Научная статья на тему 'Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа'

Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
114
27
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГРУППА ЛИЕВА ТИПА / УНИПОТЕНТНАЯ ПОДГРУППА / БОЛЬШАЯ АБЕЛЕВА ПОДГРУППА / GROUP OF LIE TYPE / UNIPOTENT SUBGROUP / LARGE ABELIAN SUBGROUP

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сулейманова Г. С.

Пусть G группа лиева типа над конечныи полем K, U ее унипотентная подгруппа. В связи с проблемой описания больших абелевых подгрупп группы U исключительного типа выявляются большие абелевы подгруппы групп U типа 2Е 6, не являющиеся G-сопряженными с нормальной подгруппой в U. Уточняются известные результаты о подгруппах Томпсона.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

EXEPTIONALY LARGE ABELIAN UNIPOTENT SUBGROUPS IN GROUPS OF LIE TYPE

Let G be a group of Lie type over a finite field K and let U be its unipotent subgroup. In the connectoin to the problem of description of large abelian subgroups in the group U of eXceptional type, we discover large abelian subgroups in the group U of type 2Е 6, which are not G-ajoint to a normal subgroup in U. Some results on the Thopson subgroup are revised.

Текст научной работы на тему «Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа»

УДК 512.53

Г. С. Сулейманова

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ БОЛЬШИЕ УНИПОТЕНТНЫЕ АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИЕВА ТИПА*

Пусть О - группа лиева типа над конечныи полем К, и - ее унипотентная подгруппа. В связи с проблемой описания больших абелевых подгрупп группы и исключительного типа выявляются большие абелевы подгруппы групп и типа 2Е6, не являющиеся О-сопряженными с нормальной подгруппой в и. Уточняются известные результаты о подгруппах Томпсона.

Ключевые слова: группа лиева типа, унипотентная подгруппа, большая абелева подгруппа.

В конечной группе для любого теоретико-группового свойства P всякую P-подгруппу наивысшего порядка называют большой P-подгруппой.

Вопрос описания больших абелевых подгрупп группы G лиева типа над конечным полем сводится к аналогичному вопросу для унипотентного радикала U подгруппы Бореля в G [1-4]. В 1970-1980-е гг. для классических типов изучено множество A(U) больших абелевых подгрупп в U вместе с подмножествами An (U) нормальных и Ae (U) элементарных абелевых подгрупп в U и подгруппами Томпсона J(U) = (A | A е A(U)> и Je (U) = (A | A е Ae (U)>.

В [3] записана проблема 1.6: описать множества A(U),Ae (U),An (U) и подгруппы Томпсона J(U),

Je (U) для оставшихся случаев G.

В [5-7] проблема описания A(U) редуцирована к вопросу о том. что необходимо выявить группы U, в которых любая большая абелева подгруппа G-сопряжена с нормальной подгруппой в U, и перечислить исключительные большие абелевы подгруппы оставшихся групп U.

Существование и описание нормальных больших абелевых подгрупп в U установлены в [8-10], наряду с описанием максимальных нормальных абелевых подгрупп. Там же и в [11] доказано, что всякая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U группы G лиева типа над конечным полем G-сопряжена с нормальной подгруппой в U или G есть группа типа G2, F4,3 D4 либо 2 E6.

В данной статье выявляются исключительные большие абелевы подгруппы групп U типа 2 Е6; случай групп U типа F4 см. в [12; 13].

Предварительные замечания. Группу Шевалле Ф(К) над полем К, ассоциированную с системой корней Ф, порождают корневые подгруппы Xr = xr (K), r еФ. Скрученная группа m Ф(К) типа

m Ф есть централизатор в Ф(К) скручивающего автоморфизма 9е Aut Ф(К) порядка m = 2 или 3. Это

композиция графового автоморфизма т и

автоморфизма ст: t ^ t (/ е К) основного поля,

причем 9(Хг) = т(Хг) = X- (г е Ф) для естественного

продолжения на Ф симметрии графа Кокстера порядка т [14; 15].

Для групп т Ф( К) типа 2 Е6 существует

гомоморфизм £ решетки корней системы Ф на решетку системы типа Р4, причем корни г и 5 лежат в

одной -орбите тогда и только тогда, когда

С,(г ) = ^(5) (см. леммы 7, 8 [14] и замечание 13.3.8

[15]). Согласно предложению 13.6.4 [15], -орбита а

любого корня г е Ф однозначно определяет

корневую подгруппу Ха скрученной группы.

Обозначая множество всех -орбит в Ф через

т Ф, считаем, что т Ф = С(Ф). База П(Ф) системы корней Ф дает базу П(т Ф) = ^(П (Ф)) системы т Ф. Если Кст := Кег(1 -ст) - ядро преобразования 1 -ст поля К, то Ха = ха (Кст) = х9 (Кст) для орбит а = {д} длины 1; в остальных случаях Ха = ха (К).

Для системы О = тФ или О = Ф обозначим через

О+ множество положительных корней относительно фиксированной базы П = П(О) в О, а через иО(К)

или и - унипотентную подгруппу (Хг | г е О+) в

ассоциированной с О группе О(К) лиева типа над полем К [14; 15]. В этих работах рассмотрены мономиальная N и диагональная Н < N подгруппы, разложение Брюа О(К) = БШ с подгруппой Бореля В = и X Н и Б п N = Н.

При О = Ф фактор-группа N / Н изоморфна группе Вейля порождаемой отражениями

Vг (г е Ф), и для подходящих мономиальных элементов пг е(Хг, Х-г) определен гомоморфизм пг ^ V,. (г е Ф) группы N в Ш с ядром Н.

*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968) и Министерства образования и науки Российской Федерации (тема 1.34.11).

В расширенной группе Шевалле К-характеру х решетки корней (его значения на простых корнях можно выбирать произвольно) сопоставляют диагональный элемент И(х), причем

И(х) Хг (t )И(х)-1 = Хг (х(г )t),

П5Хг ^)п- = ^ (г) (±t) (Г, 5 е Ф).

Если г = ЕаеП саа е О , то число М(г) = ЕаеП Са

называют высотой г. Максимальный корень в О+ обозначим через р. Числом Кокстера системы О называют число И = И(О) := Ы(р) +1; для О = Ф. Стандартный центральный ряд в и = иО(К) образуют следующие подгруппы [15]:

иI = <Хг | г е О +, М (г) > I),

1 < I < И = И(О) (О = Ф или О = тФ).

Всякий элемент у в и допускает единственное (каноническое) разложение в произведение корневых элементов хг (уг) (г е О +), расположенных соответственно произвольному упорядочению О (см. лемму 18 [14]). Коэффициент у назовем г-проекцией элемента у. Через Ф(х) для элемента у в и обозначим, как и в [4], множество таких корней г, что у г * 0 в

разложении у = Пг Ф+ хг (уг), где корни г выбраны в

порядке возрастания.

Пусть {г}+ - совокупность всех 5 е О + с

неотрицательными коэффициентами в разложении

5 - г через базу П(О). Подмножество Т сФ+ назовем нормальным, если {г}+ с Т для всех г еТ . Полагаем

Т(г) := <Х5 15 е{г}+),

Q(г) := <Х51 5 е {г}+, 5 * г), г е О.

Если Н с Т(г1)Т(г2)...Т(гт) и любая замена Т(г1) на Q(гI) нарушает включение, то тогда Ь(Н) = {г1, г2, • • •, гт } назовем множеством углов в Н.

Зафиксируем регулярное упорядочение корней, согласованное с функцией высоты корней (см. лемму 5.3.1 [15]). Тогда первый угол элемента из и соответствует его первому сомножителю в каноническом разложении. Через Ц(Н) обозначим множество первых углов всех элементов из Н.

Исключительные большие абелевы подгруппы и подгруппы Томсона групп и типа 2Е6. В силу [12], в группе Шевалле О типа Р4 над полем К при 2К = К всякая большая абелева унипотентная подгруппа А сопряжена в О с нормальной подгруппой в и и ^(А) описано леммой 2 [12], однако при 2К = 0 это не так [13]. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В группе О типа 2 Е6 над конечным полем К = 2К существует большая абелева подгруппа

группы и, которая не является О-сопряженной с нормальной подгруппой в и.

Доказательство. Группу и порождают корневые подгруппы Ха, а е О + , где Ха = ха (Кст) для орбит а длины 1 (класс первого типа); в остальных случаях Ха = ха (К). Скручивание системы корней типа Е6 приводит к системе типа Р4 (см. предварительные замечания). Поэтому считаем, что а пробегает систему Ф типа Р4. Для краткости вместо записи аа1 + Ъа2 + са3 + ё а 4, где

а1, а2, а3, а4 - простые корни системы типа Р4, будем использовать запись аЪсё [16].

Пусть А - большая абелева подгруппа группы и = и2Е6(К), 2К = К. Согдасно [8], группа и имеет единственную большую абелеву нормальную подгруппу Н = Х0Ши6 .

Рассмотрим подгруппу Х1Ш( Кст) ХШ1( Кст) ХШ1(аКст) ХШ1(ЪКст )Т (0122)

( а = -а, Ъ = -Ъ).

Предположим, что подгруппа (1) сопряжена в группе О с подгруппой Н, т. е. gAg-1 = Н для некоторого g е О. Пусть В - подгруппа Бореля группы О, N - мономиальная подгруппа и пк -фиксированный (произвольно) прообраз в N элемента м> группы Вейля Ш при естественном гомоморфизме N ^ Ш. Известно [15], что

g = Ъпкы, Ъ е В, и е ик = <Хг | г е О +,^(г) е О-), причем элементы Ъ, V, и определены однозначно. Тогда (Ъпки)А(Ъпкиу1 = Н или пк(иАи-1)п^: = Н , при этом Ь1(иАи-1) = Ь1(А) = {1111}+. Множество {1111}+ содержит четыре коротких корня, следовательно множество Ф(Н) = ихеН Ф(х) также должно содержать четыре коротких корня. Но Ф(Н) = {1221}+и{0122}+ содержит три коротких корня.

Строение подгрупп Томпсона требует уточнения для типов О2,3£>4, Е8 [9-11], а также для типа 2 Е6, как показывает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть и - унипотентная подгруппа группы О типа 2 Е6 над конечным полем К. Тогда 3(и) = Зе (и) = Ха2 Ха3 Ха4и2.

Построение больших абелевых подгрупп групп и использует известные понятия. А. И. Мальцев назвал подмножество Т с Ф+ коммутативным, если г + 5 е Ф для любых г, 5 еТ [1]. Описав

наибольшие из таких подмножеств в Ф+, он применил их в описании коммутативных подалгебр наивысшей размерности в простых комплексных алгебрах Ли.

Лемма 1. Наибольшие коммутативные множества системы корней типа Р4 имеют порядок 9 и Ш-

сопряжены с {0122}+и {1221}+ .

Подмножество Т с Ф+ Е. П. Вдовин называл абелевым относительно р, если для любых его корней г, 5 либо г + 5 е Ф и структурная константа С11г5 коммутаторной формулы Шевалле равна нулю в характеристике р, либо г + 5 е Ф [4] (очевидно, это абелевы, как и в [1], множества корней, если р >3 или в Ф все корни одной длины). Такие максимальные подмножества ¥ описаны компьютерными средствами в [4] для типа О2 при р =

2 и 3, а также для типа Р4 при р = 2, где они дают максимальные абелевы подгруппы ХТ = <Хг | г е Т).

Полученные в последнем случае 82 подмножества выписаны в табл. 3 [4] с обозначением Т| ^, где I -

номер строки;] - номер столбца. В частности,

Т1={0121}+, Т2 = {1111}+и{0122}+,

Т 3 ={0011,0111,1111,1231} и {0122}+

есть Т 212, Т 213, Т 610 соответственно. Из [4]

несложно вытекает следующая лемма.

Лемма 2. Всякое максимальное абелево относительно 2 подмножество системы корней типа Р4 либо есть одно из множеств Т1у- , Т4 ^ порядка

10 (1 < у < 13), либо Ш-сопряжено с одним из множеств Тг-, Тг- порядка 11 для I = 1, 2 или 3 (всего 28, 22 или 6 соответственно).

При г, 5, г + 5 е Ф+ выберем

Хг (Р) с Хг, х5 (V) с Х5, Р,У с К, Е¥ * 0.

В [10] доказана следующая лемма.

Лемма 3. Если [хг (Р), х5 (V)] с Q(г + 5), то г + 5 есть класс первого типа, г и 5 не являются классами первого типа и, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, Р с Кст, V с К1-ст .

Положим т(х) := Ь1(х) е Ф+ при всех х еи . Используя лемму 3 и табл. 3 [4], получим две следующие леммы.

Лемма 4. Пусть А - абелева подгруппа группы и

типа 2 Е6 . Тогда для любых ее неединичных элементов х, у множество {т(х),т(у)} - абелево относительно 2, когда т(х) + т(у) еФ, т(х)-проекции всех элементов из А с первым углом т(х) лежат в 1-мерном Кст -модуле.

Лемма 5. Пусть А - большая абелева подгруппа в и, ¥ - максимальное абелево относительно 2 множество системы типа Р4 и Ц (А) с Т. Тогда:

а) подмножество {г1, г2, г3} с Т лежит в Ц (А), если для всех I * у имеем г + г1 еФ и С11гг, = +2;

.1 > J

б) если r + 5еФ для пары {г,5} корней из ¥, не входящей в тройки из п. «а», и Cnr s = +2, то r или s входит в L1( A);

в) если ¥ содержит корень r такой, что (r + Т) п Ф = 0 , то r е Lj (A).

Аналогично, используя леммы 4, 5 и табл. 3 [4], получим следующую лемму.

Лемма 6. Максимальные абелевы относительно 2 подмножества ¥, для которых существует большая абелева подгруппа A с условием Lj (A) сТ, W-сопряжены с Т1 при 2K = 0 и с Т2 при 2K = K. Кроме того, они исчерпываются множествами

XX/ XX/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/

т 2,^ т 2,1^ т 3,^ т 3,^ т 3,1^ т 5,^ т 5,^ т 5,^ т 5,^ т 5,9 ?

ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ . ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/ ХТ/

т5,1^^6,^ *6,jj’ *7,1’ т2,1^ T2,J^^2,1^ т3,1^ T5,2’

Т5 4, Т5 5, Т5 7, Т 6 7, Т 7 2, Т 7 3 соответственно.

Доказательство теоремы 2 вытекает из леммы 6 и табл. 3 [4].

Библиографические ссылки

1. Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1945. Т. 9, № 4. С. 291-300.

2. Barry M. J. J. Large Abelian Subgroups of Chevalley Groups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979. Vol. 27, № 1. P. 59-87.

3. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, № 1 (247). С. 57-96.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Вдовин Е. П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 5. С. 523-544.

5. Gupta C. K., Levchuk V. M., Ushakov Yu. Yu. Hypercentral and Monic Automorphisms of Classical Algebras, Rings and Groups // J. of Siberian Federal Univ. Mathematics & Physics. 2008. Vol. 1, № 4. P. 280-290.

6. Levchuk V. M., Suleymanova G. S., Voitenko T. Yu.

Some Questions for the Unipotent Subgroup of the Chevalley Group // Алгебра и ее приложения : тез. докл. Междунар. конф. / Сиб. федер. ун-т.

Красноярск, 2007. С. 168-169.

7. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. Automorphisms and Normal Structure of Unipotent Subgroups of Finitary Chevalley Groups // Proc. of the Steklov Inst. of Mathematics. 2009. № 3. P. 118-127.

8. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Докл. Рос. акад. наук. 2008. Т. 419, № 5. С. 595-598.

9. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение и экстремальные подгруппы в унипотентной подгруппе групп лиева типа // Фундамент. и прикл. математика. 2011. Т. 17, № 10. С. 169-182.

10. Levchuk V. M., Suleimanova G. S. Extremal and Maximal Normal Abelian Subgroups of a Maximal

Unipotent Subgroup in Lie Type Groups // J. of Algebra. 2012. Vol. 349, № 1. P. 98-116.

11. Сулейманова Г. С. Сопряженность в конечной группе Шевалле типа E8 больших абелевых

унипотентных подгрупп // J. of Siberian Federal Univ. Mathematics & Physics. 2011. Vol. 4, № 4. P. 536-540.

12. Сулейманова Г. С. О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Фундамент. и прикл. математика. 2009. Т. 15, № 7. С. 205-216.

13. Сулейманова Г. С. Классы сопряженных в группе Шевалле типа F4 больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Владикавказ. мат. журнал. 2011. Т. 13, вып. 2. С. 45-55.

14. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М. : Мир, 1975.

15. Carter R. Simple Groups of Lie Type. New York : Wiley and Sons, 1972.

16. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М. : Мир, 1972.

G. S. Suleymanova

EXEPTIONALY LARGE ABELIAN UNIPOTENT SUBGROUPS IN GROUPS OF LIE TYPE

Let G be a group of Lie type over a finite field K and let U be its unipotent subgroup. In the connectoin to the problem of description of large abelian subgroups in the group U of exceptional type, we discover large abelian subgroups in the group U of type 2E6, which are not G-ajoint to a normal subgroup in U. Some results on the Thopson subgroup are revised.

Keywords: group of Lie type, unipotent subgroup, large abelian subgroup.

© Сулейманова Г. С., 2012

УДК 681.34

Р. Ю. Царев, А. В. Штарик, Е. Н. Штарик, М. А. Кочергина, Т. А. Панфилова

АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОТКАЗОУСТОЙЧИВОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ*

Представлено описание программного комплекса анализа вероятностно-временных характеристик отказоустойчивого программного обеспечения распределенных вычислительных систем с использованием ГЕРТ-сетей.

Ключевые слова: отказоустойчивое программное обеспечение, распределенные вычисления, ГЕРТ-сети.

На сегодняшний день распределенные вычислительные системы все чаще используются для решения управленческих, исследовательских и производственных задач. Одним из видов таких систем являются гетерогенные вычислительные системы высокой надежности для высокопроизводительных вычислений (системы обработки высокой пропускной способности), объединящие в единую вычислительную среду гетерогенные вычислительные ресурсы (суперкомпьютеры, серверы, рабочие станции, локальные и глобальные сети с различной пропускной способностью, хранилища данных и пр.), благодаря чему создается единая среда обработки информации и распределенных вычислений.

Большинство исследовательских задач, решаемых в сфере гетерогенных вычислений, направлено на разработку системы поддержки параллельных или распределенных вычислений, стремящихся прибли-

зить практическую продолжительность работы (производительность, коэффициент ускорения) к теоретически возможной для данного кластера.

Постановка задачи. Использование суперкомпьютера или специализированного кластера невозможно или малоэффективно в таких случаях, когда алгоритм программы нельзя эффективно преобразовать из последовательного в параллельный, время выполнения задачи сравнимо со временем создания параллельного алгоритма [1] или требуется решать множество одинаковых задач с различными входными данными, при этом время выполнения каждой задачи в отдельности невелико (не превышает нескольких часов). Для таких задач возможна разработка гетерогенной распределенной вычислительной системы (РВС), использующей узлы с высокой надежностью и отказоустойчивостью.

*Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.