CC BY
8
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 1(34), 2017 | физико-математические науки
77
3. Уржумцев Ю.С., Майборода В.П. Технические средства и методы определения прочностных характеристик конструкций из полимеров. - М. : Машиностроение, 1984. - 169 с.
4. Уржумцев Ю. С. , Максимов Р.Д. Прогностика деформативности полимерных материалов. ИМП АН ЛатвССР. - Рига : Зинатне, 1975. - 416 с.
5. Булманис В.Н., Старцев О.В. Прогнозирование изменения прочности полимерных волокнистых композитов в результате климатического воздейс-твия. Препринт, - Якутск, 1988. - 32 с.
6. Gusev E.L. Using parallel procedures for the searching of the extremum for the decision of the inverse problems prediction of the defining characteristics of the composite materials// Material Physics and Mechanics , 2016, v.26, N 1 , p. 70-72.
7. Гусев Е.Л. Релаксационные методы в прогнозировании определя-ющих характеристик при воздействии экстремальных факторов внешней сре-ды// Международный журнал Международного союза ученых «Наука. Технологии. Производство», 2015, №8, с. 4-7.
8. Гусев Е.Л. Методы, связанные с выделением перспективных направлений поиска для решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик полимерных композитов при воздействии экстремальных климатических факторов внешней среды и эксплуатационных нагру-зок//Сб. трудов Всероссийской научной конференции с международным участием (к 95-летию со дня рождения академика И.Ф. Образцова) «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред», М., ИПРИМ РАН, 2015, с. 518-520 .
9. Гусев Е.Л., Бабенко Ф.И. Методы поиска экстремума с оптимальным выбором параметров для решения задач восстановления параметров моделей прогнозирования определяющих характеристик полимерных композитов//Сб. трудов «Материалы для технических устройств и конструкций, применяемых в Арктике», М., ВИАМ, 2015, с.132-141.
УДК:515.12_
ПОВЕДЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Жумалиев Тургунбек Жолдошалиевич
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей математики и математического моделирования, Кыргызский национальный аграрный университет им. К.И.Скрябина, г.Бишкек, Кыргызстан
Ботолаева Гулкайыр Карыпбековна
Старший преподаватель кафедры Высшей математики и математического моделирования, Кыргызский национальный аграрный университет им. К.И.Скрябина, г.Бишкек, Кыргызстан
Аннотация. В данной статье исследуются поведения дизъюнктной суммы и индуктивные пределы объектов категории. С помощью изучения и исследования кардинальных инвариантов равномерно непрерывных отображений оценены поведения самих конкретных равномерных пространств тем самым и топологических пространств. Данная статья относится к работе исследования путем теории и доказательств. Доказаны теоремы 5 и 6.
Annotation. This article studied the behavior of some cardinal invariants under direct sum and inductive limits of the objects of the category. With the study and research of cardinal invariants uniformly continuous maps, evaluated the behavior of specific uniform spaces themselves thereby and topological spaces. The study was conducted using the method of uniformly continuous mappings by theory and evidence. Theorems 5 and 6 proved.
Ключевые слова: множества; пространство; семейства равномерных пространств; кардинальные инварианты; индуктивные пределы; семейство объектов; равномерно непрерывные отображения.
Keywords: set; space; family of uniform spaces; cardinal invariants; inductive limits; family of objects; uniformly continuous maps.
Введение
За последнее десятилетия идеи и методы теории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений проникают, находя успешное применение, почти во все разделы математики, при этом в основном имеются разные применения в общей топологии и функциональном анализе. Вместе с теорией равномерных пространств интенсивно развивается теория кардинальных инвариантов равномерных пространств. При построении новых равномерных инвариантов
особо большую роль играет кардинальные инварианты. Некоторые из них были введены академиком А.А.Борубаевым [2, с. 60], это квазивес и индекс ограниченности равномерных пространств. В данной статье исследуются поведения кардинальных инвариантов веса, квазивеса, псевдовеса и индекса ограниченности равномерных пространств, при прямой (дизъюнктной) сумме и индуктивных пределах равномерно непрерывных отображений.
Материалы и методы
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) #1 (34), 2017\ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
78
Рассмотрим кардинальные инварианты дизъюнктной суммы равномерных пространств.
Пусть X непустое множество, а И^д): ш Е М} - произвольное семейство равномерных пространств и /т: (Ет,№т) X -произвольные отображения семейство И^): т Е М} в пространство X.
Как известно [2, с. 18], что на А'. существует равномерность и являющееся наибольшей из всех равномерностей V. делающей каждое отображение /т: (А, V) равномерно непре-рьшным.
Эта равномерность и называется финальной равномерностью на X, а равномерное пространство (X, и") называется финальным равномерным пространством, относительно семейства [( 2т, И-Гт): т Е М} равномерных пространств.
Если (X, и) = Ш(Хт, ит):тЕМ} -
дизъюнктная сумма семейства
V.. - .. С-..; : * -Е равномерных пространств,
тогда справедливы следующие теоремы 1-4 [4, с. 58].
При дизъюнктной сумме равномерных пространств, кардинальный инвариант вес сохраняет свои свойства.
Теорема 1. Пусть
(_Х,и) = II ((Л^., ит): т ЕМ} - дизъюнктная
сумма семейства {(Х^, £/,п ): тп 6 М} равномерных пространств. Тогда ю(и~) < т ЕМ}.
Следующая теорема показывает характер кардинального инварианта квазивеса Ц ит. при дизъюнктной сумме равномерных пространств.
Теорема 2. Пусть
(X, 11) = П{(_Хт, и,п): т ЕМ} - дизъюнктная
сумма семейства {{Хт, : т Е М} равномерных пространств. Тогда
Кардинальный инвариант псевдовес рит устойчив при дизъюнктной сумме равномерных пространств.
Теорема 3. Пусть
(_Х,Ц) = Ц{(Хт,Е/т):т ЕМ} - дизъюнктная
сумма семейства {{Хт, : т Е М} равномерных пространств. Тогда ри?(Хт, и,п) < т для
каждого теМ, то
.
Теперь, рассмотрим поведение кардинального инварианта индекса ограниченности при дизъюнктной сумме равномерных пространств.
Теорема 4. Пусть
(.X, и~) = Ц((А'т, ит): т ЕМ} - дизъюнктная
сумма семейства £/т): т Е М} равномер-
ных пространств. Тогда
Кх,и)<ХО(хт,ит>.тем}.
Определим сумму семейство объектов прямой спектр категории Пусть {/с: иеМ ]--
произвольное семейство объектов категории
равномерное непрерывное отображение для каждого аеМ, причем - база отображения /п. Рассмотрим дизъюнктную сумму
(А', и) = и{(АтС1, иа): а ЕМ} равномерных пространств и дизъюнктную сумму
псевдоравномерных пространств. Определим отображение f^■ X —* У следующим образом:
пусть хеХ, тогда существует а, Е М такое, что хеХа, в этом случае положим /х = fax.
Полученное отображение
/: (А\ II, 1]) (У, V) - является равномерно непрерывным отображением, причем псевдоравномерность У,- является базой отображения f.
Следовательно, / является объектом категории и называется прямой суммой семейства объектов {/а: аеМ} и пишется
Результаты исследований
Рассмотрим поведение некоторых кардинальных инвариантов относительно прямой суммы объектов категории
Теорема 5. Пусть {/а: аеМ} - произвольное семейство категории £/п1/(У,У), а * = и-,.'. ." - его прямая сумма. Тогда справедливы следующие неравенства:
1) < лф{и7(/0):аеМ};
2) яиг(/)< 5ир{ю(/а~)*°:а<ЕМ}:
3) рю(/)< хир{ю(/а~):а£М}:
4) 1(П < 1&Ю-а€М} Доказательство. В теоремах 1-4 данной статьи, рассмотрены эти кардинальные инварианты, при дизъюнктной суммы равномерных пространств. Доказательство теоремы 5 аналогично доказывается, т.е. из неравенства м'(и') < 5ир{лт(иа):а.€М} и определения веса равномерно непрерывного отображения (
117 (/) = следует, неравенство
.... ^ ^ : [3, с. 491].
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 1(34), 2017 | физико-математические науки
Далее, преобразуя неравенство
£ :■:■>{■.'.■■ ; ." г.'-:'] к неравенству
£ и воспользо-
вавшись соотношением между весом и квазивесом объекта / категории
< [4, с. 59], получим неравен-
ство днт(/) < зир^^^ъ-.аеМ}.
Для псевдовеса равномерных пространств при прямой суммы, доказано в теореме 3. Следовательно, используя неравенство рю(и~) < хир{ю(иа~): аеМ} [3, с. 492], а также, с помощью определения псевдовеса равномерно непрерывного отображения следует, что
Из неравенства 1(Е/) < £{1(Е/а): аеМ }
теоремы 4 известно поведение индекса ограниченности равномерных пространств [2, с. 63]. Учитывая эту теорему и определения индекса ограниченности равномерно непрерывных отображений, получим неравенство
Определим индуктивный (прямой) спектр в категории ит/^УгУ). Пусть М- направленное
множество и для каждого аеМ определим объект /с категории ит/(Уг]/^. Если о, < Ъ. то определен морфизм Ь}^-. fъ }а. причем, если а <Ь < с. то кса = ■ Лд. Тогда говорят, что определен индуктивный (прямой) спектр 5 = На,къа,М} в категории Unif(Y,V). Теперь определим предела индуктивного (прямого) спектра 5. Пусть X = ЦаеЧХ£1 - дизъюнктная сумма семейства множеств \Ха\ ясИ }. Рассмотрим в X отношение эквивалентности Х следующим образом: если х', х'' некоторые точки из А, причем х!€Ха'^ х"€Хач, то х'-^х" означает существование такого индекса ЬеМ, что
а1 < Ь, а" < Ь и к%\хг)= К' (ж")- Рефлексивность и симметричность бинарного отношения ^ очевидна. Транзитивность отношения проверяется непосредственно и ее проверка не составляет труда. Пусть Х3 = Х/^ - фактормножество, а
{X*. и')
- фактор-пространство равномерного пространства (X, £/). а (А'", П?^ ) -
фактор-пространство псевдоравномерного
пространства (X, II,-). Пусть <р\ X X- фактор отображение. Пусть ^ - произвольный элемент из X3, т.е. некоторый класс эквивалентности в X, а ха€Ха какой ни будь представитель из клас-
79
са Ç. т.е. <р(ха~) = £ Положим = fxa. Нетрудно проверить, что корректность этого отображения, т.е. независимости от произвола в выборе представителя класса ха из класса Ç Тогда отображения f3 : X3 —+ У определены, причем отображения fs: (X3rU3,Uf) (YrV~) являются равномерно непрерывными, причем псевдоравномерность U? является базой отображения /5.
Следовательно, отображение f3 является объектом категории и называется пределом индуктивного (прямого) спектра 5 = {/сДд,М} и пишется/3 = lùn_ S
Следующая теорема показывает поведение некоторых кардинальных инвариантов при индуктивных пределах категории
Теорема 6. Пусть f3 = hm_,{far k*. M} -предел индуктивного спектра в категории Тогда справедливы неравенства:
1) qw(fs~) < supiwCfJ*": аеМ};
2) 1(П < ZWJ-aeM}
Доказательство. Пусть f = U{/q : аеМ} -прямая сумма объектов категории
Unif(Y, V)
Тогда по теореме 5 справедливы неравенства:
2)qw(f) < sup{iv(£)^:a£*r};
4) ЦП < П1Ю--™**}
Так как f3 является замкнутым подобъектом объекта f категории Unif {Y, l,r). то справедливы неравенства qw(f3~) < qw(f) и l(f< l(f). Из этих неравенств и выше отмеченных неравенств теоремы 5 следуют неравенства:
1) qw(f3) < sup{w(fa~)*°: œM}:
2) l(f*) < ВД&):««}.
Выводы
В статье использовались методы покрытий и отображений. С помощью полученных результатов из [2], [3] и [4] доказаны теоремы 5 и 6, которые дают описания поведений кардинальных инвариантов равномерно непрерывных
отображений.
Список литературы:
1. Александрян Р.А. Общая топология: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1979.
2. Борубаев А.А. Равномерная топология. -Бишкек: Илим, 2013.- 338 с.
3. Жумалиев Т.Ж. О некоторых кардинальных инвариантах дизъюнктной суммы равномерных пространств. Вестн. Кырг. Нац. аграр. ун-та им. К.И.Скрябина: к 80-летию образования Кырг. Нац. аграр. ун-та им. К.И. Скрябина. - 2013.- №1. - С. 489-494.
4. Жумалиев Т.Ж. О некоторых кардинальнозначных инвариантах равномерно непрерывных отображений . Вестн. Каз. Нац. ун-та
80
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) #1 (34), 2017\ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
- 2013.- №3 (78).- С. 56-60. 1986. - 752 с.
5. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир,
МЕТОД ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ И ЗАТЯГИВАНИЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ_
Алыбаев Курманбек Сарманович
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшая метематики, г. Жалал-Абад
Матанов Шерали Маматжанович
аспирант кафедры высшая метематики, г. Жалал-Абад
АННОТАЦИЯ
Явление затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущен-ных уравнений с аналитическими функциями относится к мало исследован-ной области. В ранних работах исследованы некоторые классы таких уравне-ний.
Основная задача заключалась при некоторых условиях на правые части уравнений исследовать на явление затягивание потери устойчивости.При этом не исследованы сформулировнные условия на необходимость и доста-точность.
В данной работе для сингулярно возмущенных уравнений первого порядка сформулированы достаточные условия затягивание потери устойчи-вости.
ABSTRACT
Phenomenon of delaying the loss of stability for singularly perturbed equations with analytic functions refers to less investigated area. Several types of such equations were investigated in early works.
The main task concluded to research phenomenon of delaying the loss of stability under some conditions on right parts of equation. For all that formulated conditions were not investigated for necessity and adequacy. In this work for the first order singularly perturbed equations were formulated adequacy condition of delaying the loss of stability.
Ключевые слова: сингулярно возмущенные уравнения; аналитические, гармонические функции; затягивание потери устойчивости; линии уровня; погранслойные линии; пограничные слои.
Keywords: singularly perturbed equations; analytic, harmonic functions; delaying the loss of stability; level lines; boundary-layer lines; boundary layers.
Введение
Пусть
ег'(р,е) = 2^)г^,е) + д^е.Ь.г^.еУ), (1)
г(С0,е)=г°;
где Ь€[а, Ь] - отрезок действительной оси;
^ ИеА(1)<0 при а <Ь < а0,ИеА(а0) = 0, Re2.it) > 0 при
а0 < С <Ъ.
При е = 0 из (1) получим вырожденное уравнение:
АОМО + д(0^,и^)) = 0,
Пусть (2) Ч1е[а,Ь] имеет изолированное решение и0(£).
Пусть выполняются следующие условия:
1. Ч1е[а,Ь] существует г^.е) - решение задачи (1) - (2) (При выполнении и и определенных условий для правой части уравнения.
2. ^1е(а,Ь\Мтг(1,£) = щф
При выполнении условий 1 -2 будем говорить, что для гО;, е) на (а, Ь] происходит затягивание потери устойчивости.
Явление затягивание потери устойчивости впервые обнаружено в [1] для одного двумерного с.в.у. Далее в [2-4] результаты этой работы обобщены на более широкий класс систем с.в.у. В [5] разработан метод линий уровня исследования таких систем.
Нужно отметить, что в перечисленных все функции входящие в правые части являются аналитическими функциями в некоторых областях уравнений. Как правило областью изменения аргумента является некоторая область в комплексной плоскости, содержащая отрезок действительной оси типа [а, Ь].
Аналитичность правых частей уравнений для явления затягивание потери устойчивости является только достаточным условием. В [6] рассмотрены с.в.у. правые части, которых не являются аналитическими и доказано что для решений рассматриваемых уравнений происходит затягивание потери устойчивости.
В [7] было в ведено понятие погранслойной линии в теории сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями на комплексной плоскости.
Также было показано, что погранслойные такие линии естественным возникают для возмущенных сингулярно уравнений, что можно рассматривать как специфическое свойство таких уравнений.
В данной работе применяя метод погранслой-ных линий сформулируем достаточные условия явления затягивание потери устойчивости.
