CC BY
69
Серия «Математика»
2016. Т. 15. С. 3—16
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 517.977.5 ЫБО 93с30
Построение множества достижимости двумерной импульсной управляемой системы с билинейной структурой *
Д. В. Апанович, В. А. Воронов, О. Н. Самсонюк
Иркутский государственный университет;
Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО
Аннотация. Рассматривается задача построения множества достижимости импульсной управляемой системы с траекториями ограниченной вариации и управлениями типа векторной меры. Особенность управляемой системы состоит в том, что граница ее множества достижимости оказывается составленной из участков, соответствующих наиболее или наименее эффективному расходованию ресурса импульсного управления. Предложен способ построения границы множества достижимости при помощи принципа максимума для некоторой задачи оптимального управления с целевым функционалом, характеризующим ресурс импульсного управления. Результаты проиллюстрированы на числовом примере. Для этого примера найдены сильно монотонные функции типа Ляпунова. Система неравенств для этих функций задает множество достижимости импульсной управляемой системы, а точки, в которых активно хотя бы одно неравенство, — его границу. Разработан алгоритм численного построения множества достижимости, основанный на формировании специального конечного множества управлений релейного типа и рассмотрении их выпуклых комбинаций. Алгоритм реализован в среде Scientific Python.
Ключевые слова: импульсная управляемая система, траектории ограниченной вариации, множество достижимости, монотонные функции типа Ляпунова, численные методы.
Будет рассматриваться импульсная управляемая система с двумерным неотрицательным импульсным управлением. Опишем вначале множество импульсных управлений. Пусть Т = [0, ¿1] — заданный отрезок
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 14-01-00699
РАН
1. Постановка задачи и ее обсуждение
времени, / — ограниченная борелевская мера на Т, удовлетворяющая условию
/(Е) е М+ V Е евт,
где М+ = [у е М2 | V > 0}, Вт — множество всех борелевских подмножеств отрезка Т. Пусть /с — непрерывная составляющая в разложении Лебега меры /, = е Т | /([в}) = 0}. Сопоставим мере /
набор измеримых функций 7(/) = |ш8(-)}компоненты которого
ш8(-) = (■)) определены на соответствующих отрезках [0,(],
где (13 := /([в}), и удовлетворяют условиям: а) Ш1з(т) > 0, Ш2з(т) > 0, Ш1з(т)+ Ш1з(т) = 1, т е [0,йз],
б) / ш8(т )(т = л([в}). Jо
Пару будем называть импульсным управлением и обозначать
символом п(/).
Введем понятие ресурса импульсного управления. Для векторной меры / полную вариацию обозначим через 1/1 и зададим правилом
1/1(Е) = Ы(Е) + 1/21(Е) VЕ еВт,
где /1, /2 — компоненты /, причем в силу неотрицательности / = щ, г = 1, 2. Тогда ресурсом управления п(/) назовем величину 1/1(Т), а ограничением на ресурс импульсного управления — неравенство
1л1(Т) < М, (1.1)
где М > 0 — заданное действительное число. Множество импульсных управлений, удовлетворяющих ограничению (1.1), будем обозначать М(Т).
Рассмотрим импульсную управляемую систему
йх(г) = / (г,х)йг + с^{г,х(1))п(/), х(0) = хо, (1.2)
п(л) е М(Т). (1.3)
Здесь Т = [0,^] — заданный отрезок времени, х( ) — непрерывная справа на (0,1^ функция ограниченной вариации, х(Ь) е М2. Решения системы (1.2), соответствующие управлению п(/), понимаются как решения интегрального уравнения с мерой
"() = хо +[ /Зг,х(г))м +1 аЗг,х(г))/с(а)+ V 3^(4)-х(в-)), ¿о ¿о
I е (0,11 ],
а
где для каждого s € Sd(j) функция zs(-) — решение дифференциального уравнения
dz (т)
= G{s, z8(t))u8(t), zs(0) = x(s~).
В работе будет рассматриваться частный случай системы (1.2), (1.3) с неотрицательными функциями f, G и начальным значением xo > 0, причем предполагается, что f не зависит от x и является функцией из L^ (T, R2), а G задана правилом:
G'^x) = ( "V bCx0+ d )■
Пусть R(ti,V) — множество достижимости системы (1.2), (1.3) в момент времени ti, соответствующее заданному ресурсу управления
WT) = V. (1.4)
Тогда
R(ti,V) = {xi | Xi = x(ti+), x(-) — траектория (1.2)-(1.4)}.
Множество достижимости системы (1.2), (1.3) при t = ti, V € [0,M] будем обозначать символом Rm(ti). Оно задается равенством:
Rm (ti) = {(x, V) | x €R(ti,V),V € [0,M]} = U R(ti,V) x {V}.
у e[o,M ]
Основная цель работы состоит в описании множеств достижимости R(ti, V) и Rm(ti). В § 2 мы покажем, что точки на границе множеств соответствуют управлениям c чисто импульсной структурой (т. е. jc = 0) и могут быть описаны путем применения принципа максимума к некоторым задачам оптимального управления в системе (1.2), (1.3) при целевом функционале J(n(j)) = Л(Т). Способ построения сильно монотонных функций типа Ляпунова, неравенства для которых задают точную оценку множества достижимости, проиллюстрирован на числовом примере в § 3. Полученное в работе точное описание множества достижимости было использовано для построения коллекции тестовых примеров [1; 2]. Такие примеры использованы для тестирования алгоритма численного построения множества достижимости, реализованного в среде Scientific Python. Его обсуждению посвящен § 4.
В заключение этого раздела прокомментируем кратко постановку импульсной управляемой системы.
Рассмотрим обычную управляемую систему
x(t) = f(t,x(t)) + G(t,x(t))v(t), x(0) = xo,
V(t) = ||v(t)||, V (0) = 0, (1'5)
v(t) > 0 п.в. на T, V(ti) < M (1.6)
с измеримыми по Лебегу существенно ограниченными управлениями v(-) и абсолютно непрерывными траекториями x(-), V(■). Множество скоростей системы (1.5), (1.6) не ограничено и, следовательно, последовательности траекторий могут поточечно сходиться к разрывным функциям. Импульсная система (1.2), (1.3) является в определенном смысле расширением (1.5), (1.6). А именно, для каждой траектории x(^) и соответствующей функции V(■), заданной правилом
v (t) = f|([o,t]),
найдется последовательность траекторий {(xk(■),Vk(■))} системы (1.5), (1.6), такая, что имеет место сходимость
(xk (t), Vk (t)) ^ (x(t), V (t)) У t e T. (1.7)
С другой стороны, если последовательность траекторий системы (1.5), (1.6) {xk(),Vk(■)} обладает свойством (1.7) при некоторых непрерывных справа на (0, ti] функциях (x(-), V(■)) (или даже ослабленным свойством — сходимостью в точках непрерывности и на концах отрезка T), то найдется управление n(f), для которого x() — соответствующее решение, а V(t) = |[0,t]).
Замечание 1. Описание импульсного управления, приведенное в этом разделе, применимо только для неотрицательной меры f. В общем случае концепция решения импульсной системы и способ нахождения аппроксимирующей последовательности {xk(),Vk(■)} по заданному импульсному управлению рассмотрены в [6; 7]. Отметим также, что принятое в данной работе понятие решения импульсной системы близко примыкает к понятию обобщенного решения, введенному в [5], а также V-решения из [4] (рассматриваемому без ограничений на образ управляющей векторной меры).
Замечание 2. Представленные в работе результаты распространяются на более общий случай n-мерной неотрицательной меры f и x(t) e R+, если f (t,x) = A(t) + B(t)x, а матрица при управлении имеет вид:
G(t,x) =
f {gi(t),x) + di(t) 0 ... 0 \
0 {g2(t),x) + d2(t) ... 0
V 0 0 ... {gn(t),x) + dn(t) )
где A(t), B(t) — неотрицательные непрерывные вектор- и матричная функции, a gi(t) = ( gn(t), • • •, 9in(t) ) , di(t), г = l,n, — неот-
рицательные дифференцируемые функции.
2. Характеристика граничных точек множества достижимости через решения задач оптимального
управления
Пусть V Е [0,М]. Рассмотрим две задачи оптимального управления системой (1.2), (1.3). Для краткости, импульсное управление формально представим состоящим из двух компонент n(ß) = (n(ßi),n(ß2)). Задача (А):
J(ж(»)) = Ы(Т) - min; (2.1)
dxi(t) = fi(t) + (ax2 + b)n(ßi), xi(0) = xio,
. . (2.2) dx2(t) = f2 (t) + (cxi + d)n(ß2), x2 (0) = x20,
(n(ßi),n(ß2)) Е W(T), (2.3)
xi(ti+) = xi, x2(ti+) = X2. (2.4)
Задача (B):
J(n(ß)) = \ß\(T) — max; (2.5)
dxi(t) = fi(t) + (ax2 + b)n(ßi), xi(0) = xio,
. , (2.6) dx2(t) = f2 (t) + (cxi + d)n(ß2), x2 (0) = x20,
{n(ßi),n(ß2)) Е W(T), (2.7)
xi(ti+) = xi, x2(ti+) = X2. (2.8)
Обозначим через rV множество точек (xi,x2), таких, что существует процесс а = [x(-),n(ß)) с ресурсом управления V, доставляющий экстремум в задаче (А). Аналогичное множество для задачи (B) обозначим через ГV. Введем также множества
rV = {(xi,x2) \ xi + (ax2o + b)V < xi < xi + (ax2 + b)V, x2 = x^, Г\ = {(xi,x2) \ xi = xi, x2 + (cxio + d)V < x2 < x2 + (cxi + d)V},
rt1 rti
где xi := xio + / fi(t)dt, x2 := x2o + / f2(t)dt. 00 Справедливо утверждение
Предложение 1. Пусть rV — граница R(ti,V). Тогда
rV = rV и rV и rV и rV.
Укажем основные этапы конструктивного доказательства предложения 1. На первом этапе при помощи принципа максимума для импульсных процессов (см. [3; 5]) находим множества rV и Г. На втором этапе доказываем, что объединение множеств Г^, j = 1,4, задает
границу 71^1, V). Для этого, используя структуру Г^, ] = 1,4, строим функции ж 1,х2,У), ] = 1,4, и показываем, что они являются сильно убывающими функциями типа Ляпунова [6; 9], причем система неравенств
^3(и,х1,х2,У) <0, ¿ = 1~4, (2-9)
задает точную оценку /Я,(1г,У), а точки (х\,х2), для которых хотя бы одно из неравенств в (2.9) активно, — границу У).
Проиллюстрируем построение сильно монотонных функций типа Ляпунова на числовом примере.
3. Пример описания множества достижимости через систему неравенств для функций типа Ляпунова
Рассмотрим импульсную управляемую систему (V), являющуюся расширением обычной управляемой системы (5):
(3.1)
X1 = 1+ х2У\, хг(0) = хю,
X2 = 1+ х\У2, х2(0) = х20 = хго > 0,
Уг(г) > 0, у2(г) > 0. (3.2)
Тогда траектории импульсной системы (V), соответствующие импульсным управлениям с ресурсом У, являются поточечными пределами траекторий (5), соответствующих управлениям [ь\к(-),У2к(•)}, таким, что имеет место сходимость
I'Н
/ {У\к+ У2к&))Л ^ У, к ^ж. ■)о
Опишем множество достижимости К^г, У) и его границу . Из задач (А) и (В), конкретизированных для данного примера, следует, что и Г% имеют вид:
хг > хг, х2 > х2,
М = < (х\,х2)
х1х1 х2 = —х2 + V — 2 т — I х\, если х2 > х\, хг \ хг
х2 х2
х\ = —х\ + V — 2 т — х2, если х2 < х\
х2 V х2
Г2 = 4 (х\,х2)
хг > XI, х2 > х2, х\ = х\ + (х2 - Ь) ^У -
х2 = х2 + (хг - 1\) ( У -
х2 - х2
X10 хг - хг х20
, если х2 > хг, , если х2 < хг
Здесь хг = хю + ¿1, х2 = х20 + ¿1. Точки из и достигаются при помощи чисто импульсного управления (с нулевой непрерывной составляющей). А именно, для соответствующие импульсные управления
п(р) = {¡ь^ {^ь(^),Ш2зОЬеЗа{р)) имеют вид:
- при х2 > х1
Ц-1 = §<*(* ~ Ь), № = (V - |) 6(1 - и) => ЗД = {и},
,, (т) = I 1/2, т е [0,у], м I 1/2, т е [0,у], [0 У];
Ш1(т) = \0, т е (у,У], Ш2(т) = \1, т е (у,У], у е [0,У];
- при х2 < хг
112 = !<*(*-*1) = {¿1}, 1/2, т е [0,у],
,, (т)=( 1/2, т е [0,у], м Г 1/2, т е [0,у],
Ш1(т) = \1, т е (у,У], Ш2(т) = \0, т е (у,У], у е [0,У].
Точки достигаются при следующих управлениях: - при х2 > х1
111 = (У - у)5(1), ¡12 = ут ^ = {0},
, , ( 0, т е [0,у], ( 1,
ш1(т т е (у,У], Ш2(т )По,
1, т е [0,у], 0, т е (у,У],
у е
У + у/У2 + 4:
- 1,У
- при х2 < х1
¡1 = у5(Ь), ¡2 = (У - у)5(Ь) ^ Ба(р) = {0},
Ш1(т) =
1, т е [0,у], 0, т е (у,У],
^2(т) =
0, т е [0,у],
1, т е (у, У],
у е
V + У^2 + 4
2
- 1,У
Множества и Г\ задаются как в разделе 2:
= {(х1,х2) | Х1 + х2оУ < х1 < х1 + Х2У, х2 = х^, Г\ = {(х1,х2) I х1 = х1, х2 + хюУ < х2 < х2 + х{У).
Точки , Г\ также могут быть достигнуты чисто импульсными управлениями с компонентами:
2
10 Д. В. АПАНОВИЧ, В. А. ВОРОНОВ, О. Н. САМСОНЮК
а) для Г^
И1 = У5(Ь - в), Ц2 = 0, = {8},
шг(т) = 1, ш2(т) = 0, т е [0,У], в е [0,¿1];
б) для
VI = 0, 1^2 = У5(ь - в), = {в},
Шх(т) = 0, Ш2(т) = 1, т е [0,У], в е [0,¿1].
Форма кривых, задающих ТУ, ^ = 1,4, позволяет сформировать гипотезу относительно функций типа Ляпунова, сильно монотонных относительно импульсной системы. Определим функции:
' Х2 т/ , 01/ \ Х20 + Ь 01/ , ^
--V + 21п(ж1)--- - 21п(жю + ¿),
Х1 Х10 + Ь
фх(Ь,Х1,Х2,У) = <
х2 > Х1,
^-У + 21п(х2) - ^^ - 21п(ж20 + ¿), Х2 Х20 + Ь
г Х1 - Х10 - Ь Х2 - Х20 - Ь
V —
Х2 - Ь
Х10
ф2(Ь,Х1,Х2,У) = <
V-
Х1 - Х10 - Ь Х2 - Х20 - Ь
Х20
Х1 - Ь
Х2 < Х1;
Х2 > Х1,
Х2 < Х1;
фз(Ь, Х1,Х2, V) = -Х1 + Х10 + Ь; щ(Ь,Х1,Х2, V) = -Х2 + Х20 + Ь.
Покажем, что ф], ] = 1,4, сильно убывают относительно импульсной системы.
Начнем с функций фз и ф4. Легко видеть, что эти функции сильно убывают, так как их суперпозиция с любым решением рассматриваемой импульсной системы является невозрастающей функцией аргумента Ь. Это позволяет получить очевидную оценку
ЩЬ, V) С {(Х1,Х2) | Х1 > Х10 + Ь, Х2 > Х20 +
(3.3)
Рассмотрим теперь ф1 и ф2. Из (3.3) следует, что сильную монотонность достаточно установить при Х1 > Х1, Х2 > Х2. На этом множестве ф1, ф2 являются гладкими при Х1 = Х2 и липшицевыми в окрестности
точек, для которых Х1 = Х2. Это позволяет использовать инфинитези-мальный критерий сильной монотонности в форме дифференциальных неравенств, которые должны выполняться при Х1 = Х2.
Напомним [6; 9] (см. также [8; 10]), что инфинитезимальный критерий сильного убывания для ф(Ь,Х1 ,Х2 V) состоит в выполнении дифференциальных неравенств (для краткости опускаем аргументы):
Н0[ф] := фг + фх1 • 1 + фх2 • 1 < 0
V (Ь,Х1 ,Х2, V) е (0,Ь1) х {(Х1,Х2) | Х1 = Х2} х [0, +гс>); Ь,1 [ф] := фу + тах (фх1 Х2У1 + фх2Х^2) < 0
V1,V2>0, ^1+^2 = 1
V (Ь, Х1,Х2, V) е [0, Ь1] х {(Х1 ,Х2) I Х1 = Х2} х (0, +гс>).
Проверим выполнение критерия монотонности для ф^, ] = 1, 2. Для ф1 при Х2 > Х1 > Х10 + Ь имеем
(3.4)
(3.5)
Ь0[ф1 ] Ь,1[ф1 ]
2 Х20 - Х10 2 Х2 - Х1
+ 7-;—7777 Н----о- ^ и,
Х10 + Ь (Х10 + Ь)2 Х1
2<
11 I Х2 - 2Х1
-1 + тах (--5-х2У\ +у2 =
,^2 >0, ^1+^2 =1
(Х2 - Х1)2
= тах--~-= 0.
^€[0,1] Х\
Аналогично проверяется выполнение дифференциальных неравенств при Х1 > Х2 > Х20 + Ь.
Для ф2 при Х2 > Х1 > Х10 + Ь имеем
^[ф2] = 0,
, г 1 1 , ( 1 . Х1 - Х10 - Ь 1
[ф2\ = 1 + тах---х2У\ Н----~^—Х1У2--х\У2 <
п^2>0, V Х2 - Ь (х2 - Ь)2 Х10
^1+^2 = 1
/ 1 Х1 - Х10 - Ь 1
< 1 + тах--~х2У\ Н----~^—Х1У2--х\У2
п^2>0, \ х2 - Ь (Х1 - Ь)2 Х10
^1+^2 = 1
Чтобы установить Н1[ф2] < 0, достаточно доказать справедливость неравенства
Хл — Хю — Ь 1
1 + —,-^тт^Ж!--< 0 Уа?! € Ью +¿,+00), V* > 0. (3.6)
(Х1 - Ь)2 Х10
Рассмотрим функцию аргумента Х1 :
д(х 1) := ^--^ ^ + хг - хю -
Х1
Х10
1
где £ > 0 — параметр. При каждом £ функция д(х1) строго убывает на промежутке [х10 + +ж), причем д(х10 + ¿) < 0. Очевидно, что из д(х1) < 0 следует неравенство (3.6).
Аналогично проверяется выполнение дифференциальных неравенств но[<£2] < 0, Н1[^2] < 0 при х1 > х2 > х20 + ¿. Следовательно, <Р2 удовлетворяет (3.4), (3.5).
Таким образом, доказано, что <£>•/, ] = 1,4, сильно убывают относительно импульсной системы, соответствующей (3.1), (3.2), и, следовательно, задают внешнюю аппроксимацию множества достижимости ^¿ь У) [9]. Пусть У > 0 — заданное число. Обозначим через Q множество точек (х1,х2), удовлетворяющих системе неравенств:
<£1 (¿1,х1 ,х2 ,У) < 0, <Р2&1,х1,х2,У) < 0,
(3.7)
Рз(¿1,х1 ,х2,У) < 0, щ(Ь,х1,х2,У) < 0.
Поскольку ^(0, хю,х20, 0) = 0, ] = 1, 4, то свойство сильного убывания гарантирует включение
Щи,У) С Q.
С другой стороны, граница Q совпадает с Гу = ииии, как было показано, достижима при помощи чисто импульсных управлений. Это означает, что Гу задает границу №(¿1, У), причем из односвязности множества 'Я,(Ь1,У) (в чем нетрудно убедиться) следует равенство
Щ11,У ) = Q.
Таким образом, Q является точной оценкой №(¿1, У).
Что касается множества достижимости Км ^1), то оно состоит из точек (х1,х2,У), удовлетворяющих (3.7) при У е [0,М].
4. Численное построение множества достижимости
Для численного построения множества достижимости нелинейной импульсной управляемой системы с неотрицательной векторной мерой (импульсным управлением) был разработан и программно реализован алгоритм [1; 2].
Алгоритм основан на формировании специального конечного множества управлений релейного типа для вспомогательной управляемой системе с абсолютно непрерывными траекториями и рассмотрении их выпуклых комбинаций. При этом допускается последовательное наращивание числа опорных управлений. Выпуклые комбинации включают к опорных управлений, а их коэффициенты принадлежат некоторой равномерной сетке. Как показали численные эксперименты, случайный выбор управлений с большим числом переключений не приводит к
равномерному распределению терминальных точек траекторий по множеству достижимости, и даже при измельчении разбиения временного интервала не всегда удается получить достаточно точную аппроксимацию множества достижимости. Поэтому в общем случае требуется последовательное увеличение параметров k и s (s — число переключений управления), в сочетании с измельчениями сетки на симплексе и разбиения, которому принадлежат моменты переключений.
Алгоритм реализован в среде Scientific Python. Результаты, представленные в §§ 1-3, были использованы для построения тестовых примеров. Проведенные численные эксперименты показали эффективность алгоритма и его программной реализации для тестовых примеров, в том числе с неодносвязными множествами достижимости.
Приведенные ниже примеры относятся к классу задач, для которых данный алгоритм позволяет построить сколь угодно точную аппроксимацию множества достижимости уже при s = 2 и переборе попарных линейных комбинаций.
Пример 1. Рассматривается управляемая система, для импульсного расширения которой множество достижимости было найдено в §3:
x 1 = 1 + x2v1, xi(0) = 1, X2 = 1+ X1V2, X2(0) = 1,
Vi(t) > 0, V2(t) > 0.
На рис. 1 приведена внутренняя аппроксимация множества достижимости соответствующей импульсной системы при ti = 1 и V = 2.
1 2 3 4 S 6 7
Рис. 1. Множество достижимости в примере 1.
Пример 2. Интегральные кривые следующей системы при нулевом управлении представляют собой окружности с центром в начале координат, причем модуль фазовой скорости всюду равен 1. Как и в
управления неотрицательны.
Х1 = х2/\\х\\ — Х\У\, Х\(0)=2; X 2 = -Х1/\\Х\\ — Х2У2, Х2(0) = 0.
— евклидова норма. Аппроксимация множества достижимо-= 13, V = 1 приведена на рис 2.
" -1 5 -10 -Ö 5 Ü0 05 10 15 20
Рис. 2. Множество достижимости в примере 2.
Список литературы
1. Апанович Д. В. Численная аппроксимация множеств достижимости нелинейных импульсных управляемых систем / Д. В. Апанович, В. А. Воронов // Теория управления и математическое моделирование : тез. докл. Всерос. конф. с междунар. участием, посвящ. памяти проф. Н. В. Азбелева и проф. Е. Л. Тонкова. (Ижевск, Россия, 9-11 июня 2015 г.). - Ижевск : Удмурт. ун-т, 2015. - С. 24-25.
2. Апанович Д. В. Численная аппроксимация неодносвязного множества достижимости нелинейной импульсной управляемой системы / Д. В. Апанович, В. А. Воронов // Тез. докл. III Российско-монгольской конф. молодых ученых по мат. моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению (Иркутск (Россия) - Ханх (Монголия), 23-30 июня 2015 г.). -Иркутск : Научно-организац. отд. ИДСТУ СО РАН, 2015. - С. 17.
3. Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. - 2-е изд. - М. : Физматлит, 2003.
4. Завалищин С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С. Т. Зава-лищин, А. Н. Сесекин. - М. : Наука, 1991.
5. Миллер Б. М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович — М. : Наука, 2005.
6. Самсонюк О. Н. Монотонность функций типа Ляпунова для импульсных управляемых систем / О. Н. Самсонюк // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2014. - Т. 7. - С. 104-123.
примере 1,
Здесь || • || сти при ti
7. Самсонюк О. Н. Инвариантность множеств относительно нелинейных импульсных управляемых систем / О. Н. Самсонюк // Автоматика и телемеханика. - 2015. - № 3. - С. 44-61.
8. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski - N. Y. : Springer-Verlag, 1998.
9. Dykhta V. Some applications of Hamilton - Jacobi inequalities for classical and impulsive optimal control problems / V. Dykhta, O. Samsonyuk // European Journal of Control. - 2011. - Vol. 17. - P. 55-69.
10. Vinter R. B. Optimal Control / R. B. Vinter. - Boston : Birkhauser, 2000.
Апанович Данил Владимирович, студент, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, (e-mail: [email protected])
Воронов Всеволод Александрович, кандидат технических наук, научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 453084 (e-mail: [email protected])
Самсонюк Ольга Николаевна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, доцент, Институт математики, экономики и информатики, Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 453151, (e-mail: [email protected])
D. V. Apanovich, V. A. Voronov, O. N. Samsonyuk Construction of the Reachable Set for a Two-Dimensional Bilinear Impulsive Control System
Abstract. This paper deals with a problem of construction of the reachable set for an impulsive control system with trajectories of bounded variation and impulsive controls (regular vector measures). The considered control system has a bilinear structure relative to the control variable. A method for constructing of the boundary of the reachable set is proposed. This method is based on using of special impulsive optimal control problems and Lyapunov type functions. These functions are strongly monotone relative to the impulsive control system. Presented results are illustrated by a numerical example. An algorithm of numerical approximation of reachable sets for nonlinear impulsive control systems is discussed. This algorithm is realized in the Scientific Python environment.
Keywords: measure-driven impulsive control system, trajectories of bounded variation, reachable set, monotone of Lyapunov type functions, numerical methods.
References
1. Apanovich D.V., Voronov V.A. Numerical approximation of reachable sets for nonlinear impulsive control systems [Chislennaya approksimaciya mnozhestv dostizhimosti nelinejnyh impulsnyh upravlyaemyh sistem]. Abstracts of Russian Conference with International Participation dedicated to the memory of prof. N. V. Azbelev and prof. E. L. Tonkov, Izhevsk, Russia, June 9-11, 2015, pp. 24-25.
2. Apanovich D.V., Voronov V.A. Numerical approximation of the non-simply connected reachable set for a nonlinear impulsive control system [Chislennaya approksimaciya neodnosvyaznogo mnozhestva dostizhimosti nelinejnoj impulsnoj upravlyaemoj sistemy]. Abstract of 3rd Russian-Mongolian Conference of Young Scientist on Math Modelling and Information Technology, Irkutsk, Russia - Hanh, Mongolia, June 23-30, 2015, p. 17.
3. Dykhta V.A., Samsonyuk O.N. Optimal Impulsive Control with Applications [Optimalnoe impulsnoe upravlenie s prilozheniyami]. Moscow, Fizmatlit, 2000.
4. Zavalishchin S.T., Sesekin A.N. Impulse Processes: Models and Applications [Impulsnye processy: modeli i prilozhenija]. Moscow, Nauka, 1991.
5. Miller B.M., Rubinovich E.Ya. Optimization of Dynamic Systems with Impulsive Controls [Optimizatsiya dinamicheskikh sistem s impulsnymi upravleniyami]. Moscow, Nauka, 2005.
6. Samsonyuk O.N. Monotonicity of Lyapunov Type Functions for Impulsive Control Systems [Monotonost' funkcii tipa Lyapunova dlya impul'snykh upravlyaemihk sistem]. The bulletin of Irkutsk state university. Mathematics, 2014, vol. 7, pp. 104-123.
7. Samsonyuk O.N. Invariant Sets for the Nonlinear Impulsive Control Systems. Autom. Remote Control, 2015, vol. 76, no 3, pp. 405-418.
8. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. New York, Springer-Verlag, 1998.
9. Dykhta V., Samsonyuk O. Some Applications of Hamilton-Jacobi Inequalities for Classical and Impulsive Optimal Control Problems. European Journal of Control, 2011, vol. 17, pp. 55-69.
10. Vinter R.B. Optimal Control. Birkhauser, Boston, 2000.
Apanovich Danil Vladimirovich, student, Irkutsk State University, 1, K. Marx st., Irkutsk, 664003, (e-mail: [email protected])
Voronov Vsevolod Aleksandrovich, Candidate of Sciences (Technics), researcher, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, 134, Lermontov st., 664033, tel.: (3952) 453084 (e-mail: [email protected])
Samsonyuk Olga Nikolaevna, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Associate Professor, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, 134, Lermontov st., 664033, tel.: (3952) 453151, Irkutsk State University, 1, K. Marx st., Irkutsk, 664003, (e-mail: [email protected])
