Сопряженность в конечной группе Шевалле типа E8 больших абелевых унипотентных подгрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.53

Сопряженность в конечной группе Шевалле типа Е8 больших абелевых унипотентных подгрупп

Галина С. Сулейманова*

Хакасский технический институт Сибирского федерального университета Щетинкина 27, Абакан, 665017,

Россия

Получена 18.07.2011, окончательный вариант 25.08.2011, принята к печати 10.09.2011 Завершено описание больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы группы Шевалле типа Е8 над конечным полем.

Ключевые слова: группа Шевалле, унипотентная подгруппа, большая абелева подгруппа

Введение

В конечной группе для любого теоретико-группового свойства P большой P-подгруппой называют всякую P-подгруппу наивысшего порядка. Пусть U есть унипотентный радикал подгруппы Бореля группы G лиева типа над конечным полем K. Вопрос описания больших абелевых подгрупп в U, изученный в 70-80-е гг. для классических типов, записан для исключительных типов в обзоре А.С.Кондратьева [3, проблема (1.6)]. Его разрабатывал Е.П. Вдовин [2], развивая метод А.И.Мальцева [6]. Мы находим решение проблемы, редуцируя ее к следующему вопросу:

Перечислить группы U, в которых большие абелевы подгруппы сопряжены в G c нормальной подгруппой в U, и описать исключительные большие абелевы подгруппы. (См. [11] и [10, § 1].)

Как показывает пример больших циклических подгрупп в SL(2, K), большая нормальная P-подгруппа может не быть большой P-подгруппой. Согласно [5], большие нормальные абелевы подгруппы в U есть, в точности, нормальные большие абелевы подгруппы и описаны в [4] и [7]. Доказано следующее утверждение.

Теорема 1. В группе G лиева типа над конечным полем либо каждая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U сопряжена в G с нормальной подгруппой в U, либо G есть типа G2, 3D4,F4 или 2E6.

1. Предварительные замечания и основная теорема

Группу Шевалле Ф(К) над полем К, ассоциированную с системой корней Ф, порождают корневые подгруппы Xr = xr(К), r £ Ф. В унипотентной подгруппе U = (Xr | r £ Ф+)

* suleymanova@list.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

всякий элемент допускает единственное разложение (называемое каноническим) в произведение корневых элементов хг (Ьг) (г € Ф+), соответствующих выбранному упорядочению Ф, [9, 5.3.1]. Стандартным в и является [9, 5.3.3] следующий центральный ряд: и = и Э и2 3 • • • 3 и^ = 1, и = (Хг | г € Ф, Н(г) ^ г), где Н — число Кокстера системы корней Ф и Н(г) — функция высоты корня. Обозначая через {г}+ совокупность в € Ф+ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении в — г через базу П(Ф), полагаем Т(г) = (Х8 | в € {г}+), <(г) = (Х8 | в € {г}+, в = г), г € Ф. Если Н С Т(г1)Т(г2)... Т(гт) и все замены Т(г^) на ) нарушают включение, то £(Н) = {гх, г2, • • • , гт} назовем множеством углов в Н. Мономиальная подгруппа N группы Шевалле Ф(К) допускает естественный гомоморфизм на группу Вейля системы корней Ф, [9, теорема 7.2.2]. Если пг = пг(1), то прообраз отражения выбирают с условием пгхД^п-1 = хШг(я)(±£) (в € Ф).

Известно, что в группе иО2(К) подгруппа Ха+Ьи4 при 6К = К не сопряжена в О с нормальной подгруппой в и. С другой стороны, справедливо

Предложение 2. В группе иО2(К) над конечным полем К нормальные большие абелевы подгруппы в и исчерпывают и2 при 3К = 0, и3 при 6К = К, и3 и вс(К)и4 при четном |К| > 2, (а) х (вх(1)) в иО2(2), где

а = ха(1)х2а+ь(1), вс(^) = Ха+ь(^)х2а+ь(^с) (с € К). (1)

Каждая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы и сопряжена в О либо с нормальной подгруппой в и, либо при |К | = 2 или 4 с автоморфным образом подгруппы (а,вх(1))и4 порядка 4 • |К|2, либо при 3К = К, |К| ^ 4 с подгруппой Ха+Ьи4.

В обозначениях а^ из [1, таблицы У-У11] простых корней справедлива

Лемма 3. В группе и нормальные большие абелевы подгруппы исчерпывают Т(ах + 2а2 + 2а3 + 3а4 + 2а5 + аб) для типа Е8, Т(а7), для типа Е7, Т(ах) и Т(аб) для типа Еб. В частности, в иЕ8(К) такая подгруппа единственна.

В группах и типа Еб, Е7 и 2^4 всякая большая абелева подгруппа нормальна, в силу [6] и [2]. О-сопряженность больших абелевых подгрупп с нормальной подгруппой в и для классических типов известна [12, теорема 4]. Для оставшихся групп иЕ8(К) теорему 1 дает

Теорема 4. В группе О лиева типа Е8 над конечным полем большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы и попарно О-сопряжены.

2. Доказательство теоремы 4

Доказательство следует схеме, аналогичной схеме для типа в [7] и [8].

Пусть {ах,..., ап} есть база корневой системы Ф евклидова пространства V. Если не оговорено противное, по аналогии с [9], [2], далее фиксируем на пространстве V линейный порядок ^ (согласованный также с линейными операциями) по правилу: при г, в € V считаем, что г < в тогда и только тогда, когда последняя ненулевая координата вектора в — г в выбранной базе Ф (и V) является положительной. Напомним, что А.И.Мальцев [6] называет подмножество Ф С Ф+ коммутативным, если г + в € Ф для любых корней г, в € Ф. Он нашел коммутативные подмножества максимального порядка всех систем корней Ф.

Далее нам понадобятся следующие обозначения из [2]. Через Ф(х) для элемента х € и обозначим множество таких корней г, что = 0 в разложении х = П хг (¿г), где корни г

г£Ф+

выбраны в порядке возрастания относительно порядка Через т(х) обозначим минимальный элемент множества Ф(х). Как следует из [2, Теорема 2], если А — абелева подгруппа группы и типа то т(А) = ихеА{т(х)} есть коммутативное множество корней.

Используем также представление из [6] системы корней Ф типа Е8 со следующей записью положительных корней: тг — (1 ^ г < з ^ 9), + + (2 ^ 3 < к ^ 9), —т^ — — тт (2 ^ 3 < к < т ^ 9). Согласно [6], коммутативные множества наибольшего порядка в Ф+ исчерпываются следующими:

Бо = {и>1 — и)\ + + | 2 ^ г < 3 ^ 9}, (2)

Бр = {т1 — тг, и>2 — тг, + т + тг, —тр — — | 3 ^ г ^ 9; з,к = р; 3 ^ 3 < к ^ 9}, (3)

Spa.bc = {т — т^, тр — , —т3 — — , —та — ть — тс, т + тр + т^,

и>1 + т8 + и)1 | г = р, 2 ^ г ^ 9; з,к = а,Ь,с; в,Ь = 1,р,а,Ь,с}, (4)

БаЬс = {т\ — тг, т + + т + + тк,

— т8 — — ти | 2 ^ г ^ 9; з,к = а,Ь,с; в,Ь,и = а, Ь, с}. (5)

Здесь р = 2 для множества (3), р € {а,Ь,с} и р ^ 6 для множества (4). Никакое из коммутативных множеств наибольшего порядка не содержит более одного простого корня. Корни «7,«8 не входят ни в одно коммутативное множество наибольшего порядка.

Для простых корней используем также обозначения из [1, таблица VII].) В группе Шевалле типа Е8 мономиальный элемент пг (1) для простого г = аг (1 ^ г ^ 8) обозначим через пг. Пусть и типа Е8.

Лемма 5. Большая абелева подгруппа группы и имеет не более одного простого угла, причем этот угол не может совпадать с а7 или а8.

Доказательство. Пусть А — произвольная большая абелева подгруппа группы и. Предположим противное, что А имеет по крайней мере два простых угла аг и а^. Занумеруем простые корни двумя способами так, чтобы в первом случае первым корнем был корень аг (нумерация (*)), а во втором случае - корень а^ (нумерация (**)). Так как множество т(А) в общем случае зависит от нумерации простых корней, то обозначим его через т*(А) и т**(А) в нумерациях (*) и (**), соответственно. Тогда т*(А) содержит корень аг, а т**(А) содержит корень а^. Так как ни одно коммутативное множество корней наибольшего порядка не содержит а7 или а8, то г,з ^ 6. Заметим, что, если г = — (к ^ 4), то для всех в € Ф+, в = г, в выражении в — г через простые корни ах,... ,а8 ненулевые коэффициенты будут одного знака. Таким образом, если т(х) = г для некоторого х € А, то это равенство останется верным при любой нумерации простых корней.

Пусть г = 1. Тогда т*(А) = Бр для некоторого р или т*(А) = Б2аьс. В обоих случаях т*(А) содержит корни т — т для 3 ^ к ^ 9. Если з ^ 3, то т**(А) имеет вид Б^аьс и не содержит корень — . При з ^ 4 это противоречит включению — € т*(А). Пусть 3 = 3 или з = 2. Так как а\ € т*(А), то т*(А) содержит корни + т2 + тз и + и>2 + а также все корни вида — , 3 ^ к ^ 9. Следовательно, подгруппа А содержит элементы

(и) и У — XW1+W2+W3 (Ь), где £ = 0. Выберем в А элемент г с углом а^. Тогда в первом случае Ф([х,г]) содержит корень т + т2 + тз, во втором —

Ф([у, г]) содержит корень их — и4, то есть [х, г] = 1 или [у, г] = 1, соответственно. Таким образом, г =1.

Пусть г = 2. Тогда ш*(А) имеет вид £аье, а ш**(А) имеет вид ^ 3. Так как

ш*(А) содержит корни их — и (2 ^ к ^ 9), то ш**(А) должно содержать корни их — и (4 ^ к ^ 9). Но не содержит корень их — и, следовательно, ] = 3. В этом случае

ш** (А) содержит корень их + из + и4, то есть подгруппа А содержит элемент х с условием ш(х) = их + из + и4. Но тогда их — и2 € Ф([х, у]), где у — элемент с углом а2.

Пусть г = 3 и ] ^ 5. Тогда ш*(А) имеет вид £заьс и содержит корни их — и, 4 ^ к ^ 9. Следовательно, ш**(А) также содержит корни их — и, 4 ^ к ^ 9, что противоречит тому, что ш**(А) не содержит корень их — и^. В случаях, когда 4 ^ г < ] ^ 6, множество ш*(А) имеет вид а множество ш**(А) — вид 5^аьс. Но содержит все корни их — и,

4 ^ к ^ 9, кроме их — и^, а — все корни их — и, 4 ^ к ^ 9, кроме их — и^. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. □

Лемма 6. Если большая абелева подгруппа А группы и имеет простой угол р, то А С Т (р).

Доказательство. Пусть подгруппа А имеет угол г € {р}+. Рассмотрим случай р = ах. Подгруппа А" при г = 1, 3 лежит в и и имеет угол ах. Как легко убедиться непосредственной проверкой, для любого корня в € {ах}+ высоты ^ 2 найдется простой корень ц = ах, аз такой, что в — ц € Ф+. Тогда подгруппа А"4 имеет углы ах и г — ц € {ах}+. Применяя индукцию по Н — Н(г) (Н — число Кокстера системы корней), получаем большую абелеву подгруппу с двумя простыми углами, что противоречит лемме 5. Аналогично рассматриваются остальные случаи. □

Лемма 7. Каждая большая абелева подгруппа группы и сопряжена в группе Шевалле с подгруппой, лежащей в и2.

Доказательство. Пусть А - большая абелева подгруппа группы и, имеющая простой угол а^, 1 ^ г ^ 6. Пусть г = 6. В этом случае ш(А) имеет вид <56аьс. Выберем элемент из А с углом аб, то есть вида х = хШб_Ш7 (¿) шоё и2, £ = 0. Применяя и - и П5-сопряжения, получим элемент вида х = хШ5_Ш7(£)хШб_Ш8(и) шоё из, и € К. Так как ш(х) = и5 — и7 € ш(А"5), то ш(А"5) имеет вид ^5аье. Множество ^баьс не содержит корень аб. Кроме того, А"5 с Т(аб), поэтому А"5 не может иметь угол аб, следовательно, А"5 С и2. Остальные случаи рассматриваются аналогично. □

Лемма 8. Если большая абелева подгруппа А группы и имеет угол г высоты 2, то г = иб — и8,и7 — ид и А С Т(г).

Доказательство. Обозначим Ф(А) = ижеА.Ф(х). Пусть г = и2 —и4. Тогда —и2 —и8 —ид € Ф(А), так как в противном случае подгруппа А"3 имеет угол ах и —и2 — и8 — ид € Ф(А"3), то есть А"3 С Т(ах), что противоречит лемме 6. Таким образом, А С Т(и2 — и4). Аналогично рассматриваются случаи, когда г равняется корню —и2 — из — и5, из — и5, и4 — иб или и5 — и7. Случаи г = иб — и8 и г = и7 — ид невозможны, так как тогда А"6 имеет угол а7 или А"7 имеет угол а8, соответственно, что противоречит лемме 5.

Продолжая далее доказательство теоремы 4 по нашей схеме, получаем, что произвольная большая абелева подгруппа группы и сопряжена с единственной большой абелевой нормальной подгруппой в и из леммы 3. □

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00717).

Список литературы

[1] Н.Бурбаки, Группы и алгебры Ли (главы IV-VI), М., Мир, 1972.

[2] Е.П.Вдовин, Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле, Алгебра и логика, 40(2001), №5, 523-544.

[3] А.С.Кондратьев, Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи мат. наук, 41(1986), №1(247), 57-96.

[4] В.М.Левчук, Г.С.Сулейманова, Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы, Докл. РАН, 419(2008), №5, 595-598.

[5] В.М.Левчук, Г.С.Сулейманова, Нормальное строение и экстремальные подгруппы в унипотентной подгруппе групп лиева типа, Фундам. и прикл. математика, 17(2011), №10, 169-182.

[6] А.И.Мальцев, Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли, Изв. АН СССР, сер. матем., 9(1945), №4, 291-300.

[7] Г.С.Сулейманова, О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы, Фундам. и прикл. математика, 15(2009), №7, 205-216.

[8] Г.С.Сулейманова, Классы сопряженных в группе Шевалле типа F4 больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы, Владикавказский матем. журн., 13(2011), №2, 4555.

[9] R.Carter, Simple groups of Lie type, New York, Wiley and Sons, 1972.

[10] C.K.Gupta, V.M.Levchuk, Yu.Yu.Ushakov, Hypercentral and monic automorphisms of classical algebras, rings and groups, J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics, 1(2008), №. 4, 280-290.

[11] V.M.Levchuk, G.S.Suleymanova, T.Yu.Voitenko, Some questions for the unipotent subgroup of the Chevalley group, Тез. докл. конф. "Алгебра и ее приложения", Красноярск, СФУ, 2007, 168-169.

[12] V.M.Levchuk, G.S.Suleimanova, Automorphisms and normal structure of unipotent subgroups of finitary Chevalley groups, Proceed. of the Steklov Inst. Math., Pleiades Publ., Suppl. 3(2009), 118-127.

Conjugacy of Large Abelian Unipotent Subgroups in a Finite Chevalley Group of Type E8

Galina S. Suleimanova

The description of large abelian subgroups of the unipotent subgroup of the Chevalley group of type E8 is

complete.

Keywords: Chevalley group, unipotent subgroup, large abelian subgroup.