Метод погранслойных линий и затягивание потери устойчивости для сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

- 2013.- №3 (78).- С. 56-60. 1986. - 752 с.

5. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир,

МЕТОД ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ И ЗАТЯГИВАНИЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ_

Алыбаев Курманбек Сарманович

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшая метематики, г. Жалал-Абад

Матанов Шерали Маматжанович

аспирант кафедры высшая метематики, г. Жалал-Абад

АННОТАЦИЯ

Явление затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущен-ных уравнений с аналитическими функциями относится к мало исследован-ной области. В ранних работах исследованы некоторые классы таких уравне-ний.

Основная задача заключалась при некоторых условиях на правые части уравнений исследовать на явление затягивание потери устойчивости.При этом не исследованы сформулировнные условия на необходимость и доста-точность.

В данной работе для сингулярно возмущенных уравнений первого порядка сформулированы достаточные условия затягивание потери устойчи-вости.

ABSTRACT

Phenomenon of delaying the loss of stability for singularly perturbed equations with analytic functions refers to less investigated area. Several types of such equations were investigated in early works.

The main task concluded to research phenomenon of delaying the loss of stability under some conditions on right parts of equation. For all that formulated conditions were not investigated for necessity and adequacy. In this work for the first order singularly perturbed equations were formulated adequacy condition of delaying the loss of stability.

Ключевые слова: сингулярно возмущенные уравнения; аналитические, гармонические функции; затягивание потери устойчивости; линии уровня; погранслойные линии; пограничные слои.

Keywords: singularly perturbed equations; analytic, harmonic functions; delaying the loss of stability; level lines; boundary-layer lines; boundary layers.

Введение

Пусть

ег'(р,е) = 2^)г^,е) + д^е.Ь.г^.еУ), (1)

г(С0,е)=г°;

где Ь€[а, Ь]- отрезок действительной оси;

^ ИеА(1)<0 при а <Ь < а0,ИеА(а0) = 0, Re2.it) > 0 при

а0 < С <Ъ.

При е = 0 из (1) получим вырожденное уравнение:

АОМО + д(0^,и^)) = 0,

Пусть (2) Ч1е[а,Ь] имеет изолированное решение и0(£).

Пусть выполняются следующие условия:

1. Ч1е[а,Ь] существует г^.е) - решение задачи (1) - (2) (При выполнении и и определенных условий для правой части уравнения.

2. ^1е(а,Ь\Мтг(1,£) = щф

При выполнении условий 1 -2 будем говорить, что для гО;, е) на (а, Ь] происходит затягивание потери устойчивости.

Явление затягивание потери устойчивости впервые обнаружено в [1] для одного двумерного с.в.у. Далее в [2-4] результаты этой работы обобщены на более широкий класс систем с.в.у. В [5] разработан метод линий уровня исследования таких систем.

Нужно отметить, что в перечисленных все функции входящие в правые части являются аналитическими функциями в некоторых областях уравнений. Как правило областью изменения аргумента является некоторая область в комплексной плоскости, содержащая отрезок действительной оси типа [а, Ь].

Аналитичность правых частей уравнений для явления затягивание потери устойчивости является только достаточным условием. В [6] рассмотрены с.в.у. правые части, которых не являются аналитическими и доказано что для решений рассматриваемых уравнений происходит затягивание потери устойчивости.

В [7] было в ведено понятие погранслойной линии в теории сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями на комплексной плоскости.

Также было показано, что погранслойные такие линии естественным возникают для возмущенных сингулярно уравнений, что можно рассматривать как специфическое свойство таких уравнений.

В данной работе применяя метод погранслой-ных линий сформулируем достаточные условия явления затягивание потери устойчивости.

(Р)

Основные понятия и обозначения

С - комплексная плоскость; t = t1 + it2, t1, t2 - действительные переменные, i = ^—1;

П с С и П - односвязная область; 0 < е - малый параметр;

Q(H) - пространство аналитических функций

в П;

F(t) = F1(t1,t2) + iF2(t1,t2),Fk(t1,t2) -

действительные функции двух переменных; [a, b] - отрезок действительной оси; R- множество действительных чисел. (р) [А; В] - означает кривую соединяющую точки А и В. Пусть z(t,e) е Q(n)

Из [7] заимствуем следующие определения: Определение 1. Если z(t1, е) ограничено при £ ^ 0, то будем называть точку t1 регулярной для функции z(t, е) в противном случае -нерегулярной.

Определение 2. Точку, в любой окрестности которой существуют как регулярные, так и нерегулярные точки, будем называть погранслойной точкой.

Определение 3. Любое множество регулярных (погранслойных) точек будем называть регулярным (погранслойным) множеством.

Определение 4. Погранслойное множество, являющееся непрерывным, локально взаимнооднозначным образом отрезка, будем называть погранслойной линией.

Еще введем следующее определение Определение 5. Множество (рк) = [t е n\Fk(t) = рк — const} - назовем линией уровня функции Fk (t) .

Метод погранслойных линий построения регулярных и сингулярных областей

Пусть

£z'(t,£) = A(t)z(t,e) + (p(t),

z(to,£) = Z0.

U.1. A(t),<p(t)eQ(n) и Vten-:A(t) Ф 0. t0£n и её внутренняя точка, t0 = t10 + it20. Вырожденное уравнение соответствующее (3) имеет решение

Действительно

dt1 dt2 dt2 dt1 Отсюда следует, что

\dt1 dt2 ) \dt2 dt1 J

dpA dF->

Пусть Vt е П: — Ф 0, тогда Vt еП:—Ф0.

J dt1

(3)

(4)

(5)

(6)

F(t)

F(t)-F(T)

u(t,£) = u0e £ + f e £ д(т)йт, (7)

*&) = —meQ(n)

В (3) произведя замену z(t,£) = u(t,e) + <p1(t) получим уравнение

eu'(t.e) = A(t)u(t,e) — £<Pi(t), с начальным условием

u(to,£)=z0 —^i(to) = u0 Введем обозначение —ф[(t) = g(t) е Q(n) С учетом введенного обозначения задачу (5) -(6) заменим следующим

' f

Jto

где F(t) = f A(s)ds. Как было доказано в [7]

F1(t1, t2) = ReF(t) = Re f A(s)ds = 0 (8)

является интегральным уравнением погранслойной линии.

В силу условия U.1 уравнение определяет единственную кривую (линию уровня) происходящую через точку t0 и делящая область П на части П1 и П2 .

Введем в рассмотрение линию уровня (р) = [ten V\F2 (ti, t2 )=P — const}. В силу U. 1 кривая (р) ориентированна. Линия уровня

(Ро) = [t е П\Р1^1^2) = 0} и (р) взаимно ортогональны. Вдоль (р) функция F1(t1,t2) строго монотонна, по заданной ориентации. Если учесть, что Vt е (po):F1(t1,t2) = 0, то

Vt еП1: F1(t1, t2) <0 V F1(t1, t2) > 0. Для определенности считаем, что Vt е ^F^,^) < 0 Тогда

Vt е П2\Р1(ь1,12) > 0

Для оценки u(t,£), в (7) выберем пути интегрирования.

1. Пусть t е (р0). Путь состоит из (po)[t0; t].

2. Пусть t е П^П^. Для этого случая пусть состоит из (p0)[t0, t] и (p)[t; t], t = t1 + it2.

Согласно U. 1 из уравнений F1(t1,t2) = 0,F2(t1,t2)=P Определяются (относительно t1 или t2)

однозначные, функции.

бесконечно дифференцируемые

dt2

Из уравнения Р-^-, t2) — 0 определим функцию — 2), с областью определения <х21 < < <х22. 1. Пусть t Е (р0). (7) представим в следующем виде

12

Г 1Р2д(*2),*2)-Ъд(Т2),Т2) и(^£) — и0е е + \е В д($(Т2) + Ъ)Х

x(t(T2) + i)dT2 Введем обозначения F2 (((t2), t2) = F21(t2),

д(^(Г2) + iT2) • (^'(J2) + i) = дЛ^)-

Заметим, что д1(т2) е Q(^.

t

К интегралу в (9) применяя интегрирование по частям получим

iF2l(t2)

u(t,e) = u0e е + ie

F22(t2)- F22(t20)e~sF2l(t2)

120

где Р22( .

Отсюда следует следующая асимптотическое представление:

V Ь е (р0)\и(Ь,£) = и0е^21^2) + О(е). 2. Пусть Ь е П и П2. Тогда

и(1,е) = иРеТ?11™ + & е1(р11(11)-р21(т2))дг(т2)йт2 + 20

1

+ С1 e~s(Fll(tl)-Fll(ri)) g1(T1)dT1, (10) t 1

где gi(Ti) = g(ri + Ц(ч)) • (l + i?(Ti)),Fii(ti) = Fi (tij(ti)).

Если учесть предыдущей результат, то первый интеграл в (10) имеет порядок е. К второму интегралу применяя интегрирование по частям получим

u(t,е) = еlsFll(tl)(u° + 0(е)) + £Fi2(ti) - eFi2(ti)elsFll(tl) -

-£ С1 F'i2(Ti)e-s(Fii(ti)-Fii(Ti))dTi. (11)

В ведем следующие линии уровня

(Pi) = [t Е niFi(ti,t2) = eine], fa) = {ten.lFi(ti,t2) = -elne}. Область, ограниченную (р0) и (pi) обозначим ni0; ограниченную (р0) и (р2) обозначим П20. Далее ПДПю = Пц,^^ = ^i. Будем считать, что (pi) cüii, а (p2) с n2i .

2.1.1. Пусть t Е ni0. В этом случае Fii(ti) < 0, Fii(ti) - Fii(Ti) < 0.

Учитывая это имеем

1и01 - 0(е) < lu(t,e)l < |u0| + 0(£).

2.1.2. Пусть t Е nii. Из (11) имеем u(t,£) = 0(е)

2.2.Пусть t Е П. Тогда (11) перепишем в виде

i2 (ti)e-~sFll( (

-е J~t1F'i2(Ti)e-is(Fll(^l)dri] (12)

i.

u(t,e) = eeFll(tl)[u0 + 0(е) - £Fi2(ti) + eFi2(ti)e-lsFll(tl)

Из(12) получим

elFll(tl)[lu0l + 0(е)] > lu(t,e)l > e]TFll(tl)[Iu0I - 0(e)]. (13)

Рассмотрим следующие случаи

2.2.1. Пусть Ь е П20. Из (13) получим |и0| + О(е) < |м(С,е)| <

2.2.2. Ь е П21, тогда 1и(1,е)1 ^

Основной результат Заметим, что добавление нелинейных членов

1. Согласно принятых определений 1-4: (р0) (относительно 7) в правую часть уравнения (3) - погранслойная линия; существенно не влияют на полученные

2. V£ е П10:и(1,е) ограничена, но результаты.

Нти(£, е) Ф 0 Список литературы:

г, •• ™ "" к 1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня иссле-

П10 - назовем погранслойной областью. Vt е " ^

дования сингулярно возмущенных уравнений при

^11: limU(t, £) =

£^0 нарушении условия устойчивости [Текст] / К.С.

Пц - назовем "чистой" регулярной областью. Алыбаев // Вестник КГНУ. - Серия 3, Выпуск 6. -

VЬ е П.20:и(Ь,£) ограничена, но Нти(£:,£) Ф 0 Бишкек, 2001. - с. 190-200.

П20 - назовем погранслойной областью. VЬ е П21:Ит|м(£,£)1 = 2.Анарбаева Г.М. Асимптотическое поведе

£^0

n2i - назовём "чистой" сингулярной областью. П = ni0 U nii,n2 = П20 U n2i.

ние решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесия

3. На основе проведенных построений мо- [Текст]: до... канд. физ.мат.наук: 01.01.02 /

жем сформулировать следующее достаточное ГМАнарбаева - 1993 - 120с условие затягивание потери устойчивости:

Пусть ^ содержит отрезок [а,Ь],10 = а и з. Каримов С.К. Асимптотика решений неко-

выполняется условие и. Тогда на отрезке [а, Ь] доя Торых классов дифференциальных уравнений с решения ( , ) - задачи (3)-(4) происходит

затягивание потери устойчивости.

малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости

«быстрых движений» [Текст]: дис... доктора физ.мат.наук: 01.01.02 / С.К.Каримов - Ош, 1983. -260 с.

4.Нейштадт А.И. О затягивание потери устойчивости при динамических бифуркациях [Текст] / А.И. Нейштадт // Успехи мат. наук. 1986. - Т41, Вып.4. - с. 295-299.

5.Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.Б., Нарбаев М.Р. Явление погранслойных линий и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник ОшГУ, 2013. -№ 1 (специальный выпуск).

- с. 227-231.

6. Талиев А.А. Асимптотика нелинейных сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости [Текст] / К.С. Алыбаев, А.А. Талиев // АГАО им. В.М. Шукшина, Фундаментальные науки и образование, - Бийск (Россия), 2014. - с. 89-96.

7. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных [текст] / М.А. Шишкова // Докл. АН СССР. 1973. - Т. 209, № 3. -с.576-579.

ОТКРЫТИЕ НОВОЙ ФОРМЫ МАТЕРИИ И РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕМНОЙ МАТЕРИИ. ВАЖНЕЙШАЯ ОСОБЕННОСТЬ КОЛЛАЙДЕРА

THE DISCOVERY OF A NEW FORM OF MATTER AND SOLUTION TO THE PROBLEM OF DARK MATTER. THE MOST IMPORTANT FEATURE OF THE COLLIDER

Брусин Станислав Давидович

пенсионер,

лауреат МНФ по фундаментальным исследованиям,

г. Москва. Брусин Леонид Давидович

пенсионер,

лауреат МНФ по фундаментальным исследованиям,

г. Москва.

Аннотация

Раскрывается сущность открытой бесчастичной формы материи и на этой основе решается проблема темной материи и раскрывается важнейшая особенность коллайдера, которую необходимо учитывать при исследованиях на коллайдере. Abstract

The essence of open beccattini forms of matter, and on this basis to solve the problem of dark matter and reveals the most important feature of the Collider, which should be considered in studies on the Collider. Ключевые слова: бесчастичная форма материи, темная материя, Вселенная, коллайдер. Keywords: beschestiya form of matter, dark matter, the universe, the Collider.

Введение

Государственный комитет СМ СССР по делам изобретений и открытий в 1987 г. принял на рассмотрение заявку авторов на открытие новой формы материи. Поясним, в чем дело. Почти уже 2500 лет фундаментальной основой науки является постулат Демокрита: вся Вселенная состоит из мельчайших частиц (атомов) и пустоты. Таким образом, все научные работы базируются на форме материи - частицы, образующие тела. И все современные работы начинаются с определения основополагающей частицы. Однако ученые обратили внимание на то, что в громадных пространствах между телами (в пустоте - по Демокриту) наблюдаются процессы. Поэтому эти пространства назвали поля физические, и рассмотрение процессов в этих полях обязательно начинается с определения основополагающей частицы. Пытаясь понять опыт Майкельсона, авторы пришли к тому, что на месте пустоты существует бесчастичная форма материи (б. материя) с определенными свойствами, а экспериментальным подтверждением является наглядное объяснение опыта Май-

кельсона. Ниже определим сущность бесчастичной формы материи, дадим доказательство отсутствия в ней пустоты и частиц и на этой базе приведем наглядное объяснение опыта Майкель-сона, покажем решение проблемы темной материи, а также раскроем важнейшую особенность коллайдера.

1. Сущность бесчастичной формы материи

Известно, что в космическом пространстве, заполненном этой материей, хорошо распространяются световые волны, что (по самому определению волны); свидетельствует о материальнсти среды. Докажем отсутвие пустоты и частиц в ней. Для этого применим способ, не применявшийся в современной науке: рапространим закон всемирного тяготения на взаимодействие б. материи с телами. На рис. 1 показана Земля массой М и на расстоянии R от нее небольшой объем материи массой mо. Сила F гравитационного действия на массу mо рассчитывается по приведенному на рисунке закону Ньютона и приводит к определенной плотности этой массы. Понятно, что сила F (а,