Нормальное строение унипотентной подгруппы симплектической группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 79-83

УДК 512.542.5

НОРМАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ УНИПОТЕНТНОЙ ПОДГРУППЫ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ1

Г. С. Сулейманова

Устанавливается нормальное строение унипотентной подгруппы симплектической группы над полем характеристики 2.

Ключевые слова: группа Шевалле, унипотентная подгруппа, нормальное строение.

Нормальное строение унипотентной подгруппы классической линейной группы над полем К ранее устанавливалось за некоторыми исключениями в случае 2К = 0. В статье рассматривается исключительный случай симплектических групп над полем характеристики 2.

1. В группе Шевалле над полем К, ассоциированной с системой корней Ф, унипо-тентную подгруппу иФ(К) порождают корневые подгруппы хг(К) = Хг, г Є Ф+. Сим-плектическим группам соответствует тип Ф = Сп.

Пусть {г}+ при г Є Ф есть совокупность в Є Ф+ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении в — г через базу П(Ф). Положим

Т(г) = <Х5|в Є{г}+) , ^(Ь) = <Х5|в єигЄі{г}+ \ Ь) , Ь С Ф+.

Назовем {гі,г2,... ,гт} множеством ^(Н) углов в Н С Т(гі)Т(г2)... Т(гт), если при любой замене Т(г*) на ^(г*) включение нарушается. Фреймом для Н назовем множество ^(Н) С П(н) Хв такое, что ^(Н) = Н шоё П(н) Ф(в). Если в-проекция каждого элемента из Н равна произведению г-проекции на фиксированный скаляр, не равный нулю, то г, в называем связанными в Н; их называем р-связанными при р Є С+, если также г + р, в + р Є С.

Ранее [2] на языке углов и фреймов было установлено нормальное строение унипо-тентных подгрупп групп Шевалле классических типов над полем. Как следует из [3], основная теорема из [2] переносится на исключительные группы иСп(К), 2К = 0, |К| > 2 с помощью модификации понятий углов и фреймов — 2-углов и 2-фреймов (определения см. ниже). Этот же подход мы применяем для исследования нормального строения группы иСп(2).

Подмножество Б в Ф+ назовем 2-нормальным, если включения в Є Б, і, в + і, ів + Іі Є Ф+ с нечетной константой Сц)вг (і, І > 0) из коммутаторной формулы Шевалле всегда дают включение ів + Іі Є Б. Через {г}+ обозначим минимальное 2-нормальное подмножество в Ф+, содержащее г. Наряду с Т(г) и ф(Ь) полагаем

Т{г} = <Хв|в Є{г}+) , д{Ь} = <Хв|в Єигєь{г}+ \ Ь) , Ь С Ф+.

© 2008 Сулейманова Г. С.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-00824а.

Назовем {гі,г2,... ,гт} множеством 2-углов с обозначением ^2(Н) в Н С Т {гі}Т {г2} ...Т {гт}, если при любой замене Т {г*} на ^{г*} включение нарушается. Заменив в определении фрейма ^(Н) множеств ф(в) на ^{в} и £(Н) на ^2(Н), приходим к 2-фрейму &2 (Н).

Наша цель — исследовать исключительный для [2] случай симплектических групп над полем характеристики 2.

Нам потребуется представление группы иФ(К) из [1]. Каждый элемент А Є иФ(К) однозначно представляется произведением корневых элементов хг (іг), г Є Ф+, расположенных соответственно фиксированному упорядочению корней [4, лемма 18; 5, 5.3.3]. Выберем подалгебру NФ(К) с базисом ег (г Є Ф+) в алгебре Шевалле типа Ф над К с базисом ег (г Є Ф),... [5, § 4.4] и положим

п(А) = ^ ігег, а о в = п (п-1(а)п-1(в)) (а,в Є NФ(К)).

ГЄФ+

Присоединенное умножение о есть групповая операция на NФ(К), а отображение п : иФ(К) ^ (NФ(К), о) есть групповой изоморфизм. Вместо о в произведении далее обычно пишем +, когда сомножители не зависят от выбора п.

Терминологию для иФ(К) переносим также на NФ(К).

Теорема 1 [3]. Подгруппа Н группы NCra (К) над полем К порядка, большего 2, и характеристики 2 нормальна тогда и только тогда, когда для любого ее 2-угла г и простого корня р с коротким корнем г + р выполнено одно из следующих условий:

(А2) ^2([Н, Хр]) + ^{г + р} С Н, и при |г| = |р| также ^{г+р+в} С Н для короткого корня в Є {г, р}; (В2) в [Н, Хр] два 2-угла д-связаны для простого корня д, в [Н, Хд] два 2-угла связаны, причем ^2([Н,Хр]) + ^2([Н,Х?]) + ^{г + р, г + р + д} С Н.

Обозначим через ро длинный простой корень. Рассмотрим следующие условия на ві, в2 в Н < NCra(K) и простой корень р.

(*) существуют простые корни рц (1 ^ І ^ і), рі = р, короткие корни гц = ві + рі + ... + рц и длинные корни гЦ = в2 + 2рі + ... + 2рц, гц- и гЦ-проекции каждого элемента из Н равны при І < і — 1, гг-1- и г£_і-проекции каждого элемента из Н равны или в Н существует рг-связанный с гг_і 2-угол, отличный от г£_і, причем

г ^{гъ г2,..., гг} + ^{гг} + ^2([Н, Хр]) + ^2([Н, Хрг]) + ^(ег3' + е^.) С Н; Ц=2

(**) в [Н, Хр] два коротких 2-угла д-связаны для простого корня д, в [Н, Хд] два 2-угла связаны, существуют простые корни рц (1 ^ І ^ і), рі = р, короткие корни г/ = ві + рі +... + рц и длинные корни г' = в2 + 2рі + ... + 2рц, гц- и г' -проекции каждого элемента из Н равны при І < і — 1, гг_і- и г^_і-проекции каждого элемента из Н равны или в Н существует рг-связанный с гг_і 2-угол, отличный от г^_і, причем

д{гі + д,гі,г2,...,г*} + ф{г£} + ^2([Н,ХРі ])

г

+ ^2 ([Н,Хр ])+ ^2 ([^ЗД + ^е,, + е„,) С Я.

ц=2

Теорема 2. Подгруппа Н группы NCra(K) над полем К порядка 2 нормальна тогда и только тогда, когда для любого ее 2-угла г и простого корня р с коротким корнем г + р выполнено одно из условий (А2), (В2) или следующих условий:

(С2) г — длинный корень, и выполняется условие (*) для ві = в2 = г;

(^2) г — длинный корень, существует 2-угол г7 £ {ро}+ — короткий корень, р-связанный с корнем г, и выполняется условие (*) или (**) для 51 = г7, 52 = г;

(Е2) р — длинный корень, и выполняется условие (*) для 51 = г, 52 = 2г — р;

(^2) г £ {ро} + , существует 2-угол г7 — длинный корень, р-связанный с корнем г, и выполняется условие (*) или (**) для 51 = г, 52 = г7;

2. Известно, что если Н С NФ(К) и [Н, Хр] = 0, то углы в [Н, Хр] имеют вид р + 5*, где 5* £ иге^(Я){г}+, 1 ^ ^ к, 1 ^ к ^ 3, причем равенство к = 3 достигается лишь

при Ф = ^п или Для 2-углов в [Н, Хр] справедлива

Лемма 3. Пусть Н С N0^^), 2К = 0, р £ С+ и [Н, Хр] = 0. Тогда

^2([Н,Хр]) = {р + 5* | 1 ^ ^ к}, 5* £ иг6^2(я){г}+, 1 ^ к ^ 3.

Если к = 3, то в [Н, Хр] найдется длинный корень г, причем {г}+ С {5}+ для некоторого короткого корня 5 £ ^2 ([Н, Хр]). Когда Н есть подгруппа аддитивной или присоединенной групп N0^^), и ^2([Н,Хр]) не содержит длинных корней, то 2-фрейм в [Н, Хр] является К-подмодулем в N0^^) и равен 2-фрейму лиева произведения Н на Хр в подалгебре N0^^).

< Очевидно, что каждое из множеств £(Н), ^2(Н) содержит не более, чем п элементов, причем

[Н, Хр] С <Т(5 + р) 1 5 £ иг6^(Я) {г}+) 5 + р £ £+) ,

[Н, Хр] С <Т{5 + р} 1 5 £ иг6^2(я) {г}+) 5 + р £ ^+)

и ^2([Н,Хр]) = {р + 51 ,р + 52, . . . ,р + 5к}, £([Н,Хр]) = {р + 51,р + 52, . . . ,р + 5^}. Наименьшая в Сп подсистема корней, содержащая £([Н,Хр]) и все корни р, 5*, имеет связный граф Кокстера, причем множества {р + 5*}+ попарно не инцидентны в Сп. Когда ее ранг т +1 > 3, согласно известной классификации систем корней, подсистема имеет тип ^4, поэтому т ^ 2. Для коротких корней г, 5 множества {г}+ и {5}+ инцидентны тогда и только тогда, когда инцидентны {г}+ и {5}+. Множества {р + 5*}+ для 2-углов р + 5* в ^>([Н, Хр]) также попарно не инцидентны. Поэтому, если все корни в ^2([Н, Хр]) короткие, то к ^ 2. Если же к = 3 и г £ ^2([Н,Хр]) — длинный корень, то множество {г}+ содержится в {5}+ для некоторого короткого корня 5 £ ^2([Н,Хр]).

Согласно определению, фрейм ^2(Н) дают элементы из Н, если в их канонических разложениях отбросить все сомножители ае5 с 5 £ ^2(Н). Операции сложения и присоединенного умножения на Н по модулю ^ге^2(Я) ^{г} совпадают. Отсюда и из коммутаторной формулы Шевалле следует, что для подгруппы Н аддитивной или присоединенной групп N0^^) в условиях леммы фрейм в [Н, Хр] является К-модулем. >

Из представления систем классического типа Ф+-матрицами [1] сразу вытекает

Лемма 4. Пусть в Ф+ классического типа существуют простые корни р, д и не инцидентные корни г, 5 с условием г + р, 5 + р, г + р + д, 5 + р + д £ Ф+. Тогда Ф = Ап и при г + д £ Ф имеем 5 + д £ Ф и Ф = 0п. Если существует Ь £ Ф+ с условием г + р + д + Ь, 5 + р + д + Ь £ Ф+, то Ф = Бп.

Лемма 5. Если Н С NФ(К), г £ £(Н), р, г + р £ Ф+ и (г + р)-проекции в [Н, Хр] и Хг+р не равны, то сгр К = 0 для структурной константы сгр базиса Шевалле.

< Ясно, что г-проекция Нг на угол г в Н не зависит от упорядочения корней. Очевидно также, что г + р есть угол в [Н, Хр] тогда и только тогда, когда взаимный коммутант [Н, Хр] имеет (г + р)-проекцию ^ = 0. Подмножество {г, р, г + р} лежит в подсистеме корней типа А2, В2 или ^2, причем ^ = сгр КНГ = сгр К; при ^ = К получаем равенство сгр К = 0 и поэтому либо |сгр| = р(Ф), либо Ф = ^2 и 2К = 0. >

Следствие 6. Если H < U = UФ(К) и s £ UrSL(H) {r}+, то s есть угол в H или [U, H], либо р(Ф)К = 0 и корень s длинный, либо Ф = G2, 2K = 0.

Рассмотрим следующее условие на угол r в H < NCn (K), простой корень p и корень r;:

(***) существуют простые корни Pj (1 ^ j ^ t), pi = p, короткие корни rj = r + pi + ... + pj и длинные корни rj = Г + 2pi + ... + 2pj, rj- и rj-проекции каждого элемента из H равны при j < t, причем

t

Q{r,ri,r2,... ,rt} + Q{rt} ^^(erj + er/) с H.

j=1

Лемма 7. Пусть H <1 UCn(2), L2(H) = {r}, p — простой корень с коротким корнем r + p. Тогда выполняется одно из следующих условий:

а) Q{r} С H;

б) r — длинный корень, и выполняется условие (***) для r' = r;

в) p — длинный корень, и выполняется условие (***) для r' = 2p — r.

< Если r — короткий корень, и r + po не является корнем, то взаимный коммутант [H, XP] имеет единственный 2-угол для всех простых корней p таких, что r + p £ C+. Применяя индукцию по высоте корня r, легко получаем включение T{r + p} С H и условие а).

Предположим далее, Q{r} С H. Тогда r — длинный корень или r + po — корень. В первом случае, помимо 2-угла r + p, взаимный коммутант [H, XP] имеет 2-угол r + 2p, во втором — 2r + p.

Рассмотрим первый случай. Пусть pi = p,p2,...,ps — простые корни, такие, что rj = r + pi + ... + pj, rj = r + 2pi + ... + 2pj (1 ^ j ^ s) — корни, и t — наименьший

индекс, для которого Q{rt} С H. Если t ^ 2, то найдется такой простой корень q = p3,

что r2 + q — корень, причем этот корень является единственным углом во взаимном коммутанте [[[H, XP1 ],XP2],Xq]. Отсюда получаем включение T{r2 + q} С H и, таким образом, Q{ri,r2,... ,rt} С H. Учитывая полученное включение и соотношение

H — [[. . . [[H, Xpi], XP2] . . .], XPs] — ers + (1 ^ s ^ t),

повторными коммутированиями получаем включения Ker С H для всех j > t и, таким образом, включение Q{rt} С H. Пусть, наконец, в H найдется элемент а, у которого rj - и rj-проекции различны, j < t. Если при этом rj-проекция ненулевая, то применяя к взаимному коммутанту [a,XPj.+1 ] с единственным углом rj+i доказанное утверждение а), получаем, что Kerj+1 С H, а значит, и Kert С H, вопреки выбору t. К этому же противоречию приходим в случае, когда rj-проекция ненулевая, рассмотрев соотношения

H — [[... [[a,XPj+i ],XPj+2] ...],XPt] = Ker^ mod Q{ri ,r2,...,rt} + Q{rt}

и H — ert + er/. Таким образом, выполняется условие б).

Утверждение в) получаем аналогично, рассмотрев второй случай. >

Рассуждения, проведенные для взаимного коммутанта [H, XP] при рассмотрении случая б) доказанной леммы, почти дословно переносятся для нормальной подгруппы H с двумя связанными углами, один из которых — длинный корень. В результате получаем следующую лемму.

Лемма 8. Пусть H < UCn(2), L2(H) = {r, r'}, где r' — длинный корень, r £ {p0}+, причем эти 2-углы p-связаны для простого корня p с коротким корнем r + p. Тогда для r, r' выполняется условие (***).

< Доказательство теоремы 2. Если r короткий корень, то по лемме 5, r+p является 2-углом в [H, XP] в условиях теоремы. Когда этот 2-угол единственный, нормальное замыкание коммутанта [H, XP] по лемме 7 содержит Q{r + p}, а поэтому и F2QH, XP]). Леммы 5, 7 и следствие 6 приводят к тем же включениям, если 2-углы в [H, XP] не связаны.

Допустим, что для нормальной подгруппы H Q{r + p} ^ H. Тогда, в силу сказанного выше, взаимный коммутант [H, XP] имеет больше одного 2-угла, причем эти углы связаны.

Пусть в L2([H, XP]) имеется ровно два 2-угла, эти 2-углы q—связаны для некоторого простого корня q, и T{r + p + q} ^ H. Рассмотрим вначале случай, когда оба этих угла — короткие корни, имеющие вид {r + p, s + p}. Тогда и корни r, s, p, а также r + p + q, s + p + q — короткие. По лемме 3 фреймы в [H,] и [[H, XP],Xq] есть инцидентные подмодули 2-мерного K—модуля F2(T{r + p + q} + T{s + p + q}). Поэтому они 1-мерны и совпадают. Отсюда следует, что прибавлением элемента из фрейма F2([H, XP]) можно аннулировать одновременно r + p- и s + p- проекции любого элемента из H. В силу лемм 4 и 7 имеем включение Q{r + p, r + p + q} С H. Таким образом, H удовлетворяет условию (B2).

Если один из двух 2-углов взаимного коммутанта [H, XP] — длинный корень, тогда второй угол должен лежать в {po}+, и в L2(H) есть длинный корень. Пусть r — длинный корень. Если r не связан в H ни с каким углом из множества {po}+, то взаимный коммутант [H, XP] имеет 2-углы r + p, r + 2p, и по лемме 8 получаем условие (C2). Если же r связан с некоторым углом r' £ {po}+, то взаимный коммутант [H, XP] имеет 2-углы r' + p, r + 2p, и вновь с использованием леммы 8, получаем условие (D2), (*). Если же r — короткий корень, связанный с длинным корнем s, то, применяя лемму 8 ко множеству [H, XP] с двумя 2-углами r + p, s + 2p, получаем условие (F2), (*).

В случае, когда p — длинный корень, получаем случай (E2).

Пусть, наконец, взаимный коммутант [H, XP] имеет три связанных 2-угла. Тогда по лемме 3 один из углов — длинный корень, и поэтому приходим к условиям (D2), (**) или (F2), (**). >

Литература

1. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика.— 1990.-Т. 29, № 3.—C. 315-338.

2. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение и абелевы нормальные подгруппы унипотентной подгруппы группы Шевалле // Межд. конф. «Классы групп, алгебр и их приложения».— Гомель, 2007.—C. 98-99.

3. Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Доклады Академии наук.—2008.—№ 5.—C. 3-6.

4. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.— М.: Мир, 1975.—375 с.

5. Carter R. Simple groups of Lie type.— N. Y.: Wiley and Sons, 1972.—332 c.

Статья поступила 30 января 2008 г.

Сулейманова Галина Сафиуллановна Сибирский федеральный университет Красноярск, 660041, РОССИЯ E-mail: [email protected]