To the Daugavet's theorem Текст научной статьи по специальности «Математика»

оптимальны; здесь

FKt (£) = <

0,

(T - т)5Te^a(T-т)

(T - Т)STe\S\aT + т50,е-№ат

le-^,

\ 1

'е\а\а{т-т),

'тбОе-^

(T - т)§Tе\*\ат + т50е—\ат;

0,

\ '

0 ^ \£\ ^ &о, ао < \£\ < ат,

\С\ ^ ат,

0 ^ \£\ ^ ао, ао < \£\ < ат,

\С\ ^ ат■

Поступила в редакцию 5 октября 2009 г.

Osipenko К. Yu. Extremal problems of interpolation type and optimal reconstruction of linear operators. Some methods of optimal reconstruction of linear operators are considered. Given scheme is applied to thermal conductivity equation.

Key words: optimal reconstruction of linear operators; interpolation; extremal problems; thermal conductivity equation.

УДК 515.12, 517.987

К ТЕОРЕМЕ ДЛУГЛВЕТЛ

© П. М. Симонов, А. В. Чистяков

Ключевые слова: положительный оператор подстановки с весом; диффузный оператор; теорема Даугавета.

В статье сформулировано следующая теорема. Пусть Ьр = Ьр(И, Т,^), р е [1, гс>], банахово пространство на сепарабельном пространстве с безатомной мерой. Тогда для любого положительного оператора подстановки с весом Я : Ьр ^ Ьр канонический проектор Я : М(Ьр) ^ М(Ьр), порожденный полосой Я := {Я}^, имеет единичную норму. Из теоремы сразу следует следующее утверждение. Если оператор К е М(Ьр) имеет мажоранту V, дизъюнктную с Я (например, К — интегральный оператор), то ||Я + К|| ^ ||Я||.

Это утверждение значительно усиливает многочисленные обобщения известной теоремы И.К. Даугавета. Наиболее интересные применения анонсированная здесь теорема может иметь в спектральной теории операторных алгебр мажорированых операторов, порожденных решеточными гомоморфизмами.

Одной из первых публикаций по проблематике является работа [1], вызвавшая серию исследований [2-5]. К результатам подобного типа относится теорема Халмоша-Сандера ([6], теорема

8.6) о расстоянии между оператором умножения и интегральным оператором, действующими в Ь2[0,1] , из которой, кстати говоря, следует теорема Диксмье о неинтегральности тождественного оператора [7] (см. также [6, с. 150]). Последние исследования по этой тематике, насколько нам известно, принадлежат Шамаеву [8].

Обозначим через В(ЬР) пространство линейных непрерывных операторов, действующих в ЬР. Линейное пространство всех мажорируемых операторов, действующих в ЬР, обозначается как М(ЬР). Обозначим ч ерез С(ЬР) линейное пространство регулярных опера торов, а через С+(ЬР) обозначим положительные операторы. Необходимые сведения из теории полуупорядоченных пространств и регулярных операторов имеются в главе X монографии [9]. Ниже мы пользуемся определением сепарабельного пространства, которое взято из книги ([10, с. 136]).

Теорема. Пусть Б — положительный оператор подстановки с весом. Тогда при всех р Е [1, то] В(ЬР)-норма канонического проектора

{Б}м : М(ЬР) ^ М(ЬР)

равна, единице.

Докажем предварительно две леммы.

Л е м м а 1. Пусть

Ж

Б = (0)£ Бг, (1)

г=1

где Бг Е С+(ЬР) для всех г. Тогда для каждого числа е = к-1 > 0 найдутся целое число Шк и

измеримые множества Ак и Вк такие, что

тах{^(0 \ Ак)} < к-1 и \\ХАк^ БгХвк\\в(ы) < —

г^-тк

Доказательство. Рассмотрим оператор Бг : ЬР ^ ЬР и дуальный к нему оператор Бг : ЬР’ ^ ЬР’. По теореме найдется измеримое множество С такое, что ц(0, \ С) < 2-1к-1, а операторы Хс Бг и Хс Б г действуют в простр анстве Ьж. Ввиду положительности эти операторы ограничены:

\\ХсБг\\в(ь™) < и \ \хсБг\\в(ь™) = \\БгХс\\вь) < ж.

Так как 0 ^ Хс БгХс ^ Хс Бг А БгХс Бг, то оператор БгХс = Хс Бг А БгХс Бг действует в каждом из пространств Ьж и Ь1. Из представления (1) следует

т

УЪсБг А БгХс 1)М —► (Бг1)(ш) п.в.,

т^ж

г=1

откуда

Е(ХсБг А БгХс 1)М —► 0 п.в..

т^ж

г>т

Согласно теореме Егорова ([9, с. 58]) найдутся измеримое множество О к и целое чи ело Пк такие, что ц(0, \ Бк) < 2-1к-1 и

\ \ ХОкпс[^2 БгХс]\\ в(ь™) = \\ ^2, ХОкпсБгХс1 \\ь™ < к-1 (2)

г>т г>т

при всех Ш > Пк-

Заменяя в этом рассуждении оператор Бг Хс оператор ом Бг Хс, найдем измеримое множество Ек и целое число ¡к такие, что ц(0, \ Ек) < 2-1к-1 и

\ \ Хс [^ БгХспЕк ]\ \ в(ь1) = \ \ ХЕкпс [ Бг Хс ]\ \ в(ь™) <к 1 (3)

г>т г>т

при всех Ш > ¡к-

Полагаем Ак = Бк П С, Вк = Ек П С и Шк = тах{1к, Пк}• По построению

ц(П \ Ак) = ц((О \ Бк) и ц(О \ Ск)) ^ ц(О \ Бк) + ц(О \ Ск) < 2^ + = к

и, аналогично,

Л(О \ Вк) < 1.

Из Нбр&ВбНСТВе!

^ ХАк БгХВк < (^ ХАк БгХс) А (^ Хс БгХВк ),

г>т г>т г>т

учитывая (2) и (3), получаем, что

\ \ ХАкЕ Бг]ХВк]\\ в(ьг) < тМ \\ ХАкЕ Бг]Хс] \\в(ь^),\\Хс^ Бг]Хвк]\\вь)} < 1

г>т г>т г>т

при г Е [1, то]. Отсюда ввиду интерполяционной теоремы М. Рисса-Торина ([11, с. 37]) следует, что неравенство

\ \ ХАк ( ^2 Бг)ХВк\ \ В(ьг) < к-1 г^-тк

верно при всех г Е [1, то] (и, в частности, при г = р).

Л е м м а 2. Пуст^ь {Бг}ж=1 — семейство попарно дизъюнктных положительных (1-гомоморфизмов решетки ЬР. Тогда найдутся семейство борелевских функций аг : О ^ М+ и семейство борелевских отображений аг : О ^ О такие, что 1) при всех г оператор Бг имеет представление

(БгН)(и) = аг(и)Н(аг(и)),Н Е ЬР;

2) аг(и) = (и) при г = ] для всех и Е О.

Доказательство. Положительный ^гомоморфизм Бг допускает представление

(БгН)(и) = аг(и)Н(^г(и)),Н Е ЬР,

где аг : О ^ М+, 7г : О ^ О — борелевские отображения, причем в силу порядковой непрерывности оператора Бг выполнено условие согласования: если А Е £ ¡лА = 0, то л((7-1А) П {аг(и) = = 0}) = 0-

Обозначим Аг = {аг(и) = 0}. Из соотношения Бг А Бj = 0 по теореме о представлении следует условие дизъюнктности

л{и Е Аг П Aj : Yj (и) = 7г(и)} = 0.

Выберем счетный набор {шг}ж=1 попарно различных точек из О и определим борелевские отображения равенством

в (и) = / Ъ(и), и Е А «и> = { иг, и Е Аг (г = ]

иг, и Е Аг (г = 1,...).

Из условий согласования и дизъюнктности следует, что вг(и) = вj(и) п.в. прп г = ] . Таким образом, множество А = У {и Е О : вг(и) = вj(и)} имеет меру нуль. Заключению предложения

г=

удовлетворяет семейство борелевских отображений

а (и) = / |3г(и), и Е О \ А

аг (и) \ иг, и (/А (г = 1,... ).

Доказательство теоремы. Пусть К Е М(ЬР). Представим мажоранту \К\ Е С+(ЬР)

В ВИД6

ж

\К\ = (0)£ Бг + У,

г=0

где V — диффузный оператор [12], а при всех г = 0,1,... оператор Бг есть положительный ^гомоморфизм. Будем предполагать, что

Б0 Е {Б}м и Бг Е {Б}м при всех г ^ 1, прпчем Бг А Б^ если г = ].

Ввиду разложимости абстрактной нормы \ ■ \ существуют опера торы Рг Е М(ЬР)(г = 0,1,...), Q Е М(ЬР) такие, что

ж

К ' рг + Q,

г=0

где \Рг\ = \Бг^ и ^\ = V. Согласно определению канонического проектора

{Б }МК = Ро.

В теореме утверждается, что

\ \ Ро \ \ >\ \ К\ \. (4)

Докажем это неравенство. В силу леммы 2 без ограничения общности можно предполагать, что при каждом г = 0,1,... оператор Бг имеет представление

(БгЬ)(и) = аг(и)Ь(аг(и)), Ь Е ЬР,

причем борелевские отображения аг : О ^ О можно выбрать так, чтобы выполнялось условие дизъюнктности:

аг(и) = аj(и) при г = ,] для всех и Е О. (5)

Зафиксируем некоторое целое число к ^ 1 и найдем целое число Шк, компакт Ак и измеримое множество Вк такие, что сужение аг : Ак ^ О непрерывно при всех г = 0,1... и

тах{л(О \ Ак),л(О \ Вк)} <к-1, (6)

\ \ ХАк [(о) ^ Бг]ХВк\ \<к-1. (7)

г^-тк

Существование таких Шк,А^и Вк следует из леммы 1 и теоремы Лузина ([9, с. 62]). Кроме того так как оператор V диффузный, то согласно теореме при выборе компакта Ак можно учесть дополнительно следующее условие:

если Сп Е £ и Сп —► 0, то \ \ ХАкУХвк\\ —► 0.

п—ж п—»<ж

Рассмотрим операторную последовательность

ХАк

По построению

\\ХАкКХВк - Кк\\ < \\\ХАкКХВк - Кк\\\ < \\ХАк[(о) ^2 Бг]ХВк\\ < к— . (8)

г^-тк

тк

г=0

Обозначим Pok = XAk RXBk- Покажем, что

I | Pok|| <|| Rk| | (k = 1,2,...). (9)

Ввиду теоремы Халмоша-Неймана-Рохлина о метрическом изоморфизме стандартных пространств с неатомарной мерой [10, Глава 3, §1, примечания к главе 3] без ограничения общности будем предполагать, что (Q, Х,^) - отрезок [0,1] то стандартаыми ^алгеброй и мерой Лебега. Через B обозначим замкнутый единичный шар пространства Lp.

Положим n = 0, Qn = [0,1]. Разобъем отрезок Qn на отрезки и равной длины. Так как

оператор Pok сохраняет дизъюнктность, то

pokXnlf | Л ^okXnl f| = 0

для всех f E LP. Следовательно,

Wpokf Wp = WpokXnif Wp + WpokXnif Wp ^ (n—ax WpokXnj Wp ■

j —i,2 n

Отсюда

| | pok11 < max|| pokXnJ| ■

Обратное неравенство очевидно, поэтому

WpokW = max WpokXnn W ■

J—1,2 nn

Из множеств Qn, j = 1, 2 выберем множество Qn+i так, чтобы

| | pok11 = 11 pokXnn+A| ■

Затем найдем элемент fn+i = Xnn+1 f E B, удовлетворяющий неравенству

wpokfn+iW > (1 - 2-(n+1))Hpok|| ■

Полагая номер n + 1 и продолжая построение, получим убывающую последовательность Qi D ••• D Qn D ■■ ■ замкнутых отрезков, а также последовательность fi = Xn0fi,...,fn = = Xnn fn, ■ ■ ■ элементов шара B, для которой

W^kUW —► WpokW ■

п^ж

Кроме этого, по построению

Qn = 2-n —► 0.

п^ж

Ясно, что пересечение n£—oQn состоит из единственной точки. Обозначим эту точку через Wo-При каждом i = 0,..., mk отображение ai : Ak ^ Q непрерывно. Поэтому из (2) следует, что для некоторой открытой окрестности Uo точки Wo множества (a- Uo) П Ak,..., (a^,Uo) П Ak попарно дизъюнктны. Фиксируя Uo, найдем такое целое число Ж, что Qn С Uo при всех n ^ N. n

\\XAk piXBk ] fn| ^ ([XAk SiXBk ППп+х ]|fn|)(w) = XAk na-1(Bk nnn+i )|ai(w)||fn(ai(w))|■ для всех i = 0,..., mk и для п.в. w E Q.

Теперь становится очевидным, что при n ^ N функции в наборе {\лкPiXBk fn}i=o попарно дизъюнктны. Отсюда

тк

\\Pok fn\\ = \\XAk P0XBk fn\\ < WXAkY^ PiXBk fn\\ .

i=0

Далее, в силу (5) и (8)

\\XAk QXBk fn\\ < \ \XAk VXBk \fn\\ \ < \ \XAk VXBknnn+1 \\0 .

Таким образом,

mk

\ \ p0k \ \ < limQ\\p0k fn \ \ < limQ\\XAkYI pXBk fn \ \ <

n—n—i—0

< lm0\ \ [Rk - XAk QXBk ]fn \ \ <\ \ Rk \ \+ lim0 \ \ XAk VXBk nQn+i\\ = \ \ Rk \ \.

n—n—

Неравенство (9) доказано.

Из (8) и (9) следует

\ \ XAk poXBk\\ <\ \ XAk RXBk\\ + к-1 .

Это неравенство справедливо для всех к = 1, 2,... . Так как норма Lp порядкова непрерывна при p G [1, то), то из (3) следует, что операторная последовательность

XAk

сходится на каждом элементе f G Lp. Отсюда в силу неравенства (9)

\ \ po \ \ < Um ^ \ \ XAk po \ \ .

n—

ЛИТЕРАТУРА

1 .Даугавет И. К. О свойствах компактных операторов в пространстве C // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. № 5. С. 157-158.

2. Бабенко В. Ф., Пичугов С. А. Свойство компактных операторов в пространстве интегрируемых функций // Укр. мат. журн. 1981. Т. 33. С. 374-376.

3.Kamovitz И. A propety of compact operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V. 91. P. 231-236.

4. Holub J. R. A propety of weakly compact operators on C[0,1] // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 97. P. 399-402.

5. Holub J. R. Daugavet’s equation and operators on L1(ß) // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V. 100. P. 295-300.

6. Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространствах L2: пер. с англ. / под ред. Л. Д. Кудрявцева. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1985. 160 с.

7. Dixmier J. Les algebras d’operateurs dans 1’espase Hilbertien. Paris.: Gauthier-Villars, 1957.

8. Шамаев И. И. Расстояние между оператором взвешенного сдвига и интегральным оператором // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. № 2. С. 184-190.

9. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

10. Самородницкий А. А. Теория меры. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1990. 268 с.

11. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.

12. Weis L. Decompositions of positive operators and some of their applications j j Funct. Anal. Surv. and Recent Results. 3: Proc. 3rd Conf. Paderborn. 1983. P. 95-115.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского

фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00744-а) и администрации Пермско-

mk

J2pi + Q XBk, к = 12,

i—0

го края (грант № 07-01-96060-р-урал-а).

Поступила в редакцию 5 октября 2009 г.

Simonov Р. М., Chistyakov А. V. То the Daugavet’s theorem. In article it is formulated the following theorem. Let Lp = Lp(Q, £,^), p E [1, ro], is a Banach space on separable space with a nonatomic measure. Then for any positive operator of substitution with weight S : Lp ^ Lp an initial projector RS : M(Lp) ^ ^ M(Lp), generated by a strip RS := [S]dd, has individual norm. From the theorem the following statement at once follows. If the operator K E M(Lp) has a major ant V, disjoint with S (for example, K is integrated operator), 11S + K11 > 11S11. This statement considerably strengthens numerous generalisations of the known theorem of I. K. Daugavet. The most interesting applications the theorem announced here can have in the spectral theory of operational algebras majorizing the operators generated lattice homomorphism.

Key words: positive operator of substitution with weight; diffuse operator; Daugavet’s theorem.

УДК 517.95

РАВНОСТЕПЕННАЯ КВАЗИНИЛЬПОТЕНТНОСТЬ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИЗНАКИ, ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ

© В. И. Сумин

Ключевые слова: равностепенно квазинильпотентное семейство операторов; вольтеррова цепочка оператора; теорема об эквивалентной норме; управляемое вольтеррово функционально-операторное уравнение; условия сохранения глобальной разрешимости.

Вводятся понятия равностепенно квазинильпотентного и суперравностепенно квазиниль-потентного семейства операторов. Формулируются соответствующие признаки для случая функциональных операторов. Обсуждаются применения введенных понятий и сформулированных признаков в теории управляемых функционально-операторных уравнений.

Примем следующие обозначения:

П С! фиксированное измеримое по Лебегу, ограниченное множество, играющее роль

основного множества изменения независимых переменных £ = со, ¿”};

£ = £(П) — ст-адгебра измеримых подмножеств П;

Т — некоторая часть £;

Е = Е(П) — некоторое банахово идеальное пространство (БИП) измеримых вещественных

П

Ет = Е х ... х Е, ||.||ет_ стандартная норма прямого произведения; т

1 Нормированное пространство Е = Е(П) измеримых на П функций называется идеальным, если любая измеримая па П функция х, те превосходящая то модулю некоторой функции у € Е, принадлежит Е, причем ||ж|| < ||у|| (см., например, [1, с.139]).