Групповые элементы некоторых полупростых конечномерных алгебр Хопфа Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Albeverio S., Rozanova O. The non-viscous Burgers equation associated with random positions in coordinate space: a threshold for blow up behavior // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2009. 19, N 5. 1-19.

4. Albeverio S., Rozanova O. Suppression of unbounded gradients in a SDE associated with the Burgers equation // Proc. Amer. Math. Soc. 2010. 138, N 1. 241-251.

5. Yau S. Computation of Fokker-Planck equation // Quart. Appl. Math. 2004. 62, N 4. 643-650.

6. Cordero-Soto R., Lopez R.M., Suazo E., Suslov S.K. Propagator of a charged particle with a spin in uniform magnetic and perpendicular electric fields // Lett. Math. Phys. 2008. 84, N 2-3. 159-178.

7. Bielecki T., Pliska S. Risk sensitive dynamic asset management //J. Appl. Math. and Optimization. 1999. 37. 337-360.

8. Bielecki T., Pliska S., Sherris M. Risk sensitive asset allocation //J. Economic Dynamics and Control. 2000. 24. 1145-1177.

Поступила в редакцию 15.06.2009

УДК 511.667.7

ГРУППОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОСТЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР ХОПФА

Е. Г. Пунинский1

В. А. Артамоновым и И. А. Чубаровым доказан критерий принадлежности множеству групповых элементов некоторой полупростой конечномерной алгебры Хопфа, имеющей единственное неодномерное неприводимое представление. Пусть n — размерность этого представления. В работе показано для нечетного простого n, что множество групповых элементов этих серий алгебр Хопфа — циклическая группа порядка 2n.

Ключевые слова: конечномерная полупростая алгебра Хопфа, групповые элементы.

V. A. Artamonov and I. A. Chubarov proved a criterion under which an element of some semisimple finite-dimensional Hopf algebra is group-like. The studied Hopf algebra has only one non-one-dimensional irreducible representation. Let n be a dimension of this representation. It is shown in this paper that for odd prime n the set of group-like elements of these algebras is a cyclic group of order 2n.

Key words: semisimple finite-dimensional Hopf algebra, group-like elements.

Введение. Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем к, причем размерность H и характеристика поля к взаимно просты. В работах [1-3] изучалось строение H при условии, что H как алгебра имеет только одно неприводимое представление размерности n, а число неэквивалентных одномерных представлений равно n2.

Одномерные представления H находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы G групповых элементов дуальной алгебры Хопфа H* [4], таким образом, H как алгебра имеет полупростое разложение

H = ф keg ф Mat(n, k)E, gee

где {eg , g G G, E} — система центральных ортогональных идемпотентов в H.

В [2] показано, что группа G(H) групповых элементов H имеет порядок не выше 3n, а если группа G абелева, то порядок G(H) не превышает 2n.

В настоящей работе доказывается, что G(H) — циклическая группа порядка 2n, если n — нечетное простое число. Отметим, что если n нечетное простое, то группа G абелева, причем из работы [5] следует, что группа G разлагается в прямое произведение двух циклических групп порядка n:

G = < a >n х < b >n .

Как показано в [1], существуют такие обратимые матрицы Ag и U, что для любых g G G, X G Mat(n, k)

1 Пунинский Евгений Геннадьевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

д^Х = Ад ХАд-1, Х^д = и Ад и-1 Хи Ад-1 и-1,

где 2--это левое и правое действия Н* на Н, определенные в [4], причем в работе рассматривается

симметрический случай, т.е. когда матрица и симметричная.

В [3, теорема 5.2] описывается строение изоморфных копий Н и изменения матрицы и при автоморфизмах Н. А именно если имеется автоморфизм х м СхС-1 алгебры Н, где С € СЬ(п,к), то

U ^ CU *с, — 1

(1)

ZдAg ^ CAgC для некоторого Zg G k*.

0... 0 Л 1 0

Aa = 1 0 ... 0 , Ab = Z ш

0 1 0 шп-1 J

Можно выбрать такую изоморфную копию Н, что порождающим а и Ь порядка п группы С соответствуют при проективном представлении д м Ад, д € С, матрицы

(2)

где (,ш — корни из единицы степени п. Назовем эту копию H(D .

Можно выбрать такую изоморфную копию H, что в ней U = E. Эту копию назовем,

Следующая теорема является критерием принадлежности элемента из H множеству групповых элементов G(H).

Теорема 1 [2, теорема 1.3]. Элемент w = ^geG Xg,weg + Zw, Zw G Mat(n,k), Xg,w G k, принадлежит G(H) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) Xgh,,w = Xg,wXh,w для любых g,h G G;

2) g ^ Zw = xg wZw = Zw ^ g для любого g G G;

3) Zw и fZw = U.

В [2] также отмечено, что

Zw ® Zw = ^ Xg,w\■ (3)

gee

Вывод общих формул в копии

H(1)

. Итак, возьмем элемент w G H и применим к нему теорему 1. Зафиксируем такой базис в H, что H = H(1). Условие 1 теоремы 1 означает, что Xgw — это корни из единицы степени п.

Воспользуемся условием 2, представив g в виде avbn, где = 0,...,п — 1:

Ag Zw A- 1 = Xg,wZw & uv(k l)zu-v,i-v (w) = Xg,wZki(w) Vk,l = 1,...,n,

где по условию 1 Xg,w = Xa,wX>w. Получаем общую формулу для вычисления Zw через Xg,w. Применим условие 2 для g = b:

AbZwA-1 = Xb,wZw & uk-lzki(w) = Xb,wzki(w) & Vk — l = 7 (mod n), Zki(w) =0 и Xb,w = u1, (4)

где константа 7 = 0,...,n — 1. Итак, матрица Zw в зависимости от характера элемента b либо диагональна, либо сдвинуто-диагональна.

Нужно заметить, что предложение 4.3 из [2] утверждает, что матрица Zw диагональна тогда и только тогда, когда w G K, где K — множество групповых элементов H, для которых Xg,w = 1 Vg G G. В случае диагональной матрицы Zw элемент w G G(H) имеет вид w = ^gee eg ± E.

Далее будем рассматривать случай w G G(H)\K. Для каждого 7 = 0,...,n — 1 введем множество

W7 = {w G G(H) : Xb,w = }■

Мощность каждого такого множества WY/ равна удвоенному количеству различных возможных Xa,w для w G WY, так как элемент w = gee Xg,weg + Zw содержится в G(H) вместе c w = gee Xg,weg — Zw [3,

предложение 7.1] и, следовательно, не превосходит 2п. Заметим, что тогда С(Н) = У Ш7 и порядок С(Н)

7

не превышает 2п2.

Обозначим ш € Ш через ш(г). Фиксируем 7 = 0,...,п — 1 и ш € Ш7.

Обозначим для краткости записи элементы на главной или сдвинутой диагонали матрицы Zw через %к(ш) := (ш), где к — номер строки (при 7 = 0 сдвига нет).

Применим условие 2 с д = а, воспользовавшись полученными сведениями о Zw:

AaZwА-1 = Ха^Zw ^ %к-1(ш) = Ха^%к(ш).

Отсюда

% (ш) = хП,-«г+1%1 (ш) ^г = 1,...,п. (5)

По условию 3 теоремы 1 имеем Zw и = и. Поэтому для каждого 7 и ш € Ш7 справедливо равенство %к(ш)%(ш)«к-7,г-7 = для любых (к,1). Применив формулу (5), получаем

Пк-1—%2(ш) = ха+1-2ик1 У(к,1). (6)

Еще раз подчеркнем, что 7 отвечает за сдвиг диагонали в матрице Zw. Заметим, что и не зависит от выбора ш, а зависит только от матриц перехода от Н(2) к Н (1) , т.е. указанная формула дает зависимость вида элементов ш € Ш7 от и при фиксированном 7.

Мы фиксировали произвольное значение 7 = 1,...,п — 1, следовательно, формула (6) верна для любого 7 = 1,...,п — 1 и любого ш € Ш7 (для 7 = 0, т.е. для ш € К, она тоже верна).

Матрица и, таким образом, определена своей первой строкой. Поскольку %1(ш) = 0 для любого 0 = ш € С(Н), можем выписать следующую формулу, связывающую вид группового элемента ш € Ш7 с и:

Х1-1

«1-7,г-7 - ^

Вывод следствий из общих формул в копии

Н (1). Группа С(Н)/К абелева и изоморфна подгруппе абелевой группы С [1, теорема 4.2]. Заметим для любых г,] = 1,...,п — 1, что Zw(i) Zw(j) матрица сдвинуто-диагонального вида с диагональю, сдвинутой на и состоящей из элементов %к(ш(г))%к+г(ш.)), к = 1,...,п, а матрица Zw(j.)Zw(i) такая же, только на диагонали стоят элементы %к(ш.))%к+.(ш^)), к = 1,...,п. Пользуясь абелевостью, получаем

%к(ш(¿))%к+г(ш(^)) = %к(ш.))%к+.(ш^)) У(г, ¿,к). Применим формулу (5), тогда Ха,^) = xaW(■) для любых (г, ), и при г = 1 получим

Ха^ш = Х^(1) Ч? = 1,...,п — 1. (8)

Итак, задача свелась к нахождению ха^ для ш € Шь Заметим, что по формуле (8) в силу нечетности п количество различных Х^у) одно и то же для любого ] = 1,...,п — 1 (разные корни нечетной степени п из единицы, будучи возведенными в степень меньшую, чем п, дадут разные значения), а значит, мы доказали следующую лемму.

Лемма. Мощности всех Ш7 одинаковы для 7 = 1,...,п — 1 и равны удвоенному числу различныХ ха^(1) •

Допустим теперь, что нашлись хотя бы два различных допустимых значения Х^щ. Обозначим их Х' и х''. Тогда теми же рассуждениями, что и для формулы (8), получим х' = х''.

Значит, мы доказали, что Х^ед определено однозначно, а следовательно, применив лемму, получаем Следствие 1. Мощности всех Ш7 для 7 = 1,...,п — 1 равны 2. Порядок С(Н) равен 2п. Пусть в формуле (6) к = 1,1 = 1, а ш € Шь Тогда верны соотношения

Х1-1+1-1 х0-1+0-1

хa,w ха^

Ц"пп — о/ \ ИЦ, ип—1п—1 — „ ипп.

%2(ш) %2 (ш)

Поэтому для любого i = 0,...,n — 1

о-1 k xi( 1 -i)

«1-i.l-i - «n-H-l.n-H-1 - zf(w) «11 -

А с другой стороны, если возьмем w G Wj, то = Тогда = Для любого

i = 0,...,n — 1 при условии, что u 11 = 0.

Проделаем те же вычисления для k = 1,l = 2 и w G Wi. Получим

i(2—i) Xa,w

U 1-г,2-г — —Г«12-z 1 (w)

i(2-i)

С другой стороны, для w G Wi имеем «i_i)2-i = ^7^12, и тогда = Для любого г =

0,...,n — 1 при условии, что u 1 2 = 0.

Продолжая увеличивать k в формуле (6), для любого k получаем

X k— 1 i(k-i) X a,w(i) X a,w(i)

4 (w(i)) zf(w( 1))

для i = 0,...,n — 1 при условии, что u 1 k = 0.

Из этой формулы, заменяя Xa,w(i) на Xa,w(1) по формуле (8), находим, что

z?(w(i)) = z?(w( 1 ) kiw-!) (9)

для любого i = 1,...,n — 1 (хотя бы один из элементов uik = 0 для k = 1,...,n — 1 по определению U, а значит, формула верна).

Итак, формулы (8) и (9) позволяют по известным zi(w(i)) и Xa,W(1) строить значения zi(w) и Xa,w для w G Wy, где y = 2,...,n — 1. Получив все эти значения, можем, зная Xa,w и Xb,w, для любого w G G(H) вычислить матрицу Zw, а значит, задать явный вид любого группового элемента алгебры Хопфа H в изоморфной копии

H(1)

. Формула, связывающая z1 (w(1)) c X a,w(1) посредством матрицы U, получается из формулы (7) подстановкой y = 1:

Xl-1 Aa,w(i)

Un,l-1 = ~57-run (10)

z( (w(i))

для любого l = 1,...,n, такого, что и и = 0. Таким образом, единственной неизвестной для нас величиной остается Xa,W(1).

Еще раз напомним, что элемент w = ^geG Xg,weg + Zw принадлежит G(H) вместе с w = ^geG Xgweg — Zw [3, предложение 7.1].

Предложение 1. Для любого w G G(H)\K число n — минимальное натуральное число, такое, что wm G K.

Доказательство. В [2, с. 73, теорема 4.3] доказано, что минимальное натуральное m, такое, что wm G K, не может быть больше n.

Из формулы (4) следует, что матрица Zw сдвинуто-диагональна, а значит, возводя такую матрицу в квадрат, мы будем сдвигать диагональ на y, т.е. переходить к матрице с диагональю, сдвинутой на 2y. Для того чтобы получить диагональную матрицу, нужно выполнить не меньше s подобных сдвигов, причем sy = 0 (mod n). Вспоминая, что n простое, получаем, что s равно n. Значит, в степени меньшей, чем n, элемент w не может принадлежать K. Предложение доказано.

Заметим, что, возводя матрицу Zw для w G WY/ при любом y = 1,... ,n— 1 в степень n, по предложению 1 получим ±E, т.е.

zi(w)z2(w) . . . zn(w) = ±1.

Подставим сюда формулу (5), тогда

= ±х1а%2+-+п~1 = ^ ) = ±!-

(Здесь везде пользуемся тем, что Хат = 1, а также тем, что п нечетное.)

Основное утверждение о виде и количестве групповых элементов алгебры Хопфа Н.

Используя полученные результаты, укажем, как в явном виде записать групповые элементы и> из Н в изоморфной копии Н(!).

Пусть и> = Х^ес + ^, £ Ма^п, к), Хд,™ € к из Н. Для и> справедлива теорема 1. Возьмем

изоморфную копию Н (^ нашей алгебы Хопфа Н. При этом единичная матрица и, отвечающая за задание антипода в Н, преобразуется по формуле (1). Напомним, что Ж7 — множество ад, таких, что Хь,™ = ш7 для 7 = 1,.. .,п — 1. Формула (10) дает зависимость коэффициента и элемента (ад) для ад € Ж от и, формулы (8), (9) — зависимость (ад^)) и Х«,™^) от ¿1(ад(1)) и Х«,™^) для г = 0, 2, 3,...,п — 1.

По этим значениям и по получившейся матрице и в Н(1) мы строим , исходя из формул (4) и (5), а именно берем диагональную матрицу с элементами на диагонали, заданными формулами (6) и (5), и сдвигаем диагональ влево на 7 позиций, где 7 находится из формулы Хь,™ = ш7, а ш — из вида (2) матрицы Аь.

Например, в случае 7 = п — 2 имеем

^(п-2) = ±

¿га—1

¿1

¿2

¿га—2

\

X

га

Число различных ад € С(Н) определяется, согласно только что указанному методу отыскания , количеством Хь,™. Каждому Хь,™ соответствует своя матрица с точностью до знака, т.е. получаем всего 2п элементов. Все они коммутируют друг с другом. Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 2. Пусть Н — алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем к, описание которой дано во введении, т.е. ее размерность взаимно проста с характеристикой поля и она имеет только одно неодномерное неприводимое представление. Пусть размерность этого представления равна п. Пусть Н* — дуальная алгебра Хопфа, причем множество ее групповых элементов С(Н*) имеет наибольший возможный порядок п2 и С(Н *) = < а > х < Ь >, где а и Ь порядка п. Пусть матрица и € СЬ(п,к) определяет правое и левое действия Н* на Н и преобразуется по формуле (1). Тогда при нечетном простом п и при симметричной матрице и множество С(Н) групповых элементов алгебры Хопфа Н содержит ровно 2п элементов, которые в изоморфной копии Н (1) (см. (2)) имеют вид

га—1 v,n=0

причем = ш7, Х«,™ — корень из единицы степени п, матрица ^^ — сдвинуто-диагональная матрица с диагональю, сдвинутой на 7. На этой диагонали стоят элементы ¿¿(ад(7)) = 0. Верны следующие формулы:

Х

1—1

¿¿М = Ха.кГ^М, «1-7,г-7 = оГ^чЦЦ

СШ(7))

Ха,шш = Х«,™(1), ¿2(^(7)) = ¿17(™(1))Х«,(11(1)1)

всех ] = 1, ...,п — 1, г = 1,...,п, 7 = 0,...,п — 1. Следствие 2. Группа С(Н) циклическая порядка 2п.

Строение Н*. Пользуясь теоремой 2, а также предложением 5.2 из работы [2], получаем Следствие 3. В условиях теоремы 2 у алгебры Хопфа Н* имеется 2п одномерных неприводимых представлений.

Этот результат совпадает с результатом, полученным другими методами в работе [6]. О несовпадении Н (1) и Н (2). Возникает вопрос о совпадении

Н(1)

и Н (2): можем ли мы выбрать

базис в Н так, что одновременно и = Е и матрицы, представляющие элементы а и Ь, имеют вид (2)? Ответ на этот вопрос отрицательный.

1

Предположим, что указанные копии Н совпали. Тогда применим (3). Вычислим матрицу Дд по следующей формуле [2, с. 67]:

Дд = (Еу ^ 1) ® Ерд,

где V = {и^} = ^11. Тогда при д = аУЪ11 мы получаем, что Ад является матрицей размера п2 х п2, состоящей из п блоков вида где г,] = 1,... ,п. Затем, выполняя суммирование по V

и п, находим, что правая часть (3) не равна нулю только при Хь,™ = 1, причем при этом справа мы имеем диагональную матрицу со степенями Х«,™ на диагонали. Но в случае и = Е, используя формулу (6), нетрудно получить, что = 1 для любого и> € С(Н). Итак, ® = Еп2хп2. Следовательно, = ±Е для любого и> € С(Н). Тогда С(Н) состоит всего лишь из двух элементов. Но это противоречит работе [6], согласно которой С имеет ровно 2п одномерных представлений, определяемых, как известно [2, предложение 5.2], элементами С(Н).

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 09-01-00058.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Properties of some semisimple Hopf algebras // Proc. Conf. on Algebras, Representations and Applications. Contemp. Math. Vol. 483 / Ed. by V. Futorny, V. Kac, I. Kashuba and E. Zelmanov; Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2009.

2. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Dual algebras of some semisimple finite dimensional Hopf algebras // Modules and comodules. Trends in Mathematics. Basel: Birkhauser-Verlag, 2008. 65-85.

3. Артамонов В.А. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Матем. c6. 2007. 198, № 9. 3-28.

4. Montgomery S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings // CBMS Lect. Notes. Vol. 82. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1993.

5. Мухатов Р.Б. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, № 2. 133-143.

6. Masuoka A. Some further classification results on semisimple Hopf algebras // Communs Algebra. 1996. 24. 307-329.

Поступила в редакцию 07.10.2009

УДК 519.853.3, 517.518.8, 514.172.45

ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ ПРОЕКЦИЯМИ МНОГОГРАННИКОВ

Е. С. Горская1

В работе предлагается метод приближенного решения задач минимизации выпуклых функций многих переменных при выпуклых ограничениях. Основная идея состоит в приближении целевой функции и функций ограничений кусочно-линейными, после чего задача выпуклого программирования сводится к задаче линейного программирования. Представляются алгоритмы построения приближающих многогранников для некоторых классов выпуклых функций одной переменной, затем с помощью индуктивной процедуры многомерная задача сводится к одномерной. Эффективность метода иллюстрируется на примерах.

Ключевые слова: выпуклые задачи, проекции многогранников, приближение функций, сложность алгоритмов.

A method for approximate solution of minimization problems for multivariate convex functions with convex constraints is proposed in the paper. The main idea consists in approximation of the objective function and constraints by piecewise linear functions, then the problem of convex programming can be reduced to a problem of linear programming. We present algorithms for construction of approximating polygons for some classes of univariate convex functions. The

1 Горская Елена Сергеевна — асп. каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].