ЛОКАЛЬНО НАСЫЩЕННЫЕ σ-ПОДАЛГЕБРЫ, ЛОКАЛЬНО ИНЪЕКТИВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И N-УСЛОВИЕ ЛУЗИНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(35)

УДК 517.983.53

Локально насыщенные ^-подалгебры, локально инъективные отображения и ^-условие Лузина*

П. М. Симонов1, А. В. Чистяков2 (1955-2013)

1Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 simpm@mail.ru; 8(3422)2396849

2Удмуртский государственный университет

Россия, 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Доказана теорема о том, что для оператора подстановки, удовлетворяющего условию "независания", девять утверждений эквивалентны.

Ключевые слова: оператор подстановки; порядково непрерывный гомоморфизм; отображение локально антиинъективно; отображение локально антисюръективно; диффузный оператор; атомарный оператор; Ы-условие Лузина; оператор локально непрерывен по мере.

DOI: 10.17072/1993-0550-2016-4-11-19

Рассмотрим простейшее уравнение g = TJ, где оператор Т имеет вид

(7Л(а;):=/(аМ). (1)

Оператор вида (1) в разных работах называют оператором подстановки, оператором сдвига, оператором замены переменной, оператором внутренней суперпозиции, композиционным оператором, оператором, сопряженным отображению a , причем каждое из названий отражает одну из характерных черт этого оператора.

Ниже дается одна теорема, дополняющая утверждения из обзора [1, с. 18, 19].

Пусть и jLi) - стандарт-

ные измеримые пространства (пространства Лебега) с неатомарными (диффузными) мерами [9] v и / .

Измеримое отображение a: Q ^ S, удовлетворяющее условию ("независания")

В EJ-, v(B) = 0 (В)) = 0, (N~l )

порождает по формуле (оператор подстановки [1, с. 18])

(Tf )(w):= f (a(w))

© Симонов П. М., Чистяков А. В., 2016

'Работа выполнена при поддержке АО "ПРОГНОЗ".

(для каждого при ¡л— п.в. шёО)

порядково непрерывный [1, с. 13] гомоморфизм Т банаховых алгебр

Ввиду порядковой непрерывности оператора Т: Т (Н) ^ Т (О) , следующей из условия (А' 1), имеется оператор Т': /' (()) > /' (2), дуальный к оператору Т относительно естественной двойственности ст(1},Ьа). При

этом ясно, что Т' - банаховый предвойственный оператор к оператору Т, т.е. / ' Т.

Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:

1) существует разбиение О = О1 и О" такое, что д(17") = 0 и для V -п.в. каждой точки множество л '(ОПО' не более чем счетно;

2) оператор 7-/: /' (О) /' (Е) является атомарным: существует атомарная случайная мера р )^еН такая, что

(т'Г)(с) = £ /МА/,ДЙМ (*)

для каждой / е }} (Ц) при V -п.в. ^еЗ;

3) существует последовательность пк уп (Пк еИ,А: = 1,2,...) такая, что при

каждом к сужение а к : Ц ^ З обладает

свойством (СУ): для любой последовательности Ап еЕПП1, Ап у & существует последовательность Вп (Е 1< У 0 такая, что а(Ап ) С Вп при каждом п = 1,2,...;

4) существует набор множеств 0,к 6 Е (А: = 0,1,...,Л^) (N может быть и со) такой, что:

a) /1(П0) = 0, /1(Пк)>0 при к>0;

b)^пЦ = 0 при к *I;

с) ч=о Цк = Ц;

d)

а := а

при

: а^З

к >0 отображение инъективно и

удовлетворяет ТУ-условию Лузина [3, с. 58]:

Ае^ППк,11(А) = 0^и(а(А)) = 0 ; (И)

5) существует разбиение = Г21 и такое, что //((Г) = 0 и сужение : О1 —>Е

удовлетворяет ТУ-условию Лузина;

6) оператор Т': Ё —► I,1 (5) локально непрерывен по мере: существует последовательность 0,к У П ({1к С Е, /с = 1,...) такая, что при каждом к оператор

Тк := У-/Ц обладает свойством непрерывности по мере: если £¿(0) (т = 1,2,...) и

ёт ~~^ 0(//) , ТО Тк'8т^0(у)-,

7) оператор условного математического ожидания (у.м.о.) [1, с. 21] р :=

Е(-1 Еа): /' (О) — /' (О) локально непрерывен по мере;

8) любой (локально) непрерывный по мере сюръективный линейный оператор £: 1}(Еа) ^ 1}(Е) имеет локально непрерывное по мере линейное продолжение

} (Е) ^ } (Е);

9) оператор Т локально сюръективен [7, 8]: для любого А е £ с > 0 найдется

ВеЪъА с /¿(Я) > 0 такое, что Г" (5) С нп Т .

Доказательство проводится по схеме: 1)=>2), 4) =>2), 2) =>4), 4)=>3), 4)=>1),

4) =>5), 3) =>• 6), 5) =>2), 2)^-6), 2) =>7), 7) => 8), 8) =>2), 4) =>9), 9) =>2).

1)=>2). Согласно предложению 5.1 [13] существует случайная мера

такая, что оператор Т': 11 (О) ^ /' (2),

действует по правилу

= (*)

для каждой / е 1}(Ц) при V -п.в. ^ еЗ.

Разложение Лебега случайной меры на две компоненты - атомарную

(дискретную) ц'а и диффузную (неатомарную) /и^ - дает представление оператора Т'

в виде Т' = Та' +1] '. Поскольку множество при V -п.в. % е З (всех со е а1) не более чем счетно, то из (*) следует:

сг/ям = £ = о

для каждой / е} (Ц) при V -п.в. %еЗ.

Значит, 7= 0 и, следовательно, Т' = т'а .

4) => 2). Так как отображения ак, (А: = 1,2,...) удовлетворяют А'-условию. то по теореме Лузина [2, с. 69], [3, с. 114], [7, с. 305] ак переводит 2-измеримые множества в .7-"-измеримые. Поэтому, в частности, множество Зк :=ак(0.к) измеримо. Ясно, что отображение ак : Ц ^Зк обратимо. Для обратного отображения Зк : Зк ^ Ц согласно А'-условию имеем:

АеЕпПк,/и(А) = 0^>

=> и(Д;\А)) = »(ак(А)) = 0, к = 1,2,.... (М*) Свойство (N*) означает, что отображение Зк : Зк ^ Ц обладает свойством

Обозначим: Тк = хп Т, А: = ОД,____

Поскольку набор {Ц - измеримое разбиение Ц, то Т = ^ Тк ■ Вытекающую

из стандартной двойственности цепочку равенств

< Тк§,/>=< 8,Тк/ >= /ё{ы)/{а{ы))с1ы,

к

к

справедливую при всех g е ТТ(О) и при всех / е ТТ° (Н), применив при к > 1 замену переменной с = Рк(£) можно продолжить:

< Тк§, />=/ёШ(а(ыШс1ы) =

a 1(%) = {Pk (£): k = 1,..., N} не более чем счетен.

N

Положим S:= ^Sk и Е:= a X(FnS).

пк

= fg(A(0)/(0M0Hd0,

2к

... dv(J3Zl) ..... „ .

где ft(0:=—--(О (<С е - ) - производная

a/j,

Радона-Никодима [2, с. 60, 61], [3, с. 577-586].

Определим весовой коэффициент Ьк:Е^П формулой Ък (£) = рк (£) при и bk (£) = 0 при £ £ Sk, а обратимое отображение ¡3k : Sk ^ Пк продолжим до отображения f3k : s ^ П совершенно произвольно. Из предыдущих рассуждений

ясно, что оператор '// : /' (О) /' (£) действует по правилу

(тк§т-=ькшшо)

(для каждого geZ^E) при i/ — п.в.

т.е. является гомоморфизмом Рисса [12, 13] -

простейшим атомарным оператором.

Таким образом, 'i' gСа при каждом

k = l,...,N, и потому оператор Т = У^ ?/,

представляющий собой порядковую сумму атомарных операторов, является атомарным.

Са - это множество атомарных операторов из Е"(П) в Iх(Б).

-Ядро ker Т гомоморфизма Рисса Т: IT (5) > L' Ш), является полосой решетки L " (S) вида Г (В), где В = supp ker Т . Отсюда имеем %в(а(а)) = 0 при всех «еП и поэтому ¡л{со : а{со) е В} = 0, т.е. //(л 1 (В)) = 0 , и ясно, что fi0 = л 1 (В) .

Если ker Т = 0, то v(B) = 0 и, поскольку, a(Q0) = B, то //(л(Пи)) = 0. Значит, ^-условие выполнено для а0 = а^

только в случае ker T = 0 .

Вывод. Свойство 4) вместе с условием /í(cü(Q0)) = 0 влечет за собой тот факт, что для п.в. £es (всех £ es\B) прообраз

к=1

Из утверждения 4) следует, что Е удовлетворяет О -условию. Действительно,

N

О = |_| Ок - не более счетное измеримое

к=1

разбиение (mod m) пространства О, и,

поскольку взаимно обратные отображения

ак : Ок ^Нк и Рк = а: Нк

удовлетворяют N 1 -условию, то

~ пОк = ак y(F пН к ) = ЕпОк при всех к = 1,2,....

Легко понять, что верно и обратное утверждение (в усиленном варианте).

Пусть а -подалгебра I а -алгебры Е удовлетворяет Q-условию. Тогда для любого стандартного пространства с

неатомарной мерой существует (и таких необозримое множество) измеримое отображение а: Ок ^ Н, удовлетворяющее

(N- условию и утверждению 4).

N

Пусть О = _ Ок - разбиение О на

к=1

измеримые множества Ок положительной меры такие, что Е п Ок = Еп Ок при каждом к = 1,.,N. По теореме об изоморфизме [4, глава 3, § 2, примечание к главе 3] произвольное стандартное пространство (S,jF,z/) с неатомарной мерой метрически изоморфно пространству (Ок,ЕпП, ,и~ ), причем изоморфизм соответствующих а -алгебр можно реализовать поточечным отображением ак : Ок ^ Н, обратимым в классе измеримых отображений. Отображение склеим из кусков: а(со) = ак(со) при сиейк, k = \,...,N. Из метрической обратимости сужений а(ш)~ = ак (ш): Ок ^Н следует, что при

каждом к отображение а инъективно на некотором подмножестве Ок = Ок \ 0°, где

исключаемое множество Ок имеет меру

N ^

нуль. Полагая теперь О0 = ^О0 , получаем

к=1

N

разбиение Ц = |_| Ц, удовлетворяющее

к=0

утверждению 4).

Отметим, что основанная на теореме о метрическом изоморфизме конструкция с -подалгебр, удовлетворяющих Ц -условию, является не только стандартной, но и по существу единственно возможной.

2) => 4). Для краткости записи характеристическую функцию множества А будем обозначать через 1А := хА и отождествлять ее с оператором умножения / ^ хА/ . Рассмотрим сначала простейший случай.

А) Т': /' Ш) / /' (Е) - гомоморфизм Рисса. Согласно теореме о представлении оператор Т' действует по правилу

(т'§т-=ьшш))

о

(для каждого при V— п.в.

где вес Ь: £ —П - неотрицательная измеримая функция, строго положительная на множестве Е1 := эирр Ъ; отображение

г\\Е —удовлетворяет (Л' ')-условию на множестве := ц 1 (Е,): ЛеЕпП, /и(А) = 0^1у(г}-1(А)) = 0,. (ЛГ1') Сопряженный (даже порядково сопряженный [2, с. 392, 393]) к решеточному гомоморфизму Т' оператор 7 = / ' является, как известно, оператором Магарам [1, с. 22]: образ любого порядкового интервала есть полный порядковый интервал (без дырок), т.е.

Порядковый интервал [—1П,1П]:= :={/еЬ^ХП):\/(ш)\<1 г/ — п.в. шеП] - это единичный шар пространства } (Ц). Следовательно, оператор Т сюръективен.

Ядро гомоморфизма Т, как уже отмечалось, есть полоса [3, с. 385, 386] (В), носитель В = 8ирркег Т определен с точностью до V -меры нуль. Из соотношений ортогональности 1<сг7- = пп7-/ следует, что

В = Е\Е1 =:Е1.

Таким образом гомоморфизм Рисса (даже банаховых алгебр) '/,' :='/' | :

I " (Е,) I " (О) обратим. Отсюда заключаем, что сужение а := а~ : Ц ^ З обратимо в

классе измеримых отображений: существует измеримое отображение З : З ^ Ц с Ц, удовлетворяющее условию (Nна Е и такое, что:

1) а(Д(£)) = X для V -п.в. %еЗ1;

2) 3 (а (м)) = м для / -п.в. с е Ц.

Из 2), в частности, следует существование подмножества ЦсП меры нуль, для которого сужение отображения ах на множество Ц1 := Ц \ Ц инъективно и удовлетворяет (N-условию. Положим Ц = Ц \ Ц .

Сопоставляя (') и (N 1), заключаем: Чщ (%) = З(%) для V -п.в. %еЗ1; сужение

ап инъективно и, ввиду равенств

а(А) = З1 (А), справедливых для всех А е Е п Ц, удовлетворяет ^-условию Лузина.

Таким образом, в случае А) из 2) следует 4), причем разбиение Ц состоит всего лишь из двух множеств Ц0 и . В этом случае при V -п.в. % е З множество а_1(%)пЦ состоит не более чем из одной точки. Множество же О0, имеющее нулевую меру, может "раздуваться": /х(О0) = 0, но если у(Е\ > 0, то 1у(а(П0)) > 0 .

Условие у(Е \ Ег) = 0 эквивалентно условию а(П0У) = 0 и эквивалентно в

предположении Т' С Са обратимости отображения а: Ц ^ З в классе измеримых отображений, удовлетворяющих условию (N-1).

Рассмотрим теперь общий случай.

В) Т': 1} (О) —»Ё (Е) - атомарный оператор (порядковая сумма гомоморфизмов Рисса). Согласно теореме Л. Вейса [13, теорема 6.2] существует последовательность

Тп' У Т' (п = 1,...) локальных гомоморфизмов Рисса. Так как 0<Тп<Т'* =Т по двойственности с(}},) и оператор Т:} (З) ^ } (Ц) - порядково непрерывный гомоморфизм банаховых алгебр, то

ТП=(ШТ. (**)

При п.в. яеО имеем: и потому измеримое разбиение О, состоящее

(Тп1н)(ш)/(71н)(ш) = 1о. из множеств °к = _ Ок, удовлетворяет

По теореме Егорова [2, с. 65], [3, с. 110] Щ!)>к

существует последовательность О' /И всем условиям утверждения 4).

(Q'gS, /1(П')>0, 1 = 1,...) такая, что

(Тп1Н)(ш) ^ 1 равномерно на О1 при всех l.

Н ^ к = 1,2,. и j(Q\ Ок) ^0 при к .

Выберем п =n(l) так, чтобы (Тп1н)(ш) > — Выберем последовательность множеств

> Q, Е Е (/ = 0,1,...) , удовлетворяющую усло-для всех гэе£2 . Из равенства (**) следует

4 ) ==- 3 ). Напомним, что запись Ок/О означает Ок с Ок+1 при всех

1 г'/' < 2-1;. Отсюда ввиду монотонности

виям утверждения 4). Покажем, что последовательность Q^^uJLqQ, (7с = 1,...) канонической двойственности cr(L ,L ) удовлетворяет условиям утверждения 2). Так

получаем: 0<Т'1 , <2-Тп'\ , . Оператор как = = 0, т0 ^V^. При

всех 1 = 1,... отображение

2Т1\{, поскольку он мажорируется локаль- п> : О, Е, -пШ,) удовлетворяет TV-усло-

, п т,.' вию Лузина. Поэтому из равенств

ным гомоморфизмом Нисса 27 , сам является - 1

локальным гомоморфизмом Нисса. Согласно ' 1 ' ' 1 ' '

определению локального гомоморфизма следует, что образ В := а(А) Т -измерим для

Рисса существует 2 -измеримое разбиение любого А е Е о С1к . Если Ап е I г, 0!': и

= [J такое, что оператор := T\t Ап / 0 Вп.= а{Ап)ЕТ ъ Вп / 0.

к=0 А При ЭТОМ

есть гомоморфизм Рисса. ИД,) = u(d] ,п;(Д; П)) <

Из рассмотрения простейшего случая к

А) мы заключаем: для каждого 1 = 1,... < У~У(а/(Ап П Ц))—-¡^—И).

N(1) 1=1

существует измеримое разбиение О.1 = |_| о!к, так как и((\1(Ап Г ОД)—-¡^^—>0 ввиду обратимости аi: О1 ^ Н1 в классе измеримых отображений.

4)=>1). Действительно, положим

Q°:=Q0 и Q1 := Uk=lQ.k . Из доказательства утверждения 4) извлекаем: оГ^ОПП1 =

к=0

удовлетворяющее условиям утверждения 3):

a) /1(П'0) = 0, /1(П'к) > 0 при к > 0;

b) О пО} = 0 при г ф у ;

c) при к >0 отображение

а1.= а , : О.1, —> Е инъективно и удовлетво-

< ШО:/се/е},где/г:={/с:£еЕ,}.

ряет А'-условию Лузина на 4) —> 5). Аналогично доказательству

Положим Ц , \ </ при импликации 4) => 1) полагаем :=О.0 и

/> 1. При каждом 1 = 1,... рассмотрим

решеточный гомоморфизм Т,:=1йТ: 3)=>6). Зафиксируем некоторую

Е°{Е)^. Так как := Т% - атомар- последовательность П е Е (к = \,...).

1 удовлетворяющую утверждению 2). Так как ный оператор, то из предыдущего рассуж- ^ ' / /

дения следует, что найдется разбиение ^ •> т0 Тк '.= '! 1()/. / 'Т в банаховой

= удовлетворяющее условиям а), Решетке Б(/'(0)'/'(Е))' Проверим, 4X0 ПРИ

к = 0 7 1 ГГ, I

каждом к = 1,... оператор 1к ^-непрерывен. Ь), с). Согласно построению Г1_ Г1.

Согласно теоремам [12, теорема 5], [13,

^ _ у |() = П И ^ = II у | ()' теорема 6.5], из этого факта следует, что

Т Е .

"к ] [ J [ J "к '

М k<N(V) к=0 N(l)>k

Пусть ||/Л<1 (»1 = 1,2,...)

Тогда Атп -\/т\>-}/0 при

п

т ^да для каждого целого п = 1,2,____

Согласно утверждению 3) найдется последовательность Втп^Т (т = 1,2,...) такая, что Втп У0 при т х и «(Аи) С . Представим функцию /т в виде

/т /тп ^ /тп ' где /тп : 1А /т И

тп

:=1п\А /т Поскольку 1Н\В (а(®)) = 0

тп тп

при всех ш е Атп, то

II ^ ||=< 1ЕЧя ,г/1 | /т |>=

=<Г1ЭВ ,1, |/т|>=

ш ш

= Г цв («М)|/ИМ|^ = 0.

А мп

тп

Следовательно, *ирр7;.'./„'„ С Втп и

потому т >ос -0(г/) при любом

п = 1,2,____ По теореме о диагональной

последовательности найдется подпоследовательность индексов пт (т = 1,2,...) такая, что

Т' fl

2k Jm

k J ot^

>0(u).

1

Очевидно, \\Tkf^\\< — fi(Q).

Поэтому \\Tktf

mn 11 m—>oo

►о, и,

следовательно, f^

mn oo

>0(1/).

Таким образом, т' f =т' fl +т' f

k J m k J mn... 1 k J n

►0(1/).

к ^ т к ^ тпт к ^ тпт т-^оо

5) => 2). Пусть справедливо условие 5). Предположим, что условие 2) не выполнено: Т': 1}(П) ^ не является

атомарным оператором. По теореме о разложении [10], [11], [12, следствие 1], [13, предложение 2.6] оператор Т' представим в

виде дизъюнктной суммы Т' = Та' +Та'

атомарной 7'' и диффузной компонент.

По предположению Та' . Для сопряженных операторов имеем

/ = Т'* = Т'а* + Т^*, причем дизъюнктность слагаемых сохраняется. Положительные

операторы 7j := Т'а* и Т2 := 7(-'! мажорируются [1, с. 12] решеточным гомоморфизмом T (являются его осколками [1, с. 12]). Отсюда следует что Т1 и T2 - порядково непрерывные решеточные гомоморфизмы, действующие по формулам: (Т f )(w) = a (w) f (a(w)) и (T2f )(w) = a2(w) f (a(w)) (для каждой f e Z1(S) при п.в. шеП).

Дизъюнктность Т л Т =0 эквивалентна дизъюнктности носителей весов fij := supp и Q2 := supp a2, т.е. П fi2 = 0 (mod // ) и Qj U Q2 = Q (mod // ). Значит, Ti =1п T и T2 T .

По теореме Лузина [2, с. 69], [3, с. 114], [9, с. 305] множество H2:=a(Q2) измеримо. Так как Т2Ф 0, то fi(Q2)>0 и z/(S2)> 0. Оператор /' := Т2]1?0ф_у.

(3:=32, fi:=fi2) является решеточным и алгебраическим гоморфизмом решеточных банаховых алгебр Z00 (S) и Z00 (П). Опять-таки ввиду условия Лузина ker Т = {0}, поэтому Т есть изометрия L° (S) на

подрешетку // (X,, П П) С /.' OJ).

Таким образом, убирая хэт-штриховку и не потеряв общности, можно заранее считать сопряженный с оператором

Г:Г°(Н)->Г°(0) оператор Т': /.' (Q) / /.' (5) , который является диффузным оператором (или интегралом по диффузной случайной мере). Ссылась на теорему [4, глава 3, § 2, примечание к главе 3] об изоморфизме сепарабельных пространств с безатомными мерами, можно далее предполагать что П и S - польские пространства с диффузными мерами / и v . Согласно основной теореме из [5], диффузность оператора Т', эквивалентная антиинъективности [9, 7, 8] порождающего отображения а: S ^ П, эквивалентна существованию диффузной подалгебры Er, независимой от Ea . Следовательно, можно отождествить и -подалгебру и(Еа, Er) с проективным тензорным произведением Ex := Ea®Er, тем самым вложив Ea®Er в

Е. Так как аГ1 (Т) = T,axQ при таком

m—¡-ос

п

m

вложении /': Еа ® Ег = сг(Еа , ) —» Е то о -

гомоморфизм а~1: —> Е "пропускается" через оператор тождественного вложения га : Еа хО^Е, т.е. гаа-1 = а1. Отсюда заключаем, что а^Е = ара, где

Ра : Е1 := Еа®Ег^Еа=ЕахО - есть проекция на первый множитель тензорного произведения Е]. На базовых А х Н (А Е ЕГ1, В Е Е ) элементах этого произведения проекция ра действует по правилу Ах5 ^ Ах О. Теперь, учитывая, что сужение р := рОхЕ является диффузной

| а

мерой (а потому непустых множеств нулевой меры там больше чем континуум), мы можем сказать, что для всех базовых множеств С := А х В еЕх, для которых ца (А)>0, а (В) = 0, образ а(С) имеет ненулевую меру: п(а(С)) = ц(А), - но ц(С) = 0. Получено противоречие с Ы-условием.

(Ы)-условие Лузина не эквивалентно (оЫ )-условию. Имеется только импликация (он) ^ (Ы) . Приведем простой пример как демонстрацию невозможности полного обращения. Пусть О = Н = [0,1], р = у -обычная мера Лебега на [0,1]. Кусочно линейное отображение а: О. —> Е определим

1

так:

ш Е

а(ш) := п(п + 1)

п +1

если

1 1

, и а(0) = 0 .

п +1 п

Выполнение условия Лузина очевидно (во всяком случае - совсем легкое упражнение по теме "Теория меры"). Однако, (аМ) -условие здесь выполняется на любом

1

подотрезке 0.п :=

А

но не выполняется на

для Ап :=

О = 0 такое,

/0.

всем отрезке О. Действительно, а(Ап) = 0,

]_ V

п + Х' п

Следующие утверждения эквивалентны:

1) существует разбиение = с

а , : О1 ^ Н

О1

что сужение

удовлетворяет оЫ -условию;

2) отображение а: О ^ Н обладает свойством (£): для любой последо-

вательности Ап У 0 (Ап Е Р) существует последовательность Пи П, {1п Е Е. такая, что а^1(С1п) глАп = 0 для всех п = 1,2,...;

3) оператор Т': Ё (О) —» 11 (Е) непрерывен по мере на Т1 -ограниченных множествах;

4) оператор Т =Т сохраняет разложение Иосиды-Хьюитта [1, с. 36-39]:

Г (Г ($1)1) С^ (Е)1, Т\Г (П)]) .

1)=>2). По условию (сгУУ) для Д,,/0 существует Вп/0\ а(Ап)аВп. Отсюда Апаа~1(Вп) при всех и = 1,2,..., причем а~\Вп)У аГ\В^), где ВХ} \=слпВп. Так как и(Вп) = 0, то, ввиду условия N , /1(а-\В^)) = 0. Поэтому Пп := П\а~\Вп) У О . Ясно, что ач(П„)П4, = 0 .

Легко заметить, что проведенное рассуждение обратимо. Таким образом, справедлива эквивалентность 1) 2) .

Импликация 1)=>3) фактически имеется в доказательстве 4) => 2) основной теоремы.

3)=М). Включение с (Е)ос. справедливо для всех порядково

непрерывных операторов Т: /.' (Е) —> /.' (О).

Проверим включение 7'(// Ш)" ) С // (Е), . Пусть сингулярный функционал Я е Г00 (О)* сосредоточен на элементах последовательности Вп У 0 (Вп € Е, и = 1,2,...) . Из равенств

<ХаХ\>=<ХаХхВ^>=

п

=<хвтХл,\>=<хвЛа КАу\>

следует, что ТЯ = 0 при

п

Ои := П \ аГ1 (Д,) У О.. Значит, функционал

Т*Л сосредоточен на элементах последовательности Вп := а~1(Ап) У 0 и потому сингулярен.

4)=>1). Пусть положительный оператор Т* = Т'™ : ¡: (О)* > ¡: (Е) сохраняет разложение Иосиды-Хьюитта. Тогда, как отмечено в статье [6], оператор Т': 1} (П) —> 1} (Е) непрерывен по мере на 1} -

п

ограниченных множествах. Из эквивалент-ностей основной теоремы заключаем, что Т' - атомарный оператор, а отображение а: О ^ 2 после удаления из О подмножества меры нуль удовлетворяет N условию Лузина. Из условия N следует, что множество := п(О) измеримо, а оператор

т,-=т.

: // (■-,) // Ш) есть изометрия.

Предположим, что условие (сИ) не выполнено. Тогда существует

последовательность Ап 0 (Ап € Е, п = 1,2,...) такая, что г/(Пи а>(Ап )) > 0 . Каждый

из

операторов

т-=т

является

\ьх(МАУ>

изометрией Ьх(а(Ап)) на Р°(0.,1,п), где £я := {а'1 (В)ПАп:ВеТГ\а(Ап)} . Поэтому

оператор Тп' : /' (Г2,Еи) —>■ Ё(си(Ап)) обратим,

причем обратный оператор {!]') 1 - также

изометрия, поэтому || (Тп')||= 1. Обозначив

^ = заметим: /и := (Тп'у1Хл

°(/') • но Тп'/п =х, /'0(//). Возникает противоречие с ранее отмеченным свойством непрерывности по мере, которым обладает оператор Т'.

2) 6) - это одно из утверждений теоремы 6.5 из статьи [13] (теорема 5 из статьи [12]).

2) 7) . Предположим, что оператор

Р не является атомарным оператором. Тогда диффузная компонента Р^ в разложении Лебега 1\ = 1\и +Р;! не равна нулю: Р* > 0. Так как оператор 7-/:/'Ш) '/'(Н) есть изометрия 1) (£а) на /,' (Е), то из равенств Т' = 7'1\ = Т'Р" + Т'1\с1 следует, что Т'Р;1 =Т' — Т'Р". Множество диффузных операторов левый операторный идеал [12, следствия 2], поэтому Т'Р^ - диффузный оператор. С другой стороны, атомарные операторы образуют операторную алгебру, поэтому Т' — Т'Р" - это атомарный оператор. Атомарная и диффузная компоненты любого оператора дизъюнктны. Значит, Б.ТР; = 0.

Из равенств £ * = Р^Т имеем:

раТ1 = Pd 1 = 0

Poo 1 1П Poo 1п

Поскольку элемент 1П является единицей решеточной алгебры // (Q). то

P'd = 0. Возникает противоречие.

7)8) . Локально непрерывное по мере продолжение оператора £: Ll (EJ ->■ Ll (S) очевидно: S=SP;

8) 2) . Предположим, что условие 2) не выполнено: оператор Т' не является атомарным, т.е. T'd > 0. Как сказано в доказательстве импликации 5) => 2), не теряя общности, мы можем считать, что оператор Т' - диффузный. Согласно основной теореме из статьи [5] в этом случае для подалгебры Еа существует независимая диффузная и -подалгебра Ет. Поэтому и -подалгебру Е1 := и(Еа,Ет) можно каноническим образом отождествить с проективным тензорным произведением Еа®Ет. Так как и -подалгебры Еа = Ет х П и Ет сепарабельны и безатомны, то по теореме об изоморфизме [4, глава 3, § 2, примечание к главе 3] найдется сохраняющий меру о -изоморфизм а: Еа ^ Т, порождающий обратимую

изометрию £: 1}{Еа) ^Z1(S). Оператор £, естественно, непрерывен по мере и сюръективен.

Пусть £ - любое непрерывное линейное продолжение оператора £ на Z (П). Покажем, что сужение £ — £е не является

локально непрерывным по мере. Но это почти очевидно: £ "пропускается" через оператор естественного вложения

ia := Еа = Еа х Q -> Ех = Еа ® Ег, т.е. £ = Sja .

Отсюда S\=Spa, где ра := i"1: <8> £т Т,а х fl - оператор проектирования на ha является диффузным и потому не является локально непрерывным по мере.

4) 9) . Так как U,v, il = П (mod //), то для множестве A с m(A) > 0 при некотором множестве i множество B := A п П имеет ненулевую меру. Оператор 1]: L " (£,.) —> Р " (Qi) - решеточный изоморфизм, поэтому Lcx(B)czLx(Qi) с im Т. С im Т.

9) => 2). Предположим что оператор Т' не является атомарным. Как уже выше не раз отмечалось, в этом случае без потери общности можно предполагать, что Т' является диффузным. Согласно основной теореме из статьи [5], это эквивалентно ненасыщенности [4, глава 2, § 7, с. 89, 90, примечание к главе 2, с. 131] о -подалгебры Ъа в любой компоненте So A с m(A) >0. С другой стороны, согласно предположению 9) для А = £2 найдется множество Bei.о,А с ц(И) > 0 такое, что // (В) с im Т . Но последнее равенство - это простая переформулировка насыщенности о -подалгебры Sa в компоненте S.

Список литературы

1. Бухвалов А.В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций // Математический анализ. Т. 26. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-63.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004. 816 с.

3. Макаров БМ, Подкорытов А.Н. Лекции по вещественному анализу: учебник. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 668.

4. Самородницкий А.А. Теория меры. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 268 с.

5. Симонов ПМ., Чистяков А.В. Предельно ненасыщенные ст-подалгебры, антиинъек-тивные отображения и диффузность // Вестник Пермского университета. Мате-

матика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 4(35). С. 20-24.

6. Чистяков А.В. Непрерывность по мере опе-раторов, сохраняющих разложение Иосиды-Хьюитта // Функционально-дифференциальные уравнения: межвуз. сб. науч. тр. Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1990. С.127-131.

7. Чистяков А.В. Об ограниченных решениях стохастических систем Ито // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 3(29). С. 109-121.

8. Чистяков А.В. Сильная необратимость операторов сдвига вдоль траекторий броуновского движения // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 7(33). С. 84-89.

9. Kalton N.J. Isomorphisms between Z -

function spaces when p <1 // J. of Funct. Anal. 1981. Vol. 42, № 3. P. 299-337.

10. Sourour A.R. Pseudo-integral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 253. P. 339-363.

11. Sourour A.R. Characterization and order properties pseudo-integral operators // Pacific J. Math. Soc. 1982. Vol. 99, № 1. P. 145-159.

12. Weis L.W. Decomposition of positive operators and some of their applications // Funct. Anal.: Surv. and Recent Results III: Proc. 3rd Conf. Amsterdam e.a.: Elsevier Science Publishers B.V., 1984. P. 95-115.

13. Weis L.W. On the representation of order continuouse operators by random measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. Vol. 285, №2. P.535-563.

Locally saturated ff-subalgebras, locally injective and Luzin' ^-condition

P. M. Simonov, A. V. Chistyakov (1955-2013)

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia simpm@mail.ru; 8(3422)396849

Udmurt State University; 1, Universitetskaya st., Izhevsk, 426034, Russia

We prove the theorem that the substitution operator satisfying "no suspension" condition, nine are equivalent statements.

Keywords: substitution operator; order continuous homomorphism; local anti-injective mapping; local anti-surjective mapping; diffuse operator; atomic operator; Luzin ' N-condition; operator locally continuous by measure.