1, орп = рЬи ■ -и ги_1-, где ии = ^кгу (16)

Pi ~ Pi

з=i

Определим теперь числа а^, где d — произвольный делитель числа т, а также число а, зависящее от структуры группы Gn:

d = p^pl2 ■■■pfs, 0 ^ щ ^k => ad = apui • crpu2 • ... • apus, (17)

s h d\m i= 1и=0

Теорема 2. Пусть Q[Gn] — произвольная коммутативная групповая алгебра размерности п над полем рациональных чисел. Тогда алгебра Q[Gn] является алгеброй минимального ранга, rk Q>[Gn ] = 2n ^ с, и

Q[G„] = X (19)

d\m

Доказательство. Рассмотрим алгебру Q[G для 1 ^ i ^ s. По лемме 2, используя формулы (14), (2), (1), получаем, что Q[G изоморфна прямому произведению алгебр вида QfXj/Фр«,

где 0 ^ и ^ li. Обозначим через ар« кратность вхождения алгебры в указанное прямое

произведение и докажем, что ари определяется согласно формулам (16). Имеем

<0![Орк, ] ^ Q[Zp,il ] ® р*„ ] ® ... ® ^ ] - ЩХ\/Фг X <®Х]/ФР< X ... X <0>[Х]/Фр*ч , 3 = 1^1.

Зафиксируем и, 0 ^ и ^ и определим V из условия к^, < и ^ Заметим, что алгебра (Ц^/Фр«

входит в разложение алгебры ЩЕ при ] > V. Поэтому в силу леммы 2 кратность вхождения

алгебры Ор^/Фр« в разложение алгебры <0>[С? будет равна кратности ее вхождения в алгебру

pkn J 09 • • • 09 4i^pbiv

Si—г) раз

Суммарная размерность вхождения (Щ^/Фр« в разложение алгебры ЩЪри] ® ... ® Q[Zг,«] равна суммарной размерности всех алгебр, входящих в это разложение, минус суммарная размерность алгебр,

входящих в это разложение и отличных от алгебры (ЩХуФр«. Эта величина равна

<ИтДОр«] ® ... ® - атСОК,-!] ® ... ® ЩЖ «-,]) = - р^^.

•">1—1! раз .ч^—ю раз

Следовательно, кратность вхождения (|[Х]/Фр« в указанное разложение равна

и(8г—ь) (и —1 и(8г—ь) (к —1

Рг - Р\ _Рг ~ Рг

dim(Q[X]^p? ) pf _

и —1 г Pi

Так как алгебра (Щ-Х^/Фр« не входит в разложение алгебры <0>[2 ® ... ® <0>[2 то окончательно получаем, что

и{вг-ь) _ (и-1){вг-ь) и{вг~ь) _ (и-1){вг~ь)

ари = <Шп(0[2 »„] ® ... ® »,„]) ■ *-^^-= р*<* • 3-^^-.

Р4 Р4 р« _ ри ри _ ри

В силу (13) и (2) для самой алгебры <0>[С?П] получаем, что

щоп] - ( X (0[Х]/ФР?)^Л ® ( X (СИ/Фр^м) ®...® Г х (0[Х]/ФР?)^?У

\и=0 / \и=0 / \и=0 /

Применяя лемму 1, приходим к формуле (19).

Следствие. Ранг алгебры <0>[С?П] равен ее размерности тогда и только тогда, когда п = 2к и ^ Ж? х Ж? х ... х Ж?.

/г раз

6. Групповые алгебры абелевых групп над произвольным полем характеристики нуль. Обозначим через Р произвольное поле характеристики 0. Рассмотрим групповую алгебру Р[С?П] абелевой группы Оп. Будем считать, что Оп определяется согласно формулам (13)—(15).

Для любого натурального й многочлен Ф<г(Х) является многочленом над полем Е, так как можно считать, что С Е. Обозначим через г^ число неприводимых над полем Е многочленов, произведение которых равно многочлену Ф^(Х). Тогда можно записать

Ых) = Ых) ■ Ых) •... • иЛ(х), (20)

где многочлены /ф-(Х), ] = 1,..., г^, неприводимы над полем Е. Пусть числа т, а, определяются в зависимости от группы Оп по формулам (16)—(18) из предыдущего раздела. Определим константу аг, зависящую от поля Е и группы Оп, таким образом:

dim

Справедлива следующая теорема, которая является обобщением теоремы 2.

Теорема 3. Пусть F[Gn] — произвольная коммутативная групповая алгебра размерности п над полем характеристики 0. Тогда алгебр a W[Gn] является алгеброй минимального ранга, ik¥[Gn] = 2/f — nv sj 2/f — а и

F[Gn] = х(ЩХ\/Фйу*^ х х (F[X)/fdjy*. (21)

d\m d\m, j=i

Доказательство. Пусть Gn = {gi,... ,gn}, тогда {gi,... ,gn} — общий групповой базис алгебр F[Gn] и Q[Gn]. Так как Q С F, то Q[Gn] С F[Gn]. Обозначим через Ag и Aq алгебры

х и х

d\m d\m

соответственно. Пусть В = {efj \ d\m, i = 1,..., <74, j = 0,..., cp(d) — 1} — естественный базис алгебры Af, умножение в котором удовлетворяет условиям 1) ■ = 0, если di ф d2 или ii ф i2;

2) efji ■ efj2 линейно выражается через систему векторов В = {efj\ j = 0,...,(p(d) —- 1} с коэффициентами, которые используются при выражении многочлена X3l+:>2 через систему многочленов {X^l j = 0,..., ip(d) — 1} по модулю многочлена Ф^Х).

Так как многочлены Ф^рС) имеют рациональные коэффициенты, то множество векторов алгебры Af, имеющих рациональные коэффициенты в базисе В, образует алгебру, которая в силу условий 1 и 2 изоморфна алгебре Aq. Таким образом, мы можем считать, что В — это общий базис алгебр Aw и Aq И что AQ С Аг.

По теореме 2 существует изоморфизм ф алгебр Q[Gn] и Aq. Пусть ф отображает базис {gi, ■ ■ ■, дп} в базис {ф(д1), • • •, ф(дп)}. Так как векторы {ф(д1), • • •, ф(дп)} принадлежат алгебре Aq и имеют рациональные коэффициенты в базисе В, то они образуют базис алгебры Aw. Следовательно, доопределяя линейное отображение ф до линейного отображения, действующего над полем F, получаем изоморфизм алгебр F[Gn] и Aw.

Для доказательства второй части формулы (21) осталось доказать, что многочлены f(i:jl и /ф2 различны при ji ф j2. Предположим, что f(i:¡1 = /ф2 для некоторых ji ф j2. Рассмотрим алгебраически замкнутое поле F, содержащее F. Так как разложение (20) верно и над полем F, то многочлен Ф<гР0 в поле F должен иметь кратный корень. Следовательно, кратный корень должен иметь и многочлен Xd — 1. Но так как многочлены Xd — 1 и (Xa — 1)' = dXd~1 не имеют общих корней над произвольным полем, то получаем противоречие.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. Киев: Вища школа, 1980.

2. Bürgisser Р., Clausen М., Shokrollahi М. Algebraic Complexity Theory. Berlin: Springer, 1997.

3.Алексеев В.Б. Сложность умножения матриц: Обзор // Кибернетический сборник. М.: Мир, 1988. С. 189-236.

4. Alder A., Strassen V. On the algorithmic complexity of associative algebras // Theoret. Comput. Sei. 1981. N 15. P. 201-211.

5. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

6. Bläser М. Algebras of minimal rank over arbitrary fields // Proc. of the 20th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science. Lecture Notes in Computer Science. N 2607. Berlin: Springer, 2003. P. 403-414.

Поступила в редакцию 24.02.10

BILINEAR COMPLEXITY OF COMMUTATIVE GROUP ALGEBRAS OVER ZERO CHARACTERISTIC FIELDS

Chokaev B. V.

Let rk A denote the bilinear complexity (also called rank) of a finite dimensional associative algebra A. A class of algebras that has received wide attention in this context consists of those algebras A for which the Alder-Strassen Bound is sharp, i.e., rkA = 2 dim A — t, where t is the number of maximal twosided ideals in A. We prove that all commutative group algebras over arbitrary zero characteristic fields are algebras of minimal rank, and find rk A for all commutative group algebras over field of rational numbers.

Keywords: associative algebra, group algebra, bilinear complexity, algebra of minimal rank.