CC BY
29
УДК 512.53
Г. С. Сулейманова
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ БОЛЬШИЕ УНИПОТЕНТНЫЕ АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА*
Пусть О - группа лиева типа над конечныи полем К, и - ее унипотентная подгруппа. В связи с проблемой описания больших абелевых подгрупп группы и исключительного типа выявляются большие абелевы подгруппы групп и типа 2Е6, не являющиеся О-сопряженными с нормальной подгруппой в и. Уточняются известные результаты о подгруппах Томпсона.
Ключевые слова: группа лиева типа, унипотентная подгруппа, большая абелева подгруппа.
В конечной группе для любого теоретико-группового свойства P всякую P-подгруппу наивысшего порядка называют большой P-подгруппой.
Вопрос описания больших абелевых подгрупп группы G лиева типа над конечным полем сводится к аналогичному вопросу для унипотентного радикала U подгруппы Бореля в G [1-4]. В 1970-1980-е гг. для классических типов изучено множество A(U) больших абелевых подгрупп в U вместе с подмножествами An (U) нормальных и Ae (U) элементарных абелевых подгрупп в U и подгруппами Томпсона J(U) = (A | A е A(U)> и Je (U) = (A | A е Ae (U)>.
В [3] записана проблема 1.6: описать множества A(U),Ae (U),An (U) и подгруппы Томпсона J(U),
Je (U) для оставшихся случаев G.
В [5-7] проблема описания A(U) редуцирована к вопросу о том. что необходимо выявить группы U, в которых любая большая абелева подгруппа G-сопряжена с нормальной подгруппой в U, и перечислить исключительные большие абелевы подгруппы оставшихся групп U.
Существование и описание нормальных больших абелевых подгрупп в U установлены в [8-10], наряду с описанием максимальных нормальных абелевых подгрупп. Там же и в [11] доказано, что всякая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U группы G лиева типа над конечным полем G-сопряжена с нормальной подгруппой в U или G есть группа типа G2, F4,3 D4 либо 2 E6.
В данной статье выявляются исключительные большие абелевы подгруппы групп U типа 2 Е6; случай групп U типа F4 см. в [12; 13].
Предварительные замечания. Группу Шевалле Ф(К) над полем К, ассоциированную с системой корней Ф, порождают корневые подгруппы Xr = xr (K), r еФ. Скрученная группа m Ф(К) типа
m Ф есть централизатор в Ф(К) скручивающего автоморфизма 9е Aut Ф(К) порядка m = 2 или 3. Это
композиция графового автоморфизма т и
автоморфизма ст: t ^ t (/ е К) основного поля,
причем 9(Хг) = т(Хг) = X- (г е Ф) для естественного
продолжения на Ф симметрии графа Кокстера порядка т [14; 15].
Для групп т Ф( К) типа 2 Е6 существует
гомоморфизм £ решетки корней системы Ф на решетку системы типа Р4, причем корни г и 5 лежат в
одной -орбите тогда и только тогда, когда
С,(г ) = ^(5) (см. леммы 7, 8 [14] и замечание 13.3.8
[15]). Согласно предложению 13.6.4 [15], -орбита а
любого корня г е Ф однозначно определяет
корневую подгруппу Ха скрученной группы.
Обозначая множество всех -орбит в Ф через
т Ф, считаем, что т Ф = С(Ф). База П(Ф) системы корней Ф дает базу П(т Ф) = ^(П (Ф)) системы т Ф. Если Кст := Кег(1 -ст) - ядро преобразования 1 -ст поля К, то Ха = ха (Кст) = х9 (Кст) для орбит а = {д} длины 1; в остальных случаях Ха = ха (К).
Для системы О = тФ или О = Ф обозначим через
О+ множество положительных корней относительно фиксированной базы П = П(О) в О, а через иО(К)
или и - унипотентную подгруппу (Хг | г е О+) в
ассоциированной с О группе О(К) лиева типа над полем К [14; 15]. В этих работах рассмотрены мономиальная N и диагональная Н < N подгруппы, разложение Брюа О(К) = БШ с подгруппой Бореля В = и X Н и Б п N = Н.
При О = Ф фактор-группа N / Н изоморфна группе Вейля порождаемой отражениями
Vг (г е Ф), и для подходящих мономиальных элементов пг е(Хг, Х-г) определен гомоморфизм пг ^ V,. (г е Ф) группы N в Ш с ядром Н.
*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968) и Министерства образования и науки Российской Федерации (тема 1.34.11).
В расширенной группе Шевалле К-характеру х решетки корней (его значения на простых корнях можно выбирать произвольно) сопоставляют диагональный элемент И(х), причем
И(х) Хг (t )И(х)-1 = Хг (х(г )t),
П5Хг ^)п- = ^ (г) (±t) (Г, 5 е Ф).
Если г = ЕаеП саа е О , то число М(г) = ЕаеП Са
называют высотой г. Максимальный корень в О+ обозначим через р. Числом Кокстера системы О называют число И = И(О) := Ы(р) +1; для О = Ф. Стандартный центральный ряд в и = иО(К) образуют следующие подгруппы [15]:
иI = <Хг | г е О +, М (г) > I),
1 < I < И = И(О) (О = Ф или О = тФ).
Всякий элемент у в и допускает единственное (каноническое) разложение в произведение корневых элементов хг (уг) (г е О +), расположенных соответственно произвольному упорядочению О (см. лемму 18 [14]). Коэффициент у назовем г-проекцией элемента у. Через Ф(х) для элемента у в и обозначим, как и в [4], множество таких корней г, что у г * 0 в
разложении у = Пг Ф+ хг (уг), где корни г выбраны в
порядке возрастания.
Пусть {г}+ - совокупность всех 5 е О + с
неотрицательными коэффициентами в разложении
5 - г через базу П(О). Подмножество Т сФ+ назовем нормальным, если {г}+ с Т для всех г еТ . Полагаем
Т(г) := <Х5 15 е{г}+),
Q(г) := <Х51 5 е {г}+, 5 * г), г е О.
Если Н с Т(г1)Т(г2)...Т(гт) и любая замена Т(г1) на Q(гI) нарушает включение, то тогда Ь(Н) = {г1, г2, • • •, гт } назовем множеством углов в Н.
Зафиксируем регулярное упорядочение корней, согласованное с функцией высоты корней (см. лемму 5.3.1 [15]). Тогда первый угол элемента из и соответствует его первому сомножителю в каноническом разложении. Через Ц(Н) обозначим множество первых углов всех элементов из Н.
Исключительные большие абелевы подгруппы и подгруппы Томсона групп и типа 2Е6. В силу [12], в группе Шевалле О типа Р4 над полем К при 2К = К всякая большая абелева унипотентная подгруппа А сопряжена в О с нормальной подгруппой в и и ^(А) описано леммой 2 [12], однако при 2К = 0 это не так [13]. Докажем следующую теорему.
Теорема 1. В группе О типа 2 Е6 над конечным полем К = 2К существует большая абелева подгруппа
группы и, которая не является О-сопряженной с нормальной подгруппой в и.
Доказательство. Группу и порождают корневые подгруппы Ха, а е О + , где Ха = ха (Кст) для орбит а длины 1 (класс первого типа); в остальных случаях Ха = ха (К). Скручивание системы корней типа Е6 приводит к системе типа Р4 (см. предварительные замечания). Поэтому считаем, что а пробегает систему Ф типа Р4. Для краткости вместо записи аа1 + Ъа2 + са3 + ё а 4, где
а1, а2, а3, а4 - простые корни системы типа Р4, будем использовать запись аЪсё [16].
Пусть А - большая абелева подгруппа группы и = и2Е6(К), 2К = К. Согдасно [8], группа и имеет единственную большую абелеву нормальную подгруппу Н = Х0Ши6 .
Рассмотрим подгруппу Х1Ш( Кст) ХШ1( Кст) ХШ1(аКст) ХШ1(ЪКст )Т (0122)
( а = -а, Ъ = -Ъ).
Предположим, что подгруппа (1) сопряжена в группе О с подгруппой Н, т. е. gAg-1 = Н для некоторого g е О. Пусть В - подгруппа Бореля группы О, N - мономиальная подгруппа и пк -фиксированный (произвольно) прообраз в N элемента м> группы Вейля Ш при естественном гомоморфизме N ^ Ш. Известно [15], что
g = Ъпкы, Ъ е В, и е ик = <Хг | г е О +,^(г) е О-), причем элементы Ъ, V, и определены однозначно. Тогда (Ъпки)А(Ъпкиу1 = Н или пк(иАи-1)п^: = Н , при этом Ь1(иАи-1) = Ь1(А) = {1111}+. Множество {1111}+ содержит четыре коротких корня, следовательно множество Ф(Н) = ихеН Ф(х) также должно содержать четыре коротких корня. Но Ф(Н) = {1221}+и{0122}+ содержит три коротких корня.
Строение подгрупп Томпсона требует уточнения для типов О2,3£>4, Е8 [9-11], а также для типа 2 Е6, как показывает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть и - унипотентная подгруппа группы О типа 2 Е6 над конечным полем К. Тогда 3(и) = Зе (и) = Ха2 Ха3 Ха4и2.
Построение больших абелевых подгрупп групп и использует известные понятия. А. И. Мальцев назвал подмножество Т с Ф+ коммутативным, если г + 5 е Ф для любых г, 5 еТ [1]. Описав
наибольшие из таких подмножеств в Ф+, он применил их в описании коммутативных подалгебр наивысшей размерности в простых комплексных алгебрах Ли.
Лемма 1. Наибольшие коммутативные множества системы корней типа Р4 имеют порядок 9 и Ш-
сопряжены с {0122}+и {1221}+ .
Подмножество Т с Ф+ Е. П. Вдовин называл абелевым относительно р, если для любых его корней г, 5 либо г + 5 е Ф и структурная константа С11г5 коммутаторной формулы Шевалле равна нулю в характеристике р, либо г + 5 е Ф [4] (очевидно, это абелевы, как и в [1], множества корней, если р >3 или в Ф все корни одной длины). Такие максимальные подмножества ¥ описаны компьютерными средствами в [4] для типа О2 при р =
2 и 3, а также для типа Р4 при р = 2, где они дают максимальные абелевы подгруппы ХТ = <Хг | г е Т).
Полученные в последнем случае 82 подмножества выписаны в табл. 3 [4] с обозначением Т| ^, где I -
номер строки;] - номер столбца. В частности,
Т1={0121}+, Т2 = {1111}+и{0122}+,
Т 3 ={0011,0111,1111,1231} и {0122}+
есть Т 212, Т 213, Т 610 соответственно. Из [4]
несложно вытекает следующая лемма.
Лемма 2. Всякое максимальное абелево относительно 2 подмножество системы корней типа Р4 либо есть одно из множеств Т1у- , Т4 ^ порядка
10 (1 < у < 13), либо Ш-сопряжено с одним из множеств Тг-, Тг- порядка 11 для I = 1, 2 или 3 (всего 28, 22 или 6 соответственно).
При г, 5, г + 5 е Ф+ выберем
Хг (Р) с Хг, х5 (V) с Х5, Р,У с К, Е¥ * 0.
В [10] доказана следующая лемма.
Лемма 3. Если [хг (Р), х5 (V)] с Q(г + 5), то г + 5 есть класс первого типа, г и 5 не являются классами первого типа и, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, Р с Кст, V с К1-ст .
Положим т(х) := Ь1(х) е Ф+ при всех х еи . Используя лемму 3 и табл. 3 [4], получим две следующие леммы.
Лемма 4. Пусть А - абелева подгруппа группы и
типа 2 Е6 . Тогда для любых ее неединичных элементов х, у множество {т(х),т(у)} - абелево относительно 2, когда т(х) + т(у) еФ, т(х)-проекции всех элементов из А с первым углом т(х) лежат в 1-мерном Кст -модуле.
Лемма 5. Пусть А - большая абелева подгруппа в и, ¥ - максимальное абелево относительно 2 множество системы типа Р4 и Ц (А) с Т. Тогда:
а) подмножество {г1, г2, г3} с Т лежит в Ц (А), если для всех I * у имеем г + г1 еФ и С11гг, = +2;
.1 > J
б) если r + 5еФ для пары {г,5} корней из ¥, не входящей в тройки из п. «а», и Cnr s = +2, то r или s входит в L1( A);
в) если ¥ содержит корень r такой, что (r + Т) п Ф = 0 , то r е Lj (A).
Аналогично, используя леммы 4, 5 и табл. 3 [4], получим следующую лемму.
Лемма 6. Максимальные абелевы относительно 2 подмножества ¥, для которых существует большая абелева подгруппа A с условием Lj (A) сТ, W-сопряжены с Т1 при 2K = 0 и с Т2 при 2K = K. Кроме того, они исчерпываются множествами
XX/ XX/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/
т 2,^ т 2,1^ т 3,^ т 3,^ т 3,1^ т 5,^ т 5,^ т 5,^ т 5,^ т 5,9 ?
ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ . ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/
т5,1^^6,^ *6,jj’ *7,1’ т2,1^ T2,J^^2,1^ т3,1^ T5,2’
Т5 4, Т5 5, Т5 7, Т 6 7, Т 7 2, Т 7 3 соответственно.
Доказательство теоремы 2 вытекает из леммы 6 и табл. 3 [4].
Библиографические ссылки
1. Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1945. Т. 9, № 4. С. 291-300.
2. Barry M. J. J. Large Abelian Subgroups of Chevalley Groups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979. Vol. 27, № 1. P. 59-87.
3. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, № 1 (247). С. 57-96.
4. Вдовин Е. П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 5. С. 523-544.
5. Gupta C. K., Levchuk V. M., Ushakov Yu. Yu. Hypercentral and Monic Automorphisms of Classical Algebras, Rings and Groups // J. of Siberian Federal Univ. Mathematics & Physics. 2008. Vol. 1, № 4. P. 280-290.
6. Levchuk V. M., Suleymanova G. S., Voitenko T. Yu.
Some Questions for the Unipotent Subgroup of the Chevalley Group // Алгебра и ее приложения : тез. докл. Междунар. конф. / Сиб. федер. ун-т.
Красноярск, 2007. С. 168-169.
7. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. Automorphisms and Normal Structure of Unipotent Subgroups of Finitary Chevalley Groups // Proc. of the Steklov Inst. of Mathematics. 2009. № 3. P. 118-127.
8. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Докл. Рос. акад. наук. 2008. Т. 419, № 5. С. 595-598.
9. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение и экстремальные подгруппы в унипотентной подгруппе групп лиева типа // Фундамент. и прикл. математика. 2011. Т. 17, № 10. С. 169-182.
10. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. Extremal and Maximal Normal Abelian Subgroups of a Maximal
Unipotent Subgroup in Lie Type Groups // J. of Algebra. 2012. Vol. 349, № 1. P. 98-116.
11. Сулейманова Г. С. Сопряженность в конечной группе Шевалле типа E8 больших абелевых
унипотентных подгрупп // J. of Siberian Federal Univ. Mathematics & Physics. 2011. Vol. 4, № 4. P. 536-540.
12. Сулейманова Г. С. О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Фундамент. и прикл. математика. 2009. Т. 15, № 7. С. 205-216.
13. Сулейманова Г. С. Классы сопряженных в группе Шевалле типа F4 больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Владикавказ. мат. журнал. 2011. Т. 13, вып. 2. С. 45-55.
14. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М. : Мир, 1975.
15. Carter R. Simple Groups of Lie Type. New York : Wiley and Sons, 1972.
16. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М. : Мир, 1972.
G. S. Suleymanova
EXEPTIONALY LARGE ABELIAN UNIPOTENT SUBGROUPS IN GROUPS OF LIE TYPE
Let G be a group of Lie type over a finite field K and let U be its unipotent subgroup. In the connectoin to the problem of description of large abelian subgroups in the group U of exceptional type, we discover large abelian subgroups in the group U of type 2E6, which are not G-ajoint to a normal subgroup in U. Some results on the Thopson subgroup are revised.
Keywords: group of Lie type, unipotent subgroup, large abelian subgroup.
© Сулейманова Г. С., 2012
УДК 681.34
Р. Ю. Царев, А. В. Штарик, Е. Н. Штарик, М. А. Кочергина, Т. А. Панфилова
АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОТКАЗОУСТОЙЧИВОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ*
Представлено описание программного комплекса анализа вероятностно-временных характеристик отказоустойчивого программного обеспечения распределенных вычислительных систем с использованием ГЕРТ-сетей.
Ключевые слова: отказоустойчивое программное обеспечение, распределенные вычисления, ГЕРТ-сети.
На сегодняшний день распределенные вычислительные системы все чаще используются для решения управленческих, исследовательских и производственных задач. Одним из видов таких систем являются гетерогенные вычислительные системы высокой надежности для высокопроизводительных вычислений (системы обработки высокой пропускной способности), объединящие в единую вычислительную среду гетерогенные вычислительные ресурсы (суперкомпьютеры, серверы, рабочие станции, локальные и глобальные сети с различной пропускной способностью, хранилища данных и пр.), благодаря чему создается единая среда обработки информации и распределенных вычислений.
Большинство исследовательских задач, решаемых в сфере гетерогенных вычислений, направлено на разработку системы поддержки параллельных или распределенных вычислений, стремящихся прибли-
зить практическую продолжительность работы (производительность, коэффициент ускорения) к теоретически возможной для данного кластера.
Постановка задачи. Использование суперкомпьютера или специализированного кластера невозможно или малоэффективно в таких случаях, когда алгоритм программы нельзя эффективно преобразовать из последовательного в параллельный, время выполнения задачи сравнимо со временем создания параллельного алгоритма [1] или требуется решать множество одинаковых задач с различными входными данными, при этом время выполнения каждой задачи в отдельности невелико (не превышает нескольких часов). Для таких задач возможна разработка гетерогенной распределенной вычислительной системы (РВС), использующей узлы с высокой надежностью и отказоустойчивостью.
*Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
