CC BY
7УДК 512.667
О ПОЛУПРОСТЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБРАХ ХОПФА
Р. Б. Мухатов1
В работе получена классификация полупростых алгебр Хопфа, имеющих ровно одно неприводимое неодномерное представление, при некотором условии на количество групповых элементов.
Ключевые слова: алгебра Хопфа, проективные представления групп.
The paper considers a classification of semisimple Hopf algebras having exactly one irreducible non-one-dimensional representation under a certain condition on the number of group elements.
Key words: Hopf algebra, projective representations of groups.
1. Введение. Рассмотрим конечномерную полупростую алгебру Хопфа над алгебраически замкнутым полем к, такую, что char k и dim H взаимно просты. Пусть H как алгебра имеет только одно неприводимое представление размерности n > 1. Обозначим через G группу групповых элементов дуальной алгебры Хопфа H*. Тогда H имеет полупростое разложение:
H = ®geokeg Ф Mat(n, k)E, (1)
где {eg ,g е G,E} — система центральных ортогональных идемпотентов в H .В работе [1] показано, что в случае, когда |G| = n2, алгебра H принадлежит одной из двух серий.
Теорема 1 [1, теорема 5.1]. Пусть H — алгебра вида (1). Пусть G = G(H*) и |G| = n2. Рассмотрим, матрицы U и V из GL(п, к), такие, что V = -IJ~1 и либо U = Е, V = -Е, либо U = S, V = --S, где
S
/ T 0 ... 0 \
0 T ... 0
T =(°-1 1 1 0
V 0 0 ... T J
Тогда в обоих случаях коумножение А, коединица е и антипод S .задаются следующим образом:
A(eg) = ^ eh 0 eh-ig + Ад, Ад е Mat(n, k) 0 Mat(n, к); hec
А(х) = ^[(g ^ x) 0 eg + eg 0 (x ^ g)], x е Mat(n, k); gec
e(eg) = Sg>1, е(х) = 0, x е Mat(n,k);
S(g) = eg-1, g е G; S(y) = nUlyV = UlyU-1, y е Mat(n,k),
где
Ag = (Eij ^ g-1) 0 UipVqjEpq = Eij 0 UipVqj (g-1 ^ Epq). i,j,p,q i,j,p,q
Более того, существует проективное представление д ^ Ад = (а^ (д)) € СЬ(п,к) группы С размерности п, такое, что д — х = АдхАд-1 для всех д € С.
В работе [2] показывается, что дуальная алгебра Н* представляется в виде прямой суммы:
Н* = кС Ф М&1(и,к),
где кС — групповая алгебра группы С. В случае, когда С = п2, можно в явном виде выписать выражения для умножения *, единицы и*, коумножения А*, коединицы е* и антипода 5* в Н*.
1 Мухатов Руслан Бактылбаевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ruslan.mukhatov@gmail.com.
Теорема 2 [2]. Дуальная к (1) алгебра Хопфа H* как линейное пространство представляется в виде H* = kG ® M, где M = Mat(n,k). Пусть |G| = n2. Тогда умножение *, единица и*, коумножение А*, коединица е* и антипод S* в H* описываются следующим образом:
1) g * h = gh, g * X = g ^ X, X * g = X ^ g,
X * Y = ^ ^ X)g = i Y, tr (Bg-iYBgUtXU~1)g ngeo ngeo
для всех g,h G G; X,Y G M, где (■, ■) — невырожденная билинейная форма на M;
(A, Б) = tr (A ■ S(B)) = tr (A ■ UBU-1);
2) u* (1) — единичный элемент e G G;
3) A*(g) = g ® g, g G G; A*E) = £k Eik ® Ekj, Ej G M;
4) е*(g) = 1, g G G; е*Е) = 5г3, Ег] G M;
5) S*(g)= g-1, g G G; S*(X) = UXU-1, X G M, где U — (косо) симметрическая матрица из теоремы 1.
2. Классификация алгебр Хопфа. Классифицируем с точностью до изоморфизма алгебры Хопфа, описанные в теореме 1, при помощи проективных представлений группы G.
Воспользуемся результатом, полученным в статье [3].
Теорема 3 [3, теорема 4]. Пусть H — алгебра вида (1). Пусть G = G(H*) и |G| = n2. Тогда в обозначениях из теоремы 1 матрица U, группа G, проективные представления Ag и Bg удовлетворяют следующим условиям:
1) матрицы Ag и tBg реализуют точные неприводимые проективные представления группы, эквивалентные в широком смысле;
2) V g = e tr Ag = trBg = 0;
3) отображение p : G x Gop ^ GL(n, k), такое, что Ag = p(g, 1),Bg = p(1, g), реализует проективное представление группы G x Gop;
4) если n = dim M нечетно, то матрица U симметрична; если n четно, то U либо симметрична, либо кососимметрична;
5) группа G представляется в виде G = A x A, где A — абелева группа, |A| = n и существуют проективные представления группы G с указанными выше свойствами.
Следующая теорема позволяет уточнить этот результат.
Теорема 4 [4, теорема 3.1]. Если группа G разлагается в прямое произведение двух изоморфных групп, Г и Г' — любые ее точные неприводимые проективные представления, то существует автоморфизм а группы G, такой, что Г и Га эквивалентны в широком смысле. Здесь Га(х) = Г(ах).
По теории Шура существует центральное расширение группы G
1 —► H2(G, k*) —► G* —► G —► 1,
такое, что каждое проективное представление группы G может быть поднято до линейного представления группы G*. Здесь H2(G,k*) — группа вторых когомологий группы G с коэффициентами из мультипликативной группы k*.
В статье [5] показано, что в случае, когда группа G — прямое произведение G = (a) x (b) двух циклических групп порядка n, группа G* является полупрямым произведением нормальной подгруппы (b) x (с) на циклическую подгруппу (а), где (с) = [G*, G*].
Рассмотрим представление ф группы G* размерности n в пространстве V, индуцированное одномерным представлением ф группы (b) x (c) в одномерном пространстве W с одним базисным элементом e, причем ф(Ь)е = ue, ф(с)е = це, где и и п — первообразные корни из 1 степени n. Тогда на элементах вида агЬj представление ф задается следующей формулой:
n
ф(агЬ) = Y Ер+г,риn-j(p-1) G GL(n, k) (2)
p=i
для всех 0 ^ i,j ^ n — 1.
Согласно теореме 2.1 статьи [5], построенное проективное представление группы G является точным и неприводимым.
В случае, когда группа О — произвольная абелева группа симметрического типа порядка п2, т.е. О = А х А, |А| = п, ее можно разложить в прямое произведение гиперболических подгрупп:
О = Кг х ... х Кт, (3)
где Кг = (аг)л. х (Ьг)л., йг = . Для каждого 1 ^ г ^ т построим точное неприводимое представление фг группы Кг вида (2). Тогда проективное представление
ф = фг 0 ... 0 фт (4)
группы О будет точным неприводимым проективным представлением размерности п (см., например, [4]).
С другой стороны, по теореме 4 группу О из теоремы 3 можно представить в виде прямого произведения, согласованного с заданным на ней проективным представлением Ад.
Теорема 5 (уточнение теоремы 3). Пусть в указанных в теореме 3 обозначениях и условиях неприводимое представление Ад группы О* индуцировано одномерным представлением некоторой нормальной подгруппы В в О*. Тогда существует такое разложение группы О = Б\ х В2, где Б\ и В2 — изоморфные подгруппы порядка п в группе О, что подгруппа В группы О* является полным прообразом прямого множителя Б\ при естественном эпиморфизме О* — О.
Верно и обратное: по абелевой группе симметрического типа с заданным на ней точным неприводимым проективным представлением можно построить алгебры Хопфа.
Теорема 6. Пусть О — абелева группа симметрического типа с разложением (3) и точным неприводимым проективным представлением ф вида (4). Тогда на векторном пространстве Н = <Эдеакед ® М&1(п,к)Е при помощи отображений, описанных в формулировке теоремы 1, корректно задаются алгебры Хопфа для нечетного п с V = Е и для четного п с V = Е и V = 5.
Доказательство. По теореме 1.13 статьи [5] необходимо и достаточно доказать, что существует матрица Л £ СЬ(п, к), симметрическая в случае V = Е и кососимметрическая в случае V = 5, такая, что для всех д,Н £ О в группе РСЬ(п,к) выполняется равенство
[ф(д), Л гф(Ъ)Л-1 ] = 1. (5)
Докажем это утверждение индукцией по количеству гиперболических подгрупп Кг в разложении группы О = Кг х ... х Кт. Действительно, для О = (а)п х (Ь)п при V = Е достаточно взять матрицу Л = Е. В случае если п четно и V = 5, в качестве Л можно взять матрицу Спиридоновой
Л
/ 0 0
0 1 \-1...
... 1 \
-1 0
0 0
на диагонали которой чередуются элементы 1 и -1.
Пусть теперь О — произвольная абелева группа симметрического типа и О = Кг х ... х Кт — ее разложение в прямое произведение гиперболических подгрупп. Тогда по предположению индукции для группы О2 = К2 х ... х Кт и ее проективного представления ф2 вида (4) размерности п2 найдется матрица Л2 € СЬ(п2,к), такая, что для всех д,Н £ О2 выполняется равенство [ф2(д), Л2 1ф2(Н)Л-1 ] = 1.
Пусть фг — проективное представление группы Кг = (а)п1 х (Ь) размерности пг. Тогда оно имеет вид (2). Обозначим через ф2 проективное представление группы О2 = К2 х ... х Кт, построенное по индукции. Построив точное неприводимое проективное представление ф = фг 0 ф2 группы О и взяв
/Л2 ... 0 \
матрицу Л = Еп1 0 Л2 = I ......... I , получим требуемое соотношение (5) для группы О. Теорема
\ 0 ...Л2/
доказана.
Таким образом, любая алгебра Хопфа из теоремы 1 определяется с точностью до изоморфизма представлениями ф вида (4).
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 09-01-00058.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артамонов В.А. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Матем. сб. 2007. 198, № 9. 3-28.
2. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Dual algebras of some semisimple finite dimensional Hopf algebras // Modules and Comodules Trends in Mathematics. Basel (Switzerland): Birkhauser-Verlag, 2008. 65-85.
3. Мухатов Р.Б. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, № 2. 133-143.
4. Жмудь Е.М. Симплектические геометрии и проективные представления конечных абелевых групп // Матем. сб. 1972. 87(129), № 1. 3-17.
5. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Properties of some semisimple Hopf algebras // Contemp. Math. Vol. 483. Algebras, representations and applications. A conference in honour of Ivan Shestakov's 60th birthday, August 26 — September 1, 2007, Maresias (Brazil) / Ed. by V. Futorny, V. Kac, I. Kashuba and E. Zelmanov; Amer. Math. Soc. Providence, 2009. 23-36.
Поступила в редакцию 07.10.2009
УДК 512.554.35+512.554.37+512.62+512.643.2:517.41+517.925.53
ВРОНСКИАН ДИФФЕРЕНЦИРОВЛНИЙ Г. А. Погудин1
Указанный в работе ассоциативный полилинейный полином от 16 переменных, из которых 12 косокоммутативны, позволяет по любому двумерному гладкому инволютивному распределению на неприводимом аффинном алгебраическом многообразии восстанавливать алгебру регулярных функций на нем.
Ключевые слова: дифференцирование, алгебраическое многообразие, вронскиан, ин-волютивное распределение, гладкое распределение, восстанавливающий полином, стандартный полином, алгебра Ли.
An associative multilinear polynomial depending on 16 variables and being skew-symmetric with respect to 12 of them is presented. This polynomial provides us with a mapping recovering the algebra of regular functions of an irreducible affine variety from any smooth involutive distribution of dimension 2.
Key words: derivation, algebraic variety, Wronskian, involutive distribution, smooth distribution, recovery polynomial, standard polynomial, Lie algebra.
Обозначим через Wn алгебру Ли всех дифференцирований алгебры многочленов En = K[х1,... ,хп].
В работах [1-3] установлено существование ассоциативного полилинейного полинома
/ : ad Wn ®... ® ad Wn End KWn (s = s(n)), s раз
для которого образ отображения совпадает с подалгеброй En ■ 1 С End £n Wn С End к Wn.
В монографии [2, теорема 42.3] отмечено, что каждое такое ненулевое полиномиальное отображение позволяет восстанавливать произвольную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей без делителей нуля по любому гладкому n-мерному инволютивному распределению на неприводимом аффинном алгебраическом многообразии.
В работе [1] для стандартного полинома третьей степени
St3 (21,22 ,z3) d=f Y Sign,(^)zCT(1) za(2) Za(3) ^eSs
1 Погудин Глеб Александрович — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pogudin.gleb@gmail.com.
