CC BY
38
УДК 513.6
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 4
О ПОДГРУППАХ, НОРМАЛИЗУЕМЫХ EO(2/, R)* С. В. Бакулин1, Н. А. Вавилов2
1. С.-Петербургский государственный университет, студент, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
В настоящей работе мы покажем, что задача описания подгрупп полной линейной группы GL(n, R), нормализуемых классической группой, .значительно сложнее, чем ранее считалось. Для четного ортогонального случая мы проведем детальное вычисление уровня, из которого вытекает, что даже при условии 2 G R* уровень определяется тремя идеалами в R, а не двумя, как было принято думать.
1. Введение. Направление, к которому относится настоящая работа [19, 7], возникло около 30 лет назад, когда Зенон Боревич и второй автор описали подгруппы GL(n, R) над коммутативным кольцом R, содержащие элементарную подгруппу, отвечающую подсистеме (subsystem subgroup)
E (v, R) = E(ni, R) ® E(nt, R),
где v = (ni,..., nt), ni + ... + nt = n, причем щ > 3, см. [3]. Игорь Голубчик [8] сразу же уточнил этот результат до описания подгрупп в GL(n, R), нормализуемых E(v, R).
Следующий крупный прорыв произошел в последнее десятилетие, когда второй автор и Виктор Петров [4]-[6], [11], [15] и, независимо, Ю Хонг [21]-[23] и его ученики [20] описали подгруппы в GL(n, R), содержащие элементарную классическую группу Шевалле EO(n, R) или Ep(2/, R), или баковскую унитарную группу EU(2/,R, Л), n = 2/. Эти работы были тут же продолжены Александром Лузгаревым, который изучил надгруппы элементарных исключительных групп Шевалле в минимальных представлениях [9], [10].
Ограничимся для конкретности ортогональным случаем. Описание надгрупп EO(n, R) дается в терминах идеалов A < R кольца R, основную роль при этом играет группа
EEO(n, R, A) = EO(n, R)E(n, R, A),
где, как обычно, E(n, R, A) обозначает относительную элементарную подгруппу уровня A в GL(n, R). Рассмотрим теперь гомоморфизм редукции pa : GL(2/,R) —> GL(2/, R/A) и обозначим через CGO(n, R, A) полный прообраз полной ортогональной
* Второй автор осуществлял работу над данной статьей в рамках проекта РФФИ 09-01-00878 «Надгруппы редуктивных групп в алгебраических группах над кольцами» и кооперативного проекта РФФИ/НАН Вьетнама 09-01-90304 «Структурная теория классических и алгебраических групп». На заключительном этапе он пользовался также поддержкой РФФИ (проекты 09-01-00762, 09-0100784, 09-01-91333, 10-01-92651, 10-01-90016). Кроме того, работа обоих авторов поддержана НИР 6.38.74.2011 Санкт-Петербургского государственного университета, «Структурная теория и геометрия алгебраических групп и их приложения в теории представлений и алгебраической K-теории». © С. В. Бакулин, Н. А. Вавилов, 2011
группы GO(n, R/A) относительно рд. Можно доказать, что CGO(n, R, A) совпадает с нормализатором EEO(n, R, A) в GL(n, R), (см. [4], [6], [11] по поводу деталей).
Оказывается, что при незначительных ограничениях — например, когда 2 G R*, и n > 6 — для любой подгруппы H в G = GL(n, R), содержащей элементарную ортогональную группу EO(n, R), существует единственный идеал A < R такой, что
EEO(n, R, A) < H < CGO(n, R, A).
Естественно спросить, можно ли уточнить это описание до описания подгрупп в GL(n, R), нормализуемых группой EO(n, R)? Начиная с 1990 года мы много раз формулировали этот вопрос в наших статьях, в частности, в [18], §11, [17], §13, [5], проблема 4, [6], проблема 2, [7], проблема 16.
Ясно, что такой результат служил бы одновременным обобщением большого количества известных результатов, в частности,
• только что упомянутых результатов Виктора Петрова, второго автора и Ю Хонга о надгруппах расщепимых классических групп;
• теоремы Уилсона—Голубчика о нормальном строении GL(n, R);
• результатов Игоря Голубчика, Ли Фуаня, Леонида Васерштейна и других о нормальном строении расщепимых классических групп.
Не имея возможности дать здесь детальные ссылки на эти работы, мы отсылаем читателя к [18], [17], [14].
При этом мы интерпретировали основной результат статьи Алексея Степанова [12] в следующем духе: описание подгрупп в группе G, нормализуемых фиксированной подгруппой F, в основном сводится к описанию 1) надгрупп F в G, 2) нормальных подгрупп самой группы F. Так как для рассматриваемой нами ситуации и то и другое теперь известно, причем ответ на каждую из этих подзадач дается в терминах одного идеала, ответ на общий вопрос напрашивался сам собой.
В [18] по этому поводу утверждается следующее: "Then it is of course an easy exercise with the Chevalley commutator formula to pull our linear or orthogonal elementary root unipotents and to establish standard description for the subgroups of GL(n, R) normalized by EO(n, R)". В [17] то же самое высказано еще более недвусмысленно: "This allows to establish a standard description for the subgroups of GL(n, R) normalized by EO(n, R) in terms of pairs of ideals of the ground ring".
Несомненно, при этом имелось в виду примерно следующее: для описания подгрупп в GL(n, R), нормализуемых EO(n, R), достаточно релятивизировать группы EO(n, R) не только по отношению к GL(n, R), но и по отношению к SO(n, R). А именно, пусть A, B < R — два идеала кольца R, причем B < A. Положим
EEO(n, R, A, B) = EO(n, R, A)E(n, R, B),
где EO(n, R, A) —относительная элементарная ортогональная группа уровня A. Положим, кроме того,
CGO(n, R, A, B) = {g G GL(n, R) | [g, EO(n, R)] < EEO(n, R, A, B)j.
Процитированные выше фразы подразумевали следующий ответ на задачу описания подгрупп в GL(n, R), нормализуемых EO(n, R). При условии 2 G R* для любой такой подгруппы H существует единственная пара идеалов A, B < R, B < A, такая что
EEO(n, R,A,B) < H < CGO(n, R, A, B),
Однако в настоящей статье, которая является курсовой работой первого автора, выполненной под руководством второго, мы покажем, что это совершенно не так, и что — даже в простейшей ситуации, когда п = 21 и 2 € Я*, — стандартный ответ должен формулироваться в терминах трех идеалов кольца Я, а вовсе не двух. Чтобы объяснить, что здесь, собственно, происходит, начнем со следующего наблюдения.
2. Простейший контр-пример. Прежде всего, заметим, что при 2 € Я* сформулированный в предыдущем пункте вариант стандартного описания заведомо нарушается. Это происходит уже в случае, когда п = 21 четно, а Я = К — поле характеристики 2. В самом деле, в этом случае ортогональная группа содержится в симплектической, так что в качестве контр-примера можно взять Ер(п, К). Эта ситуация детально изучена в 1980-е годы в работах Роджера Дая, Оливера Кинга, Ли Шанчжы и Евгения Башкирова, ссылки на их работы можно найти в [19], [5]—[7].
При условии 2 € Я* контр-примеров на уровне полей нет — как мы увидим, причина этого состоит в том, что в поле все идеалы идемпотентны. С другой стороны, уже для локальных колец предложенный выше ответ безнадежно неверен.
А именно, пусть Я = К[¿] = К ф ¿К, ¿2 = 0,—кольцо двойных чисел над полем К. Рассмотрим идеал ¿Я = ¿К < Я. Ясно, что имеет место изоморфизм СЬ(п, Я, ¿Я) = М(п, ¿К) = ¿М(п, К), д ^ д — е. Таким образом, подгруппы в СЬ(п, Я, ¿Я) имеют вид е + ¿V, где V является аддитивной подгруппой в М(п, К). При этом подгруппа е + ¿V в том и только том случае нормализуется БО(п, Я), когда V является БО(п, К)-инвариантным подпространством М(п, К).
Два таких нетривиальных инвариантных подпространства очевидны, это алгебра Ли в[(п, К) специальной линейной группы, состоящая из матриц со следом 0, и алгебра Ли 5о(п, К) самой ортогональной группы, состоящая из матриц со следом 0, антисимметрических относительно побочной диагонали. При описанном выше соответствии &{(п, К) отвечает подгруппа Е(п, Я, ¿Я), а 5о(п, К) —подгруппа EO(n, Я, ¿Я).
Пусть теперь еЬаг(К) = 2. В этом случае &{(п, К) раскладывается в прямую сумму 50(п, К) и дополнительного инвариантного подпространства V, состоящего из матриц со следом 0, симметрических относительно побочной диагонали. Ясно, что е + ¿V дает пример подгруппы в СЬ(п, Я), которая нормализуется ЕО(п, Я), не коммутирует с ЕО(п, Я), но при этом не содержит никаких нетривиальных элементарных линейных трансвекций Ьц(£), г = ±з, £ = 0, и никаких нетривиальных элементарных ортогональных ТЦ(£), г = ±3, £ = 0 (см. следующий пункт). Ясно, что такая группа не укладывается в предложенный в предыдущем пункте ответ.
3. Основные обозначения. Чтобы сформулировать основные результаты настоящей работы, нам необходимо напомнить некоторые стандартные обозначения. В дальнейшем мы рассматриваем полную линейную группу О = СЬ(п, Я) степени п над Я. Как обычно, е обозначает единичную матрицу, а ец — стандартную матричную единицу. Для £ € Я и 1 < г = з < п через Ьц (£) = е + £ец обозначается соответствующая [элементарная] [линейная] трансвекция. Идеалу I < Я сопоставляется элементарная подгруппа
Е(п,1 ) = (Ьц(£), £ € I, 1 < г = з < п).
В свою очередь, относительная элементарная подгруппа Е(п, Я, I) уровня I определяется как нормальное замыкание Е(п, I) в Е(п, Я).
В дальнейшем мы ограничимся случаем четной степени п = 21. Нам будет удобно занумеровать строки и столбцы матриц из О следующим образом: 1,...,1, —I,..., — 1.
Основную роль в нащих вычислениях играют следующие два типа [элементарных] трансвекций орто-симплектического типа:
T+ (О = tij(Cjt-j-i(-0 = е + íeij - Ze-j-i,
T- (e) = tij(e)t-j,-i(e) = e + Zeij + Íe-i-i-
Эти трансвекции удовлетворяют аналогам соотношений Стейнберга. Например, если ±i, ±j, ±h попарно различны, то
[T+ (0,T+h(C)] = [T- (0,Tjh(()] = t+(eZ), [Tj (0,Tjh(()] = [T- (OjC)] = Т- (ec)
— это коммутационная формула Шевалле для случая двух коротких корней, сумма которых также короткий корень.
С другой стороны, если ±i, ±j попарно различны, то
[Tj (Oj (Z)] = [T- (Oj (Z)] = e, [Tj (Oj (Z)] = T- (0,T+_i(C)] = ti-i (2ZZ)
— это коммутационная формула Шевалле для случая двух коротких корней, сумма которых длинный корень.
Нам остается еще написать аналог коммутационной формулы Шевалле для случая короткого и длинного корней. Она имеет вид
[Tj (e),tj- (z )] = T-_j (ez)ti-i (e2z), T- (e),tj-(z )] = T+_j mu- (e2 z ).
В дальнейшем мы будем часто опускать '+' в обозначении ортогональной трансвекции Tij (e) и писать просто Tj (£). Идеалу I < R сопоставляется элементарная ортогональная группа
ео(п,i) = (Tij(e), e e i, i < i = ±j < -i),
порожденная всеми элементарными ортогональными трансвекциями уровня I. Относительная элементарная ортогональная подгруппа EO(n, R, I) уровня I определяется как нормальное замыкание EO(n, I) в EO(n, R).
Следующий результат — это лемма 8 работы [6]. Лемма 1. Пусть n > 5, тогда для любого идеала I < R имеет место равенство
E(n, I)EO(nR) = E(n,R,I).
4. Уровень подгруппы. Пусть теперь H — подгруппа в GL(n, R), нормализуемая EO(n, R). Для каждой пары i = ±j рассмотрим аддитивные подгруппы
Aij = Aij (H) = {a e R | tij (a) e H}, Bij = Bij(H) = {в e R I Tj(в) e H}, Cij = Cij(H) = {7 e R I T- (y) e H}, Di-i = Di-i(H) = {¿ e R I ti-i(S) e H}.
Так как при / > 3 группа Вейля W(D;) = Oct; транзитивно действует на множестве пар (i,j), i = ±j, а группа EO(2/,R) содержит прообразы всех элементов из W(D;), то в действительности эти подгруппы не зависят от выбора (i, j).
Обозначим общие значения Aj, Bij, Cj и Dij через A = A(H), B = B(H), C = C(H) и D = D(H) соответственно. Сейчас мы покажем, что в действительности A, B и C являются идеалами в R, а D является квадратичным идеалом. Иными словами, £2D < D для любого £ G R. В процессе этого мы заново убедимся, что они не зависят от выбора пары (i,j), не ссылаясь при этом на транзитивность действия группы Вейля.
Лемма 2. Пусть H — подгруппа в GL(2/, R), / > 3, нормализуемая EO(2/, R). Тогда все A = Aij, i = ±j, совпадают, причем A < R.
Доказательство. Так как n > 6, найдется индекс h такой, что все индексы ±i, ±j, ±h попарно различны. Тогда для произвольных a G Aj и £ G R имеем
tih(a£) = [tij(a),tjh(£)] = [tij(a),Tjh(£)] G H.
Тем самым, Aj R < Aih и, в частности, Aj < Aih. Точно так же,
thj(£a) = [thi(£),tij(a)] = [Thi(£),tij(a)] G H,
так что RAij < Ahj и, в частности, Aj < Ahj. Но это и значит, что все аддитивные подгруппы Aij, i = ±j, совпадают и являются идеалами.
Лемма 3. Пусть H — подгруппа в GL(2/, R), / > 3, нормализуемая EO(2/, R). Тогда все B = Bij, i = ±j, совпадают, причем B < R.
Доказательство. Как и в доказательстве предыдущей леммы, возьмем индекс h такой, что все индексы ±i, ±j, ±h попарно различны. Тогда для произвольных в G Bij и £ G R имеем
Tih (в£) = [Tij (в), Tjh (£)] G H и Thj (£в) = [Thi (£), Tij (в)] G H.
Тем самым, BijR < Bih и RBj < Bhj. В частности, Bij < Bih и Bij < Bhj. Но это и значит, что все аддитивные подгруппы Bij, i = ±j, совпадают и являются идеалами.
Следующая лемма доказывается точно так же, с заменой коммутационного соотношения между ортогональными трансвекциями на коммутационное соотношение между симплектическими трансвекциями.
Лемма 4. Пусть H — подгруппа в GL(2/, R), / > 3, нормализуемая EO(2/, R). Тогда все C = Cj, i = ±j, совпадают, причем C < R.
В следующей лемме через (A : 2) обозначается идеал в R, состоящий из тех £ G R, для которых 2£ G A. Ясно, что если 2 G R*, то (A : 2) = A.
Лемма 5. В условиях предыдущих лемм между идеалами A, B, C выполняются следующее соотношения:
i) A < B П C;
ii) B П C = B П (A : 2) = C П (A : 2) = B П C П (A : 2);
iii) C2 < B.
Доказательство. Пункт i сразу вытекает из определения Ti+jj(£) и T-(£).
Пункт п — это просто другая форма утверждения, что пересечение любых двух идеалов В, С и (А : 2) содержится в третьем. В самом деле, это сразу вытекает из равенства Т+ (£Щ (О = ¿а (2£).
Наконец, ш вытекает из того, что [Та (£),Т^(С)] = Т+а (££). В общем случае анализ подгрупп Бг — чуть сложнее. Лемма 6. Пусть Н — подгруппа в СЬ(2/, К), I > 3, нормализуемая ЕО(21, К). Тогда все Б = Бг, г = ±, совпадают, причем Б является квадратичным идеалом в К таким, что 2С < Б < С.
Доказательство. Возьмем произвольный индекс ] = ±г. Тогда для произвольных 5 € Бг — и £ € К имеем
[Та(£)Л-(5)] = (5£2)(5£) € Н.
Полагая здесь £ = 1 и воспользовавшись тем, что все подгруппы совпадают, мы
видим, что Т0,_г(6) € Н для любого 5 € Б.
Не ссылаясь на транзитивность действия группы Вейля, в этом можно убедиться следующим образом. Коммутируя результат предыдущего вычисления с противоположной ортогональной трансвекцией с параметром £ € К, получаем
[Та(С), [Тц(£),и,—¿(5)]] = (5£2£К—г(5££(££ + 2)) € Н.
Полагая здесь £ = £ =1 и вспоминая, что - ¿(5) € Н по предположению, мы снова получаем Т^¿(5) € Н.
Теперь, снова возвращаясь к первому равенству и пользуясь леммой 4, мы видим, что ¿а, — а(5£2) € Н. Но это и значит, что —г < Ба, — а, причем все —г являются квадратичными идеалами.
Для завершения доказательства остается только заметить, что для любого 7 € С и любого £ € К
^—г(25£) = [Та(5),Т,—¿(£)] € Н.
5. Основные результаты. Теперь у нас все готово, чтобы сформулировать основные результаты настоящей работы. Ограничимся для простоты случаем 2 € К*, так как в настоящее время совершенно нереалистично пытаться описывать подгруппы в СЬ(2/, К), нормализуемые ЕО(21, К), без этого дополнительного условия. В этом случае из леммы 6 вытекает, что С = Б. Кроме того, пункты 1 и И леммы 5 превращаются теперь из неравенств в равенство А = В П С. Тем самым, пункт ш этой леммы дает включение С2 < В П С = А.
Назовем тройку идеалов (А, В, С) кольца К допустимой, если С2 < А = В П С. Каждой допустимой тройке можно сопоставить следующую подгруппу, нормализуемую ЕО(21, К):
ЕЕО(21, К, А, В, С) =
= {¿а (а),Т+ (0),Тг. Ш,—¿(7) | 1 < г = ±3 <-1,а € А, в € В,1 € С)ЕО{21'Е).
Теперь мы можем суммировать леммы 2-6 следующим образом. Теорема 1. Пусть Н — подгруппа СЬ(2/, К), I > 3, нормализуемая ЕО(21, К). Тогда существует наибольшая допустимая тройка (А, В, С) идеалов кольца К такая, что
ЕЕО(21, К, А, В, С) < Н.
Заметим, что из леммы 1 вытекает, что
EEO(2/, R, A, B, C) = E(2/, R, A) EO(2/, R, B) ES(2/, R, C), где группа ES(2/, R, C) определяется следующим образом:
ES(2/, R, C) = {T_ (y),u-(y) | 1 < i = ±j < -1, y G C)EO{2lR).
Тем самым, настоящий стандартный ответ отличается от того, который ожидался ранее, ровно наличием третьего множителя ES(2/, R, C). Как показывает пункт 2, этот третий множитель может быть нетривиален даже, когда A = B = 0.
Теперь у нас все готово, чтобы доказать второй основной результат настоящей работы.
Теорема 2. Для любой допустимой тройки (A, B, C) идеалов кольца R группа EEO(2/, R, A, B, C), / > 3, является EO(2/, R)-совершенной.
Доказательство. По самому определению EEO(2/, R, A, B, C) нормализуется EO(2/, R) и, таким образом,
H = [EEO(2/, R, A, B, C), EO(2/, R)] < EEO(2/, R, A, B, C).
Чтобы доказать обратное включение, достаточно убедиться, что все образующие EEO(2/, R, A, B, C) — как подгруппы, нормализуемой EO(2/, R), — лежат в H .В самом деле, пусть индексы ±i, ±j, ±h попарно различны.
• Для любого a G A имеем tij(a) = [tih(a), Thj(1)] G H.
• Для любого в G B имеем Tij(в) = [Tih(e),Thj(1)] G H.
• Для любого y G C имеем T_ (y) = [T__ (y), Thj (1)] G H.
• Для любого y G C имеем ti _ (y) = [j(1/2),Ti"_j(y)] G H.
6. Заключительные замечания. В §5 работы [16] Алексей Степанов возвращается к задаче описания подгрупп в G, нормализуемых фиксированной подгруппой F, которой посвящена его работа [12]. В частности, в некоторых ситуациях там описаны подгруппы групп Шевалле, нормализуемые подгруппой, отвечающей подкольцу (subring subgroups). В работе [16] объясняется, что в действительности результаты статьи [12] полностью сводят описание подгрупп в G, нормализуемых F, к описанию 1) надгрупп F в G, 2) нормальных подгрупп, но не только в самой группе F, а во всех ее F-совершенных надгруппах H, [H, F] = H.
Таким образом, возникшая в настоящей работе третья компонента уровня C, отвечающая матрицам, симметрическим относительно побочной диагонали, неизбежно возникла бы уже при описании нормальных подгрупп в группах EEO(n, R, A), A < R. Просто до [16] и настоящей работы никому не приходило в голову рассматривать такую задачу.
Поучительно сравнить результаты настоящей работы с результатами работ Алексея Ананьевского, второго автора и Сергея Синчука [1], [2] о надгруппах тензорных произведений. Там также выяснилось, что ответ дается не в терминах одного идеала, как ранее предполагалось, а в терминах трех идеалов, два из которых играют роль форменных параметров.
Теперь становится ясно, что и для других ситуаций, которые обсуждались в наших работах [18], [19], [17], [7] ответ будет .значительно сложнее, чем это казалось в 1990-е годы. Обратимся, например, к задаче описания подгрупп в группе Шевалле G(E6, R), нормализуемых подгруппой E(F4, R), которую рассматривал Александр
Лузгарев [9], [10]. Даже в предположении 6 £ R* уровень описывается тремя идеалами, отвечающими 1) корням Еб, 2) коротким корням F4 и 3) 26-мерному F4-инвариантному подпространству в алгебре Ли типа Еб, дополнительному к алгебре Ли типа F4, 78 = 52 + 26.
В общем случае в этой задаче, кроме того, возникнут еще два форменных параметра. А именно, как известно уже из описания нормальных подгрупп в G(F4, R), при 2 £ R* идеал, отвечающий длинным корням F4, не обязан совпадать с идеалом, отвечающим коротким корням F4. Еще причудливее ситуация при 3 £ R*, когда становится приводимым 26-мерное представление. Мы подозреваем, что в этом случае возникнут новые группы, определяемые дополнительными сравнениями на диагональные элементы матриц. Ранее подобные сравнения возникали при 2 £ R* в описании идеалов алгебр Шевалле в работах Джеймса Харли. Обсуждение этого феномена и ссылки на оригинальные статьи можно найти в [13].
В заключение авторы благодарят Виктора Петрова и Алексея Степанова за многочисленные полезные обсуждения.
Литература
1. Ананьевский А. С., Вавилов Н.А., Синчук С. С. Об описании надгрупп E(m,R) ® E(n,R) // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2009. Т. 365. C. 5-28.
2. Ананьевский А. С., Вавилов Н. А., Синчук С. С. О надгруппах E(m, R) ® E(n, R). I. Уровни и нормализаторы // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23, №5. С. 55-98.
3. Боревич З. И., Вавилов Н. А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1984. T. 165. C. 24-42.
4. Вавилов Н.А., Петров В. А. О надгруппах EO(2/,R) // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2000. T. 272. C. 68-85.
5. Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах Ep(2¿, R) // Алгебра и анализ. T. 15. 2003. Вып. 3. С. 72-114.
6. Вавилов Н. А., Петров В. А. О надгруппах EO(n, R) // Алгебра и анализ. 2007. T. 19. Вып. 2. С. 10-51.
7. Вавилов Н. А., Степанов А. В. Надгруппы полупростых групп // Вестн. Самарского ун-та, Естественнонаучная сер. 2008. Вып. 3. С. 51-95.
8. Голубчик И. З. О подгруппах полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Успехи мат. наук. 1984. T. 39. Вып. 1. С. 125-126.
9. Лузгарев А. Ю. Надгруппы E(F4,R) в G(Ea,R) // Алгебра и анализ. T. 20. 2008. Вып. 6. С. 148-185.
10. Лузгарев А. Ю. Надгруппы исключительных групп: канд. дис. СПбГУ, 2008. С. 1106.
11. Петров В. А. Надгруппы классических групп: канд. дис. СПбГУ, 2005. С. 1-129.
12. Степанов А. В. О расположении подгрупп, нормализуемых фиксированной // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1991. T. 198. С. 92-102.
13. Hazrat R., Petrov V., Vavilov N. Relative subgroups in Chevalley groups //J. K-theory. 2010. T. 5. P. 603-618.
14. Hazrat R., Vavilov N. Bak's work on K-theory of rings (with an appendix by Max Karoubi) // J. K-Theory. 2009. Vol.4. Issue 1. P. 1-65.
15. Petrov V. Overgroups of unitary groups // K-theory. 2003. Vol. 29. P. 147-174.
16. Stepanov A. Subring subgroups in ^evalley groups with doubly laced root systems // J. Algebra. 2011.
17. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // J. K-Theory. 2000. Vol. 19. P. 109-153.
18. Vavilov N. Structure of Chevalley groups over commutative rings // Proc. Conf. Nonasso-ciative algebras and related topics. Hiroshima, 1990. London et al.: World Scientific, 1991. P. 219335.
19. Vavilov N. Intermediate subgroups in Chevalley groups // Proc. Conf. Groups of Lie type and their Geometries (Como, 1993). Cambridge Univ. Press, 1995. P. 233-280.
20. Wang Xingtao, Hong Chengshao. Overgroups of the elementary unitary group in linear group over commutative rings //J. Algebra. 2008. Vol. 320. Issue 3. P. 1255-1260.
21. You Hong. Overgroups of symplectic group in linear group over commutative rings // J. Algebra. 2004. Vol. 282. Issue 1. P. 23-32.
22. You Hong. Overgroups of classical groups in linear group over Banach algebras //J. Algebra. 2006. Vol. 304. P. 1004-1013.
23. You Hong. Overgroups of classical groups over commutative ring in linear group // Sci. China, Ser. A. 2006. Vol.49. Issue 5. P. 626-638.
Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.
