Задачи уточнения моделей прогнозирования определяющих характеристик композиционных конструкций и методы их решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

перспективы XXI века. Достижения и перспективы нового столетия. Россия г. Новосибирск, №II(18)/ 2015

3. Чочиев Т. З. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка. // XII МНК, ЕНО Итоги науки в теории и практике 2015, ISSN 2411 - 1899. Москва с. 13-18

4. Чочиев. Т. З. О другом варианте исследования уравнения Риккати. ISSN 3385-8879 XVI МНПК. «Отечественная наука в эпоху изменении» // постулаты прошлого и теория нового времени. 7(12)/ 2015. Часть 3. с. 18-24. Екатеринбург.

ЗАДАЧИ УТОЧНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ_

Гусев Евгений Леонидович

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

ИПНГ СО РАН, г. Якутск, Россия Профессор кафедры прикладной математики Института математики и информатики Северо-Восточного Федерального

университета, г. Якутск, Россия

АННОТАЦИЯ

Исследуется проблема разработки эффективных, уточненных методов прогнозирования ресурса, надежности, долговечности конструкций из полимерных , композиционных материалов, основанных на современных достижениях в области математического моделирования. Сформулированы утверждения, позволяющие выявить условия на параметры задач прогнозирования в уточненных постановках, при выполнении которых применение разработанных методов может позволить осуществлять прогноз с заранее заданной точностью.

ABSTRACT

It is researched the problem of the development effective, elaborated methods of the forecasting of the resource, reliability, longevity structures from polymeric, composite materials, founded on modern achievements in the field of mathematical modeling. Worded statement, allowing reveal condition on parameters of the problems of the forecasting in elaborated statements, when performing which using the designed methods can allow to realize forecast with beforehand given by accuracy.

Ключевые слова: полимерные композиционные конструкции, методы возможных направлений, долгосрочное прогнозирование, экстремальные климатические факторы, прочность.

Keywords: polymeric composite structures, methods of possible directions, long-term forecasting, extreme climatic factors, strength.

Введение. При разработке различных конструкций, машин и механизмов одной из важных проблем является проблема создания надежных методов количественной оценки работоспособности конструкций из полимерных и композиционных материалов [1-10]. В случае, когда полученные эксперимен-тальные данные достаточно адекватно отображают структуру зависимости изменения определяющих характеристик композиционного материала, задача восстановления параметров моделей может быть сведена к решению следую-щей экстремальной задачи:

J (u*) = min J (u ).

Вектор параметров и

(* * * \ и*, ип )

доставляющих минимум показате-лю эффективности J(u) (1), определяет оптимальную зависимость изменения определяющих характеристик, связанных с остаточным ресурсом композици-онного материала, при воздействия экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных нагрузок .

Как отмечалось в работах [2-4] эффективное решение проблемы как краткосрочного, так и

средне-, и долгосрочного прогнозирования возможно в том случае, если по результатам краткосрочных экспериментов можно выде-лить устойчивые закономерности поведения полимерных, композиционных материалов при воздействии экстремальных факторов внешней среды. Такого рода устойчивые закономерности определяются особенностями микро-, и макроструктуры конкретных видов полимерных, композиционных материалов. И установление таких устойчивых закономерностей может служить основой для разработки эффективных методов долгосрочного прогнозирования. Также в работе [2] было отмечено, что составной частью проблемы разработки эффективных методов прогноза является решение проблемы эффективного построения глобально-оптимальных решений, доставляющих абсолютный минимум многопараметрическим критериям эффективности, связанным с решением задач прогнозирования остаточного ресурса полимерных композитов при воздействии экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных нагрузок. Проблема же достоверного построения глобально-оптимальных решений сложнопостроен-ных многопараметрических критериев

эффективности в настоящее время является чрезвычайно сложной . Также работах [2-4] был сделан вывод, что методы ускоренных испытаний не могут служить достоверно обоснованным подходом к решению задач прогнозирования остаточного ресурса полимерных композитов, поскольку дать строгое обоснование методу ускоренных испытаний не представляется возможным.

В настоящее время проблемы математического моделирования задач прог-нозирования, ресурса, надежности конструкций из полимерных композитов при воздействии экстремальных климатических факторов внешней среды, решаются в значительно упрощенных постановках, не учитывающих значительное число факторов, оказывающих существенное влияние на точность решения. В частности, не учитывается свойство некорректности по А.Н. Тихонову задач прогнозирования, как обратных задач математической физики; не учитывается дополнительная информация о законах распределения ошибок измерения определяющих свойств полимерных композитов; не разработана теория построения оценок точности прогноза , применяемые методы прогнозирования остаточного ресурса полимерных композитов не учитывают современных достижений в об-ласти математического моделирования, связанных с многомерным регрессионным анализом, современной теорией распознавания образов, современным кластерным анализом.

В соответствии с этим, актуальной является проблема разработки эффек-тивных, уточненных методов прогнозирования ресурса, надежности, долговечности конструкций из полимерных , композиционных материалов, основанных на современных достижениях в области математического моделирования.

В соответствии с выводами, сделанными в работах [2-4], основу разрабатываемого подхода составляет установление новых качественных закономерностей влияния микро-, и макроструктур-ных особенностей полимерных, композиционных материалов на характер изменения остаточного ресурса под воздействием экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных наг-рузок. Включение установленных новых качественных закономерностей влияния микро-, и макрострук-турных особенностей полимерных, композиционных материалов на характер изменения остаточного ресурса, в постановку задачи прогнозирования , позволит существенно уточнить постановку задачи прогнозирования , значительно уменьшить множество сравниваемых между собой исследуемых прогнозируемых зависимостей остаточного ресурса , содержащее искомую реальную временную зависимость остаточного ресурса. А следовательно, позволит существенно повысить эффективность и достоверность прогнозирования остаточного ресурса полимерных, композиционных материалов на основе включения в постановку новой дополнительной информации о качественных закономерностях задач прогнозирования остаточного ресурса.

1. Уточненные постановки задач прогнозирования остаточного ресурса композиционных материалов и конструкций. Проведем обобщение постановок задач прогнозирования остаточного ресурса композиционных конструкций. Будем считать, что измерения остаточного ресурса Я произведены с определенными случайными ошибками, в результате чего результаты измерений, величины

^, (/ = 1,... ,т) будут являться случайными величинами. Будем считать, что Я.! - непрерывные случайные величины с законами распределения Б^) и функциями плотности вероятности р^). Пусть значения случайной величины заключены

тршт птах

в пределах от ^ до ^ Функ-ция рас-

пределения Fi (z)

z

F(z) = \ p (i = 1,..., m).

Rmin

Обозначим через Ri , R2 * ,Rm действительные значения остаточного ресурса в моменты времени ti, 12,...,tm . При этом, ошибки

измерения остаточ-ного ресурса Q = R — R*

также будут являться случайными величинами, удов-летворяющими условию

|Qi | < Qmax , (i = 1,2,..., m). (1)

Здесь Qmax - максимально допустимая погрешность измерений. Следующим уточнением постановки задачи прогнозирования является введение в постановку задачи предельно допустимой точности прогнозирования. Нижнюю и верхнюю границы временного интервала прогнозирования обозначим соответственно через Tmin, Tmax .

Определение 1. Под предельно допусти-

max

мой точностью прогноза / r будем понимать предельно допустимое отклонение прогнозируемой зависимости R(t) определяющего свойства R от реальной зависимости R (t) на прогнозируемом отрезке времени [Tnin,Tmax ]. ▼

В соответствии с введенным определением предельно допустимая точность прогноза max

/ r удовлетворяет условию

max

T ■ <t <T

min max

R(t)-R'(t)

<rRiax

(2)

Сформулируем математически задачу прогнозирования.

Постановка задачи прогнозирования. Задача прогнозирования заключается в том, чтобы на

основе кратковременных испытаний, проведенных на интервале времени [0, Ттт], т.е. на основании информации о значениях определяющего свойства Я - Я,Я2,...,Ят, измеренных в моменты времени ^ г2,..,хт(0< 1Х <х2 <... <гт = Ттт ),

спрогнозировать изменение определяющего свойства композиционной конструкции на интервале [Ттт, Ттах], с погрешностью, не превышающей заранее заданной предельно допустимой точности тах

прогноза /я (2). ▼

2.Решение задач прогнозирования остаточного ресурса композиционных конструкций в уточненных постановках. Приведем ряд утверждений, формулирующих условия , при выполнении которых применение разрабатываемого подхода позволяет осуществлять решение задачи прогнозирования остаточного ресурса в рассматриваемой постановке с заданной предельно допу-

тах

стимой точностью прогнозирования / я (2).

Обозначим через Q = (01, 02,..., Qm ) вектор

погрешностей измерения исходных данных; Я(и;1) принятую параметрическую модель прогнозирования, определенную с точностью до вектора неопределенных параметров и = (их, и2,..., ип ) ;

и - множество допустимых значений вектора неопределенных параметров и е и ; и*(0) - вектор параметров прогнозируемой модели, являющейся решением задачи прогнозирования в рассматриваемой постановке на основе разрабатываемого подхода.

Так как, совокупность погрешностей

02,...,0т рассматривается как совокупность непрерывных случайных величин, то в этом случае суммарная среднеквадратическая ошибка

$ также будет являться случайной величиной, зависящей, кроме вектора параметров и, дополнительно от случайных факторов , 02,... ,0т, связанных с погрешностями измерений:

1 _

S = S{u,Q) = -Y\R{Ul,

m£l L

U2' Um

;0-Д]

•min

usU K '

В этих обозначениях: Д = Rt(0) - измеренные значения определяющего параметра R в моменты времени ^, с учетом погрешностей измерении Qi, Q 2, • •• ,Qm • Вектор неопределенных параметров u (Q) , доставляет глобальный минимум суммарной среднеквадрати-ческой ошибке S (3) :

S (u*(Q); q)= min S (u; Q). (4)

ueU

Полагаем, что при отсутствии ошибок измерений (0=0), зависимость определяющего свойства Я от времени на исследуемом временном интервале [Ттт, Ттах] восстанавливается точно. Обозначим через Я (г) реальную зависимость определяющего свойства от времени. Параметрическое семейство функциональных зависимостей Я(и;1) для всех допустимых значений векторного параметра и е и и всех моментов времени 1 из временного интервала

[Ттт , Ттах] будем обозначать через М

M = {R(u; t), V (u, t) е U х [Г„„„, Г„1ах]},

(5)

Предполагается , что в многопараметрическом семействе моделей при строго определенном

сочетании параметров и* = (и*, и* ,...,и* ) е и может быть выделена модель для которой функциональная зависимость Я (г) = Я(и ; г) , полностью совпадает с реальной временной зависимостью определяющих параметров от экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных

нагрузок. В соответствии с этим Я (•) е М. Реальной зависимости Я (г) соответствует вектор параметров и , являющийся оптимальным решением экстремальной задачи (4) при отсутствии ошибок измерений (0=0). В соответствии с

этим

Я (г) = Я(и ; г). Основываясь на получен-

ных результатах, можно показать справедливость

max

следующих утверждений. Обозначим через /ц

- максимально допустимое отклонение вектора неопределенных параметров от вектора парамет-

* ww

ров u, соответствующего реальной временной зависимости определяющего свойства:

u - u

<

„max

Yu • (6)

Для ряда задач прогнозирования могут быть заданы предельные границы отклонения вектора неопределенных параметров прогнозируемой зависимости от вектора параметров реальной зависимости. Так, например, если априори известно, что множество и параллелепипед, так что

U = {u е En :

min ^ ^ min

Uj < u < Uj

j = n}

(7)

то величина у^ (8) может быть оценена следующим образом. Обозначим

Применяя соответствующие разложения в ряды Тейлора можно получить оценку

n

Ф max = maX таХ X

таХ „гTT Т StST i—i

j=1

dR (u; t)

dUj

(8)

R(u*(Q);t)-R(u ;t)

j=i

max mm u; - um

<

ф2

(9)

max R(u*(Q); t)-r(u*; t)<

yR.

0<t<T„

На основе данной оценки можно получить неравенство

2 2 ут

Утверждение 1. Если допустимое множество изменения неопределенных параметров U задано в виде (7), то для достижения заданной погрешности прогнозирования Ymax , на временном отрезке [Tmin, Tmax], необходимо, чтобы границы области изменения неопределенных параметров U (7) были связаны с погрешностью прогнозирования Ymax соотношением (9), где

величина Фmax определяется соотношением (8). ▼

Важное теоретическое значение полученной оценки (9) определяется тем, что она определяет, в каких пределах могут отклоняться неопределенные параметры модели прогнозирования U ■ от

оптимальных параметров модели прогнозирования

*

u , чтобы прогнозируемая временная зависимость, не выходила за пределы заданной погрешности прогнозирования ^max .

Утверждение 2. Пусть функция R(u; t) имеет непрерывные частные производные dR/ди^, j = 1,...,n для всех наборов

(u, t) gU x[0, Tmax ] . Тогда по заданному положительному вещественному числу yR > 0 , найдется такое положительное число <J0 = <J0 (yR ) > 0 , что при выполнении неравенства

||Q|| <<0yR X (10)

будет выполнено неравенство

^ sf*. \ 1 i max min \

<Ф— L(uj - uу )

.j=i

(u, t) gU x [0, TmX\ . Тогда по заданному положительному вещественному числу Уи > 0 , найдется такое положительное число (7Х = (7Х (у) > 0 , что при выполнении неравенства

\\Q\\ <°1(Уи ), (12)

будет выполнено неравенство

▼ (11)

Утверждение 3. Пусть функция R(u; 1) имеет непрерывные частные производные

дЯ / ды., ] = 1,...,и для всех наборов

u (Q) - u < Уи. ▼ (13)

Справедливо следующее более общее утверждение, объединяющее результаты, сформулированные в утверждениях 2 и 3.

Утверждение 4. Пусть функция R(u; 1) имеет непрерывные частные производные дЯ / дыJ, ] = 1,...,и для всех наборов

(ы, t) еи х [0, ТтХ\ . Тогда по заданным положительным вещественным числам

У Я > 0, у и > 0 , найдется такое положительное число (Г* = (Г*(ук,уц) > 0, что при выполнении неравенства

Q <V (УR Уи )

' (14)

будут выполнены неравенства

max R(u*(Q); t)- r(u*; t)

<yR

0<t<Tr

\u\Q) - u

<Уи.

(15)

Сформулированные утверждения позволяют выявить условия на параметры задач прогнозирования в уточненных постановках, при выполнении которых применение разработанных методов [6-8] может позволить осуществлять прогноз с заранее заданной точностью ушах .

Список литературы:

1. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.:Наука, 1984.

2. Уржумцев Ю.С. Прогнозирование длительного сопротивления поли-мерных материалов - М. : Наука, 1982. - 222 с.

3. Уржумцев Ю.С., Майборода В.П. Технические средства и методы определения прочностных характеристик конструкций из полимеров. - М. : Машиностроение, 1984. - 169 с.

4. Уржумцев Ю. С. , Максимов Р.Д. Прогностика деформативности полимерных материалов. ИМП АН ЛатвССР. - Рига : Зинатне, 1975. - 416 с.

5. Булманис В.Н., Старцев О.В. Прогнозирование изменения прочности полимерных волокнистых композитов в результате климатического воздейс-твия. Препринт, - Якутск, 1988. - 32 с.

6. Gusev E.L. Using parallel procedures for the searching of the extremum for the decision of the inverse problems prediction of the defining characteristics of the composite materials// Material Physics and Mechanics , 2016, v.26, N 1 , p. 70-72.

7. Гусев Е.Л. Релаксационные методы в прогнозировании определя-ющих характеристик при воздействии экстремальных факторов внешней сре-ды// Международный журнал Международного союза ученых «Наука. Технологии. Производство», 2015, №8, с. 4-7.

8. Гусев Е.Л. Методы, связанные с выделением перспективных направлений поиска для решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик полимерных композитов при воздействии экстремальных климатических факторов внешней среды и эксплуатационных нагру-зок//Сб. трудов Всероссийской научной конференции с международным участием (к 95-летию со дня рождения академика И.Ф. Образцова) «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред», М., ИПРИМ РАН, 2015, с. 518-520 .

9. Гусев Е.Л., Бабенко Ф.И. Методы поиска экстремума с оптимальным выбором параметров для решения задач восстановления параметров моделей прогнозирования определяющих характеристик полимерных композитов//Сб. трудов «Материалы для технических устройств и конструкций, применяемых в Арктике», М., ВИАМ, 2015, с.132-141.

УДК:515.12_

ПОВЕДЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Жумалиев Тургунбек Жолдошалиевич

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей математики и математического моделирования, Кыргызский национальный аграрный университет им. К.И.Скрябина, г.Бишкек, Кыргызстан

Ботолаева Гулкайыр Карыпбековна

Старший преподаватель кафедры Высшей математики и математического моделирования, Кыргызский национальный аграрный университет им. К.И.Скрябина, г.Бишкек, Кыргызстан

Аннотация. В данной статье исследуются поведения дизъюнктной суммы и индуктивные пределы объектов категории. С помощью изучения и исследования кардинальных инвариантов равномерно непрерывных отображений оценены поведения самих конкретных равномерных пространств тем самым и топологических пространств. Данная статья относится к работе исследования путем теории и доказательств. Доказаны теоремы 5 и 6.

Annotation. This article studied the behavior of some cardinal invariants under direct sum and inductive limits of the objects of the category. With the study and research of cardinal invariants uniformly continuous maps, evaluated the behavior of specific uniform spaces themselves thereby and topological spaces. The study was conducted using the method of uniformly continuous mappings by theory and evidence. Theorems 5 and 6 proved.

Ключевые слова: множества; пространство; семейства равномерных пространств; кардинальные инварианты; индуктивные пределы; семейство объектов; равномерно непрерывные отображения.

Keywords: set; space; family of uniform spaces; cardinal invariants; inductive limits; family of objects; uniformly continuous maps.

Введение

За последнее десятилетия идеи и методы теории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений проникают, находя успешное применение, почти во все разделы математики, при этом в основном имеются разные применения в общей топологии и функциональном анализе. Вместе с теорией равномерных пространств интенсивно развивается теория кардинальных инвариантов равномерных пространств. При построении новых равномерных инвариантов

особо большую роль играет кардинальные инварианты. Некоторые из них были введены академиком А.А.Борубаевым [2, с. 60], это квазивес и индекс ограниченности равномерных пространств. В данной статье исследуются поведения кардинальных инвариантов веса, квазивеса, псевдовеса и индекса ограниченности равномерных пространств, при прямой (дизъюнктной) сумме и индуктивных пределах равномерно непрерывных отображений.

Материалы и методы