Редуктивные и геометрически редуктивные супергруппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 1. С. 6-11.

УДК 512.54 А.Н. Зубков

РЕДУКТИВНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ РЕДУКТИВНЫЕ СУПЕРГРУППЫ*

Вводятся понятия редуктивной и геометрически редуктивной супергрупп. Доказано, что геометрическая редуктивность алгебрической супергруппы эквивалентна геометрической редуктивности ее наибольшей четной суперподгруппы. Показано, что в отличие от классической теоремы Хабоуша - Ватерхауза об алгебраических группах эти два понятия не эквивалентны даже в классе связных редуцированных супергрупп. Более точно, геометрическая редуктивность «почти» влечет редуктивность, но обратное неверно. Именно для любой триангулируемой алгебраической группы О строится редуктивная супергруппа О, такая, что Сеу изоморфна О. Последнее условие означает, что О не является геометрически редуктивной супергруппой, более того, О разрешима.

Ключевые слова: супергруппа, редуктивность, геометрическая редуктивность.

1. Необходимые сведения и результаты

Пусть К - произвольное поле нулевой или нечетной характеристики. Категорию суперкоммутативньх К-супералгебр обозначим через ЭА^К). Более точно, супералгебра А является объектом категории 8А^(К), если она удовлетворяет тождеству суперкоммутативности

аЬ = (-1)|а||Ь|Ьа.

Представимый функтор из категории 8А^(К) в категорию групп называется аффинной супергруппой. Если О - аффинная супергруппа, представленная супералгеброй А, то мы будем обозначать О через 88рА. Наличие групповой структуры эквивалентно тому, что А является супералгеброй Хопфа. Супералгебра А называется координатной супералгеброй супергруппы О и обозначается К[О].

Коумножение, коединица и антипод в А обозначаются ДЛ, еА и соответственно.

Мы используем стандартные обозначения:

Д(а) = 2 а1 ® а2, (Д®idA) ДЛ (а) = ^Л®Д)ДЛ(а) = 2 а1 ®а2®а3, а е А.

Замкнутая суперподгруппа Н в О однозначно определяется суперидеалом Хопфа 1(Н) в А = К[О], т. е. h е О(В) = Нот5л;аК(А, В) лежит в Н(В) тогда и только тогда, когда ЬЩН))=0. Суперподгруппа Н нормальна в О, если для любой супералгебры В е ЭА^(К) подгруппа Н(В) нормальна в О(В). В терминах супералгебр Хопфа это означает, что гомоморфизм супералгебр ц: А ^ А®А, определенный по правилу

а ^ £ (-1)|а1||я2|а2 ® а1 8(а3), а е А, отображает 1(Н) в 1(Н) ®А.

Аффинная супергруппа О называется алгебраической, если ее координатная супералгебра К[О] конечно порождена. Наконец, О называется чисто четной супергруппой, если ^[С]1 = 0, т. е. К[О] - обычная (коммутативная) алгебра Хопфа. В этом случае О можно отождествить с аффинной групповой схемой ЭрК[О] = ЭрА. Очевидно, что полная подкатегория категории аффинных супергрупп, состоящая из чисто четных супергрупп, изоморфна категории аффинных групповых схем. Всюду далее аффинные групповые схемы будут называться просто группами (соответственно - алгебраическими группами) и обозначаться обычными латинскими буквами О, Н, ... .

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда, проект 01-11-10002, разделы 1-2, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект №16-01-00577а, раздел 3.

© Зубков А.Н., 2017

Всякая (аффинная) супергруппа G содержит наибольшую чисто четную суперподгруппу Gev, определенную суперидеалом Хопфа ^G^G^.

Более подробную информацию о супергруппах и их представлениях читатель может найти в [ 1-4].

Пусть G - аффинная супергруппа и H -ее суперподгруппа. Пополнение функтора B ^ G(B)/H(B) в топологии строго плоских накрытий (f- coverings) обозначается через G/H и называется жестким фактором G по H (dur K-sheafquotient). Пополнение того же функтора в топологии строго плоских и конечно представленных накрытий (fppf-coverings) будем обозначать G/H и называть фактором G по H (K-sheafquotient). В [5] показано, что если G - алгебраическая супергруппа, то фактор G /H является нетеровой суперсхемой. В общем случае G/H - под-функтор в G/H. Однако если G - алгебраическая супергруппа и G/H - аффинная суперсхема (это верно, например, когда H нормальна в G), то G/H = GffH.

Если H - нормальная подгруппа в G и L -подгруппа в G, то суперподгруппа LH может быть определена как полный прообраз образа L в GG/H либо как пополнение группового подфунктора B ^ L(B)\H(B), B е SAlgK в топологии строго плоских накрытий (см.: [3], § 7).

Аффинная супергруппа G называется унипотентной, если произвольный простой G-супермодуль одномерен и тривиален, т. е. изоморфен либо K, либо его нечетному сдвигу nK. Следующее предложение доказано в [6], лемма 2.2. Мы приведем другое доказательство, не использующее понятие корадикала.

Предложение 1.1. Любая супергруппа H содержит наибольшую нормальную унипо-тентную суперподгруппу.

Доказательство. Унипотентность аффинной супергруппы H эквивалентна тому, что в любом нетривиальном H-супермодуле V инвариантное суперподпространство VH тоже нетривиально. Поскольку V локально конечномерен, а коэффициентное суперпространство конечномерного H-супермодуля содержится в конечнопорожденной суперподалгебре Хопфа супералгебры K[H], мы видим, что H унипотентна тогда и только тогда, когда унипотентны все ее алгебраические факторы H/N (см. теорему 6.1 в [3]).

С другой стороны, H является проективным пределом таких факторов. На языке супералгебр Хопфа это просто означает, что K[H] - индуктивный предел своих конечнопо-рожденных суперподалгебр Хопфа.

По следствию 3.1 и лемме 3.2 из [4] H унипотентна тогда и только тогда, когда для произвольной нормальной суперподгруппы R в H унипотентны R и H/R. Действительно, R и H/R являются проективными пределами

факторов ЯЫ/Ы и Н/ЯЫ = -/ЛЫ/Ы соответственно. В частности, по предложению 7.1 из [3] произведение двух нормальных унипо-тентных суперподгрупп в в снова нормальная унипотентная суперподгруппа.

Остается показать, что любая цепь (упорядоченных по включению) нормальных уни-потентных суперподгрупп имеет верхнюю грань и применить лемму Цорна.

Пусть {На}аеЛ - такая цепь. Нетрудно видеть, что ПаеЛ 1-а - суперидеал Хопфа, который определяет нормальную суперподгруппу Н, являющуюся замыканием в топологии За-рисского объединения иаеЛ На.

Предположим теперь, что V - конечномерный Н-супермодуль. Тогда суперподпространства На = УНа Ф 0 (линейно) упорядочены по включению так, что если На < Нр, то Ур лежит в Уа. Очевидно, что для любого Уа минимальной размерности выполняется

V = пввл Vp = V". В частности, Vм ф 0. Предло-

размерности

'рвл ~ 1/1 жение доказано.

Наибольшую нормальную унипотентную суперподгруппу в в будем, как обычно, называть унипотентным радикалом супергруппы в и обозначать Си.

Пусть G - алгебраическая группа и V- конечномерный (правый) в-модуль. Алгебра Ли Ые(в имеет структуру в-модуля относительно присоединенного действия. Кроме того, действие в индуцирует на V структуру Ые^-модуля. Пара (в, V) называется парой Хариш-Чандры, если существует симметрическое, билинейное, в-эквивариантное отображение [ , ] : V х V ^ Ые(в такое, что и[и, и] = 0 для всех и е V. Например, пусть в - алгебраическая супергруппа. Положим в = веу, Ь = Уе(О), V = 11. Тогда (в, V) имеет каноническую структуру пары Хариш-Чандры относительно присоединенного действия в на Ь и лиевой скобки [ , ].

Пары Хариш-Чандры образуют категорию с морфизмами (ф, ф): (в, V) ^ (Н, Щ, где ф : в ^ Н - гомоморфизм алгебраических групп, у : V ^ Ш - гомоморфизм в-модулей (Ш имеет естественную структуру в-модуля, индуцированную гомоморфизмом ф), коммутирующий с отображением [ , ].

Следующая теорема была доказана в [1]. Ниже приведен ее модифицированный вариант (см. [6]).

Теорема 1.1.Определенный выше функтор в ^ (в, V), в = Сеу, V= Ь1 является эквивалентностью категории алгебраических супергрупп и категории пар Хариш-Чандры.

2. Геометрически редуктивные супергруппы

Понятие геометрической редуктивности в классе (аффинных) супергрупп может быть определено различными способами. Первое определение является калькой со стандарт-

ного определения в классе аффинных групповых схем (см.: [7; 8]). Будем говорить, что супергруппа О четно геометрически редук-тивна, если для произвольного бт-супермо-дуля V и произвольного эпиморфизма О-су-пермодулей ф : V ^ К найдется целое положительное число г и элемент / е 5Г(7)С, такие, что индуцированный эпиморфизм Бг (ф) : ^

^ БГ(К) = К отображает /в ненулевой скаляр. Если в этом определении заменить тривиальный (четный) О-супермодуль К на тривиальный <5-супермодуль к1^1 = К + ПК, то в этом случае мы будем называть О геометрически редуктивной супергруппой. Отметим, что для произвольного г > 0 компонента БГ(К + + ПК) = Бг (К) + 5Г-1(К) ПК изоморфна К + ПК.

Поскольку любой О-супермодуль локально конечен, геометрическую (соответственно четно геометрическую) редуктив-ность супергруппы О достаточно проверять для конечномерных супермодулей. Кроме того, элемент / если он существует, всегда может быть выбран однородным.

Лемма 2.1. Геометрическая редуктив-ность эквивалентна четной геометрической редуктивности.

Доказательство. Очевидно, что четная геометрическая редуктивность влечет геометрическую редуктивность. Действительно, для каждого эпиморфизма <5-супермодулей ф : V ^ К + ПК обозначим ^-1(К) через Ш. Тогда для подходящего г мы находим /е из БГУС со свойством 5г(ф)(А е 5Г(К) \ 0. Обратно, для ф : V ^ К определим эпиморфизм V = ф + Пф : и = V + ПV ^ К + ПК.

Пусть снова Ш = ф_1(К). Ясно, что тогда Ш = V + Пкег(ф) и найдется (нечетный) элемент у е ПVтакой, что ПV = Пкег(ф) + Ку. Так как О геометрически редуктивна, найдется г > 0 и однородный инвариант /е Бг(ис), такой, что Бг(ц!)/ Ф 0. Легко видеть, что

Бг(и = 5Г(Ш) + Бг~1(Щу и Бг(ц>) отображает Бг(Ш) и Бг(Ш)у в БГ(К) и Бг-1(К)^(у) соответственно. Более того, Бг (Ш) является <5-супер-подмодулем в 5Г(Ц), фактор Бг (и)/5г(Ж) изоморфен П5Г(Ш), а Бг(ц>) индуцирует эпиморфизм О-супермодулей 5г(и)/5г(Ж) ^ ^ Бг-1(Щц>(у) = П5Г-1(К), который может быть отождествлен с П5г-1(у) : П5Г-1(Ш) ^ П5Г-1(К).

Если / не принадлежит БГ(Ш) иг > 1, то образ / в БГ(Ц/БГ(Ш) с точностью до изменения четности на противоположную отождествляется с некоторым инвариантом / е Бг-1(Ш)е, таким, что 5г-1(ф)(/ Ф 0.

Теперь остается лишь заметить, что Бг-2( Ш)(Пкег(ф)) принадлежит кег£г-1(у) и 5Г-1(Ш)/5Г-2(Ш)(П кег(ф)) ^5Г-1(У).

Случай / е Бг(Ш) аналогичен уже разобранному. Наконец, случай г = 1 тривиален, мы оставляем его проверку читателю. Лемма доказана.

По лемме 2.1 оба определения редуктив-ности равносильны друг другу, поэтому в

дальнейшем мы будем использовать только термин геометрическая редуктивность.

Как обычно, если для любого супермодуля V число r может быть выбрано равным 1, то G называется линейно редуктивной. Отметим, что если супергруппа G чисто четная, т. е. G = Gev, то она геометрически ре-дуктивна как супергруппа в том и только в том случае, когда она геометрически редук-тивна как аффинная группа.

Лемма 2.2. Супергруппа G геометрически редуктивна тогда и только тогда, когда геометрически редуктивны все ее алгебраические факторы G/N.

Доказательство. В одну сторону утверждение следует из того, что если мы имеем эпиморфизм супергрупп G ^ H, то из геометрической редуктивности G следует геометрическая редуктивность H. Действительно, в этом случае произвольный H-супермодуль имеет естественную структуру G-супермо-дуля.

Обратно, если мы имеем эпиморфизм G-супермодулей V ^ K и V конечномерен, то его коэффициентное суперпространство c j(V конечномерно, а значит, лежит в конеч-нопорожденной подсупералгебре Хопфа В, принадлежащей K[G]. Другими словами, V является G /^-супермодулем, а его структура G-супермодуля факторизуется через эпиморфизм G ^ G/N = SSpecR Лемма доказана.

Таким образом, понятие геометрической редуктивности достаточно изучать только в классе алгебраических супергрупп. В дальнейшем, если не оговорено противное, все супергруппы алгебраические.

Пусть дан эпиморфизм G-супермодулей ф : V ^ K. Определим четное дифференцирование Dv супералгебры S(V) по правилу Dv(V) = ф(у), v е V. Очевидно, что Dv коммутирует с действием супергруппы G.

Доказательство следующей леммы легко получается индукцией по параметру i, 0 < i < r (см.: [7, с. 66]).

Лемма 2.3. Имеет место формула Б^(фЩ = (г.)Бг(ф).

В частности, если char K = 0, то супергруппа G геометрически редуктивна тогда и только тогда, когда она линейно редуктивна. Действительно, если j е Sr(VG) удовлетворяет условию Sr(^)(j * 0, то для j = D^j) е ^выполняется ф(f) * 0.

Если char K = p > 0 и r - минимальная степень, для которой существует инвариант jе Sr(V) со свойством Sr(^)(j * 0, то все биномиальные коэффициенты ф, 1 < i < r - 1, должны быть равны нулю. Последнее выполняется только в том случае, когда r = рп.

Теорема 2.1. Пусть H - суперподгруппа в G. Если G геометрически редуктивна и функтор тйц точен, то супергруппа H тоже геометрически редуктивна.

Доказательство. Дословное повторение доказательства теоремы 2.2 из [7].

Следствие 2.1. Если G/H - аффинная суперсхема, то геометрическая редуктив-ность G влечет геометрическую редуктив-ность H. В частности, это верно в том случае, когда H - нормальная суперподгруппа.

Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы 5.2 из [3], а второе из теоремы 6.2 из [3].

Следствие 2.2. Если G геометрически редуктивна, то Gev тоже геометрически ре-дуктивна.

Доказательство. Из критерия аффинности (см.: [5], следствие 8.15) легко следует, что G/ Ge v - аффинная суперсхема.

Теорема 2.2. Пусть H - нормальная суперподгруппа супергруппы G. Тогда G геометрически редуктивна в том и только в том случае, когда геометрически редуктивны H и G / H.

Доказательство. В одну сторону теорема уже доказана. В обратную сторону доказательство дословно то же самое, что и доказательство теоремы 2.3 в [7].

Заметим, что, как и в случае аффинных групповых схем, линейная редуктивность супергруппы G эквивалентна тому, что суперподмодуль W произвольного G-супермодуля У(супер)коразмерности 11 0 выделяется прямым слагаемым. Отсюда легко выводится, что категория G-супермодулей полупроста (см.: [7, с. 68]). Если дополнительно char K = 0, то алгебраические супергруппы с таким свойством были полностью описаны Вейссауэром в [9].

Теорема 2.3. Пусть char K = p > 0 и K -совершенное поле. Супергруппа G геометрически редуктивна тогда и только тогда, когда геометрически редуктивна ее наибольшая четная суперподгруппа Ge v.

Доказательство. В одну сторону теорема уже доказана. Обратно, пусть Gev геометрически редуктивна. Рассмотрим первую суперподгруппу Фробениуса G1. Поскольку G/G1 - чисто четная супергруппа, предложение 9.3 из [5] гарантирует нам, что индуцированный морфизм Gev ^ G/G1 является эпиморфизмом. В частности, G/G-lгеометрически редуктивна. Остается показать, что произвольная (конечная) инфинитезимальная супергруппа высоты 1 является геометрически редуктивной.

Пусть G - такая супергруппа и V - конечномерный G-супермодуль. Для произвольного вектора v е V\ 0 можно записать tv(v) в виде v01 + Zv1 ® f2, где f2 е ft"[G] + . Поскольку (,K"[G]+)p = 0, мы имеем tsp(V)(vp) = Tv(v)p = = vp01, т. е. vpeSp(V)G.

В частности, если эпиморфизм G-супер-модулей ф : V ^ K отображает v в ненулевой скаляр, то Sp(^)(vp) = p(v)p Ф 0. Теорема дока-

Замечание 2.1. Отметим, что аналогичная теорема была доказана Р. Вейссауэром и в случае (алгебраически замкнутого) поля нулевой характеристики (см.: [9], теорема 2).

3. Редуктивность и геометрическая редуктивность

Везде далее предполагается, что основное поле K совершенно.

Будем говорить, что алгебраическая супергруппа G = SpA редуцирована, если таковой является аффинная алгебраическая групповая схема Ge v. Другими словами, G редуцирована, если нильпотентный радикал nilA супералгебры A совпадает с AA1. Образ элемента a е A в фактор-алгебре A' = = A/AA1 обозначим через a'.

Если char K = 0, то по теореме 11.4 из [10] любая супергруппа редуцирована.

Лемма 3.1. Если R - нормальная суперподгруппа в редуцированной супергруппе G, то G/R тоже редуцирована.

Доказательство. По предложению 9.3 из [5] (G/R)ev изоморфна Gev/Rev. Поэтому лемму достаточно доказать для алгебраических групп. Однако если A - коммутативная алгебра Хопфа с нулевым радикалом, то для произвольной подалгебры Хопфа B верно включение AnilB в nilA = 0. Лемма доказана.

Супергруппу G будем называть редук-тивной, если (Gu)° =1, т. е. Gu - конечная этальная (чисто четная) супергруппа. Если же Gu =1, то мы будем называть G строго ре-дуктивной супергруппой. Заметим, что в том случае, когда char K = 0, строгая редуктивность эквивалентна редуктивности (см.: [10], теорема 8.5).

В категории алгебраических групп (над совершенным полем произвольной, в том числе и нулевой, характеристики) хорошо известна следующая теорема Хабоуша -Вотерхауза (см. [11; 12]). Алгебраическая группа G геометрически редуктивна тогда и только тогда, когда редуктивна подгруппа (G°)red = G°ed. Здесь Gred - это наибольшая редуцированная подгруппа в G. Поскольку поле K совершенно, то нетрудно показать, что нильрадикал nilK[G] является идеалом Хопфа, т. е. K[Gred] = K[G]/nilK[G].

Возникает естественный вопрос: не переносится ли теорема Хабоуша - Вотерхауза на (алгебраические) супергруппы? Другими словами, не являются ли свойства редуктивности и геометрической редуктивности эквивалентными в классе связных редуцированных супергрупп?

Отметим, что если связная редуцированная супергруппа G геометрически редук-тивна, то (Gu)ev = 1. То есть Gu - конечная и чисто нечетная супергруппа. По предложению 3.7 из [6] Gu изоморфна прямому произведению нескольких копий нечетной унипо-тентной супергруппы G-. То есть геометриче-

кая редуктивность влечет строгую редуктив-ность по крайней мере в том случае, когда G не содержит нормальных, чисто нечетных суперподгрупп. Естественно возникает вопрос: не влечет ли строгая редуктивность геометрическую?

Если char K = 0, то ответ отрицательный. Действительно, пусть супералгебра Ли L(G) полупроста. Поскольку Gu - разрешимая супергруппа, L(GU) - разрешимый суперидеал в L(G). В частности, L(GU) = 0, а значит, Gu = (&и)0 = 1. С другой стороны, далеко не всякая такая супергруппа G линейно редук-тивна. Достаточно потребовать, чтобы L(G) была бы простой супералгеброй Ли, не изоморфной ортосимплектической супералгебре типа BCr,r > 0 (см.: [9], теорема 2 и замечание перед ней).

Еще более экзотический контрпример, также над полем нулевой характеристики, был найден в работе [ 13]. Была построена ме-табелева (!) строго редуктивная супергруппа H, в которой четная суперподгруппа имеет нетривиальный связный унипотентный радикал. По замечанию 2.1 супергруппа H не может быть линейно редуктивной.

Ниже мы построим серию примеров строго редуктивных (связных и редуцированных) супергрупп над полем произвольной характеристики, у которых наибольшая четная суперподгруппа является прямым произведением унипотентной группы и тора. Идея этих примеров взята из [6].

Пусть супергруппа G представлена парой Хариш-Чандры (G, V). Для произвольной подгруппы S в G обозначим через Vs наименьший S-подмодуль в V с тем свойством, что V/Vs - тривиальный S-модуль. Если G связна и S нормальна, то Vs = Dist(S)+V - G-подмодуль (см., например, лемму 8.1 в [14]).

Лемма 3.2. Связная супергруппа G строго редуктивна (соответственно, редук-тивна) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. Для произвольной нетривиальной (соответственно, связной нетривиальной) уни-потентной нормальной подгруппы S в G подпространство [V, Vs ] не содержится целиком в Lie(S).

2. Не существует нетривиальных G-под-модулей W в V, со свойством [V, W] = 0.

Доказательство. Если H - суперподгруппа в G, представленная парой (S, W), тогда H нормальна в том и только в том случае, когда S нормальна в G, W - G-подмодуль в V такой, что Vs - подпространство в W и [V, W] лежит в Lie(S) (см.: [6], лемма 3.5). В частности, [V, Vs ] - подмножество в Lie(S).

Кроме того, как было доказано в [1; 15], H - (связная) унипотентная супергруппа тогда и только тогда, когда S такая же.

Из этих двух замечаний легко следует наша лемма. Например, пусть найдется нетривиальная унипотентная S, нормальная в

G и с тем свойством, что [V, Vs] лежит в Lie(S). Тогда, так как Vs - G-подмодуль, мы получаем, что (S, Vs) - пара Хариш-Чандры, соответствующая (нетривиальной) нормальной унипотентной суперподгруппе в G.

Аналогично, если [V, W] = 0 для некоторого ненулевого G-подмодуля W, то такой же будет пара Хариш-Чандры (1, W). Это доказывает необходимость условий 1 и 2. Доказательство достаточности аналогично, и мы оставляем его читателю.

Пусть R - связная матричная унипотент-ная группа, T - тор. Предположим, что V -точный R-модуль. Рассмотрим присоединенное действие R на пространстве U = EndK (V). Выберем ненулевой элемент y е Lie(T) и определим симметрическое билинейное отображение U х U ^ Lie(R х T) = Lie(R) + Lie(T по правилу: [u, u] = tr(uu')y, u, u' е U. Легко видеть, что если T действует на U тривиальным образом, то (R х T, U) - пара Хариш-Чандры. Обозначим соответствующую ей супергруппу через G.

Предложение 3.1. Супергруппа G строго редуктивна и, кроме того, разрешима.

Доказательство. Пусть S - унипотентная подгруппа в R х T. Так как Lie(S) П Lie(T) = 0, включение [U, Us] в Lie(S) эквивалентно равенству [U, Us] = 0. В силу невырожденности следа, Us = 0. Другими словами, S коммутирует со всеми операторами из U, т. е. S = 1 .

Второе условие леммы 2.3 выполняется из-за той же невырожденности следа.

Для доказательства второго утверждения достаточно сослаться на следствие 6.4 из [6] (см. также комментарий после теоремы 11.6 в [9]). Предложение доказано.

По теореме 2.3 и теореме Вейссауэра G не является геометрически редуктивной супергруппой. Таким образом, в категории связных редуцированных супергрупп даже свойство строгой редуктивности значительно слабее свойства геометрической ре-дуктивности.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Masuoka A. Harish-Chandra pairs for algebraic affine supergroup schemes over an arbitrary field // Transform. Groups. 2012. Vol. 17. P. 1085-1121.

[2] Masuoka A. The fundamental correspondence in super affine groups and super formal groups // J. Pure Appl. Algebra. 2005. Vol. 202. P. 284-312.

[3] Zubkov A. N. Affine quotients of supergroups // Transform. Groups. 2009. Vol. 14. P. 713-745.

[4] Zubkov A. N. On quotients of affine superschemes over finite supergroups // J. Algebra and its Appl. 2011. Vol. 10. P. 391-408.

[5] Masuoka A., Zubkov A. N. Quotient sheaves of algebraic supergroups are superschemes // J. Algebra. 2011. Vol. 348. P. 135-170.

[6] Masuoka A., Zubkov A. N. Solvability and nilpo-tency for algebraic supergroups // arXiv: 1502.0702.

[7] Borsari H., Santos W.F. Geometrically reductive Hopf algebras // J. Algebra. 1992. Vol. 152. P. 6577.

[8] Springer T. A. Invariant theory // Lect. Notes in Math. Vol. 585.

[9] Weissauer R. Semisimple algebraic tensor categories // arXiv : 0909.1793.

[10] Waterhouse W. C. Introduction to affine group schemes. N. Y.: Springer-Verlag, 1979.

[11] Haboush W. Reductive groups are geometrically reductive // Annals of Math. 1975. Vol. 102. P. 6783.

[12] Waterhouse W. C., William C. Geometrically reductive affine group schemes // Arch. Math. (Basel). 1994. Vol. 62. P. 306-307.

[13] Grishkov A. N., Zubkov A. N. Solvable, reductive and quasi-reductive supergroups // arXiv: 1302.5648.

[14] Zubkov A. N. GL(m|n)-supermodules with good and Weyl filtrations // Journal of Pure and Applied Algebra. 2015. Vol. 219. P. 5259-5279.

[15] Zubkov A. N., Ulyashev P. A. Разрешимые и уни-потентные супергруппы // Алгебра и логика. 2014. Т. 53, № 3. С. 323-339, 419, 422.