CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 2, С. 45-55
УДК 512.5
КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ В ГРУППЕ ШЕВАЛЛЕ ТИПА БОЛЬШИХ АБЕЛЕВЫХ ПОДГРУПП УНИПОТЕНТНОЙ ПОДГРУППЫ1
Г. С. Сулейманова
Завершено описание больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы группы Шевалле типа
^4 над конечным полем.
Ключевые слова: группа Шевалле, унипотентная подгруппа, большая абелева подгруппа.
Введение
В конечной группе для любого теоретико-группового свойства Р всякую Р-под-группу наивысшего порядка называют большой Р-подгруппой. Пусть О — группа лиева типа над конечным полем К. Ее максимальная унипотентная подгруппа и [10] является силовской. Вопрос описания больших абелевых подгрупп в и изучен в 70-80-е гг. для классических типов, а для исключительных типов это проблема, сформулированна в обзоре А. С. Кондратьева [3, Проблема (1.6)]. Порядки больших абелевых подгрупп в и указал Е. П. Вдовин [2], развивая метод А. И. Мальцева [7]. Оценки порядков в [2] и [7] позволяют показать, что перечисленные в [5, 6, 9], наряду с максимальными, все большие нормальные абелевы подгруппы в и есть, в точности, все нормальные большие абелевы подгруппы в и.
Автор и В. М. Левчук [6, 12], [11, §1], исследуя вопрос описания больших абелевых подгрупп в и с точностью до О-сопряженности, установили, что в группе и любая большая абелева подгруппа О-сопряжена с нормальной подгруппой в и; исключения возможны лишь для типа О2, ^4, 3^4, 2Еб и Е&. В настоящей статье для групп и типа ^4 показано существование исключений (как и для типа О2 в [6]); вместе с [9], основная теорема 1 завершает описание больших абелевых подгрупп.
В группе Шевалле Ф(К) над полем К, ассоциированной с системой корней Ф, уни-потентную подгруппу и порождают корневые подгруппы Хг (г £ Ф+) с фиксированной положительной системой корней Ф+ [10]. Пусть {г}+ есть совокупность корней в £ Ф+ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении в — г через простые корни. Полагаем, что
Т(г) = (Хя | в £ {г}+) , <2(г) = (Хв | в £ {г}+ \ {г}) (г £ Ф).
© 2011 Сулейманова Г. С.
1 Работа выполнена при при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 09-01-00717.
Для системы корней Ф типа F4 через a6cd обозначим, как ив [1], корень aai + 6a2 + ca3 + da4, где a1, a2, a3, a4 — простые корни. Основная теорема использует в группе U типа F4 подгруппы
{Ж0011 (t)iri22i (cit) | t G K}{Ж0111 (t)xmi (C2t) | t G K}
x{x1111 (t)x0121 (c3t) 1 t G K}X1231T(0122) (ci,c2,c3 G K).
Теорема 1. В группе Шевалле G типа F4 над конечным полем K каждая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U сопряжена в G либо с нормальной подгруппой в U, либо, когда 2K = 0, с подгруппой (1) или ее образом относительно графового автоморфизма. Подгруппа (1) не сопряжена в G с нормальной в U подгруппой.
Случай 2K = K основной теоремы исследован в [9].
1. Предварительные замечания
Известно [10, теорема 5.3.3], что всякий элемент унипотентной подгруппы U допускает единственное разложение в произведение корневых элементов x r (tr) (r G Ф+), расположенных соответственно фиксированному упорядочению корней.
Пусть {ai,... ,an} есть база корневой системы Ф евклидова пространства V. Если не оговорено противное, по аналогии с [2, 10], фиксируем на пространстве V линейный порядок ^ (согласованный также с линейными операциями) по правилу: при r, s G V считаем, что r < s тогда и только тогда, когда последняя ненулевая координата вектора s — r в выбранной базе Ф (и V) является положительной.
В группе U подгруппы Ui = (Xr | ht(r) ^ i) (ht(r) — высота корня r) образуют центральный ряд. Когда H С T(r1) T(r2)... T(rm) и включение нарушается при любой замене T(r) на Q(r*), согласно [5], назовем {r1 ,r2,...,rm} = L(H) множеством углов для H.
Как ив [4], представим систему положительных корней типа F+ объединением систем
и с заданным пересечением:
= {qij10 < |j| < * < 4} C4+ = {p*j10 < |j| <* < 4, * =j}.
Согласно [5], справедлива следующая
Лемма 2. Нормальные большие абелевы подгруппы группы U типа F4 при 2K = K составляет подгруппа T (q43) U6, а при 2K = 0 — подгруппы:
Xq43T(Р42), {xp3,_2 (t)xp42 (ct) | t G K} T(q43)T(P41), (2)
{Xq3,-2 (t)xq42 (ct) | t G K}XP43 XP42XP41T(p4, — 1 ) , (3)
{XP43 (t)xq43 (ct) | t G K } T(P42) , (4)
{xq3,-2 (t)xq42 (ct) | t G K}{xP3,-2 (t)xP42 (dt) | t G K } XP41T(P4, —1^ (5)
где c, d G K, причем для подгруппы (4) |K| = 2 при c = 0.
Для наглядности используем представление корней следующей диаграммой из [4]. (Корни сопровождаются обозначением из [1, Таблица VIII].) Симметрия _ здесь определяется правилом:
pij = qij, qij = Pij (1 < |j| < i < 4).
(1110)^43—930 Я2,-1=Р2,-2 РЗ,-1 (0111)
(1120) 93,-1 р42 р3,-2 (0121)
(1111)
(1220) 93,-2
р41 (1121) р3,-3 = 943 (0122)
(1221) р4,-1
942 (1122)
(1231)
94,-1
94,-2
(1232)
(1242)
(1342)
94,-3 = р4,-4 (2342)
Диаграмма 1. Положительные корни системы типа _Р4.
Напомним, что коммутативным подмножеством системы корней Ф называется такое подмножество Ф С Ф+, что г + в £ Ф для любых корней г, в £ Ф. А. И. Мальцев [7] нашел коммутативные подмножества максимального порядка всех систем корней Ф.
Подмножество Ф С Ф+ в [2] названо абелевым относительно р, если для любых корней г, в £ Ф либо г + в £ Ф, либо г + в £ Ф и С11г5 = 0 в характеристике р для структурной константы базиса Шевалле. Там же найдены максимальные абелевы относительно р подмножества систем корней типа О2 и ^4.
Далее нам понадобятся следующие обозначения из [2]. Через Ф(х) для элемента х £ и обозначим множество таких корней г таких, что = 0 в разложении х = Пг6ф+ хг (£г), где корни г выбраны в порядке возрастания относительно порядка ^. Через т(х) обозначим минимальный элемент множества Ф(х). В [2] доказана
Лемма 3. Если А — абелева подгруппа группы и над полем характеристики 2, то т(А) = иж6А{т(х)} есть абелево относительно 2 множество корней.
2. Вспомогательные леммы и доказательство основной теоремы
Пусть и есть группа типа ^4 над конечным полем характеристики 2. Она допускает графовый автоморфизм [10, 12.3.3]. В группе Шевалле типа ^4 мономиальный элемент пг (1) для простого г = а* (1 ^ г ^ 4) обозначим через п*.
Лемма 4. Большая абелева подгруппа группы и имеет не более одного простого угла.
< Пусть А — произвольная большая абелева подгруппа группы и. Предположим, что А имеет по крайней мере два простых угла р, 9. Занумеруем простые корни двумя способами так, чтобы в первом случае первым корнем был корень р (нумерация (*)), а во втором случае — корень 9 (нумерация (**)). Так как множество т(А) в общем случае зависит от нумерации простых корней, то обозначим его через т*(А) и т** (А) в нумерациях (*) и (**) соответственно. Тогда т*(А) содержит корень р, а т**(А) содержит корень 9.
Рассмотрим случай р = а. Тогда множество т**(А) содержит простой корень 9 = а1 и, как видно из [2, Таблица 3], содержит еще корень 1342. Если г £ {1232,1242,1342, 2342}, то для всех в £ Ф+, в = г, в выражении в — г через простые корни а1, а2, а3, а4 ненулевые коэффициенты будут одного знака. Таким образом, если т(х) = 1342 для некоторого х £ А, то это равенство останется верным при любой нумерации простых корней. Значит, 1342 £ т*(А). Но тогда т*(А) не является абелевым относительно 2 подмножеством корней. Следовательно, случай р = а невозможен.
Рассмотрим случай р = а2. Тогда множество т**(А) содержит простой корень 9 = а1,а2 и, следовательно, содержит еще корень 1242 [2, Таблица 3]. Но этот корень не может входить в т*(А), так как это множество содержит корень а2. Значит, случай р = а2 невозможен.
В оставшемся случае р = а3, 9 = а4 образом подгруппы А относительно графового автоморфизма будет подгруппа с углами а и а2, что противоречит доказанному выше. >
Лемма 5. Если большая абелева подгруппа А группы и имеет простой угол р, то А С Т (р).
< Пусть А имеет простой угол а*. По лемме 4 А С Хаи2. Предположим, что А ^ Т(а*). В силу графового автоморфизма, достаточно рассмотреть случаи г = 1, 2.
Рассмотрим случай г = 1. Пусть подгруппа А имеет угол г, не лежащий в {а1}+. Тогда г £ {0110, 0120, 0011, 0111, 0121, 0122}. При г = 0110 подгруппа А”3 будет иметь углы а1 и а2, что противоречит лемме 4. При г = 0120 подгруппа А”3 имеет углы а1 и а2. При г = 0011 подгруппа А”4 имеет углы а1 и а3. При г = 0111 подгруппа А”4 имеет угол 0110, и приходим к случаю г = 0110. Случай г = 0121 п3-сопряжением сводится к случаю г = 0111, а случай г = 0122 — п4-сопряжением к случаю г = 0120.
При г = 2 подгруппа А имеет угол 0011, и тогда подгруппа А”4 имеет углы а2 и а3. >
Лемма 6. Если большая абелева подгруппа А группы и имеет угол г высоты 2, то А С Т(г).
< Из леммы 4 следует, что А С и2. Пусть г = 1100. Тогда подгруппа А”2 имеет угол а1, и, по лемме 5, лежит в Т(а1). Пусть подгруппа А имеет угол г, не лежащий в {1100}+. Так как {а1}+ = {1100}+ и {а1} и (Т(1100))”2 С Т(а1), то в подгруппе А”2 будет угол, не лежащий в {а1}+, что противоречит включению А”2 С Т(а1). Таким образом, А С Т(1100).
Пусть г = 0110. Если А имеет еще угол 1100 или 0011, то П2- или П3-сопряжениями,
соответственно, получим подгруппу с двумя простыми углами. Случай r = 0011 сводится к случаю r = 1100 графовым автоморфизмом. >
Аналогично доказывается
Лемма 7. Пусть большая абелева подгруппа A группы U имеет угол r высоты 3. Тогда:
а) A С T(r) при r = 0111;
б) A С T(1110) T(0120) при r = 0120;
в) A С T(1110) T(0122) при r = 1110 и A С X1110 U4.
Лемма 8. Каждая большая абелева подгруппа группы U сопряжена в группе Шевалле с подгруппой, лежащей в U2.
< Пусть A — большая абелева подгруппа, не лежащая в U2 и, следовательно, имеющая простой угол p. Тогда A С T (p) по лемме 5. Далее зафиксируем стандартный порядок простых корней a1, a2, a3, a4.
Рассмотрим случай p = ai. Возьмем элемент x G A такой, что m(x) = ai и сопряжениями, не выводящими подгруппу A за пределы U, получим из него такой элемент у, что {m(y),ai} не будет абелевым относительно 2 множеством корней. Так как поле K конечно, то очевидно, что если m(x) = r, ir + jp G Ф+ для некоторых i, j > 0 и простого
корня p и Cjjrp = ±1, то Хр-сопряжением можем добиться того, что ir + jp G Ф^).
Заметим также, что подгруппа
X1110 X1111X1121X1221X1231X1232 X2342 (6)
централизует T(ai) и, следовательно, содержится в A. Поэтому, умножив элемент x G A на подходящие корневые элементы подгруппы (6), можем добиться того, что соответствующие корни не будут входить в Ф^). Легко убедиться, что, с точностью до U-сопряжений, m(x”) = 1342, где n = n2n3n2n4n3n2. Пусть B — подгруппа, полученная в результате перечисленных преобразований. Тогда 1342 G m(B) и, следовательно, a1 G m(B). А так как B С T(a1), то B С U2.
Пусть p = a3. Возьмем x G A такой, что m(x) = a3. С точностью до U-сопряжения считаем, что 0011 G Ф^). Тогда у = x”4 имеет вид
У = x00ii(t)x0ii0(u) mod U3, t = 0.
Пусть u = 0. С точностью до U-сопряжения 0111 G Ф(у), тогда у”2 лежит в U3, причем 0111 G Ф(у”2). Подгруппа B, полученная в результате этих преобразований, содержится в T(a3). Кроме того, B не может иметь угол a3, так как в противном случае 0121 G Ф([г»,у”2]) для элемента v G B с углом a3. Следовательно, B С U2. Если u = 0, то с точностью до U-сопряжения считаем, что 1110 G Ф(у). Тогда z = уП1 имеет вид z = x0011 (t) mod U3, t = 0, и приходим к рассмотренному выше случаю.
Оставшиеся случаи, когда p = a2 или p = a4, сводятся к рассмотренным графовым автоморфизмом. >
Лемма 9. Большая абелева подгруппа группы U сопряжена в группе Шевалле либо с подгруппой из U3, либо с подгруппой (1), либо с ее образом относительно графового автоморфизма.
< Пусть A — большая абелева подгруппа, лежащая в U2 и имеющая угол высоты 2.
Пусть A имеет угол 0011 (и, по лемме 6, лежит в T(0011)). Подгруппа X1231T(0122)
централизует T(0011), поэтому содержится в A. Так как множество {0011} + состоит из 14 корней, а абелево относительно 2 множество корней наибольшего порядка содержит
11 корней, то 3 корня из {0011}+ не лежат в т(А), причем один из таких корней — это 1221.
Пусть 0121 £ т(А). Это означает, что в А найдется элемент вида
х = х0121 (^1 )х1121 (^2 )х1221 (^3 ), ^ = 0,
причем, с точностью до и-сопряжений, можем считать, что ^2 = 43 = 0. Тогда
х”1”2 = х1221 (*1), т. е. 1221 £ т(А”!”2), причем А”1”2 С Т(0011). Но {0011,1221} не
является абелевым относительно 2 множеством корней, поэтому 0011 £ т(А”1”2) и, следовательно, А”1 ”2 С и3. Аналогично получаем, что если 1121 £ т(А), то А”2 С и3. Пусть теперь 0121,1121 £ т(А). Тогда
т(А) = {0011, 0111,1111, 0122,1122,1231,1222,1232,1242,1342, 2342}.
Так как 1111 £ т(А) , то в А содержится хотя бы один элемент вида
х = х1111 (^1 )х0121 (^2 )х1121 (^3 )х1221 (^4), ^ = 0. (7)
Пусть в А найдется х' = х с условием т(х') = 1111, т. е.
х = х1111 (^1)х0121 (^2)хц21 (4 )х1221 (^4 ), ^1 = 0.
Так как 1 = [х, х'] = х^^^ + 4241), то 4^2 + 4241 = 0, т. е. элементы (7) имеют вид
х = х1111 (^1 )х0121 (а^1 )х1121 (^3 )х1221 (^4), ^1 = 0, (8)
для некоторого а £ К. Далее, так как 0111 £ т(А), то в А содержится элемент вида
У = х0111 («1 )х1111 («2 )х0121 («3 )х1121 («4)х1221 «1 = 0 (9)
Пусть в А найдется у' = у с условием т(у') = 0111, т. е.
у' = х0111 (и!)х1111 (и2 )х0121 (и3)х1121 (и4)х1221(и5 ), « = 0.
Так как 1 = [у, у'] = х1232(и1 «4 + и2«3 + и3«2 + и4«1), то
и1и4 + «2«3 + «3«2 + «4«1 = 0. (10)
В частности, 1 = [у, ух] и тогда соотношение (10) дает равенство «1 («4 + 43) + «2 («3 +
а^) + п3(п2 + 41) + «4«1 = 0, откуда
«143 + а«2 41 + «341 = 0. (11)
С точностью до и-сопряжения можем выбрать элемент х такой, у которого 43 = 0. Тогда
из равенства (11) имеем а«241 + «341 = 0, откуда «3 = а«2 и элементы (9) имеют вид
у = х0111 («1)х1111(«2 )х0121 (а«2 )х1121 («4)х1221 «1 = 0 (12)
Применяя соотношение (10) для произвольных элементов вида (12), получаем «1 «4 + «4«1 = 0, следовательно, элементы (12) имеют вид
у = х0111 («1)х1111 («2)х0121(а«2 )х1121 (Ь«1)х1221(«5), «1 = ° (13)
для некоторого Ь Є К. Ясно, что і і у элементов вида (7) пробегает все поле К, иначе |А| < д11. Умножим каждый элемент вида (13) на подходящий элемент вида (8) с і і = «2, преобразуя его к виду
У = Х0111 (пі)жіі21 (Ьпі)жі22і(«5), «1 = 0. (14)
Применив теперь соотношение (11) для элемента (14) и произвольного элемента (8),
получим щіз = 0, откуда із = 0. Таким образом, элементы (8) запишутся в виде
Ж = Жіііі (Іі)Ж0121 (аіі)жі221 (І4), іі = 0. (15)
Наконец, так как 0011 Є т(А), то в А содержится элемент вида
я = Ж001і(^і)Ж0111 («2)жіііі («з)Ж012і(«4)жП21 («5)Жі221 («б), «1 =0. (16)
Пусть в А найдется х' = я с условием т(х') = 0011, т. е. вида
X = Ж0011 К )Ж0111 («2 )Ж1111 («3 )Ж012і(«4 )Ж1121 («5 )Ж1221 («б ), «і =0.
Так как 1 = [х, X] = Ж1232(«1«б + «2^5 + «3^4 + «4^3 + «5^2 + «б^і), то
«1«б + «2^5 + «з«4 + «4«3 + «5^2 + «б«1 = 0. (17)
В частности, [х, хж] = 1 для ж вида (15), и тогда соотношение (17) дает равенство « 1 («б + І4) + «2^5 + «з(«4 + аіі) + «4(«3 + І1) + «5«2 + «б«1 = 0 или
«1і4 + а«зі1 + «4і1 = 0. (18)
С точностью до и-сопряжения, можем выбрать элемент (15) такой, что і4 = 0, и тогда получим а«зі1 + «4і1 = 0, откуда «4 = а«з для произвольного элемента вида (16). Таким образом, элементы (16) запишутся в виде
X = Ж001і(«1 )Ж0111 («2)Ж1111 («з)Ж012і(а«з )Ж1121 («5 )Ж1221 («б), «1 =0. (19)
Применив теперь соотношение (18) для произвольного элемента ж вида (15) и произвольного элемента (19), получим «іі4 = 0, откуда і4 = 0 и элементы (15) принимают вид
Ж = Жіііі (іі)ж0і2і (аіі), іі = 0. (20)
Умножая каждый элемент вида (19) на подходящий элемент (20), преобразуем их к виду
X = Ж0011 («і)Ж0111 («2)Ж1121 («5 )Жі221 («б), «1 = 0. (21)
Так как 1 = [у, х] = ж1232 («1и5 + Ь«2и1 + «5и1) для у вида (14) и х вида (21), то
«1и5 + Ь«2и1 + «5и1 = 0. (22)
С точностью до и-сопряжения, можем выбрать элемент (14) такой, у которого и5 = 0. Тогда из (22) имеем «5 = Ь«2 для произвольного элемента вида (21). Таким образом, элементы (21) можно переписать в виде
X = Ж0011 («1 )Ж0111 («2)Ж1121 (Ь«2 )Ж1221 («б), «1 = 0. (23)
Применяя теперь (22) для элемента (23) и произвольного элемента (14), получаем «1«5 = 0, откуда «5 = 0. Таким образом, элементы вида (14) преобразуются к виду
у = х0111 («1)хП21 (Ь«1), «1 = 0. (24)
Умножая каждый элемент (23) на подходящий элемент (24), преобразуем его к виду
2 = х0011 («1)х1221 («б), «1 = 0. (25)
Наконец, применяя соотношение (17) для элементов вида (25), получаем V 1«б + «б«1 = 0,
и тогда элементы (25) принимают вид
2 = х0011 («1 )х1221 (с«1), V! = 0,
для некоторого с £ К.
Таким образом, с точностью до и-сопряжений, подгруппа А совпадает с подгруппой (1). Случай, когда А имеет угол 1100, сводится к рассмотренному графовым автоморфизмом.
Рассмотрим оставшийся случай, когда А имеет угол 0110. Тогда А С Т(0110) и 0110 £ т(А). Из 18 корней, входящих в {0110}+, корни 1111, 1121 и 1122 не могут входить в т(А). Кроме того, из каждой пары корней (1110, 0111) и (0120, 1222) только один может входить в т(А). А так как множество т(А) содержит 11 корней, то оно должно содержать хотя бы один из корней 1120, 0121 или 0122. Если т(х) = 0121 или т(х) = 0122 для х £ А, то с точностью до и-сопряжения, т(х”1) = 1121 или т(х”1) = 1122 соответственно. Следовательно, 0110 £ т(А”1). Кроме того, А”1 С Т(0110), поэтому А”1 С и3. Пусть теперь т(х) = 1120. Тогда 0122 £ т(А) и, следовательно, 1220 £ т(А). В этом случае несложно показать, что подгруппа А с точностью до и-сопряжения содержит элемент х вида х1220(4)х1221 («), 4 = 0. Подгруппа Х1221 централизует А, поэтому содержится в А и можем считать, что « = 0. Таким образом, Х1220 С А и Х”^ = Х1222 С А”4. Следовательно, 1120 £ т(А”4) и приходим к одному из рассмотренных выше случаев. >
Лемма 10. Подгруппа (1) не сопряжена ни с какой подгруппой из 1/3.
< Предположим, что подгруппа А вида (1) сопряжена в группе Шевалле Ф(К) с некоторой подгруппой из и3, т. е. дАд-1 С и3 для некоторого д £ Ф(К). Пусть В — подгруппа Бореля группы Ф(К), N — мономиальная подгруппа и пад — фиксированный (произвольно) прообраз в N элемента ад группы Вейля Ш при естественном гомоморфизме N ^ Ш. Известно [10], что
д = Ьпад«, Ь £ В, « £ и- = (Хг | г £ Ф+, ш(г) £ Ф-),
причем элементы Ь, ад, « определены однозначно. Тогда (Ьпадп)А(Ьпад«)-1 С и3 или пад(«Ап-1 )п-1 С и3. Обозначим Ф(А) = иж6АФ(х). Из последнего соотношения имеем М(ад(г)) ^ 3 для всех г из Ф^Ан-1) Э m(nAn-1), причем, как показано в [2], m(nAn-1) = т(А). Кроме того, из включения А С и2 и из коммутаторной формулы Шевалле очевидно, что М(г) ^ 2 для всех г £ Ф^Ак-1). Пусть г — короткий корень из т(А). Тогда ад(г) — короткий корень высоты ^ 3, т. е. ад(г) совпадает с одним из корней множества 5 = {1110, 0111,1111, 0121,1121,1221,1231,1232}. Для коротких корней 0011,0111,1111,1231 £ т(А) суммы ад(0011) + ад(0111) = ад(0122), ад(0011) + ад(1111) = ад(1122), ад(0011) + ад(1231) = ад(1242) — длинные корни. Это означает, что в + в1, в + в2, в + в3 — длинные корни для некоторых в, в1, в2, в3 £ 5. Но, как легко убедиться непосредственной проверкой, множество (в + 5) П Ф + для каждого
s G S содержит < 3 длинных корней. Таким образом, требуемый элемент W не существует, и предположение о том, что подгруппа A сопряжена с некоторой подгруппой из Uз неверно. >
< Доказательство основной теоремы. По лемме 9 достаточно рассмотреть произвольную большую абелеву подгруппу A группы U, лежащую в U3 и имеющую угол высоты 3.
В случае, когда A имеет угол 0111, легко показать, что A совпадает с одной из подгрупп {x0iii(t)xii2i (ct) | t G K}X0121 X0122U6, c G K, или
{x0iii(t)xii2i(ct)|t G K}{xiiii(t)x0i2i(dt)|t G K}X0i22U6, c, d G K. (26)
В первом случае A”1 С U4. Во втором случае A”3 совпадает со второй из подгрупп (2) при d = 0. Случай с = 0, d = 0 сводим к предыдущему n1-сопряжением. Если c, d = 0, то
Axai(^)xa3(V^d) = xolll{xini(t)xoi2i(dt) I t е K}X0122U6, deK,
и приходим к случаю c = 0.
Пусть подгруппа A имеет угол 0120 и по лемме 7 содержится в T(1110)T(0120). Если 0120 — единственный угол высоты 3, то можно показать, что A D X1220, откуда A”4 D X1222 и 0120 G Ф^”4). Но A”4 С T(1110)T(0120), следовательно, A”4 С T(1110)U4. Пусть A имеет еще угол 1110. Если 0120 G m(A), то
m(A) = {1110,0120,1120,1220,1121,1221,1231,1232,1242,1342, 2342}
и подгруппа A содержит элемент
Z = xi220(Vi)xiiii (V2)x0121 (V3)x0122(V4)xU22(V5)xi222(ve), Vi = 0,
причем легко убедиться, что V2 = V3 = V4 = V5 = Ve = 0. Таким образом, A D X1220, откуда A”4 D X1222 и 0120 G Ф^”4). Но A”4 С T(1110)T(0120), следовательно, A”4 С T(1110)U4. Если 0120 входит в m(A), то подгруппа X1121X1221T(1231) централизует A и поэтому содержится в A. Пусть x — элемент из A вида
x = x1110 (t1 )x0120 (t2)x1120 (t3)x1111 (t4)x0121 (t5)x1220 (t6)x0122 (t7)x1122 (t8)x1222 (t9),
где t1 = 0. Множество {1110,1121,1221} U {1231}+ содержит 8 корней, поэтому в m(A) должны входить ровно 3 корня из множества {1120, 1111, 1220, 1122, 1222}. Корень 1222 не может входить в m(A), так как в противном случае X1222 С A и 0120 G Ф^), что противоречит тому, что 0120 — угол A. Пусть 1122 G m(A). Тогда A содержит элемент вида у = x1122(u1)x1222(u2), u1 = 0. Для элемента вида x такого, что t2 = 0, имеем 1 = [x, у] = x1242(t2u1) mod U10. Следовательно, корень 1122 также не может принадлежать m(A), и тогда в m(A) должны входить корни 1120, 1111, 1220. Тогда A содержит элемент
Z = xiiii (wi )x0121 (W2)x0122 (W3)xii22 (W4)xi222 (W5), Wi = 0.
Для элемента x такого, что t1 , t2 = 0, имеем
1 = [x,z] = xi23i(tiW2 + t2Wi)xi232 (ti W3 + t5Wi)xi242(t2W4)xi342(t2W5)x2342(t2W3 + t2W2).
С точностью до U-сопряжения, можем выбрать x так, что t5 = 0, тогда W3 =0 и t2Wj2 = 0, что невозможно.
Остается случай, когда 1110 — единственный угол подгруппы A высоты 3. По лемме 7, имеем A С T(1110)T(0122). Множество {1110}+ U {0122}+ содержит 14 корней, поэтому 3 корня этого множества не входят в m(A), причем один из них — это корень 0122. Кроме того, подгруппа X1111X1121X1221T(1231) централизует A, поэтому, содержится в A и m(A) содержит соответствующие корни. Множества корней {1120,1222} и {1220,1122} не являются абелевыми относительно 2, поэтому ровно один корень из каждого множества должен входить в m(A). Возможны 4 случая: а) 1120,1220 G m(A),
б) 1120,1122 G m(A), в) 1220,1222 G m(A), г) 1122,1222 G m(A). В случаях а), б), в) подгруппа A, соответственно, совпадает с одной из подгрупп:
X1110X1111X1121X1221T(1231)(x1120(t)x1222 (ct) 1 t G K)(x1220(t)x1122 (dt) 1 t G K) где c, d G K;
X1110X1111X1121X1221X1122T(1231) (x1120(t)x1222(ct) 1 t G K) c G K;
X1110X1111X1121X1221X1222T(1231) (x1220 (t)x1122 (ct) 1 t G K), c G K
которые по аналогии с подгруппой (26) (с помощью графового автоморфизма) U-сопряжением сводим к нормальной подгруппе (3). В случае г) подгруппа A совпадает с подгруппой (4).
Пусть, наконец, A С U4. Тогда легко показать, что A совпадает с одной из подгрупп (2) или (5). Осталось заметить, что случай A С U5 невозможен, так как |U51 = |KI11, но U5 не является абелевой подгруппой. >
Литература
1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI).—M.: Мир, 1972.—336 с.
2. Вдовин Е. П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле // Алгебра и логика.—2001.—Т. 40, № 5.—C. 523-544.
3. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук.—1986.—Т. 41, № 1(247).—C. 57-96.
4. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиева типа малых рангов // Алгебра и логика.—1990.—Т. 29, № 2.—C. 141-161.
5. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Докл. РАН.—2008.—Т. 419, № 5.—C. 595-598.
6. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле // Тр. Института математики и механики.—2009.—Т. 15, № 2.— C. 133-142.
7. Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1945.—Т. 9, № 4.—C. 291-300.
8. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.— М.: Мир, 1975.—262 с.
9. Сулейманова Г. С. О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Фундаментальная и прикладная математика.—2009.—Т. 15, № 7.—C. 205-216.
10. Carter R. Simple groups of Lie type.—New York: Wiley and Sons, 1972.
11. Gupta C. K., Levchuk V. M., Ushakov Yu. Yu. Hypercentral and monic automorphisms of classical algebras, rings and groups // J. Siberian Federal Univ. Mathematics & Physics.—2008.—Vol. 1, № 4.— P. 280-290.
12. Levchuk V. M., Suleymanova G. S., Voitenko T. Yu. Some questions for the unipotent subgroup of the Chevalley group // Тезисы докл. междунар. конф. «Алгебра и еe приложения».—Красноярск: СФУ, 2007.—C. 168-169.
Статья поступила 25 марта 2011 г.
Сулейманова Галина Сафиуллановна Сибирский федеральный университет, старший научный сотрудник РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободы, 79;
Хакасский технический институт,
доцент кафедры математики и естественнонаучных дисциплин РОССИЯ, 665017, Абакан, ул. Щетинкина, 27 E-mail: [email protected]
CONJUGACY CLASSES OF LARGE ABELIAN SUBGROUPS IN THE UNIPOTENT SUBGROUP OF A CHEVALLEY GROUP OF TYPE F4
Suleimanova G. S.
The description of large abelian subgroups in the unipotent subgroup of the Chevalley group over a finite field of type F4 is completed.
Key words: Chevalley group, unipotent subgroup, large abelian subgroup.
