Сильная необратимость операторов сдвига вдоль траекторий броуновского движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып.7(зз)

УДК 534.983+517.921

Сильная необратимость операторов сдвига вдоль траекторий броуновского движения

А. В. Чистяков

Удмуртский государственный университет, 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Поток случайных событий, согласованный с броуновским движением, экстремально необратим: любое нетривиальное событие, возможное в настоящем, почти наверное не могло произойти в сколь угодно мало отдаленном прошлом. Как следствие, не представляется возможным статистически восстановить предысторию текущего состояния случайных динамических систем, подверженных воздействию "белых шумов", что приводит к качественным различиям в асимптотическом поведении таких систем и динамических систем детерминированного типа. В статье приведены наиболее существенные метрические характеристики экстремальной необратимости броуновского движения. Доказано, что для линейных систем дифференциальных стохастических уравнений Ито эволюционные операторы, реализующиеся как композиция операторов умножения на оператор сдвига вдоль броуновских траекторий, обладают свойством антисюръективности: их образы оказываются очень тощими подмножествами случайных фазовых пространств и не могут содержать модули над кольцом случайных скаляров. Из теоремы фактически следует, что для линейной стохастической системы Ито единственная возможность разрешимости задачи об устойчивости при всех постоянно действующих ограниченных (в среднем) возмущениях - это равномерная экспоненциальная устойчивость.

Поток случайных событий, связанных с броуновским движением, экстремально необратим: нетривиальное событие, возможное в настоящем, с вероятностью единица не могло произойти в сколь угодно мало отдаленном прошлом. При этом вполне допустимо предположение о том, что все возможные в настоящем события статистически определяются событиями, которые могли произойти ранее. Поток случайных событий непрерывно нарастает, постоянно обновляясь. Полное забывание прошлых состояний - главная причина качественного различия асимптотического поведения диффузионных динамических систем и систем детерминированного типа (включая и системы со случайными параметрами). Естественные предположения о

© А. В. Чистяков, 2009

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Пермского края (проекты № 06-01-00744-а, № 07-01-96060-р-урал-а).

броуновском потоке (^)?ед+ (і?+:=[0,оо))

случайных событий зафиксированы ниже в

виде следующих условий:

1) для любого і є ІІ а -алгебра /']

диффузна (нулевая вероятность простейших событий);

2) каждая а -подалгебра 1<) (/ е к > сепарабельна и полна (вероятностная опреде-ляемость любого события по плотному счетному семейству наблюдаемых событий);

3) поток (^)Гед+ непрерывен слева: сг |^| 1\. = 1'] (вероятностная предсказуе-

\ 0<£<г у мость новых событий);

4) для всех ей+ при ? > 5 > 0 существует множество А е /', такое, что О < РА < 1 и Ане зависит от ^ (непрерывное возникновение в потоке новых нетривиальных событий).

Как катастрофически нарастает поток событий (^), становится ясным из следующего утверждения.

Утверждение 1. При каждых ? > 5 > О для а-подалгебры ^ существует диффузная а-подалгебра X с: /-, такая, что а-подалгебры 1<\ и X независимы.

Доказательство. Такой подалгеброй X является подалгебра, порожденная объединением множеств из всех наборов ВТ (0<5<г<?), где набор Вт состоит из всех множеств В е Рт, таких, что 0 < РВ < 1 и В не зависит от а -подалгебры X с: 1<\.. Из условия 4) следует, что а -подалгебра X нетривиальна и независима от ^ . В порождающем ее наборе В := и Вт атомы отсутствуют. Действительно, пусть А<еВт Тогда вследствие условия 4) ДЛЯ т2 > Г| существует множество В1 е 1\2 , такое, что О <РВ < \ и В1 не зависит от Рт . Этими же свойствами обладает и множество СВ2 := W\ В . Обозначим через С одно из множеств В, (/ = 1,2), для которого P(Bj Г', А) > О. Положим В := С п А. Поскольку А и С независимы и 0 < РС < 1, то

О < РВ = Р(А о С) = (РС)(РЛ) < РА.

Любой стохастический базис (0,(7^)^,Р) [2, 3], на котором существует

броуновское движение ), удовлетворяет условию 4). Действительно, приращение X — не зависит от а -подалгебры

^. Это в точности означает, что о -подалгебра X, порожденная X, не зависит от ^ . Кроме того, поскольку X имеет гауссово распределение, которое непрерывно, то а -подалгебра X неатомарна (диффузна). Таким образом, диффузная а- алгебра X с / ’ состоит из событий, возможных до текущего момента ^, но статистически независимых от всех событий, возможных до предшествующего ему момента 5 .

Условия 1)-4), констатирующие диф-фузность, сепарабельность и предсказуемость потока событий (I', )(с(у с очень быстрым их

нарастанием, фактически предполагались в исследованиях [4, 5] задач об ограниченных

(в среднем) и периодических (по распределению) решениях линейных дифференциальных стохастических уравнений, где увеличение со временем множества возможных событий было выражено свойством

(А): при ?>5>0 для а-подалгебры ^ а-алгебры !<] существует диффузная а-подалгебра такая, что а -подалгебры

X и ^ независимы.

Ясно, что подалгебра X содержит события, возможные к моменту ^, но статистически независимые от всех событий, возможных до этого момента.

Сдвиг вправо вдоль решений начальной задачи (Коши) [6, с.230], [4] для линейной однородной системы дифференциальных уравнений Ито порождает эволюционный оператор и&, действующий из пространства

Х!1 \=П (О,^,Р)(Л”) (г е [1,со) начальных

условий Хх , допустимых в момент времени

5, в пространство Х( := Хг(0,^,Р)(Л”). Поскольку при £ > 5 пространство Х( существенно шире пространства Х5 , то эволюционный оператор и,л : Х!1 —>Х{ оказывается сильно необратимым: его образ и&Х5 оказывается очень тощим подмножеством пространства Х{. Как следствие, изучаемые в [4,5] естественные аналоги классических [7,8] (в теории линейных дифференциальных уравнений) задач об ограниченных, периодических и стационарных решениях оказываются разрешимыми только при условии экспоненциальной устойчивости.

С абстрактной точки зрения все сепарабельные диффузные вероятностные пространства изоморфны [9, с.142] [10, с.258]. Следовательно, найдется сохраняющий меру (вероятность Р) изоморфизм Н : ин-

дуцирующий обратимую изометрию 8: Х( —>■ Х8 пространств I, и .

В результате композиция 8и дает представление эволюционного оператора в виде оператора и, действующего в пространстве Х5 . Более того, ссылаясь на теорему об изоморфизме [11, с.126], мы можем заменить исходное вероятностное пространство ) на любое стандартное пространство с диффузной мерой (например, на отрезок

I := [ОД] с лебеговской а -алгеброй 3 и мерой Лебега т). Изоморфная замена вероятностного пространства не меняет статистические характеристики случайных событий. Но удачный выбор вероятностного пространства позволяет нам исследовать эти характеристики более эффективно. В частности, при стандартной реализации пространства (0,7^,Р) мы можем воспользоваться теоремой 32.5 [12, с.223] о представлении непрерывного по мере а -гомоморфизма поточечным

отображением а,: П —> О. в соответствии с правилом И = а*:А I—> а~хА, (А е .). Та-

ким образом, в стандартном представлении эволюционный оператор и& является оператором взвешенного сдвига

(и*х,)(®) = А *(©)*, («*(©)),

где вес А^(а>) := определяет-

ся фундаментальной матрицей X (¿, 5) линейной динамической системы Ито, а в качестве сдвига может использоваться любое отображение индуцирующее а -

❖

изоморфизм аи : С1 —> С1: ^ = /'л. Поэтому,

не теряя общности, мы ограничимся только рассмотрением отображений стандартных пространств.

Пусть (Е.Л'.о) и (О,/7,//) - стандартные измеримые пространства с вероятностными диффузными мерами [2]. По определению Н.Колтона [13, с.303] измеримое отображение а: О. —> Е, индуцирующее абсолютно

*

непрерывную относительно // меру а и, называется антиинъективным, если оно обладает свойством (В): если А&Р и а - инъекция, то /¿4 = 0 .

Свойство антиинъективности имеет эквивалентную формулировку в терминах теории измеримых разбиений пространств Лебега [9, 13]:

для любых сужений а^А : А —> 2 отображения а на измеримые множества А с: О положительной меры разбиение {а^

пространства А на прообразы точек не содержит меры однослойных множеств положительной меры.

Отсюда согласно [9. с.142] следует, в частности,

лемма 1 ([13, Lemma 2.1]). Отображение а антиинъективно тогда и только тогда, когда выполнено условие:

(С) для любого множества А е /■’ с /¿4 > 0 существует измеримое множество

В <^А с ¿ив > 0 такое, что /г(5А«_1С) > 0 для всех С е F с иС > 0.

Условие (С ) кратко записывается в виде:

(D) Fan,A^Fn,A для всех AeF, /иА > 0, где Fa - пополнение по мере // а -

алгебры a lF. В теории меры [10, 14] условие (D) выделяет а -подалгебры Fa a F, которые ненасыщают ни одну из компонент а -алгебры F . Согласно классической теореме Д.Магарам такие подалгебры однородны и имеют независимое диффузное дополнение. С точностью до сохраняющего меру (вероятность) а -изоморфизма h: h' —» 32 однородная собственная подалгебра Fa сепарабельной диффузной а -алгебры F совпадает с подалгеброй I х 3 лебеговской а -алгебры квадрата /2:=/х/, а ст-

гомоморфизм h = а~1 со стандартной проекцией 32 на / х 3 , индуцированной некоторым измеримым отображением а : /2 —» /2 . Доказательства всех отмеченных выше утверждений можно найти в монографиях [10, 14] и статьях [9, 13]. Из этих утверждений следует:

предложение 1. Пусть для о-

подалгебры 1<и а !<' найдется независимая диффузная а -подалгебра Е такая, что а-подалгебры Fa и Ъ независимы. Тогда отображение а антиинъективно.

Доказательство приводится для

полноты изложения. Согласно лемме 1 достаточно проверить условие (D). Поскольку сужение ¿и |Е меры // на <у -подалгебру Е -диффузная мера, то для каждого множества A<eF с ¿иА > 0 найдется множество /) с Е.

такое, что 0 < /Ю <1 и juB > 0 , где

В:=А n D . Предположим, что /¿(ВАС) = 0 при некотором С eFa .

Множество С не зависит от Е. Поэтому условное математическое ожидание отно-

сительно 2 характеристической функции Хс множества С п.н. (почти наверное) является константой: Е(%с I = с ■ Так как

рС = /Л > 0, то с> 0. Следовательно, //{юеО:Е(;гс |2)(ю)*} = 1.

Но из равенств

Е(Хс I = ^(Хв I = ^(Хапо I = Хо~Е(Ха12;) ■> справедливых п.н. в силу 2 -измеримости функции , следует

/и{са е О,: Е(хс I 2)(о) ^ 0} =

= ¡л{(0 е О: Хо(р)Е(Хс I £)(®) ^ 0} < /Ю < 1.

Возникшее противоречие убеждает в ТОМ, ЧТО [Л вАС > 0 для всех (’’ е 1<и .

Из предложения 1 согласно утверждению 1 следует, что при стандартной реализации <7 - алгебры 1<1 и - изомоморфизм от* <т - алгебры ^ на ее <т - алгебру /•] порождается антиинъективным отображением - булево свойство сдвигов вдоль траекторий броуновского движения оказалось выраженным эквивалентным образом в метрическом свойстве порождаемых ими поточечных отображений стандартного диффузного вероятного пространства, изоморфного отрезку [0,1] с мерой Лебега.

В классе борелевских отображений сепарабельных метрических пространств с диффузными мерами антиинъективность является экстремальным свойством необратимости. В частности, из теоремы Рохлина [9, с.142] об измеримых разбиениях без однослойных множеств [9] следует альтернатива:

(Е) пересечение прообраза а~х{Е,} и -почти каждой точки % е 2 с любым множеством А<еР положительной меры либо несчетно, либо пусто.

Явная конструкция антиинъективного отображения в виде сдвига на множестве двоичных дробей приведена в работе [15]. Поведение итераций этого отображения дает наглядное представление о хаосе броуновского движения. Метрическую картину патологии антиинъек-тивных отображений, выраженную в свойствах (А)-(Е), дополняет анонсируемое ниже

предложение 2. Отображение а : О. —> 2 антиинъективно тогда и только тогда, когда любые его сужения аи на изме-

римые подмножества ^сО не обладает N -свойством Лузина.

Напомним, что измеримое отображение а := Q —» 5 обладает N -свойством, если каково бы ни было множество A a Q нулевой меры, множество аА имеет нулевую меру. Интересный обзор результатов по N -свойству содержится в комментариях к диссертации Н.Н.Лузина [16]. Предложение 2 следует из теоремы Д.Магарам об однородных сепарабельных булевых алгебрах с мерой [10, 14] или теоремы В.А.Рохлина об измеримых разбиениях пространства Лебега, не имеющих однослойных измеримых множеств положительной меры [9, 14]. Геометрический смысл предложения 1 можно выразить так: в каждом множестве положительной меры найдется подмножество нулевой меры, "раздуваемое" антиинъективным отображением до множества положительной меры. Самое простое представление о таком раздутии дает реализация антиинъективного отображения в виде проекции квадрата Q := [0,1] х [0,1] на одну из его сторон.

Формулировке и доказательству основного результата предпошлем небольшой комментарий, поясняющий главную цель данной заметки. В тезисах [5] анонсирована теорема о " тривиальности" стохастической задачи об ограниченных в среднем решениях. Решающим проблему аргументом в доказательство этой теоремы является сформулированное ниже утверждение об антисюръективности эволюционных операторов, порожденных линейными дифференциальными уравнениями Ито.

Пусть F:=F(S)(R+):=F(S,S,o) и G:=G(C2)(R+):=G(QF,ju) - банаховы идеальные пространства [17]; X и Y (dim 7 >0) - банаховы пространства: B(X,Y) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов А: X —» Y ; F(E)(X) и G(Q)(7) - банаховы идеальные пространства измеримых вектор-функций со значениями в X и Y соответственно, снабженные смешанной нормой [18].

Оператор Т : F(S)(X) —» G(Q)(Y) называется [19] оператором взвешенного сдвига, если он представим в виде (TfX®) = A(ffl)f(a(fi?)) (f е F(X ), ©GO),

где вес А:СЇ->В(Х/Г) сильно измерим, сдвиг а : О, —» Н измерим. В этом определении неявно подразумевается, что отображение а индуцирует меру на О несингулярную относительно ц.

Теорема 1. Пусть подстановка а ан-тиинъективна. Тогда оператор Т не сюръ-ективен.

Доказательство. Предположим, что оператор Т сюръективен. Без ограничения общности можно считать, что эиррА := {ш є О: А(ят) ф} = О.

По условию вес А: О —> 5(Х, Y) сильно измерим. Согласно векторнозначной версии теоремы Егорова [18, с.40, лемма 0.7] существуют компакт К с и последовательность конечнозначных весов А п:П^В(Х,У) (« = 1,2,...), такие, что /Ж > 0 и

8іф(а-1(®)І|Ая(ю)-А(ю)||)———»О. (1)

С0&К

Сузив компакт К, будем предполагать далее, что Хк е и- следовательно,

Так как оператор Т сюръективен, то оператор

Т^:=^Т:ЯН)(Х)^С(іО(У)

также является сюръективным оператором. Множество сюръективных операторов - открытое подмножество банахова пространства В(Е(X), 0(К)(У)) . Следовательно, найдется число б > 0 , такое, что возмущенный оператор Тк сюръективен, если

||Т*-Т||<£. (2)

Ввиду (1) определим целое число п > 0 как одно из решений неравенства

||£||8ир(а-Ч®)||А>)-А(®)||)<£. (3)

СОЕК

Положим Н := Аи и формулой (Т^(ю):=Н(©Жа(ю)) ^єЯХ), сие К) определим Тк : /' (X ) —> (і(К)(У)). Из оценки (3) следует неравенство (2). Таким образом, оператор Тк сюръективен.

По построению вес Н : = = Ап | К : К —> В(Х, У) принимает конечное

число значений. Выберем некоторое значение Н о веса Н , удовлетворяющее условию: /¿4 > 0, где А:= {со єК: Н(а>) = Н0}.

Зафиксируем и некоторый элемент ye Y единичной нормы.

Пусть В '—'ЕглК, В с А и /иВ > 0. Так как Тк оператор сюръективен, то

Ха^к/в = Хв(')У Для некоторого элемента fg g F(E)(X ). Отсюда

ХА (со) I H0fg I (а(со)) = Хв (®) при п.в. а> е Q , как это следует из мультипликативного представления оператора Тк .

Полагая С := {Е, е S :| Н 0fß | (£) Ф 0}, получаем

/и(((а~1С) о А AB) = 0 .

Но В - произвольно выбранный элемент 5 -алгебры hK . Получено противоречие с условием (D).

Оператор назовем антисюръектив-ным, если для любого множества AgE положительной меры оператор

Ха '■ -F(X) —>G(Â)(Y) не сюръективен.

Следствие 1. Оператор

Т : F(X ) —» G(Y), порожденный антиинъек-тивной подстановкой, является антисюръ-ективным.

Список литературы

1. Arnold L. Random dynamical systems /

L.Amold // Berlin-Heidelberg: Spriger-

Verlag, 1988. 586 p.

2. Ватанабе С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы / СВатанабе, Н.Икэда. М.: Наука, 1981. 445 с.

3. Липцер Р.Ш. Теория мартингалов / Р.Ш. Липцер, А.НШиряев. М.: Наука, 1986. 512 с.

4. Ponosov A.. Periodic solutions of linear stochastic differential equations / A.Ponosov, A.Chistyakov // Functional Differential Equations. 1997. Vol.4, № 3-4. P.361-389.

5. Чистяков А.В. Ограниченные на оси решения линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений Ито / А.В.Чистяков // Изв. Ин-та матем и ин-форм УдГУ. Ижевск, 2002. №2 (25). С.101-102.

6. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений / Е.ФЦарьков. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

7. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л.Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970. 534 с.

8. Массера Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Массера, Х.Шеффер. М.: Мир, 1970. 456 с.

9. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры / В.А.Рохлин // Мат. сборник. 1949. Т.25, № 1. С. 107—150.

10. Владимиров Д.А. Булевы алгебры / Д.А. Владимиров. М.: Наука, 1969. 318 с.

11. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К.Партасарати. М.: Мир, 1983. 343 с.

12. Сикорский Р. Булевы алгебры / Р.Сикор-ский. М.: Мир, 1969. 375 с.

13. Kalton N.J. Isomorphisms between Z -function

spaces when p < 1 / N.J.Kalton // J. of Funct. Anal. 1981. Vol.42, № 3. P.299-337.

14. Самородницкий А.А. Теория меры /

А.А.Самородницкий. Л.: Изд-во ЛГУ,

1990. 268 с.

15. Чистяков А.В. Патологический контрпример к гипотезе о нефредгольмовости в алгебрах операторов взвешенного сдвига / А.В.Чистяков // Изв. вузов. Математика. 1995. №5. С. 100-115.

16. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд / Н.Н.Лузин. М.: Изд-во АН СССР, 1958. 320 с.

17. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. М.: Наука, 1984. 752 с.

18. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике / В.Л.Левин. М.: Наука, 1985. 352 с.

19. Антоневич А.Б. Линейные функциональные

уравнения: операторный подход /

А.Б.Антоневич. Минск.: Университетское, 1988. 232 с.

20. Пич А. Операторные идеалы / А.Пич. М.: Мир, 1982. 536 с.

Strong irreversibility of a shift oрerator along trajectories of Brownian motion

A. V. Chistyakov

Udmurt State University, 426034, Izhevsk, Universiteskaya st., 1 (build. 4)

Stream of random events, coordinated with Brownian motion, is extremely irreversible: any nontrivial event which is possible at now couldn’t occur at arbitrary remote past almost sure. So it is not possible to recover pre-history current state of random dynamics systems statistically, where ones are exposed to influence of "white noises", that leads to qualitative differences in asymptotic behavior of this systems with dynamics systems of determine type. In article there are brought the most essential metric features of extremely irreversibility for Brownian motion. There is proved, that for linear systems of differential stochastic Ito’s equations evolution operators, which is times operators and shift along Brownian motion trajectory operator composition, has anti-surjective property: their images is very meager subset of random phase space and can not contain modules above ring of random scalars. It is followed from theorem in fact that for linear stochastic Ito’s system sole possibility of decidability of problem about constancy, when all constantly operate limited indignations is, is uniform exponential stability.