CC BY
9СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артамонов В.А. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Матем. сб. 2007. 198, № 9. 3-28.
2. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Dual algebras of some semisimple finite dimensional Hopf algebras // Modules and Comodules Trends in Mathematics. Basel (Switzerland): Birkhauser-Verlag, 2008. 65-85.
3. Мухатов Р.Б. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, № 2. 133-143.
4. Жмудь Е.М. Симплектические геометрии и проективные представления конечных абелевых групп // Матем. сб. 1972. 87(129), № 1. 3-17.
5. Artamonov V.A., Chubarov I.A. Properties of some semisimple Hopf algebras // Contemp. Math. Vol. 483. Algebras, representations and applications. A conference in honour of Ivan Shestakov's 60th birthday, August 26 — September 1, 2007, Maresias (Brazil) / Ed. by V. Futorny, V. Kac, I. Kashuba and E. Zelmanov; Amer. Math. Soc. Providence, 2009. 23-36.
Поступила в редакцию 07.10.2009
УДК 512.554.35+512.554.37+512.62+512.643.2:517.41+517.925.53
ВРОНСКИАН ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ Г. А. Погудин1
Указанный в работе ассоциативный полилинейный полином от 16 переменных, из которых 12 косокоммутативны, позволяет по любому двумерному гладкому инволютивному распределению на неприводимом аффинном алгебраическом многообразии восстанавливать алгебру регулярных функций на нем.
Ключевые слова: дифференцирование, алгебраическое многообразие, вронскиан, ин-волютивное распределение, гладкое распределение, восстанавливающий полином, стандартный полином, алгебра Ли.
An associative multilinear polynomial depending on 16 variables and being skew-symmetric with respect to 12 of them is presented. This polynomial provides us with a mapping recovering the algebra of regular functions of an irreducible affine variety from any smooth involutive distribution of dimension 2.
Key words: derivation, algebraic variety, Wronskian, involutive distribution, smooth distribution, recovery polynomial, standard polynomial, Lie algebra.
Обозначим через Wn алгебру Ли всех дифференцирований алгебры многочленов En = K[x\,... ,xn].
В работах [1-3] установлено существование ассоциативного полилинейного полинома
/ : ad Wn ®... ® ad Wn End KWn (s = s(n)), s раз
для которого образ отображения совпадает с подалгеброй En ■ 1 С End £n Wn С End кWn.
В монографии [2, теорема 42.3] отмечено, что каждое такое ненулевое полиномиальное отображение позволяет восстанавливать произвольную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей без делителей нуля по любому гладкому n-мерному инволютивному распределению на неприводимом аффинном алгебраическом многообразии.
В работе [1] для стандартного полинома третьей степени
St3 (21,22 ,z3) d=f sign,(^)zCT(l) za(2) 2a(3) aes3
1 Погудин Глеб Александрович — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
была получена явная формула для отображения St3 : ® 3ad W\ ^ K[х] = Endg1 W\:
e- я.Н n- яг1 h-^ = —/
/ д д д \ St3 ad /—, ad g—, ad h— = —2det V дх дх dx)
f g h
f' g' h
f'' g'' h"
(1)
Эта формула допускает обобщение на случай большего числа кососимметричных переменных:
aeS4
f1 f2 f3 f4
f1 f2 f3 f4 '' '' '' ''
f1 f2 f3 f4 ''' ''' ''' '''
f1 f2 f3 f4
(2)
Насколько нам известно, для п > 1 за последние 20 лет формул, аналогичных (1) и (2), получено не было. Нам удалось указать ассоциативные полиномы в ad Шп при п > 1, для которых выполнены соотношения типа (2). В эти соотношения входит определитель матрицы, обобщающей понятие матрицы Вронского на большее число переменных (см. [4]). Мы выпишем этот полином явно для п = 2.
Для любых дифференцрований А = + р1щ (я = 1) • • •, 12) обозначим через матрицу, г-я строка которой имеет вид
^р2, (Р1)х, Ы)у, {Р1)х, {Р1)у, {р})хх, р1)ху, Ы)уу, {р1)хх, {р1)ху, (р1)уу)-Кроме того, положим
Ш(2) (Х1,...,Х12,У1 ,...,У4) = ^ ...Ха(8) У\Ха(9) . . . У4%а(12),
аея-12
и пусть А = ^ + (г = 1,... ,4).
Теорема 1. Для ассоциативного полилинейного полинома Ш(2) выполнено соотношение
(1 - Tyy )(1 - Ту зу4 )W (2) |
^i=ad Di, yj =ad D.
= (-120)
12 9i q22 12 q2
12 q2 qi
12 q41 q42
det M2,
(3)
где тУiУj — элемент групповой алгебры ^[64], переставляющий у^ и у^. Доказательство. Покажем для начала, что
Вы^&Ъг,... =
/ д д \ = /det М2. ^ ^<1)^2)^(3)^(4)^ .
где аа и Ъа — некоторые числовые коэффициенты (определенные, вообще говоря, неоднозначно).
Для этого раскроем лиевы скобки в левой части (4). Получим сумму выражений вида
с ( П Т>а1р3{ \ ^/З^!1 ■ ■ д, где сц, (Зг и 7 — бииидексы, д равно либо либо ■§-, а £>«/
(4)
i=1
означает а2 / — смешанную производную порядка а. Если среди наборов (a.i,ji) есть совпадающие,
12
то в силу кососимметрии W(2) коэффициент при этом слагаемом равен нулю. Заметим, что ^ lail ^ 16
i=1
(|ai l — сумма компонент бииндекса) и каждый бииндекс можно взять не более двух раз (с различными 12
ji). Тогда максимум ^ lail достигается при взятии по два раза бииндексов (0, 0), (1, 0), (0,1), (1,1), (2, 0),
i=1
12 12 (0, 2). Получится как раз ^ lal = 16. Так как, кроме того, lal + 1в11 +... + |в4| + Iyl = 16, то в = (0, 0)
i=1 i=1
и 7 = (0, 0). Для того чтобы определить д, достаточно посчитать количество дифференцирований обоих 12
видов: £ сц + (3\ + ... + /З4 + 7 = (8, 8). С другой стороны, дают суммарный вклад (6, 6), дает
г=1
(1, 0). Значит, при д = ^ среди к\,..., к^ должны быть две единицы и две двойки, а при д = -щ — три двойки и одна единица. В дальнейшем нам будет полезно следущее
Замечание. Рассмотрим полином /(р1,... ,р4) с коэффициентами из £2, где Р1, ...,Р4 € Е2, такой,
что:
(1) / (Р1,Р2 ,Р3,Р4) = -/(Р3,Р4,Р1 ,Р2 );
(И) /(ЯР1,ЯР2,Р3,Р4) = д/(Р1,Р2,Р3,Р4) для любого д € Е2, /(Р1 + ql,■p2 + Я2,Р3,Р4) = /(Р1,Р2,Р3,Р4) + / (Ч1,Ч2,Р3,Р4 ).
Р1 Р2
Тогда f(pi, ...,Р4) = r
P3 P4
, где r e E2.
Действительно, перейдем в поле частных Е2. Тогда утверждение будет следовать из определения
детерминанта, т.е. f (p2,p2,p3,p4) = r
Pi p2
p3 p4
где r e K(x,y). Подставив pi = p4 = 1 и p2 = p3 = 0,
получаем г € К[х,у] = £2.
Теперь заметим, что все Ъа в (4) при альтернировании по последним четырем переменным Ш(2) сократятся, так как в одну группу кососимметричных переменных д попадут две с верхним индексом 2. Таким образом, значения полученного полинома на ®16аё действуют на Ш2 умножением на многочлен (случай д-щ разбирается аналогично), равный р{д\,..., д\, д\,..., д\) с!е1 М2. В силу (4) р удовлетворяет условиям замечания по д^д1 и по д^,д2. Тогда получается, что этот многочлен равен
i2 q1 q2
12
q21 q2
12 q31 q32
12
q41 q42
М2, где с — числовая константа. С помощью компьютерных вычислений (беря в качестве
Р\ и д1к всевозможные мономы степени не более двух) находим с = -120. Теорема 1 доказана. Заметим, ч
таблицы Юнга
Заметим, что слева в формуле (3) стоит симметризация последних четырех переменных по столбцам Другие симметризации полинома Ш(2) по переменным У1,...,У4 на ® аё
1 3
2 4
принимают значения, вообще говоря, в End W2. Об этом пойдет речь в теореме 2 (см. для сравнения результат А. А. Кагарманова для значений стандартного полинома степени 8 на W2 [5]). Теорема 2. Имеют место следующие утверждения:
1) (1 — тУ1У2)(1 +Tysy4)W^ | dD _ дает Е2-линейное отображение, умеющее в базисе (J^,
x г a i,yj a j У
\ 12 ° ^ ^ -Ql q Ш + q1q]) det M2, b = S0q2q42
вид I , I, где a = 40 b —a
2) ( E sign,(a)rj W(2) X= \a£S4 J
щий перестановкой и на yi,...,y4;
1 2
q2 q2
12
q2 q2
12 q11 q2
12
q21 q22
det M2, c = —80q2q4
22 q22 q22
22 q2 q2
det M2;
xi=ad Di, yj=ad Dj
= 0, где Го-
элемент групповой алгебры ^[64], действую-
3) £ тА W (2)|xi=ad Di,yj=ad ¿j = 0
у
Эта теорема доказывается аналогично теореме 1.
c
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Размыслов Ю.П. Простые алгебры Ли, удовлетворяющие стандартному тождеству степени 5 // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. 49, № 3. 592-634.
2. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.
3. Размыслов Ю.П. Центральные полиномы в неприводимых представлениях полупростой алгебры Ли // Матем. сб. 1983. 12(164), № 1(9). 97-125.
4. Шмидт В. Диофантовы приближения. М.: Мир, 1983.
5. Кагарманов А.А. Стандартный лиев полином степени 8 на алгебре W2 // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. № 6. 66-68.
Поступила в редакцию 23.10.2009
