Централизатор элементарной подгруппы в изотропной редуктивной группе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.74

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 1

ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ПОДГРУППЫ В ИЗОТРОПНОЙ РЕДУКТИВНОЙ ГРУППЕ*

Е. А. Куликова1, А. К. Ставрова2

1. РГПУ им. А. И. Герцена,

канд. физ.-мат. наук, sopkina@yandex.ru

2. С.-Петербургский гос. университет, Университет Дуйсбург-Эссена, Германия, канд. физ.-мат. наук, a_stavrova@mail.ru

1. Введение. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и пусть G — изотропная редуктивная алгебраическая группа над R. В работе [5] В.А.Петров и второй автор ввели понятие элементарной подгруппы E(R) в группе точек G(R). Это определение группы E(R) обобщает известное определение элементарной подгруппы группы Шевалле (или расщепимой редуктивной группы) и одновременно несколько других определений элементарной подгруппы для изотропных классических групп и простых групп над полями, см. ссылки в [5].

Напомним эту конструкцию. Предположим, что G изотропна в следующем строгом смысле: она содержит параболическую подгруппу, имеющую собственное пересечение с любой полупростой нормальной подгруппой группы G. Такая параболическая подгруппа P называется строго собственной. Обозначим через Ep (R) подгруппу группы G(R), порожденную R-точками унипотентных радикалов подгруппы P и противоположной параболической подгруппы P-. Основная теорема статьи [5] утверждает, что группа Ep(R) не зависит от выбора подгруппы P при условии, что для любого максимального идеала M кольца R все неприводимые компоненты относительной системы корней группы Grm (см. определение в [3, Exp. XXVI, §7]) имеют ранг > 2. При этом предположении мы будем называть Ep(R) элементарной подгруппой группы G(R) и обозначать ее просто E(R).

При описанных выше предположениях подгруппа E(R) нормальна в G(R). Кроме того, группа E(R) совершенна при некоторых естественных предположениях о кольце R (см. работу [1] А. Ю. Лузгарева и второго автора). В настоящей работе мы разовьем эту тему и докажем, что централизатор Cg(r)(E(R)) подгруппы E(R) в группе G(R) совпадает с группой R-точек схемного центра Cent(G) (определение см. в [3, Exp. I 2.3]). Из этого следует, что обе эти группы совпадают также с теоретико-групповым (абстрактным) центром группы G(R), который мы обозначаем через C(G(R)). Наш результат распространяет соответствующую теорему Э. Абе и Дж. Херли для групп Шевалле [2] на случай изотропных групп (См. также формулировку для расщепимых редуктивных групп [7, Lemma 2]).

Теорема 1. Пусть G — изотропная редуктивная алгебраическая группа над коммутативным кольцом R, содержащая строго собственную параболическую подгруппу P. Предположим, что для каждого максимального идеала M кольца R все неприводимые компоненты относительной системы корней Grm имеют ранг не меньше 2. Тогда Cg{r)(E(R)) = Cent(G)(R) = C(G(R)).

^Работа выполнена при финансовой поддержке: 1 — РФФИ (грант №08-01-00756); 2 — РФФИ (гранты №12-01-31100, 10-01-90016, 09-01-00878, 09-01-90304) и DFG SFB/TR 45).

© Е. А. Куликова, А. К. Ставрова, 2013

Формулировка этой теоремы вызывает естественный вопрос: справедлива ли то же утвеждение для подгруппы Ep (R) вместо E(R), если не предполагать, что локальный относительный ранг не меньше 2. Мы ожидаем, что ответ положительный, кроме нескольких естественных исключений, аналогичных исключению PGL2, описанному в статье [2]. Мы планируем вернуться к этому вопросу в следующих работах.

Авторы выражают самую глубокую признательность своему научному руководителю Николаю Александровичу Вавилову.

2. Основные обозначения и редукционные леммы. На протяжении настоящей статьи мы будем использовать те же обозначения и соглашения, что и в работах [1] и [5]. В частности, G будет везде обозначать изотропную редуктивную группу над коммутативным кольцом R. Кроме того, мы будем обозначать через P = P + некоторую собственную параболическую подгруппу в G, через P- — некоторую противоположную параболическую подгруппу в G, через Lp = P n P- — их общую подгруппу Леви, через Up и Up - —их унипотентные радикалы. Мы также положим Qp = Up Lp Up - ; это главная открытая подсхема в G, изоморфная как схема прямому произведению Up х Lp х Up-, см. [3, Exp. XXVI, Remarque 4.3.6] и [4, p. 9].

Для параболической подгруппы P в G мы будем обозначать через Фp систему относительных корней относительно P (и Lp); она корректно определена и постоянна локально в топологии Зариского на SpecR [5, 1]. Кроме того, существует естественная сюръекция np : Ф ^ Фp, где Ф — абсолютная система корней G; эта сюръекция сохраняет сложение корней. Так как утверждение нашей теоремы можно проверять локально в топологии Зариского, мы будем систематически предполагать, что Фp и соответствующие корневые подсхемы Xa, A e Фp, определены над базой. Множества R-точек подсхем Xa находятся в биективном соответствии с элементами соответствующего конечно-порожденного проективного R-модуля VA; мы обозначаем их через Xa(v), v e Va. Напомним также (см. [5]), что любой относительный корень A e Фp можно представить в виде (единственной) линейной комбинации простых относительных корней. Уровень lev(A) относительного корня A есть сумма коэффициентов в этом разложении.

Следующую очевидную лемму мы приводим для полноты изложения. Совместно с леммой 2 они является основными техническим приемами, позволяющими по существу свести доказательство нашей основной теоремы к случаю групп над локальными кольцами.

Лемма 1. Пусть X = Spec A — аффинная схема над Y = SpecR, и пусть Z — ее замкнутая подсхема. Пусть g e X (R). Тогда g e Z (R) в том и только том случае, если g e Z(Rm) для каждого максимального идеала M кольца R.

Доказательство. Для любого R-модуля V естественное отображение V ^ П V ® Rm , где произведение пробегает все максимальные идеалы M кольца R, инъективно (см., например, [9, p. 104, Lemma]). Из того что g e Z (R) эквивалентно включению между соответствующими идеалами кольца A, которые являются R-модулями, следует утверждение леммы. □

Лемма 2. Пусть P — строго собственная параболическая подгруппа в группе G. Возьмем произвольный идеал M кольца R и произвольную строго собственную параболическую подгруппу P' группы Grm , содержащуюся в Prm . Тогда для любого относительного корня A e Фp/ найдется система образующих eAi (1 < i < па) Rm-модуля

Va такая, что для любого элемента g, лежащего в образе CentG(R)(Ep(R)) в группе G(Rm), выполнено соотношение [g,XA(eAi) \ = 1 для всех 1 < i < ha-

Доказательство. С самого начала будем считать, что мы перешли к рассмотрению компоненты связности спектра кольца R:

m

Spec(R) = Ц Spec(Ri), i=i

т.е., что параболическая подгруппа P отвечает относительной системе корней Фр и относительным корневым подсхемам. Поскольку для любого относительного корня B € Фр элемент Vb порождает Vb <8>r Rm как Rm.-модуль, для случая P' = Prm лемма выполнена.

Согласно [5, Lemma 12] для любой пары строго собственных параболических подгрупп Q < Q' редуктивной групповой схемы найдется такое к > 0, зависящее только от ранга Фд, что для любого относительного корня A € Фд и любого вектора v € Va найдутся относительные корни Bi,Cij € Фд/, векторы vi € Vb€, Uj € Vcij и натуральные числа ki,Hi,lij (1 < i < m, 1 < j < mj), удовлетворяющие равенству

mi

m П XCi, (r\ij Uij )

XA(Znkv) = n XBi (ZkinniVi)j=1 i=i

где £ и n — свободные переменные. Выберем Q = P', Q' = Prm , С = 1, и для каждого элемента v системы образующих Rm-модуля Va мы получим разложение

m

XA(nkv) = U Xb> (nnivi), i=i

для некоторых Bi € Фр, vi € VBi ® Rm и натуральных ni. Очевидно, для каждого vi найдется элемент si € R \ M такой, что sivi принадлежит VBi (строго говоря, образу VBi в VBi ® Rm при гомоморфизме локализации; здесь и далее мы позволяем себе такого рода вольность речи). Положим n = si ••• sm. Тогда XA(nkv) € Ep(R), и потому [g,XA(nkv)] = 1 для любого g € Centc(R)(Ep(R)). Таким образом, умножая элементы системы образующих модуля Va на подходящие обратимые элементы Rm , мы получаем новую систему образующих Va, централизуемых CeritG^R^(Ep(R)). □

Следующая лемма показывает, что если элемент централизует семейства образующих корневых подсхем (как в заключении предыдущей леммы), и лежит в продгруп-пе Леви, то он лежит в централизаторе элементарной подгруппы. Это, по существу, означает, что для доказательства основной теоремы достаточно показать принадлежность элемента теоретико-группового центра подгруппе Леви.

Лемма 3. Предположим, что элемент g € G(R) таков, что для любого относительного корня A € Фр найдется такая система образующих eAi, 1 < i < па, R-модуля Va, что [g,XA(eAi)] = 1 для всех i. Если g € Lp(R), то [g,Ep(R)] = 1.

Доказательство. Покажем, что [g,XA(VA)] = 0 для всех A € Фp убывающей индукцией по уровню корня A; случай A € Фp симметричен. Согласно [5, Th. 2] для

любого элемента g е Lp (S) и любого относительного корня A е Фр найдется множество таких однородных полиномиальных отображений ф1д А : Va ^ Vía , i > 1, что для каждого v е Va справедливо

gXA(v)g~l = П XÍa(Ú,a(V))-

í>1

Поскольку ф1д a — однородные отображения, из [g,XA(v)] = 1 для v е Va следует [g,XA(^v)\ = 1 для всех Л е R. Также согласно [5, Th. 2] найдется множество таких однородных полиномиальных отображений qA : Va х Va ^ Vía , i > 1, что

Xa(v)Xa(w) = Xa(v + w) П XíA(qA(v, w))

í>1

для всех v,w е Va. Предположим, что [g,XA(v)] = [g,XA(w)] = 1. Тогда

gXA(v + w)g-1 = gXA(v)XA(w)g-1 • g(n Xía(^a(v, w))) g-1 = 1,

í>1

поскольку по индукционному предположению g централизует Xía(Vía) для всех i > 0.

□

3. Сведение к подгруппе Леви над локальным кольцом. Следующая лемма основана на идеях, использовавшихся в [2, Lemma 1] и [2, Proposition 2] в случае расщепимых групп.

Лемма 4. Пусть R — локальное кольцо с максимальным идеалом M (в частности, R может быть полем). Предположим, что P — параболическая подгруппа группы G и гапкФр > 2. Предположим, что элемент g е G(R) таков, что для любого относительного корня A е Фр найдется такая система образующих eAí, 1 < i < па, R-модуля Va, что [g,XA(eAí)] = 1 для всех i. Тогда g е Up(M)Lp(R)Up-(M), где UP± (M) = (XA(MVA), A е Ф±).

Доказательство. Сначала рассмотрим случай поля. Нам необходимо показать, что g е Lp(R). Мы можем считать, что R алгебраически замкнуто без потери общности. Пусть Б± —противоположные борелевские подгруппы группы G, содержащиеся в P±, U± —унипотентные радикалы групп Б±, а T — их общий максимальный тор. Из разложения Брюа следует, что g = uhwv, где u е U +(R), h е T(R), w — представитель группы Вейля, v е Uw+ (R) = {x е U +(R) \ w(x) е U-(R)}, и такое представление единственно. Элемент w принадлежит Lp(R) в том и только том случае, если w равен произведению элементарных отражений wai для некоторых простых корней aí, принадлежащих системе корней группы Lp.

Предположим, что w е Lp. Тогда найдется такой простой корень а, не принадлежащий системе корней группы Lp, что w(a) < 0. Рассмотрим относительный корень A = np(а). По условиям леммы для него найдется система образующих и такой вектор са е Va из этой системы, что xa (£), где £ Ф 0, встречается в каноническом разложении элемента x = Xa(ca) в произведение элементарных корневых унипотентов из U +. Поскольку [g,x] = 1, имеем x(uhwv) = (uhwv)x. Самый правый множитель в разложении Брюа x(uhwv) = (xu)hwv равен v. В то же время, поскольку а — положительный корень минимальной высоты, самый правый множитель в разложении

Брюа (uhv)x в своем каноническом разложении содержит xa(n + £), если v содержит xa(n). Поэтому самый правый множитель не может быть равен v, противоречие.

Таким образом, мы имеем w € Lp (R). Тогда для любого x € Up (R) страведливо также wxw-1 € Up(R), отсюда по определению разложения Брюа v € Lp(R) n U +(R). Это значит, что

g = uhwv € U +(R)Lp(R) = Up(R)(U +(R) n Lp(R))Lp(R) = Up(R)Lp(R) = P(R)•

Симметричные рассуждения влекут g € P~(R), поэтому g € P(R) n P~(R) = Lp(R).

Теперь предположим, что R — произвольное локальное кольцо. Заметим, что если образ элемента g € G(R) при естественном гомоморфизме G(R) ^ G(R/M) лежит в Qp (R/M), то g € Qp (R). Как было показано выше, образ элемента g лежит в Lp(R/M). Так как ker(Up± (R) ^ Up± (R/M)) = Up± (M), имеем g € UP(M)LP(R)UP-(M). Лемма доказана. □

В дальнейшем нам потребуется следующая техническая лемма.

Лемма 5. Пусть R — произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим такую пару непропорциональных относительных корней A,B € Фp, что A + B € Фp. Предположим сверх того, что A - B € Фp, или что неприводимая компонента абсолютной системы корней группы G, образу которой при np принадлежат A, B, не имеет кратных связей. Возьмем ненулевой вектор u € Vb . Тогда любая система образующих ei,^^,en R-модуля Va содержит такой элемент ei, что NABii(ei,u) Ф 0.

Доказательство. Предположим, что NABii(ei,u) = 0 для всех 1 < i < п. Рассмотрим аффинное fpqc-покрытие Ц SpecST ^ SpecR, которое расщепляет G. Найдется такой элемент ST = S этого покрытия, что образ Xb (u) при отображении G(R) ^ G(S) нетривиален. Запишем

xb(u)= П xe(ав^ П xe(ce),

пр(e)=B i>2 пр(e)=iB

где xp —корневые подгруппы расщепимой группы Gs, ар € S. Поскольку Xb (u) Ф 0, из конструкции Xb (см. [5, Theorem 2]) следует, что существуют ар Ф 0. Обозначим через во € n—i(B) корень минимальной высоты с таким свойством. Согласно [5, Lemma 4] найдется такой корень а € n—i(A), что а + во € Ф. Выберем такой вектор

v € Va ®r S, что Xa(v) = xa(1) П П xY(dY) для некоторых dY € S. Тогда из

i>2 пр (j)=iA

(обычной) коммутационной формулы Шевалле следует, что [Xa(v),Xb (u)] содержит в своем разложении множитель xa+e(\ар0), где А € {±1, ±2, ±3}. В то же время, поскольку либо а и в принадлежат неприводимой компоненте Ф без кратных связей, либо А - В £ФР, мы имеем А = ±1. Поэтому Nabii(v, и) Ф 0, противоречие. □

Лемма 6. Пусть R — локальное кольцо с максимальным идеалом M. Для любых u € Up- (M), v € Up(R) найдутся такие u' € Up- (M), v' € Up(R) и b € Lp(R), что uv = v'bu'.

Доказательство. Образ элемента x = uv при отображении p : G(R) ^ G(R/M) равен p(v) и потому принадлежит Qp(R/M). Поскольку Qp —главная открытая подсхема группы G, из этого следует, что x € Qp(R), то есть x = v'bu'. Поскольку i}P ^UP х LP xUP-, и p{u') = 1, имеем и' e UP-{M). □

Лемма 7. Пусть R — локальное кольцо с максимальным идеалом M. Пусть P — такая параболическая подгруппа в G, что гапкФр > 2, и тип P входит в список индексов Титса, возможных над локальными кольцами (см. [8, 6]). Предположим, что элемент g е G(R) таков, что для любого относительного корня A е Фр найдется такая система образующих вАг, 1 ^ i ^ па, R-модуля Va, что [g,XA(eAi)\ = 1 для всех i. Если g е UP(M)LP(R)UP-(M), то g е LP(R).

Доказательство. Запишем g = xhy, где x е UP(M), h е LP(R), y е UP-(M). Имеем x = ПА6Ф+ Xa(ua), У = ПАеф- Xa(ua), где сомножители в произведениях взяты в произвольном фиксированном порядке.

Выберем такой относительный корень A е Фр, что ua Ф 0 и |lev(A)| минимален среди уровней всех таких относительных корней. Мы придем к противоречию, показав, что корень A не может встречаться в разложении g.

Предположим, что A е Фр (другой случай разбирается симметрично). Поскольку тип подгруппы P совпадает с типом некоторой минимальной параболической подгруппы, Фp изоморфна (не обязательно приведенной) системе корней как множество с двумя частично определенными операциями: сложением и умножением на целые числа (см. [3, Exp. XXVI, §7]). Поэтому она удовлетворяет обычным свойствам систем корней, в частности, найдется такой простой или противоположный простому корень B е Фр, не пропорциональный A, что A + B е Фр. Кроме того, если неприводимая компонента Фр, содержащая корень A, не типа G2, мы можем выбрать B таким, чтобы A - B е Фр. Если же неприводимая компонента Фр имеет тип G2, это не всегда возможно, и мы просто выбираем простой положительный корень B. Из классификации индексов Титса над локальными кольцами (см. [6]) следует, что в этом случае соответствующая неприводимая компонента абсолютной системы корней группы G либо без кратных связей, либо сама типа G2. Предположим теперь, что последний случай не имеет места; мы разберем этот исключительный случай в самом конце доказательства.

Тогда, по лемме 5, можно указать элемент в системы образующих Vb , централизуемый g, и такой, что NABii(uA,e) Ф 0. Рассмотрим равенство 1 = [Xb (e),g] = [Xb (e),x](x[XB (e),hy]x_1). Оно эквивалентно

1 = (x~1[Xb (e),x]x)[XB (e),hy] = [x~l ,Xb (e)][XB (e),hy]. (1)

Согласно [5, Th. 2] мы можем записать

x-1 = Xa(-ua) П Xc(vc) = Xa(-ua) • xi,

СеФр, CФА, lev(C)>lev(A)

и потому

[x~\Xb (в)] = [Xa(-ua)xi,Xb (в)] =

= [Xa(-ua), [xi,Xb(в)]] • [xi,Xb(в)] • [Xa(-ua),Xb(в)]. (2)

Случай 1: B положительный, т. е. простой. Исследуем множитель [Xb (в),hy] в равенстве (1). Запишем [Xb ^),hy] = Xb (p^)h(yXB (в)-1y~1)h~1 и

у = П Xc(vc) • П X-iB (v-iB )=y1y2.

СеФр, CIB i>0

По лемме 6 получаем уХв (e) = yi(y2-Хв (e) )=yi■ П XiB (wiB )-b- П X-iB (wiB), где

i>0 i>0

b € Lp (R). Поскольку относительныые корни, пропорциональные B, не встречаются в разложении yi, а B —простой корень, из обобщенной коммутационной формулы Шевалле [5, Lemma 9] следует, что yi ■ П XiB (wiB) = ( П XiB (wiB ))Уз, где y3 € Up - (R).

Отсюда yXB (e)~l €( П XiB (wiB ))p-(R), и

[Хв (e), hy] € Хв (e)h(n XiB (wiB ))h-iP~^) = (П XiB (ziB ))p-(R).

Теперь рассмотрим первый множитель [х_1,Хв (е)] правой части равенства (1). Обобщенная коммутационная формула Шевалле, примененная к левой части равенства (2), утверждает, что

[х-1 ,Хв(е)]= П Хв(тв).

Более того, корень С = А + В есть корень минимального уровня в разложении (2), удовлетворяющий ле Ф 0; чтобы быть точнее, лл+в = Nлви(-ил,е). Поэтому все произведение

[x-i ,Хв (e)]-[XB (e), hy] € Xa+b (NABii(-uA,e)) ■ (П XiB (ziB ))-П Xc (tc )-P-(R)

i>0 СеФр,

lev(C)>lev(A+B)

отлично от 1, противоречие.

Случай 2: В отрицательный, т. е. В' = -В простой. В этом случае из обобщенной коммутационной формулы Шевалле немедленно следует, что [Хв (е),Ну] е Р~(Р). Рассмотрим равенство (2). Заметим, что разложение Х1 не содержит Хв' (у в') и, если 2В' е Фр, не содержит также Х2в' (^2в'). Действительно, в первом случае мы бы имели 1ву(А) = 1, откуда А — простой относительный корень, и потому А + В = А - В' не является относительным корнем. Во втором случае мы бы имели 1ву(А) = 2, и, поскольку А + В е Фр, А = А' + В' для некоторого простого относительного корня А'. Поскольку в этом случае перед нами неприводимая компонента Фр типа ВСп и В' —простой корень минимальной длины, мы имеем А' + 2В' = А - В е Фр. Но тогда мы должны были взять корень (-А') вместо В, поскольку А - (-А') = 2А' + В' е ФР.

Из вышесказанного, вкупе с тем фактом, что В' = -В —простой корень, и обобщенной коммутационной формулой Шевалле следует, что [х1 ,Хв (е)] = П Хе (ле ).

ВеФр

Кроме того, если ле Ф 0, то Б Ф А + В, поскольку А - В не является относительным корнем по нашим предположениям, и очевидно, корень Б не пропорционален В. Далее мы видим, что для любого относительного корня Б, встречающегося в разложении [Хл(-ил), [х1,Хв (е)]] или [Хл(-ил),Хв (е)], коэффициент при любом простом корне Ао Ф В' в разложении Б больше либо равен соответствующему коэффициенту в разложении А. Таким образом, единственный множитель вида Хл-в (и) в разложении выражений [Хл(-ил), [х1,Хв (е)]], [х1,Хв (е)], [Хл(-ил),Хв (е)] есть множитель Хл-в Nлви(-ил,е)) в третьем из этих выражений, и ни в одном из

СеФр

коммотаторов не образуется новый множитель вида Xa-b (u), где и Ф 0. Поэтому [x•~1 ,Xb(в)] сожержит Xa-b (NАви(-иА,в)) Ф 1 в своем разложении, и

[x-1 ,Xb ^)][Xb (в), hy] е Xa-b (^вп(-иА,в)) • П XF (tF )P-(R)

F еФр,

F ФА-B

не может равняться 1, противоречие.

Случай G2. Нам остается рассмотреть случай, когда компонента Фр, содержащая A, имеет тип G2 , и, более того, соответствующие компоненты абсолютной системы корней группы G тоже имеют тип G2. Не умаляя общности, мы можем считать, что все компоненты абсолютной системы корней имеют тип G2 и группа G квази-расщепима. Существует каноническое этальное расширение R' кольца R, такое что G есть ограничение Вейля расщепимой группы G' типа G2 над R', см. [3, Exp. XXIV Prop. 5.9]. Тогда Gr равно прямому произведению расщепимых групп Gi типа G2, 1 < i < k. Чтобы показать, что g е Lp (R), достаточно проверить, что образ g' элемента g в группе G(R') лежит в Lp(R'). Мы знаем, что Pr —борелевская подгруппа группы Gri, и, т.к. система Фр не содержит кратных корней, для каждого относительного корня A е Фр мы можем отождествить корневую подсхему Xa(Va ® R') с прямым произведением k элементарных корневых подгрупп xa(R') групп Gi. Рассматривая соответствующие проекции элемента g и системы образующих R-модуля Va, мы сводим задачу к следующей: если точка h е H(S) расщепимой редуктивной группы H типа G2 централизует xa(ua) для некоторого иа е Sx, для любого корня а е Ф, где Ф — система корней H, то h принадлежит соответствующему расщепимому максимальному тору. По леммам 1 и 4 мы можем считать, что кольцо S локально с максимальным идеалом N и h = ПаеФ+ xa(aa) • h• ПаеФ- xa(aa), где все aa лежат в N. Тогда доказательство в точности повторяет [2, Prop. 3] с заменой элементов xp (1) и wp( 1) на хр(ир) и wp(up) = хр(ир)х-р{-и~р-)хр(ир). □

4. Доказательство основной теоремы. Доказательство теоремы 1. Предположим, элемент g е G(R) централизует E(R) = Eq(R), где Q — строго собственная параболическая подгруппа группы G. Покажем, что g е Cent(G)(R). По лемме 1 достаточно показать, что g е Cent(G)(RM) для каждого максимального идеала M кольца R. Зафиксируем идеал M и положим R' = Rm. Пусть P — минимальная параболическая подгруппа группы Gri . По лемме 2 для любого относительного корня A е Фр найдется такая система образующих в а,,, 1 < i < па, R'-модуля Va , что [g, Xa^a,)] = 1, 1 < i < па. Заметим, что Фр — система корней по [3, Exp. XXVI, § 7], и по условию теоремы все неприводимые компоненты Фр имеют ранг > 2.

Рассмотрим такое fpqc-покрытие Ц SpecST ^ SpecR', что группа G расщепляется над каждым SpecST. Достаточно проверить, что g е Cent(G)(ST) для каждого т (здесь мы отождествляем элемент g с его образом при канонической проекции G(R') ^ G(ST)). Зафиксируем т и положим для краткости S = ST. Снова по лемме 1 достаточно показать, что g е Cent(G)(Sn) для любого максимального идеала N кольца S.

Поскольку система образующих вАг, 1 < i < па, R'-модуля Va также порождает (Va <8>ri S) <8>s Sn, как Sn-модуль, g удовлетворяет условиям лемм 4 и 7 (для базового кольца Sn); откуда g е Lp(Sn), где Lp —подгруппа Леви группы P. По лемме 3 из этого следует, что g централизует E(Sn). Поскольку группа Gsn расщепима, она

содержит борелевскую подгруппу B, и E(Sn) = Ев(Sn). Применяя леммы 4 и 7 к B вместо P, получаем, что g € T(Sn) для расщепимого максимального подтора T группы Gsn . Отсюда g € Hom (Л/Лг,SN) с Hom (K,SN) = T(SN), где Л — решетка весов группы G, а Лг —подрешетка корней. Поэтому g € Cent(G)(SN). Теорема доказана.

Литература

1. Лузгарев А. Ю., Ставрова А. К. Совершенность элементарной подгруппы изотропной редук-тивной группы // Алгебра и Анализ. Т. 23. 2011. C. 140-154.

2. Abe E., Hurley J.F. Centers of Chevalley groups over commutative rings // Comm. in Algebra. Vol. 16. 1988. P. 57-74.

3. Demazure M., Grothendieck A. Schemas en groupes // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 151153. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1970.

4. Matsumoto H. Sur les sous-groupes arithmetiques des groupes semi-simples deployes // Ann. Sci. de l'E.N.S. 4e serie. T. 2. N 1. 1969. P. 1-62.

5. Petrov V., Stavrova A. Elementary subgroups of isotropic reductive groups // St. Petersburg Math. J. Vol. 20. 2009. P. 625-644.

6. Petrov V., Stavrova A. Tits indices over semilocal rings // Transf. Groups Vol. 16. 2011. P. 193-217.

7. Stavrova A. Normal structure of maximal parabolic subgroups in Chevalley groups over rings // Algebra Colloq. Vol. 16. 2009. P. 631-648.

8. Tits J. Classification of algebraic semisimple groups // Algebraic groups and discontinuous subgroups, Proc. Sympos. Pure Math. Vol.9, Amer. Math. Soc., Providence RI. 1966. P. 33-62.

9. Waterhouse W. C. Introduction to affine group schemes. New York: Springer-Verlag, 1979.

Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.