ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ПОРЯДКОВО НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ (ПОСВЯЩАЕТСЯ 95-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ ПРОФЕССОРА Н.В. АЗБЕЛЕВА И ПАМЯТИ СТАРШЕГО НАУЧНОГО СОТРУД-НИКА А.В. ЧИСТЯКОВА) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2017 Математика. Механика. Информатика Вып. 3 (38)

УДК 517.983.27

Обзор результатов по теории линейных порядково непрерывных операторов в полуупорядоченных пространствах измеримых функций

(Посвящается 95-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева и памяти старшего научного сотрудника А.В. Чистякова)

1 2 П. М. Симонов , А. В. Чистяков

1Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 simpm@mail.ru; 8(342) 2396849

2Удмуртский государственный университет

Россия, 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Дан обзор исследований по теории линейных порядково непрерывных операторов в векторных решетках и пространствах измеримых функций. Подробно рассматриваются: теорема о псевдоинтегральном представлении, типы операторов (интегральный, диффузный, сингулярный и атомарный). Рассматриваются также вопросы приложений: спектры, фредгольмо-вость, алгебраические свойства "непрерывных по мере" операторов, условие интегрально-сти оператора Грина общей краевой задачи.

Ключевые слова: порядково непрерывный оператор; псевдоинтегральный оператор; оператор подставки с весом; интегральный оператор; диффузный оператор; сингулярный операто;, атомарный оператор; спектр; фредгольмовость; "непрерывный по мере" оператор; оператор Грина.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-3-27-48

Введение

Со времен появления работы Ш. Каку-тани и К. Иосиды (см. [1], [2]) существует связь между теорией положительных операторов и теорией стохастических ядер. Часть утверждений о вероятностях перехода переносятся в утверждения о положительных операторах, при этом большинство исследователей стараются применить методы функционального анализа к задачам теории вероятностей. Однако существуют задачи теории операторов, где удобнее считать, что положительный оператор Т представим с помощью стохастического ядра

(Tf)(y) = { fd^y,

(*)

© Симонов П. М., Чистяков А. В., 2017

для того, чтобы можно было применить методы теории вероятностей и теорию меры. Примеры этого можно найти в работах В. Ар-весона по операторным идеалам [3] и Н. Кол-тона о пространствах Z [4-6].

Пусть, например, X = [0,1] - а -алгебра борелевских подмножеств и с мерой Лебега /л. Пусть E,F - некоторые подпространства скалярных измеримых функции f-.X^ R.

Рассмотрим линейный оператор T.E^F (Т е C(E,F)) (все операторы в этом обзоре предполагаются линейными).

Рассмотрим применение положительных, или, более общо, регулярных операторов: - интегральные операторы, порождае-

мые измеримым ядром K (y, x):

(Tf )(y) = { K (y, x)f ( x)dM( x);

— оператор взвешенной подстановки, оператор взвешенного сдвига, оператор замены переменной с весом, оператор внутренней суперпозиции с весом, гомоморфизм Рисса, порождаемые измеримым преобразованием а: У —> X основного пространства и умножением на функцию а: У —> М

(Т/)(у) = а(у)/(с7(у)У, (2)

— свертка, порождаемая борелевской мерой X на локально компактной группе О:

СТ/)(у) = | /(У — х)йЛ(х); (3)

— полугруппа, порожденная вероятностями перехода р марковского процесса:

(Т/ )(У) = \ РУ, аX)/(х). (4)

х

Если мы рассмотрим эти операторы как операторы Т: Е ^ Е на функциональных банаховых пространствах Д и /■ (где Е - порядковый идеал в пространстве 1Л1(Х ,А,/и) классов эквивалентности измеримых функций на (Х,А,/л), включающее характеристические функции), и в то же время Е , Е - банаховы решетки (БР) по отношению к упорядоченности на обычных пространствах с мерой (X, А, /и) и (У, В, V) с конечными // и г . то все они имеют вид

(Т/)(у) = | / (х)аМу V- п.в. (5)

для любого / е Е , где {ру} г - стохастическое ядро, семейство борелевских мер ¡иу на (X, А) . Мы предполагаем, что у еУ /иу(А)

- банаховозначная борелевская функция для любого фиксированного АеА. В (5) мы неявно предполагаем, что 11 /1 й | иу I < +« для

х

V — п.в. у еУ и и(А) = 0 следует |и| (А) = 0

V — п.в. Здесь символом |иг| обозначается вариация меры и •

Действительно, в (1) мы можем использовать и - абсолютно непрерывное ядро й/лу = К (у,)йи, в (2) имеем меры иу = а( У у), а в (3) положим иу (А) = Х(А — у) •

Но кроме конкретных примеров существуют прекрасная функционально-аналитическая характеристика представления (5).

Теорема о представлении. Пусть Т: Е ^ Е - мажорируем положительным оператором т.е. для любого

/: 0 < / е Е выполнено \Г/\ < Б/. Тогда Т

представлено в виде (5) тогда и только тогда, когда Т порядково непрерывный, т.е. 0 < / < / е Е и причем, / ^ 0 и-п.в., отсюда следует Т/п ^ 0 V -п.в.

Впервые такого рода результаты были получены в работе Ш. Какутани и К. Иосиды [1]. В случае Е = Е = это существенная характеристика Ж. Невё для субмарковских процессов (см. [7, § 5.4]); случай Е = Е = Ь2 был исследован В. Арвесоном в [3] в контексте операторных алгебр на гильбертовом пространстве. Несколько позже этот результат был получен в связи изучением операторов в Ц Х. Факхури [8] и Ц, 0 < р < 1, - Н. Кол-

тон [4]. В [9, 10] А. Сурур развил общую теорию таких операторов - выяснилось, что это в точности порядково непрерывные операторы.

В 1980-х гг. активно изучались характе-ризации различных полос в порядково непрерывных операторах в терминах случайных ядер, а также приложения к геометрии банаховых и квазибанаховых пространств, изучению уравнения переноса и т.д. (Н. Колтон [46, 11-13], Л. Вейс [14, 15]; см. также [16], [17]).

Результаты интегральной и псевдоинтегральной представимости носят порядковый характер и их доказательство существенно опирается на исчисление порядково ограниченных операторов. В работах [18-21] А.Г. Кусраева уставлено, что аналогичные вопросы для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, могут решаться на основе теории мажорируемых операторов.

В этих работах приводится целый ряд интересных результатов об интегральном представлении линейных операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

В работах [22, 23] К.Т. Тибилова (см. [24]) введено понятие слабого псевдоинтегрального оператора и установлен аналог теоремы Сурура - критерий слабой псевдоинтегральной представимости для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций.

Предварительные сведения

Пусть X - сепарабельное метрическое пространство, В(Х) - борелевская а -алгебра, л - некоторая конечная неатомарная мера (неатомарная: ¡¡{x} = 0 для любого

хеХ).

Тогда (X, В(Х), ¡Li) - стандартное боре-левское пространство. Можно все рассмотреть, например, на [0,1] с обыкновенной а -

алгеброй борелевских множеств с мерой Лебега

Рассмотрим условие: ¡(U) > 0 для произвольного открытого множества U. В этом случае существует каноническое вложение: C(X)<^L0(X,A,/u) [25, с. 134, следствие 2].

Пусть (.X,A,ju) - стандартное измеримое пространство, L0 =L0(X,A,ju) - пространство измеримых скалярных функций f: X —> К (при этом отождествляем эквивалентные функции), L0+ - конус неотрицательных функций.

Определим решеточные операции: (f л g )(x) = min {f (x), g (x)},

(f v g)(x) = max {f (x), g( x)},

\f\ (x) = f (x)|.

Определим, что такое порядковый идеал: такое подмножество E с L0, если из

\f\ < g, где f е Lo, а g е E, следует f е E.

Рассмотрим класс пространств: Е = Е(Х, А, /и) - пространство Рисса (векторная решетка), если выполнены условия: E -порядковый идеал в L0, %, е Л' для любого АеА.

Множество E+ = {f е L0, f > 0} называется конусом положительных элементов ВР E .

E - идеальное пространство (ИП), если E - порядковый идеал в L0: 1) E - линейное пространство; 2) E подпространство в L0

- солидное (телесное) подмножество: |g| <| f\ е E, g е L0. то g е E.

Если выполнено 3): |g| <|f|, то справедливо ||g|| f || (норма называется монотонной), то E называется нормированная ВР

- (НР) (НИП).

Если и е Е+ , то наименьший идеал в Е , содержащий и, называется главным идеалом или и -идеалом в Е и обознается Е(и).

Полная по норме НР называется банаховой решеткой (сокращенно БР). Если НР (соответственно БР) Е является К -пространством, то говорят, что Е - нормированное К -пространством (соответственно, банахово К -пространство).

К -пространство - это полная решетка. Это значит, что для любого ограниченного сверху по порядку подмножества имеет точную верхнюю грань.

Очевидно, что НИП является нормированным К -пространством, БИП - банаховым К -пространством [26, с. 403].

Будем говорить, что ВР Е архимедова, если из того, что для / е Е+, выполнено nf<geE при любом п е N, следует / = 0 . Все интересные для функционального анализа типы ВР являются архимедовыми. Заметим также, что любая НР - архимедова.

Определим понятие дизъюнктности: : |/|л|= 0 .

Пусть РсЬо, Р" = {я е¿о л/ = 0 для любого / еР}.

Порядковый идеал П ВР К называется фундаментом, если П одинаковой ширины с К , т.е. П" = {0}.

Определим понятие полосы: Пс К -полоса (К - некоторая архимедова ВР). Множество П с К является полосой в К тогда и только тогда, когда П есть порядковый идеал в К и выполнено следующее условие (называемое условием правильности): если Я с П ив К существует Я е К (Я е К), то Я еП (т^ Я еП).

П - полоса, если ПЛ = П.

Можно проектировать любой элемент / на полосу П каноническим образом:

[П]/ = еП:0<g</} для любого /еЬ0/. Для любого / е Ь определим [П]/ , [П]/, где 0<[П]<I, // = /Л0, /_=-/X/0.

Для любого элемента / е Ь0 определим его носитель зирр/ = {х е X: /(х) Ф 0}. Для любого множества Е с Ь0 носитель Е1 есть множество вирр^еД, обладающее следующи-

ми свойствами: 1) supp/ cz suppЛ', (mod//) при любом хеЕ1; 2) если множество АеА таково, что supp f с A (mod ¡и) при любом x е E , то supp E с A (mod ¡и) .

Критерий регулярности оператора

Пусть есть два пространства Рисса (BP): E = E(X,A,¡u) и F = F(Y, В, v). Тогда С(Е,Т) - множество линейных операторов из E в F.

E, F - (полу)упорядоченные пространства. Будем говорить, что оператор Т: Е —> F положительный, если У/ > 0 для любого элемента / > О (У > 0).

Возникает конус положительных операторов: C+(E,F). Затем дадим понятие регулярного оператора: У = 1\ - 7¡. Tl, Т2 е C+(E,F). Множество регулярных операторов обозначим через Cr(E,F).

Сг - порядково полное производство, то есть, К -пространство. Можно ввести решеточные операции v, л:

H/ = sup{|2g|:|g|</}, \T\f = \T\f++\T\f_.

Пусть Е и F - BP в L0. Оператор Т е Cr(E,F) тогда и только тогда, если существует S<e£+ : IT/I^I/I для любого / <еЕ (свойство мажорируемости).

Оператор T: E ^ F называется порядково ограниченным ((о) -ограниченным), если он переводит множества, (о) -ограниченным в E, в множества, (о) -ограниченные в F. Обозначим через jC(E,F) множество всех (о) -ограниченных операторов.

Предложение [26, с. 392; 27, с. 75;]. Если E - ВР и E - K -пространство, то оператор является (о) -ограниченным тогда и только тогда, когда он регулярен, т.е.

C(E,F) = Cr(E,F).

Определим сходимость по порядку:

(о)

fn—>0 при п—>оо, где f„^E, если

|fn| ^ f е E+ и fn(x) ^ 0 при п и - п.в.

для всех x е X.

Определим порядковую непрерывность оператора: Te£.(E,F) - порядково непрерывный, если для любой последовательности

(о)

{fn} : fn ^0 при п f е E, то отсюда

(О)

следует Tfn ^ 0 при n . Множество всех (о) -непрерывных регулярных операторов обозначается Cn(E,F).

Теорема о разложении регулярных операторов (обобщение теоремы Иосида-Хьюитта [27, с. 96; 28, с. 38]). Пусть E - ВР со свойством Егорова, F - K -пространство счетного типа [26, с. 386, 387; 29, с. 171, 1.4;]. Справедливо разложение:

Cr(E,F) = Cn(E,F)®Cs(E,F), где Cn(E,F) и CS(E,F) - полосы операторов, Cn(E,F) - полоса порядково непрерывных операторов, Cs(E,F) - полоса сингулярных операторов.

Оператор Т eCr(E,F) называется сингулярным, если существует такой фундамент G с E, что T |G = 0.

Получаем в силу теоремы, что для любого TeCr(E,F): T = Tn+Ts, где тп е 4 (Е, !•' ) ■ Ts е 4 (Е, F), причем

Классическая теорема Иосида-Хьюитта состоит в следующем [26, с. 408]: L*m=L\n®L\s. Здесь = £r(ZM,M) ■ Для

любого Ле V^n: <XJ > = Л(/) =

{f (x)g(x)dx, g = gл еV- Для Леобла-

дает свойством, что для всякого е > 0 существует АеА, jU(X \А) <s такое, что Л^) = 0, если supp f с A (mod ¡и).

Хорошо известно [27, с. 80]: 1) B(E,Lx) = Lr{EJ., ). где Е - произвольная БР, - характерное свойство пространства Lm ; 2) Е = Ц, то тогда B^F) = F - БР,

являющая K -пространством с условиями (B) и (С) (в терминах направлений) [26, с. 409, с. 150]. Тогда для оператора Т е Cr(E,Lm) , или для оператора Г е £г(1л,1г). верно равенство II T llE^F = || | T . B(E,F) - банахово пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства E в банахово пространства F .

Теорема о представлении. Набросок доказательства. Замечания

Пусть Е и F - пространство Рисса (BP), E = E(X,A,ju), F = F(Y,B,v). Опера-

тор T : E ^ F регулярен. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) T - порядково непрерывен,

2) T имеет (псевдоинтегральное) представление:

(Tf)(y) = jf(x)dMy(x) V -п.в.

для любой функции f e E.

Здесь (p ) г - семейство борелевских мер на (Х,Л) (измеримое пространство), удовлетворяющих некоторым условиям:

1) для любого АеЛ функция у \—> ц (А) - В -измерима, случайная мера -

это семейство мер.

2) Если АеЛ и ju(A) = 0, то

I ßy I (A) = 0 v -п.в. (условие абсолютной непрерывности стохастического ядра). Случайная зависимость - зависимость измеримым образом.

v - мера на (Y, В) . Случайная мера (Ру )yer - tjv -абсолютно непрерывна, если p(A) = 0, то lMyI(A) = 0 v -п.в. y e Y.

3) Для любого f e E , J| f\d | p |e F .

Замечание. Пусть мера (p ) Y - pv -

абсолютно непрерывно и имеются две интег-

f

рируемые функции /,' и f2. причем fx ~ f2,

V

то отсюда следует (Tf)(y)~(Tf)(y). Случайная мера корректно определена на классах.

Т:ЕМу L0(Y,B,v),

Ец œL0(X,A,/и), значит Т - порядково непрерывен (из теоремы Лебега о мажорированной сходимости [26, с. 65]). Получаем

г G Л) > тогДа {(/', )} ^ 4 - это отображение взаимно однозначно и естественно.

Доказательство теоремы (см. [15, 2.4]). Предложим, для простоты, что %х e X и m(Q) > 0 для любого открытого множества Q с X . Далее, предположим, что C(X) -плотно в E относительно порядка сходимости

Пусть TeCn(E,F), Т> 0. Возьмем \х= Хх, ф = Т\х e G cl0 (7), следовательно, для любого £ >0 существует Ye eß (можно взять компакт Y ), что supp^ с Y.

Таким образом, рассмотрен оператор TE=XYeT на 1-идеале 4, в ,

Итак, Т8 еСп(иХШУЛ Рассмотрим множество v(Y \ ^ ) : функция ХтФ непрерывна на v(Y \ ^) <£ по теореме Лузина [26, с. 69] (%т (ре C(YE) , можно взять ^ - компакт).

Далее рассмотрим С(Х) с Ьм (X) (с условием //((/) > 0 для любого открытого О ). Далее рассмотрим Т = Те \с(х): С(Х) ('(К.) ШУ) = \/Шхг(у,х) [29, с. 314] для лю-

X

бой функции / е С(Х) .

Пусть e C (X),

С(Х)

= 1 - счет-

ное всюду плотное подмножества из единичной сферы в C(X). е L (Y), воспользуемся теоремой Лузина [26, с. 69], выберем Уе,п-Хт.Т^п eC(Y„), причем v(Y\Yen) < s2~".

Рассмотрим Ye= П : v(Y\YJ<2e.

П

Далее, %YTWneC(YE), имеем XrT:C(X)^C(Ys)

- известен вид оператора.

Далее, C(X) - плотно в E относительно порядка сходимости, получим распространение оператора %Y Т на Е.

Замечание [10, Theorem 4.1]. Для любого Т е Cn(E,F) ь-> //,|У'| - решеточный

гомоморфизм, т.е. сохраняет любые алгебраические и решеточные операции:

1) лу[T + S] = лу[T] + лу[S] v -п.в.;

2) 0 < T < S » 0 <л,[T] <лу[S] v -п.в.;

2) ¡y [T+ ] = ¡y [T ]+, лу [| T| ] = ¡у |[T] = I Лу [T]| v -п.в. - сохранение модуля, |T| = sup {T, -T}, Tf = sup {| Th|: \h\ < f} для

f > 0;

3) Лу [T Л S] = Лу [T] л Лу [S] v -п.в.

Замечание об единственности представления. Представление (*) единственно в следующем смысле: пусть две случайные меры: //'|У'|. /г|7'|. то //¡ [7 ] = /г[7 ] с точностью до v -п.в. всех у е Y.

Следствие. Пусть есть случайная мера ([IV-непрерывна), (/иу)уеГ\-^Те£п(Е,Ц). Следовательно, существует такой оператор |Г|е£я(£Л), что Му[\Т\] = \Му[Т]\ = \Му\,то

( иу |)уеУ - случайная мера.

Пример 1. Пусть Т е £п(Е./•') ь^ и [Т] - абсолютно непрерывное относительно меры и по у. По теореме Радона-Никодима [26, с. 66, 67] существует п.в. у еУ производная

dUy d/

( x) = K (x, y),

следовательно,

(Tf)(y) = du

= | /аиу = | /(х) (х)йи(х) = = | К (у, х)/(х)-и( х).

х

Тогда существует ( Т|/)(у) = | / (х)| К (у, х)-и(х) .

х

Пример 2. Рассмотрим семейство мер: {иу = а(у)8^}уег , а еЦ,(У), а: У ^х.

Пусть х е х. Зададим 5Х - точечную меру - это мера Дирака,

, . [V х е А,

^-{о.^л

Из 1) следует и 1 (.4) е В для любого АеА - условие (В, А) -измеримости. Тогда

} г ~~ (У-В)- случайная мера.

2) Следует и(А) = 0, то V(стч(А)) = 0 -это значит, что функция а: У ^ х удовлетворяет условию независания. Тогда {^ы} 7 - и -абсолютно непрерывное семейство мер.

По определению:

Uy (А) = J a( y)Srj( y ) d/( x) = a( y )

1, <T(y) e A, 0, a(y) £ A

= a(y)za-i(A)(y) -

Свойство операторов внутренней суперпозиции: / ^0 и- п.в. в х, то тогда (Та/)(у) = /(а(у)) ^ 0 V - п.в. у е У.

Замечание. Для любого Te£n{E,F) следует /л [T] - случайная мера, и для нее справедливо разложение по Лебегу: / [T ] = / [T ][T ],

где /U [T] - абсолютно непрерывная относительно меры jUy [T ] - сингулярное относительно меры u Обе компоненты - тоже случайные меры.

Получим разложение T = T + T , при

этом \Т\ A |Ty| = 0 .

Здесь (Tf )(y) = J f (x)duy (x) = = J f ( x) <dTL ( x)d/( x) = J f ( x)K ( y, x)du(x).

x d/ x

Выделяют четыре класса (полосы): £n(E,F) = £n®£n, £n{E,F) = Cn®£?n. Причем Сп<^Сп. Сп - полоса инте-

гральных операторов, (£n)d = £п.

О характеристических свойствах порядково непрерывных функционалов

Рассмотрим пространство Рисса (ВР):

Е = Е{Х, А, /и) : Е - идеал в L0, Ха^Е для любого A g А. Достаточно потребовать: 1 = Xx e E.

Определим дуальное пространство: E'

= {g e L0 : J\fg\du<cx> для любого f e E}.

x

Для любого g e E' определим линейный функционал по правилу:

< f, g >=J fgdU

x

Причем, E' с E * с E+ - пространство алгебраических функционалов на E . Например: E = L0, то отсюда следует E ' = {0}.

Если 1 < p < œ, то (LV) ' = Lp, = (LpУ*.

При p = œ получаем (L ) ' = L= (L )П.

Пусть 1 e E', тогда E' оказывается тотальным в следующем смысле: < f,g >= 0 для любого g e E', отсюда следует f = 0.

Тогда в тему тотальности появляется каноническая двойственность < E, E' > ( E' -пространство Рисса (ВР)).

A

Множество всех регулярных линейных функционалов из ВР £ в I обозначим Е~ = С = /Г СЕД).

Будем называть линейный функционал Л на архимедовой ВР Е (о) -непрерывный

(порядково непрерывный): ЕЭ/П1 О и -п.в. следует Л(/) ^ 0, что эквивалентно \/п\ < я е Е и / ^ 0 и-п в. при п ^да (порядковая сходимость) следует Л(/и) ^ 0 при п —»со.

К -пространство Е~ называется (о) -сопряженным к Е . Е~ пространство порядково непрерывных функционалов на Е , Е~ = Сп = Сп(Е,Ж). Справедливо равенство Е = Е~.

Теорема. 1) Если Е - НР, то Е* . 2) Если Е - БР, то Е* =Е~ ([26, с. 404]).

Если для векторной решетки (ВР) Е пространство Е~ - тотально на Е и, следовательно, Е можно реализовать как БИП.

Разложение порядково непрерывных операторов

М(Х) - пространство борелевских мер,

М" (X) = {Л: и - абсолютно непрерывная

мера}, М*(X) = {Л: и - сингулярная мера},

М" (X) = {линейная комбинация точечных

мер }, М" (X) = {Л{х} = 0 для любого хе X} -

свойство неатомарности (диффузности). Справедливы теоремы:

М( X ) = М"( X ) ©М1 (X), М^) = Ма (X) © М^ (X). Аналог справедливости разложения случайных мер: {¡иу) I—е Мм, и е .

Далее, (и) г - случайная мера, следовательно, (и"у)е - случайная мера. Это - результаты Л. Дубинса и Д. Фридмана [30], Н. Колтона [4], А. Сурура [10] и Л. Вейса [15, с. 541].

Рассмотрим случай Сп = С?п © Сп, Г? з Г Гг/®

Характеристика полосы Сп. Пусть оператор Т<е£п, где оператор (Т/)(у) = \к(у,х)/(х)с1л, где

К (у, х) =

л (х) .

аи

В работе [31] показано: если "интегральный" оператор порожден неизмеримым ядром, то это ядро можно заменить на измеримое (см. [32, с. 179; 27, с. 65]).

Предложение [31]. Пусть Е - некоторое ИП и функция Ф(у, х) (вообще говоря, неизмеримая), такова, что при любом / е Е определена у -п.в. конечная V -измеримая функция g(у) = |ф(у, х)/(х)"и(х) . Опреде-

X

лим оператор Т/ = g , / е Е . Тогда существует ихУ -измеримая функция К (у, х) такая, что при любом / е Е имеем

(Т/)(у) = |ф( у, х)/(х)"и( х) =

|К (у, х)/(х)"и( х)

для у -п.в. х (исключаемое множество, вообще говоря, зависит от / ).

Следствие [33]. Если в условиях предложения (Х,А,//) сепарабельна [26, с. 73] и 8ирр E=X, то при у -п.в. х имеем К (у, х) = Ф(у,х) для ц-п.в. х.

Определение. Р с /., , (X, А, /и) - эквиин-тегрируемо (равномерно интегрируемо), если

8иР /\т <да, и если Ап

/еР Ь

3

3

Ап е А при п -

предел

Нш I 1/1 "и

= 0

А

равномерен относительно / из Р .

Согласно критерию Данфорда-Петтиса [27, с. 92] Р - эквиинтегрируемо, тогда и только тогда Р относительно слабо компактно в Ц (ср. [62,1У.8.9])

Пусть Т<е£п(Е,Е), то существует единственный оператор Т' е Сп(Е',Е'),

<Т/,ё>=</,Т'Е>■

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Т е Сп(Е,Е);

2) для любого е >0 существует В <еВ:

, что множество (/|';;7-)'(///|(Г) о/■'')

- эквиинтегрируемо; - единичный шар

в /.,(¥,В,у). (В силу теоремы Данфорда-

Петтиса [27, с. 92] слабо компактный оператор в Ц имеет интегральное представление).

и

3) Пусть 0 < /п < / е Е и /п ^0 при ( ^да (сходимость по мере) отсюда следует, что Т/п ^ 0 V -п.в. при п .

Эквивалентность 3) ^ 1) установлена А.В. Бухваловым [31].

Следствия.

1. Т е £п(Е,Е), 8е£п(Е,С), тогда БТ е £п (Е, О). Аналогично можно показать ТБе£п.

В алгебре порядковой непрерывности операторов интегральные операторы образуют двусторонний идеал.

Результат Ю.И. Грибанова [33]. Если то ГеГ„(^,П

Замечание. В 1936 г. Джон фон Нейман [34] поставил задачу о характеризации интегральных операторов в Ц2. В 1974 г. эта задача была решена А.В. Бухваловым [31]. По-настоящему новое доказательство этой теоремы дал Л. Вейс [35].

Ряд интересных результатов об интегральном представлении линейных операторов в пространствах измеримых вектор-функций получен В.Г. Наводновым [36], Ю.Н. Кузьминым [37], Т.А. Кевином [38].

Теорема (Наводнов В.К. [36] (см. [24])). Пусть банахово пространство У обладает свойством Радона-Никодима [25, с. 15; 26, Г6.7]. Для того чтобы линейный оператор Т: Е(х) ^ У был сильно интегральным, необходимо и достаточно, чтобы он был мажорируемым и порядковым непрерывным.

Теорема (Кусраев А.Г. [18] (см. [24])).

Для мажорируемого оператора Т: Е(х) ^ Е (У, %) равносильны следующие условия: (а) оператор Т допускает слабое интегральное представление; (б) оператор |Т|

допускает интегральное представление; (в) если {ип} - ограниченная последовательность в Е(х) и | и 0 по мере и, то | Тип 0 V -п.в.

Теорема (Там же). Пусть банахово пространство У обладает свойством Радона-Никодима [25, с. 15; 26, 16.7]. Мажорируемый оператор Т: Е(х) ^ Е (У) допускает сильное интегральное представление в том и

только в том случае, если выполнено любое из условий (б), (в) предшествующей теоремы.

Характеристика Сп . Если для любого оператора ТеСп: //,Т/| - /¿-сингулярная мера для любого y eY.

Определение. Последовательность

и

Е >0 при п—>оо, если fneEr\Ll и < да, diamx (supp fn) ^ 0 при n ^да. Определение. Т е £п - uv -непрерывно,

если f е E о Ц и

<да, f ^ 0 при

п —> оо , то Т/п —> 0 при п —> оо .

Теорема 2 [15, 5.3]. Следующие утверждения эквивалентны:

2) 0<^<|Г| и б <е£п, то £ = 0;

3) для любого £ > О существует В е В, VВс)<£, такое, что Т%в - ш-непрерывен;

4) для любого £ >0 существует В е В,

) < £ , такое, что для всякого Вп <еВв (Вв

и

= {В глВ' :В' еВ}), Вп^ 0 и а>\ существует АпеЛ иа\Т\(%А) > ХВп\Т\(1) длявсехи;

5) для любого £ >0 существует А еА, v(Ас) < £ , такое, что Т%А - ш -непрерывен.

Более того, оператор Т : Е ^ Е имеет сингулярное представление тогда и только тогда, когда оператор Т': Е' ^ Е' имеет сингулярное представление.

Характеристика . Обозначения: X а -подалгебра А, ={АслА, Л'еХ}, = {/ е Е, / - измерима относительно X}, т.е. для любой / является пределом почти всюду последовательности линейной комбинации характеристической функций интервалов из X.

Теорема 3 [15, 4.2]. Следующие утверждения эквивалентны:

2) для любого подмножества АеА такого, что и(.А) > 0 существует а -подалгебра X с Ал : // |х - диффузная мера и - интегральный оператор;

v

3) для любого / еЕ+ и АпеЛ, Ап—>0 получаем Т• /) ^ 0 у -п.в. (улучшение

сходимости);

4) для любого £ > О существует В е В, у( Вс )<£, такое, что множество

7'(//,|(Гг. г, /''') является и -эквиинтсг-рируемая.

и

Определение. Ап—>0 при и—>оо: для любого Д, е Л существует последователь-

ность А„ : П U А - не более чем счетно.

m к>гп

u

В частности, если An при n ^да,

u

тогда ju( A ) ^ 0 для каждой диффузной меры ju . Основной пример: dx (Аи) ^ 0 при n ^да

u

влечет А ^0 при n ^да

Определение сходимости (универсаль-

u

ное). f ^0 при n ^да, если для любого

u (*

s> 0 существует Ая ^0: lim I fjdj<s

X\An

при n ^да.

Если u заменим на j, то получается сходимость по мере.

Определение. Р - u -эквиинтегри-

руемо: su]

f eP

<

£ и sup Г If dp—> 0 при

f eP in

при n -

n — да для любого A —

Критерий слабой компактности [15, 3.9]. i1QM(J)DM'i(I) = jl:l{i} = 0 для любой точки x e X}, то P - u -эквиинтег-рируемо тогда и только тогда, когда относительно слабая компактность P в Md.

Универсальная сходимость связана с топологией, следовательно, результат Л. Вей-са о диффузных операторах [15] следует из результатов А.В. Бухвалова об интегральных операторах [31] (понятие диффузного оператора формально связано с привлечением топологических понятий).

Следствие [15, 4.3]. Пусть оператор Т :

Lp(X,A,ju) -> Lp(X,A,fi), 1 <оо,

T eCr (L ) . Следующие утверждения эквивалентны:

1 )Te£fn(Lp);

2) для любого подмножества АеА: /-¿(А) > 0. существует а -подалгебра Хс^ такая, что л Iz - диффузная мера, а T | - компактно по норме в L ;

3) для любого s > 0 существует В е А:

л(Вспричем \\ZbTZa\Ip^0 при

diamA ^ 0 (некая компактность диффузных операторов).

Следствие. [£?п (Lp )]d = Сп (Lp ). Пусть

Т е Cn(Lp), Т - компактен (по норме) и оператор Т - диффузный, то Т = 0.

Следствие. Te£?n(E,F), UeCn(F,G),

тогда UT е £?п (Е, G) . Сп- £?п= £?п ( £?„ - левый, но не правый идеал в Сп).

Характеристика полосы Сп . Теорема

[15, 6.5]. Следующие утверждения эквивалентны:

2) для ст -подалгебры X с А имеем, что Л |z - диффузна и для любых операторов 0 < S < |T|£ и S: Ez ^ F - интегральный

оператор следует S = 0;

3) для любого £ > 0 существует АеА: Ас) < £, такое что Т/А - juv -непрерывно;

4) для любого £ > 0 существует В <е В , /и(вс) < £ , такое, что для каждого а > 1 и для

и

любого Вп*еВв, Вп—>0 существует последо-

u

вательность АпеА, Ап—>0 такие, что а\Т\(%А) > IbJT\( 1).

Структура атомарных операторов

М" (X) = { X - атомная мера}, a(X) = sup| X{x} |.

xеX

Пусть X = Y = [0,1] [15, 6.3], следовательно, существует а(Х) = min{x е[0,1]: |X{x}| = a(X)}, поэтому а(А)=\А{<т(А)}\. Отсюда получаем Т е Сп, ¡fy [Г] с М" (X").

Пусть a (у) = а(лу ) для любого у, а(у) = а(Лу) и т.д., a2(у) = а(лу -^(у)^w),

sa (у) =....

u

u

Получим ап : Y —> К , сгп : Y —> X измеримы относительно борелевской и -алгебры. Следовательно, ¡y = Z an (y)S^ (y )5 причем

да

kc^l ^ |«n+i(y) ^...v -п.в. y, Z| an(y)| <да,

Я=1

П^т, v-п.в. у, где ап удовлетворяет условию независания на supp|a |.

Любой такой оператор имеет единственное представление.

Теорема [15, 6.2]. Следующие утверждения эквивалентны:

да

2) (Tf)(У) = Zan (y)f К (У)) v -п.в.;

n=1

3) существует возрастающая последовательность локальных гомоморфизмов Рисса [15, 6.1] Tn : E ^ F так, что | T |= sup | Tn |;

4) существует возрастающая последовательность операторов £и : F' ^ E' так, что имеет локальное свойство Д. Магарам [15, с. 556] и |T| '= sup | Sn |

Обозначим: (Ta^f )(y) = a(y)f (ст(у)).

Теорема [15, 5.1]. Следующие утверждения эквивалентны:

1) T = Ta^ ;

2) T - является гомоморфизмом Рисса, т.е. из fdg следует TfdTg',

3) для любого s > 0 существует В е В, v(Be) < s : для любого подмножества Вп е В. d(Bn) ^0 при n ^да, отсюда следует, что существует подмножества Ап е А , d(An) —>0 при И^со,то \ Т\(хА) > Хвп\Т\(!);

4) для любого s > 0 существует В е В, v(BE) < £: для любой последовательности f е F , diam(supp f ) ^ 0 имеем diam(supp T'fn) ^ 0;

5) T': F' ^ E' имеет свойство Д. Мага-рам [28, с. 22], то есть для любого подмножества АеА существует такое подмножество ВеВ,что\Г\(хв) = Ха\Т\'(1).

Замечание. В теореме из статьи [39] доказано, например, что эквивалентны следующие утверждения: Т = Таг7: /.,(.Y )->/.,()')

локально сюръективен, Т' атомарен, отображения а: Y —> X локально инъективно и удовлетворяет TV-условию Лузина, оператор Т'

локально непрерывен по мере, оператор у.м.о. (условного математического ожидания) тоже локально непрерывен по мере.

В теореме из статьи [40] доказано, что для оператора T = Та „ : Lm (X) ^ Lm (Y),

например, эквивалентны следующие утверждения: отображения а : Y —> X антиинъективно [11, с. 303], и-подалгебра Ест := сг~1(А) не имеет насыщенных компонент, оператор у.м.о. является диффузным оператором, оператор Т антисюръективен, оператор Т' является диффузным.

Следствие. 7j e Cn(E,F) и Т2 е Cn(E,F), то получим, что ТХТ2 e Cn(E,F) .

Критерий слабой псевдоинтегральной и сильно псевдоинтегральной представимости для мажорируемых операторов.

Сформулируем критерии слабой псевдоинтегральной и сильной псевдоинтегральной представимости для мажорируемых операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

Теорема (Тибилов К.Т. [23] (см. [24])).

Для мажорируемого оператора T : E(X) ^ F (Y, Z) равносильны следующие условия: (а) оператор T порядково непрерывен; (б) оператор T допускает слабое псевдоинтегральное представление; (в) оператор |T| : E ^ F допускает псевдоинтегральное представление.

Теорема (Тибилов К.Т. [22] (см. [24])). Если банахово пространство Y обладает свойством Радона-Никодима [25, с. 15; 26, I.6.7], то для мажорируемого оператора T : E(X ) ^ F (Y ) равносильны следующие условия: (а) оператор T порядково непрерывен; (б) оператор T допускает сильное псевдоинтегральное представление; (в) оператор |T| : E ^ F допускает псевдоинтегральное

представление; (г) оператор T допускает слабое псевдоинтегральное представление.

Эквивалентность нетеровости и обратимости оператора T е Сп

Пусть Т еСп(Е^) - нётеров (или фред-гольмов) [14], тогда существует ограниченный оператор S : TS = I + K, ST = I + K, K, K - конечномерные операторы.

Пусть £ = £,+£„ где ^е^(А), ^е/^СЕ), тогда 7^+7^ = 1 + К„ где ТеЦ,, значит е Ц,(Ц), Т^е^.

Дальше 7 &Сп, I = Т8а, поэтому Кх = .

В частности, получаем: ^ является конечномерным оператором, и из равенства 8аТ + ^Т = 7 + К2 следует 7 = БаТ . Таким

образом, оператор т<е£п(1^) обратим.

Замечание. В работах, посвященных разрешимости уравнений с операторами взвешенного сдвига, часто упоминается гипотеза о том, что в алгебрах операторов, действующих в безатомном пространстве Ц

(1 < р < да) и порожденных операторами взвешенного сдвига, свойство фредгольмово-сти (или нётеровости) эквивалентно свойству обратимости. Точнее, если оператор Т: Ц ^ Ц , представляющий собой сумму

операторов взвешенного сдвига, является фредгольмовым, то он обратим.

Первоначально вариант этой гипотезы сформулирован Н.В. Азбелевым и Г.Г. Исла-мовым [41] в виде альтернативы: ядро оператора Т либо бесконечномерно, либо состоит только из нуля. В.Г. Курбатов [42] привел контрпример в виде оператора Т = 7 — £: [0,1] ^ [0,1], где 7 - тождественный оператор, а £ - оператор сдвига.

Контрпримером подобного типа может служить любой оператор вида 7 — £: Цр [0,1] ^ Ц [0,1] с оператором сдвига £, порождаемым сохраняющим меру эргодическим отображением отрезка [0,1]. Такие операторы имеют ядро, состоящее из констант, но множество значений не является замкнутым подпространством.

Позднее Н.В. Азбелев [43] ослабил выдвинутую в [41] гипотезу: для суммы операторов взвешенного сдвига, действующих в пространстве Ц , свойство фредгольмости нулевого индекса эквивалентно свойству обратимости. Без ограничения на индекс гипотеза Н.В. Азбелева оказалась верной. Из результатов Л. Вейса [14] следует, что при р = 1 любая фредгольмова сумма операторов взвешенного сдвига обратима.

При 1 < р < да в подтверждение рассматриваемой гипотезы можно привести ряд известных результатов А.Б. Антоневича [44],

Г.С. Литвинчука, Ю.И. Карловича, В.Г. Кравченко [45], В.Г. Курбатова [46] и других авторов (см. [44, 45]) об алгебрах специального вида, порожденных обратимыми сдвигами, образующими достаточно простую группу (по мере возрастания алгебраической сложности группы сдвигов от коммутативного случая [46] и до аменабельного [47] в теоремах о нефредгольмости рассматриваемых сумм операторов взвешенного сдвига усиливаются ограничения на сдвиги и весовые коэффициенты).

В случае необратимых сдвигов по существу единственный известный нам общий результат можно извлечь из работ А.М. Вер-шика и В.А. Арзуманяна [48] и А.В. Лебедева [49], подтверждающий гипотезу в случае C* -алгебры, полученной расширением алгебры операторов умножения при помощи изометрического оператора, порожденного апериодическим сдвигом с конечным или счетным прообразом почти каждой точки.

При 1 < p < да для построения контрпримера очень сложно использовать обратимые сдвиги и даже сдвиги со счетным числом прообразов. Но все же контрпримеры существуют, хотя и довольно патологического типа. В работе [50] соединены основные препятствия к доказательству гипотезы: определенная гладкость метрики, алгебраическая сложность полугруппы сдвигов и метрическая сложность образующих эту полугруппу эндоморфизмов пространства с мерой. Для построения необратимых фредгольмовых сумм используется семейство некоммутирующих между собой сдвигов, каждый из которых экстремальным образом необратим: несчетен прообраз почти любой точки [11, с. 303; 50, с. 84]. Доказательство фредгольмовости в контрпримере основано на свойствах аддитивности дисперсии для суммы независимых случайных величин. Вероятностный характер контрпримера не является неожиданным, поскольку экстремально необратимые отображения порождаются сдвигами вдоль траекторий броуновского движения.

В статье [50] А.В. Чистякова для значений 1 < p < да строится серия необратимых фредгольмовых конечных сумм операторов взвешенного сдвига. В этой статье показано, что любой фредгольмов оператор, состоящий из конечных сумм операторов взвешенного сдвига в пространстве ZM , обратим.

Заметим, что в [60] доказано следующее утверждение о полуфредгольмости: если конечная сумма операторов взвешенного сдвига в пространстве Ь нормально разрешима с конечным дефектом, то эта конечная сумма операторов взвешенного сдвига в пространстве Ь сюръективна.

Спектр оператора взвешенной подстановки

Теорема [51]. Для любого оператора Т е Сп(Ь0,Ь0) имеет представление

да

(Т/)(у) = Е ап (у)/К (у)),

п=1

причем;

(1) а : 7^М, Ап = {у]ат(у)\Ф0, т>п}

и

при п ^да ; (и) сгп : 7 —> X - такая последовательность (В, А) -измеримых функций, удовлетворяющих условию независания: для любого подмножества А, и(А) = 0 верно равенство

у(а-\А) о{х: ап (х) Ф 0}) = 0 .

Замечание [52, 53]. Пусть: В - комплексное банахово пространство; В(В) - банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов Б : В В . (X, А, /л) - стандартное борелевское пространство (Х,А) с конечной неатомарной мерой и; Ь0 =Ь0(Х, А, ¡и) - пространство всех // -измеримых вещественных функций с отождествлением эквивалентных функций, поточечным порядком и топологий сходимости по мере; Е = Е(Х,А,/л) - идеальное пространство на (Х,А,м) ; Е(В) = Е(Х,А,м) (В) - пространство Банаха-Канторовича [21] всех сильно и -измеримых векторных функций /:X ^ в таки^ что | /1 = ||/(•))в е Е.

Если не сказано отдельно, то ниже предлагается, что оператор Та:Е(В)^Е(В) имеет мультипликативное представление

(Та^Л(х) = а(х)/(<т(х)) (/ е Е(В), х<еВ), где а: X —> В(В) - сильно измеримая опера-торозначная функция, а.Х^Х - (А.А)-измеримое отображение, удовлетворяющее условию согласования: если А е А и ¡и(А) = 0 то //(сг-1 (А)) = 0.

Строение множества 8р(Та „) =

j /. ! . ' : оператор XI - Тасг не обратим J - спектр оператора Та - в значительной степени определяется метрический свойствами порождающего отображения а.

Отображение а называется: а) апериодическим, если множество периодических точек имеет меру ноль; б) сохраняют меру, если //(ст 1 (А)) = /-¿(А) для всех A e А ; в) эр-годическим, если любое инвариантное множество является либо множеством меры ноль, либо множеством полной меры; г) рекуррентным, если для каждого множества АеА (строго) положительной меры найдется целое число / > 1, такое, что //(сг ' (А) П А) > 0 .

Множество АеА называется положительно (отрицательно) инвариантным, если ¡u(A\a-\A)) = 0 (л(а'г(А)\А) = 0). Под инвариантным множеством понимается двустороннее инвариантное множество.

Неинъективность отображения а на положительно инвариантных множествах положительной меры [11, с. 303] означает следующее: если АеА, ¿и(А\сг~1 (А)) = 0 и а\А : А ^ X - инъекция, то /и(А) = 0.

Пусть a Ф 0 ц -п.в. на X .

Теорема 1. Пусть E - банахово идеальное пространство с порядково полунепрерывной нормой, B - конечномерное банахово пространство. Тогда, если оператор Та :E(B) ^E(B) порожден отображением а неинъективным на положительно инвариантных множествах положительной меры, то спектр оператора Т а является кругом с центром в нуле.

В формулировке теоремы полунепрерывность нормы - это известное [26, с. ] условие (С): если (fn ) с E, f e E и

0 < fn (x) t f (x) почти всюду то I |f„||E f\\E .

Теорема 2. Пусть E - банахово идеальное пространство с порядково полунепрерывной нормой, B - сепарабельное гильбертово пространство. Тогда, если вес a(a) : B ^ B - компактный оператор при почти всех x e X, а отображение а : X ^ X рекуррентно и не инъективно на инвариантных множествах положительной меры, то спектр оператора Та :E(B) ^E(B) является кругом с центром в нуле.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 (предположения о пространствах E и B Тогда, если оператор Ta(J: E(B) ^ E(B) порожден антиинъектив-

ным отображением, то спектр оператора Ta а

является кругом с центром в нуле.

Теорема 4. Пусть dimB < да, p е (0,1).

Тогда, если оператор Taa : Lp (B) ^ Lp (B) порожден отображением а неинъективным на положительно инвариантных множествах положительной меры, то спектр оператора T

является кругом конечного радиуса с центром в нуле.

Теорема 5. Пусть dimB < да, оператор Tarj\L0 (В) —» L0 (В) порожден отображением <у \Х —» X и весом а: X —» ¿5(5). Тогда, если отображение а апериодично, не инъективно на множестве полной меры и

П {х g X: а(х)...а(о-й1(х)) * о}) > 0, (1)

то точки спектра оператора Ta(j заполняют

всю комплексную плоскость С, а при нарушении условия (1) и выполнении остальных спектр состоит из единственной точки 0.

Теорема 6. Если оператор Taa : Ц (B) ^ Ц (B) порожден антиинъектив-

ным отображением а, то спектр оператора Tarj является кругом с центром в нуле.

Теорема 7. Пусть dimB < да. Тогда, если оператор Taa : Ц (B) ^ Ц (B) порожден антиинъективным отображением а то сюръ-ективный спектр

е С: оператор XI-Таа. несюръективен}

совпадает с обычным спектром и является кругом с центром в нуле.

Теорема 8. Пусть B - рефлексивное банахово пространство. Пусть, далее, ограниченный оператор T: Ц (B) ^ Ц (B) обладает свойством: ((Tpf )(x) = р(а( x))(Tf )(x) почти всюду для любых функций (ре Ц и f еЦ(B), где а : X ^ X - антиинъективное отображение. Тогда спектр оператора T является кругом с центром в нуле.

"Непрерывность по мере" операторов в Ц

Пусть (X, Л, /S) - пространство с конечной мерой, L =L (X,Л,ju), f

Пусть для начала p = 1. Пусть S: Ц ^ Ц - линейный ограниченный оператор, обладающий одним из трех свойств.

1) [15, 5.2; 59] S е (и): если sup||f ^ <да и

n

fn ^ 0 (¡) (по мере) при n ^ да отсюда следует Sfn ^ 0 (¡) при n ^да .

2) [54] S е (co—и) - выпукло непрерывно по мере: если sup||/я|Ц < да, fn ^ 0(и) при

n

n ^да, то тогда существует {gk}с co{fn} : Sgk ^ 0 (¡) при n ^да.

3) [54] S е (а-и) - почти непрерывно по мере: существует Аи t A при n ^да, то для любого оператор е (¡).

Справедливо соотношение:

(¡) с (co-и), (и) с (а-¡).

Утверждение 1. (¡) с (co-/) с (а—и).

Пусть мера ¡и - мера Лебега на [0,1], тогда включения строгие. Если мера чисто атомарная (Ц (¡и) = \), то (¡и) = (co-/) = (а—и).

Утверждение 2. [54] (co—и) = YH.

Дадим характеристику класса YH [55, 54]. Известно: Ц = Ц, далее:

= Цда= © Ц^ - разложение Иосиды-Хьюитта.

Для любого функционала Л е Цт п, Л(р) = J p(s)gл (s)dp(s), g е Ц .

X

Для любого функционала Ле s : существует такая последовательность:

Будем говорить [55, 54], что оператор S: Ц ^ Ц принадлежит классу YH, если

S*Х., с Ц^, (S е YH).

Например: S eYH, если для любых подмножеств {Ая}, Ая t X существует последовательность подмножеств {Bn}, Bn t X, такое что S%(B у = 0 для любого n.

Утверждение 2 доказывается на основании результатов А.В. Бухвалова и Г.Я. Ло-зановского [56-58] о проекторе на сингулярную компоненту в Ц* (связь с замкнутыми по мере множествами).

Утверждение 3. [54] YH с (а -и), то есть S е YH, то S е (а - /и) .

Доказательство. Рассмотрим S. Для существует последовательность {Ая},

\ ^ X , |S^ Ц | е YH при каждом n . Если

для оператора S е YH эта последовательность найдена, то в силу формулы |sX" = и порядковой полноты

пространства Lnx функционал |X ока-

зывается сингулярным для любого положительного X е L* м . Поэтому Ц | е YH при

всех при n .

Алгебраические свойства рассмотренных классов операторов

Утверждение 4. 1) [59] S е (л) и пусть существует обратный оператор S_1, то

S-1 е (л).

2) [54] S е(со-л)=YH и пусть существует обратный оператор, то S 1 еШ = (со-л).

3) S е (а—л) и пусть существует обратный оператор, то S"1 е (а—л) - в случае сепарабельности меры.

Идея доказательства. 1) Пусть S е (л),

а S"1 £ (л): существует последовательность {fn} : sup|| fn|L и fn ^ 0(Л) при n

n

но при этом S 1 fn ^ 0 (л) при n ^да.

Обозначим g = S 1 f и воспользуемся

результатом М.И. Кадеца и А. Пелчинского [60, 61]: для ограниченной последовательности g существует подпоследовательность:

слабо по мере

gki =/?,' +/?/\ где h) -> /7, /г,2 0 при l ^да, то тогда ^Shh^ ^ 0(л) при l ^да, получаем, Shi = Sg, - Sh^ = S(Sf) - Sh/ =

f - Sh/ ^ 0(л) при l ^ да следовательно,

Sh1 сходится слабо при l ^да и Sh/ ^ 0(л) при l ^да, отсюда Sh = 0, но существует

S4, откуда h = 0.

Когда последовательность сходится слабо и по мере, значит, она сходится сильно [62, IV.8.12, с. 320]. Таким образом, |Shl|| ^ 0

при

l

► да,

||s- (Sh/1 ^ 0 при l

поэтому да. Следовательно,

последовательность {||И] } сходится в Ц по

мере, и, значит [26, 1У.3.1, с. 147]

И] = И/ - S-1 / ^ 0(и) при I ^да, то есть,

$-1/п = И/ -И] ^0(и). Получили противоречие.

Утверждение 5. [63] Пусть мера и не имеет атомов. Тогда, если и -непрерывной оператор $: Ц ^ Ц является нормально разрешимым, то он сюръективен. То есть, отсюда следует: ^-нормальность (соШшЪ'Ц <да) влечет за собой сюръективность ($ - имеет конечномерный дефект влечет за собой

$ (¿1 ) = ¿1).

Замечание. Существует $ е YH, |$| ¿YH, |$| е (а -и) .

Замечание. Классы операторов.

1. Т: Ц ^ Ц - класс и — непрерывных

°перат°р°в: 1/П1Ц <да и /п ^ 0(и) при п ^да, тогда Т/п ^ 0(и) при п ^да. Обозначим класс (и)(Ц).

При 1 < /> < да, тогда (¡и)(Ьр)фСг(Ьр). Пусть 2 < р <да, тогда (и)(Ьр) = В(Ьр) [15, 5.4]. При 1 < р <да и выполнено предположение: если существует компактность оператора Т, то отсюда следует: Т е (и)(Ьр ). При р = да

класс операторов (¡и)(1.г) совпадает с классом 4(4,).

2. Т: Ц ^Ц - класс (со—и) -непрерывность оператора: (со-и)(Ц): ||/я || < да и / ^ 0(и) при п ^да, значит,

существует е со/} , тогда Тяк ^ 0(и) при к ^да.

3. Т: Ц ^ Ц - класс почти непрерывно по мере операторов (а -и): существует Ая Т X,

Те (и).

Замечание. 1) Т е (со-и), тогда ^ й (со-//) . 2) УН <= [54]. 3) Если

YH -оператор ^-нормален, то он всюду разрешим [55]. 4) Если YH - оператор фредголь-мов, то он обратим [55].

Пример. Рассмотрим I (О), где О -

со

счетное множество, /(¿у) = (е /, (П)).

k=1

/(П) = А(ЗД,

' = 2>

Пусть и - дискретная мера: для любого о : /{о} = 1, тогда сходимость по мере эквивалентно поточной сходимости о еП.

Будем говорить f ^ 0(/) при n ^да, это значит /п(о) ^0 для любого с еП.

Будем говорить T е (/), если

\fAk (П) <да и /п (с) ^ 0 при n ^да для любого со, то (Tf)(с) ^0 при n ^да для любого со.

Класс (р). Пусть Т е (р), то Т* е (р ). [/j(Q)| 2:B(ft) - пространство всех ограниченных функций g еB(П), ||g|| = sup|g(о)|.

оеП

< f, g >= J fgd/ - интеграл по дискретной

п

мере. Тогда T*:B(Q) ^B(Q).

T е (p ) эквивалентно выполнению условий:

1) T* непрерывно относительно точечной сходимости: ||g„||B <да, g„ (о) ^ 0 для любого

о при n ^ да следуют (Tg )(о) ^ 0 для любого о при n ^ да (порядковая непрерывность);

2) оператор сохраняет пространство финитных функций: T(B0 (П)) с B0 (П) .

Здесь B0(Q) = cIb { g е B: {о, : g(®)} ф 0 - конечно}.

Пусть оператор обладает свойствами 1) и 2) и обратим, тогда и обратный оператор S = T *-1 обладает таким же свойством: S е (p ), что эквивалентно условиям:

1) l|g»L <да и gn(о) ^0 для любого о при n ^ да и следует (SgB )(о) = 0 для любого о при n ^да;

2) S (B0(П))с B0 (П).

Замечание. Рассмотрим банаховознач-ное пространство функций /: П ^ X с нормой I /„1 = I || /TOIL II • Сходимость по мере:

.......

/п ^ 0(/) при n ^ да означает I/и(0||х —»0 (¡и) при и^оо. Отсюда переносятся практически все теоремы.

Важный случай: X = Ми. В случае X с dimX = да дополнительное условие: X -рефлексивно.

Рассмотрим пространство

да

ZI f X[

-м

(или X), f

1 p

п <да},

^ЩЦ [n,n+1] >'

Ц p = ll(Lp [0,1]),

Ьтр=1т(7^0,1]), Ьп=1р{Ь9[0,1]), \<р<сю,

- пространства Х.Л. Массера [64, с. 17]; £ ,

£Ьр - пространства В.В. Степанова. Это так

называемые амальгамы Ц [0,1] и 7 [27, с. 206].

Несложно проверить, что последовательность /п е Ь = 1р (X [0,1]) сходится к

функции / е Ц по мере в том и только в том

случае, если последовательность удовлетворяет условию (с): для каждого компакта последовательность \Хк1„} сходится к Хк /. В случае условия (с) будем использовать запись /п ^ /(с), если последовательность {/п} (с)-сходится к / .

Линейный ограниченный оператор £ : Ц ^ Ц назовем с-непрерывным, если из

ограниченности последовательности {/ }с Ц и /п ^ 0(с) следует £/( ^ 0(с) .

Теорема. Пусть 1 <q <ж, если оператор £: Ц ^ Ц - с -непрерывен и обратим

(алгебраически), то £ 1 - с -непрерывен [59].

Замечание. Класс с-непрерывных операторов был выделен Э.М. Мухамадиевым

[65] в связи с задачей о почти периодических решениях линейных систем функциональных и функционально-дифференциальных уравнений. Идеи Э.М. Мухамадиева были развиты в серии работ В.Е. Слюсарчука (см, например,

[66]), где одной из центральных задач фактически являлась задача о сохранении свойства с-непрерывности резольвентой с-непрерыв-ного оператора.

Эта теорема дополняет результаты [64, 65, 66] о наполненности подалгебр с-непре-рывных операторов.

Теорема (Крейн М.Г., Рутман М.А.

[67]). Пусть Ке€п(Ьр), К> 0, тогда

(7 — К) 1 - положительный оператор, что эквивалентно р(К) < 1.

k=1

+

n=0

Вопрос о существенности условия К > 0 для (I - К)-1 > 0.

Теорема 1. К - компактный интегральный оператор в Ц и (I -К)4 >0 влечет за собой К > 0 (и р(К) < 1).

Доказательство. Пусть Я = (I - К)-1 > 0 . Тогда Я = Яа+Яа, где /<,>0. ЯаеС{Ьр),

Перемножим I = Щ - К) = Я (I - К) + ЗД-^). Видим / = + где Яа-ЯаК-ЯаКе£1. Отсюда / = /<,. Яа(1-К)=К, Я, = Щ-К)1 = КЯ> 0

Условие интегральности оператора Грина

Рассмотрим линейную краевую задачу: Сл = 0% + рх(а)= /, (1)

1х = фх + г//х(а) = а. (2)

Здесь оператор £: !)Н В ограничен, В - банахово идеальное пространство измеримых функций /:[а,Ь]—причем

г

Е [а, Ь] с В с Ц [а, Ь], ОВ ={ х(г) = а +1 ф)а5 ,

z е B,

» = llz I Ib + |a|

Оператор

(): В —> В ограничен, пусть реВ , <ре В , уеМ.

Пусть для любого / ей и для любого аеК краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, тогда ее решение имеет представление в виде формулы Грина х = Хх(а) + О/. X - фундаментально решение, О - оператор Грина, О: В ^ ОВ с С[а,Ь].

Рассмотрим (О/)(г) = - ограниченный функционал на В, В = В*,

Ь Ь

Ш) = | £,(*)/тогда (О/ Х0 = | О(г,

а а

В = В* эквивалентно в В выполнению условия (А): 0< / </е2?, /п —>0 п.в. следует ||/ || ^ 0 (порядковая непрерывность нормы).

Свойства (А) выполнено в , 1 < р < ж, и нарушается в Ц.

Пример 1. Рассмотрим краевую задачу: х = /, х(0) - х(0) = се,

/ eLM[0,l]. Здесь под х(0) и /(0) понимается линейный ограниченный функционал, вычисляющий одно из существенных значений функции х и / в нуле. Запишем решение в виде формулы Грина:

t

x(t) = X(t) + (Gf )(t) = a + f (0) + { f (s)ds .

0

Сформулируем условия интегральности оператора Грина в следующем виде:

L ) оператор Q, сопряженный к "главной части" Q оператора L, переводит интегральные функционалы в интегральные функционалы ( Q*B' с B' или QqB* е B* );

l ) функционал р является интегральным ( р е B' = B* ).

Условия, гарантирующие при Lx=Lx[a,b] интегральное представление оператора Грина, найдены Л.Ф. Рахматул-линой [68]. Здесь р - это интегральный функционал. Они состоят в том, что главная часть Q : L ^ L сопряжена к оператору

Q : L ^L, т. е. Q* = Q . Как показал Г.Г. Исламов [69], оператор S : L ^ L, (Sy)(t) =

k

XB,(t)x[g,(t)], x(4) = 0 , если b],

i=i

является сопряженным к некоторому оператору в пространстве L .

В кандидатской диссертации П.М. Симоновым [70] рассмотрено, что если задача Коши для линейного вольтеррового уравнения

(£х)(0 = fit), t е [0, со) х(0) = а однозначно разрешима для любых f е Lx]oc, яеМ" и ее решение xeDx 1ос. Более того, ее

решение представляется в виде формулы Коши:

x = Xa + Cf, где вольтерров оператор С - оператор Коши.

Здесь М" - пространство векторов a = col {a1,..., a"} с действительными компонентами и с нормой || or || , . Пусть пространство Lfoc измеримых и ограниченных в существенном на каждом конечном отрезке функций f : [0, со) —> К" с полунормами k[o,n = vrai sup ||/(0 IIдля всех Т> 0.

te[0,T]

0

x

Пространство Вмгос локально абсолютно непрерывных функций х: [0,оо) —» М" с полунормами НхНд^НИ^г] + ||х(0)||к„ для всех Т > 0 .

В работе [70] доказано: пусть линейный оператор С\Вт1ос ~^Ьт1ос непрерывен, тогда оператор Коши С этого уравнения имеет интегральное представление, если и только

Л

если главная часть Q : Lx

оператора

C-.D,

Joe

L^ioc сопряжена к какому-либо

непРеРывному оператору Qi : LUoc ^ LUoc. Здесь L loc - линейное пространство измеримых функций у : [0,оо) —» М", суммируемых на каждом конечном отрезке [0, T].

Затем П.М. Симоновым в тезисах [71] установлено, что при выполнении условия / ) условие L ) необходимо для интегрального представления оператора Грина, если B = LM . Позже П.М. Симоновым и А.В. Чистяковым в тезисах доклада [72] было сформулировано, что условия L ) и l ) необходимы и достаточны для интегрального представления оператора Грина, если B = LM .

Схема исследования, возникшая при изучения условий интегральности оператора Грина в случае B = LM, применима и для других функциональных пространств. В соответствии с этой схемой в работе [73] приведено обобщение полученных ранее результатов на случай, когда пространство B изомофно пространству, сопряженному к подпространству B линейных интегральных функционалов на [a, b]. Однако такое ограничение на пространство B - очень жесткое условие. Оно не выполняется для многих актуальных в приложениях пространств, привлека-ющихся А.И. Шиндяпиным [74] и Л.Ф. Рах-матуллиной [75] для изучения сингулярных краевых задач.

Пример 2. Пространства А.И. Шиндя-пина [74]. Пусть v.\a,b\—»R монотонно возрастающая абсолютно непрерывная функция, причем v(a) = 0, Л [a,b], где 1 < p <ю, -

пространство суммируемых функций y :[a,b]—»R, для которых существуют константы Му такие, что для любого t e[a, b] выполняются неравенство

f l y(s)|p ds

< Myv(t ),

1 У ||Лp [a,b] = min My ,

||y||

лp [a,b]=max

Viï fly(s)lPds

( ) a

Пусть p = <x>, тогда пространство Л /1 а, b | состоит из классов измеримых функций y :[a,b]—»M, для которых существуют константы Му такие, что для почти любого t е [a, b] выполняются неравенства

| y(t) | < Myv(t), | \y\ | [ab] = min МУ ,

y

Л„ [a ,b ]

= max

a<t<b

-^vraisup | x(t) |

v(t) a<s<t

Пример 3. Случай Л.Ф. Рахматуллиной [75]. Рассмотрим случай р = <х>. Линейный ограниченный функционал на пространстве П , вообще говоря, не может быть представлен с помощью интеграла Лебега. Поэтому естественно, что интегральное представление оператора Грина может быть гарантировано только при некоторых ограничениях на Ь и I.

Здесь Их = {/:М^ШП: /уеЬх(М): II / IIгУ =11 /У И , где М - это может быть

II ./ ||£Г II ./ / ' "

[0, Т], может быть [0, оо). Функция у: [0, оо) —» К - измеримая функция, причем

к 0*0.

Пусть 7)-77^ хМ^, ¿:7)->7^, К", - линейные ограниченные операторы. Рассмотрим две краевые задачи: задачу

Ьх = /,1х = а (1*)

и задачу Ьх = /,1хх = а.

Пусть эти задачи однозначно разрешимы при любых / еПх и аеК" и 0:Пт—>7), Ц : В - их операторы Грина.

Теорема 1*. Пусть G - интегральный оператор. Оператор ^ - интегральный тогда и только тогда, когда интегральным является вектор-функционал 1{}\~Па1 .

Зафиксируем изоморфизм

К^ 7). Оператор ./ определяется парой операторов: К\Пт—>7) и 7:1^—>7), так, что /3} = {А, У} {г, /3\=Аг + У/3.

z е Lr ,

да '

J-1: D — LL

ß е Rv. Обратный оператор ,л также определяется опера-

торами и

3= [£, г]х = {5х, гх} . Таким образом, для элемента х е О имеем представление

х = Л 5х + Ггх. Подчеркнем, что Л: Цх ^ О - это оператор Грина краевой задачи 5х = г, гх = [ .

Рассмотрим краевую задачу (1*) при условии, что Ц: О ^ Ц - линейный ограниченный оператор, а вектор-функционал £: I) —» ЙЛ' имеет представление

= | Ф(5)(^Х)(5) + Ч'гх, (2 *)

и

где Ф - и х п -матрица, строки которой при-

1

надлежат Ц , ^ - постоянная п х N -матри-

ца. Здесь Lr = {f : M

I =l!f/г!!ц(M)} .

f Ire L(M ),

L[

d_

dt

^Q(t,s)x(s)ds + p(t)x(a) = fit),

a

b

J" cßis)xis)ds + \|rx(a) = a.

Теорема 2*. Пусть задача (1) однозначно разрешима для любых / е Z^ и а е R v ; вектор-функционал имеет представление (2*) и оператор Q = LA : Цт — Цт является

сопряженным к какому-нибудь оператору

1 1

Q : Ц —» Цг . Для того чтобы оператор Грина G : Цх — D этой задачи был интегральным, необходимо и достаточно, чтобы интегральным был оператор Грина A : Lrm — D .

Оказывается, что эти условия Lt ), lt ) являются необходимыми и достаточными условиями интегральности оператора Грина в достаточно общей и весьма естественной ситуации.

Теорема 3 [76-78]. Пусть LM с B с L и B порядково рефлексивно ( B = B" ). Тогда оператор Грина имеет интегральное представление в том и только в том случае, если выполнены условия Li и l; . В этом и только в этом случае краевая задача (1), (2) имеет вид

Замечание 1. Монотонная полнота нормы. Важность условия (B) определяется хотя бы хорошо известным результатом В. Люксембурга и А. Заанена [79, с. 132] о том, что банахово ^-пространство B c тотальным множеством порядково непрерывных функционалов В~ = В* порядково рефлексивно (это означает, естественное погружение В во второе порядково сопряженное (В~)~ - в

данном случае в (B*n )*„ - является порядково изморфизмом) тогда и только тогда, когда в B выполнено (B).

В B норма монотонно полна или в B выполнено условие (B): 0 < fn е B, fn < fn+1

следует sup || fn || <œ, что существует f е B,

для которого fn ^ f.

Замечание 2. Предложим, что в пространстве B есть такое свойство монотонности нормы: из | x(t) |<| y(t) | почти всюду на [a, b], где y - функция из B, а x -измеримая функция, следует, что x - это функция из B, причем || x ||в <|| y ||в . Банахово пространство B вместе с таким свойством называется банаховым идеальным пространством (БИП). Идеальное пространство B называется симметричным или перестановочно инвариантным, если вместе с каждой функцией x оно содержит и все равноизме-римые с нею функции y, причем || x ||в =| | y ||в . Функции x и y называются равноизме-римыми, если mx (г) = m (г) для всех г > 0.

Здесь m (г) = mes{t :| x(t) |> г}.

Для нетривиального симметричного пространства B всегда справедливы вложения L с B с L. Заметим, что выполняется соотношение L с B'c L.

Замечание 3. Для любого множества Ai измеримых функций можно определить носитель supp Ai [26, IV.3.1, с. 145]. БИП В является фундаментом в [а,Ь] тогда и только тогда, когда supp В = [а,Ь]. В этом случае говорят, что B - банахово фундаментальное пространство (БФП) [26, IV.3.1, с. 146]. Г.Я. Лозановскому [57] принадлежит следующий важнейший результат.

Теорема. Для БФП B на [a,b], где b < œ, то существует такая измеримая u, что

п

b

с{хи:х£В}сЦ.

Доказательство теоремы 3 в существенном основано на следующей теореме ([77, 78, 80]).

Теорема утверждает: множество всех ограниченных дифференциально-интегральных операторов, действующих в В, образует секвенциально полную в ст(В, В*) -слабой операторной топологии и наполненную подалгебру банаховой алгебры ограниченных операторов из В в В .

Замечание 4. Условие Ц) для пространств сложной структуры трудно проверяемо. Однако для линейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений характерна ситуация, когда оператор Q: В ^ В регулярен. В этом случае условие П ) оказывается эквивалентным порядковой непрерывности оператора Q: если /„ ^) ^ 0 почти всюду и | /п |< g е В, то (Qfn)(г) ^ 0 почти всюду. Порядково непрерывен и регулярный интегральный оператор К: В ^ В, и оператор внутренней суперпозиции (оператор подстановки с весом) £: В ^В [28].

Следовательно, для оператора Q = I — £ — К выполнено условие Ц).

задачи

Поэтому оператор Грина краевой

(.I-£-K)x + px(a) = f,

+ v|/x(a) = а

имеет интегральное представление.

Список литературы

1. Yosida K., Kakutani S. Operator-theoretical treatment of Markoff s process and mean ergodic theorem // Ann. of Math. 1941. Vol. 42, № 1. P. 188-228.

2. Derndinger R., Nagel R., Palm G. 13 Lectures on Ergodic Theory. Manuscript. Tübingen. 1982.

3. Arveson W. Operator algebras and invariant subspaces // Ann. of Math. 1974. Vol. 100, № 3. P. 433-532.

4. Kalton N.J. The endomorphisms of Z

(0 < p < 1) // Indiana Univ. Math. J. 1978. Vol. 27, № 3. P. 353-381.

5. Kalton N.J. Embedding Ц in a Banach lattice // Israel J. of Math. 1979. Vol. 32, № 2-3. P. 209-220.

6. Kalton N.J. Linear operators on Z for 0 < p < 1 // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 259, № 2. P. 319-355.

7. Neveu J. Bases Mathématiques du Calcul des Probabilitiés. Paris: Masson, 1964.

8. Fakhoury H. Représentations d'opérateurs à valeurs dans Z\X, E,p) // Math. Ann. 1979. Vol. 240, № 3. P. 203-212.

9. Sourour A.R. Pseudo-integral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 253. P. 339-363.

10. Sourour A.R. Characterization and order properties of pseudo-integral operators // Pacific J. of Math. 1982. Vol. 99, № 1. P. 145-158.

11. Kalton N.J. Isomorphism between Z -function

spaces when p < 1 // J. Funct. Anal. 1981. Vol. 42, № 3. P. 299-337.

12. Kalton N.J. Representations of operators between function spaces // Indiana Univ. Math. J.

1984. Vol. 33, № 5. P. 639-665.

13. Kalton N.J. Endomorphisms of symmetric function spaces // Indiana Univ. Math. J.

1985. Vol. 34, № 2. P. 225-247.

14. Weis L. Decompositions of positive operators and some of their applications // Funct. Anal. Surv. and Recent Results. 3: Proc. 3rd Conf. Paderborn, 24-29 May, 1983. Amsterdam e.a., 1984. P.95-115.

15. Weis L. On the representation of order continuous operators by random measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. Vol. 285, № 2. P. 525-563.

16. Bourgain J. A characterization of non-Dunford-Pettis operators on Z // Israel J. of Math. 1980. Vol. 37, № 1-2. P. 48-53.

17. Ghoussoub N., Talagrand M. A noncompletely continuous operator on Z (G) whose random Fourier transform is in c0 (G) // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. Vol. 92, № 2. P. 229-232.

18. Кусраев А.Г. Линейные операторы в ре-шеточно нормированных пространствах // Исследование по геометрии "в целом" и математическому анализу. Новосибирск: Наука, 1987 / Тр. Ин-та мат-ки. СО АН СССР. Т. 9. С. 84-123.

19. Кусраев А.Г. Об интегральном представлении мажорированных операторов в про-

ь

а

странствах измеримых вектор-функций // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, № 4. С. 788-792.

20. Кусраев А.Г. Об аналитическом представлении мажорированных операторов // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294, № 5. С. 1055-1058.

21. Кусраев А.Г. Мажорируемые операторы / Отв. ред. С.С. Кутателадзе М.: Наука, 2003. 620 с.

22. Тибилов К.Т. Аналитическое представление мажорируемых операторов: автореф. дис. ... канд. физ. мат. наук: 01.01.01. Новосибирск, 1990.

23. Тибилов К.Т. О псевдоинтегральных операторах в пространствах измеримых вектор-функций // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 149-156.

24. Тибилов К.Т. Интегральные и псевдоинтегральные операторы // Владикавк. матем. журн. 1999. Т. 1, № 2. С. 27-33.

25. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике / отв. ред. д.ф.-м.н. А.А. Милютин. М.: Наука, 1985. 352.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004. 816 с.

27. Векторные решетки и интегральные операторы / А.В. Бухвалов, В.Б. Коротков, А.Г. Кусраев и др. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1992. 215 с.

28. Бухвалов А.В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций // Математический анализ. Т. 26. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-63.

29. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Фунциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 548 с

30. Dubins L., Freedman D. Measurable sets of measures // Pacific J. Math. 1964. Vol. 14, № 4. P.1211-1222.

31. Бухвалов А.В. Об интегральном представлении // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1974. Т. 47. С. 5-14.

32. Бухвалов А.В. Приложения методов теории порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах Zp //

Успехи мат. наук. 1983. Т. 38, вып. 6(234). С.37-83.

33. Грибанов Ю.И. Об измеримости ядер интегральных операторов // Изв. вузов. Математика. 1972. № 7. С. 31-34.

34. Neumann J. von, Charakterisierung der Spektrums eines Integraloperators // Actualites Scient. et Ind. Series. 1935. № 229. Exposes Math., publies a la memoire de J. Herbrand. № 13. Paris. 20 p.

35. Weis L. Integral operators and change of density // Indiana Univ. Math. J. 1982. Vol. 31, № 1. С. 83-96.

36. Наводнов В.Г. Об интегральном представлении операторов, действующих из банахова пространства измеримых вектор-функций в банахово пространство // Изв. вузов. Математика. 1983. № 3. С. 82-84.

37. Кузьмин Ю.Н. Совершенные пространства измеримых векторнозначных функций и интегральные операторы: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Казань, 1984.

38. Kevin Т.А. Representation of compact and weakly compact operators on the space of Bochner integrable functions // Pacific J. of Math. 1981. Vol. 92, № 2. P. 257-267.

39. Симонов П.М., Чистяков А.В. Локально насыщенные ст-подалгебры, локально инъективные отображения и N-условие Лузина // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 4(35). С. 11-19.

40. Симонов П.М., Чистяков А.В. Предельно ненасыщенные ст-подалгебры, антиинъек-тивные отображения и диффузность // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 4(35). С. 20-24.

41. Азбелев Н.В., Исламов Г.Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 3. С. 417-428.

42. Курбатов В.Г. Об одной гипотезе в теории линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 11. С. 20742075.

43. Азбелев Н.В. Две гипотезы в теории линейных функционально-дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, № 4. С. 210-211.

44. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Мн.: Университетское, 1988. 232 с.

45. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Обратимость функциональных операторов в банаховых пространствах // Функц.-дифференц. уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи. ин-т. Пермь, 1990. С. 18-58.

46. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. 168 с.

47. Карлович Ю.И. Локально-траекторный метод изучения обратимости в C* -алгебрах операторов с дискретными группами сдвигов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 3. С. 546-550.

48. Арзуманян В.А., Вершик А.М. Фактор-представления скрещенного произведения коммутативной C * -алгебры и полугруппы ее эндоморфизмов // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 3. C. 513-516.

49. Лебедев А.В. О расширении операторных алгебр с помощью изометрических операторов, порождающих эндоморфизмы // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, № 5. С.247-248.

50. Чистяков А.В. Патологический контрпример к гипотезе о нефредгольмости в алгебрах операторов взвешенного сдвига // Изв. вузов. Математика. 1995. № 10. С. 76-86.

51. Kwapien S. On the form of a linear operators in the space of all measurable functions // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math., Astron. et Phys. 1973. Vol. 21, № 10. P. 951-954.

52. Чистяков А.В. Спектральные свойства операторов внутренней суперпозиции, порожденных стохастическими системами // Функц.-дифференц. уравнения: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1991. С.101-112.

53. Chistyakov A.V., Ponosov A.V. Periodic solutions of linear stochastic differential equations // Funct. Diff. Equations. 1997. Vol. 4, № 3-4. P.361-389.

54. Чистяков А.В. Непрерывность по мере операторов, сохраняющих разложение Ио-сиды-Хьюитта // Функц.-дифференц. уравнения: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1990. С. 127-131.

55. Чистяков А.В. Свойства одного класса некомпактных операторов // Функц.-диф-ференц. уравнения: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1988. С. 2130.

56. Бухвалов А.В., Лозановский Г.Я. О замкнутых по мере множествах в пространствах измеримых функций // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, № 6. Р. 1273-1275.

57. Бухвалов А.В., Лозановский Г.Я. Представление линейных функционалов и операторов на векторных решетках и некоторые приложения этих представлений // Теория операторов в функциональных пространствах. Новосибирск, 1977. С. 71-98.

58. Бухвалов А.В., Лозановский Г.Я. О закмнутых по мере множествах в пространствах измеримых функций // Тр. Моск. мат. об-ва. 1977. Т. 34. С. 129-150.

59. Чистяков А.В. Об обратимости непрерывных по мере линейных операторов // Вестник Удмуртского ун-та. Математика. 2000. № 1. С. 156-161.

60. Kadec M.I., Pelczynski A. Bases, lacunary sequences and comlemented subspaces in the spaces Lp // Studia Math. 1962. Vol. 21, № 1.

P.161-176.

61. Кисляков С.В. Еще раз о свободной интерполяции функциями, регулярными вне предписанного множества // Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1982. Вып. 107. С. 71-88.

62. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. при участии Бейда У., Бартла Р. Линейные операторы. Общая теория: пер. с англ. / под ред. и с предисл. А.Г. Костюченко. Изд. 2-е, стер. М.: Едиториал УРСС, 2004. 896 с.

63. Чистяков А.В. Эквивалентность минус -фредгольмовости и сюръективности в алгебре линейных операторов, непрерывных по мере на ограниченных множествах неатомарного пространства LI // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1991. С. 145-151.

64. Курбатов В.Г. Об обратном к c-непре-рывному оператору // Матем. заметки. 1987. Т. 48, № 2. С. 68-71.

65. Мухамадиев Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // Матем. заметки. 1972. Т. 11, вып 3. С. 269-274.

66. Слюсарчук В.Е. О представлении ограниченных решений линейных дискретных систем // Укр. матем. журн. 1987. Т. 39, № 2. С. 210-215.

67. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным

конус в пространстве Банаха // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, вып. 1 (23). С. 3-95.

68. Рахматуллина Л.Ф. К вопросу о представлении решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1979. С. 107-110.

69. Исламов Г.Г. К вопросу о представлении решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 7. С. 1194-1203.

70. Симонов П.М. Устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений с последействием: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Пермь, 1985. 121.

71. Симонов П.М. Критерий интегральности оператора Грина // Функционально-дифференциальные уравнения: тез. докл. III Урал. регион. конф. Пермь: Перм. гос. унт, 1988. С. 80.

72. Симонов П.М., Чистяков А.В. К вопросу об интегральности оператора Грина линейной краевой задачи // Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений: тез. докл. республ. конф. / отв. ред. Ю.А. Клоков. Рига: ЛГУ им. П.Стучки, 1988. С. 111.

73. Симонов П.М., Чистяков А.В. Условия интегральности оператора Грина // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1988. С. 87-91.

74. Шиндяпин А.И. О краевой задаче для одного сингулярного уравнения // Дифферен. уравнения. 1984. Т. 20, № 3. С. 450-455.

75. Rakhmatullina L.F. On the integral representation of the Green operator // Funct. Different. Equat. 2004. Vol. 11, № 3-4. Р. 475-483.

76. Чистяков А.В. Об интегральном представлении решений линейной краевой задачи // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1989. С. 42-47.

77. Чистяков А.В. Наполненность алгебры слабо порядково непрерывных операторов // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2002. № 1. С. 66-73.

78. Симонов П.М., Чистяков А.В. К вопросу об интегральном представлении решений линейной краевой задачи // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: ежегодный сб. науч. тр., вып. 14. Тр. II-й междунар. конф. "Моделирование нелинейных процессов и систем" / под ред. Л.А. Уваровой. М.: Янус - К, 2011. С. 328-339.

79. Бухвалов А.В., Векслер А.И., Гейлер В.А. Нормированные решетки. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1980. Т. 18. С. 125-184.

80. Чистяков А.В. К вопросу о дифференциально-интегральном представлении обратного оператора // Функционально-дифференциальные уравнения: сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1989. С. 50-53.

The review of results on the theory of the linear order continuous operators in semi-ordered spaces of measurable functions

P. M. Simonov1, A. V. Chistyakov2

:Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia simpm@mail.ru; 8(342)2396849

2Udmurt State University; 1 (housing 4), Universitetskaya st., Izhevsk, 426034, Russia

The review of researches on the theory of the linear order continuous operators in vector lattices and spaces of measurable functions is this. Explicitly are considered: theorem of pseudo-integral representation, types of operators: integral, diffusion, singular and atomic. Also questions of applications are considered: spectra, Fredholm operators, algebraic properties "the continuous on a measure" operators, a condition of integral of the operator Green of the general boundary value problem.

Keywords: order continuous operator; pseudo-integral operator; substitution operator with weight; integral operator; diffusion operator; singular operator; atomic operator; spectrum; Fredholm operator; "continuous on a measure" operator; Green operator.