CC BY
17
нализ и синтез систем управления
УДК 517.93;517.937
К РЕАЛИЗАЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С АВТОНОМНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1
А.В. Лакеев, В.А. Русанов, В.А. Козырев
Для непрерывной нелинейной бесконечномерной динамической системы, определенной на языке ее поведения типа «вход — выход» (модель «черного ящика»), предложены различные функционально-аналитические критерии реализации данной системы в сепара-бельном гильбертовом пространстве в классе квазилинейных стационарных дифференциальных моделей с программно-позиционным управлением.
Ключевые слова: нелинейная дифференциальная реализация, автономная (А, в, В #) 2-модель, м2-продолжимость.
ВВЕДЕНИЕ
Основная цель теоретического естествознания — объяснение связанной совокупности наблюдаемых физических процессов при помощи минимального набора постулируемых понятий и выражаемых через них законов. Данная работа выполнена в русле именно этого методологического подхода с дифферентом в математические проблемы [1—11] реализации апостериорных процессов динамических систем ^-систем). Для этого в статье развит качественный подход, позволивший увидеть задачи непрерывной реализации поведения D-системы в новом «стационарно-квазилинейном» свете, отделить вопросы существования дифференциальных реализаций от процедур их вычисления [10], понять, что было недоделано в стационарной постановке [5, 9] и что еще оставалось сделать в нестационарных моделях [8], в частности, какие требуется внести коррективы в теорию М2-продолжимости, что, по мнению авторов, позволит несколько по-новому взглянуть на уже известные положения нестационарной дифференциальной квазилинейной реализации и более глубоко и всесторонне в них разобраться.
Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований № 15 ОЭММПУ РАН (проект № 2.5).
Задача реализации в ее наиболее общем виде [1, с. 21]: «это просто абстрактная формулировка научного подхода к построению моделей», поэтому далее все дифференциальные модели будут рассматриваться лишь в смысле соответствия (или несоответствия) некоторому абстрактному набору экспериментальных данных, представленных семейством вектор-функций «траектория, программное управление, позиционное управление» — экзогенное поведение динамической системы ^-системы «вход — выход» — определение 1 [6]); все остальные возможные свойства этих моделей остаются в стороне. При этом современное состояние теории дифференциальной реализации таково, что не будет преувеличением сказать: сколько-нибудь исчерпывающее изложение основных ее разделов в рамках вводной части любой работы представляет совершенно неразрешимую задачу. Однако отметим, если смотреть на реализацию непрерывных систем так, как ее формулировал Кал-ман [1, с. 353], то данная проблема по существу представляет задачу представления: отображение «вход — выход», заданное в виде свертки, требуется промоделировать системой типа «вход — состояние — выход» минимального динамического порядка. Исследование же данной работы по существу формулируется в «бихевиористической» постановке Виллемса [2] и методологически относится к теории структурной идентификации непрерывных D-систем в пространстве состояний:
исходя из произвольного наблюдаемого пучка управляемых траекторий попытаться точно смоделировать этот пучок дифференциальной системой с пространством состояний. При таком методологическом подходе, следуя логике «причинно-следственных» связей, «вход» — программное управление, а «выход» — траектория и позиционное управление. Данная постановка апостериорного математического моделирования не исключает методологического положения, когда аналитическое представление a priori нелинейного закона позиционного управления в структуре D-системы детерминируется не связью вида «state feedback», а характеризует существенную нелинейную компоненту уравнений динамики моделируемой a posteriori дифференциальной модели исследуемого физического объекта в классе квазилинейных систем.
Основной поток публикаций по качественной теории реализации развивает математическую парадигму линейных моделей (непрерывных или дискретных); это объясняется не только возможностью воспользоваться богатым аппаратом линейной математики, но и тем, что подобные модели необходимы для локального изучения уравнений динамики нелинейных объектов. И вряд ли вызывает удивление тот факт, что для нелинейных систем апостериорный анализ моделей вне локальной постановки оказываются более ограничительным; даже если речь идет о достаточных условиях реализации модели, на что, например, указывалось в статье [12]. Ситуация оказывается еще более тонкой (сильная и слабая измеримость при нестационарности, неограниченные операторы и т. п.), если апостериорно моделировать бесконечномерные нелинейные D-системы с разрывными управлениями из банаховых функциональных пространств. Поэтому данная работа нацелена, прежде всего, на преодоление методологических препятствий при «бесконечномерном» подходе реализации нелинейных непрерывных D-систем с гильбертовыми пространствами состояний и управлений.
Постановка данной работы была обозначена в выводах исследований [8, 13] и представляет собой идейное развитие результатов из публикации [9]. В методологическом плане мотивирующую предпосылку проводимых далее изысканий, в контексте теории структурной идентификации D-систем [6], по существу формулирует альтернатива для структуры автономности операторов уравнений моделируемой динамики системы [1, с. 47]: «в произвольной нестационарной системе наблюдения за прошлым поведением системы могут ничего не говорить о ее будущем». В соответствии с общим теоретико-системным направлением данного подхода основное внимание в статье обращено на геометрическое содержание аналитических положений теории с попыткой представить все результа-
ты в терминах анализа функциональных свойств оператора Релея—Ритца [6—9]. Данный путь изысканий представляется весьма привлекательным, поскольку предлагаемый анализ создает впечатление теоретической глубины, в частности, чтобы прочувствовать бихевиористические различия между стационарной и нестационарной моделями дифференциальной динамики исследуемой a posteriori управляемой бесконечномерной нелинейной непрерывной D-системы.
Результаты статьи могут служить указанием на то, в каких практических ситуациях возможно, хотя бы в принципе, рассчитывать на конструктивное решение в классе квазилинейных автономных структур в сепарабельном гильбертовом пространстве задачи дифференциального моделирования поведения «вход — выход» D-системы с программно-позиционным управлением. Конечно, понятие «существование модели реализации» является в большей степени чисто качественной характеристикой, которая, как правило, не несет информацию о том, насколько хорошо обусловлены расчеты прикладного характера. Поэтому еще раз отметим, что значение результатов работы нужно видеть и расценивать именно в свете означенной выше возможности моделирования, которая появляется, по крайней мере, тогда, когда удовлетворены аналитические условия существования математической модели квазилинейной дифференциальной реализации.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕАЛИЗАЦИИ
Везде далее (X, ||-||X), (Y, ||-||Y), (Z, ||-||Z) — вещественные сепарабельные гильбертовы пространства (структуру предгильбертовости [14, с. 64] определяют нормы ||||X, ||-|| Y, ||||Z), L( Y, X) — банахово пространство с операторной нормой |Н|д7, X) всех линейных непрерывных операторов из Y в X (аналогично (L(X, X), ||-||ад X)), (L(Z, X), ||-||дд Z))), T := [t0, tj — отрезок числовой прямой R с мерой Лебега ц и v — положительная мера, абсолютно непрерывная относительно ц и определенная на ст-алгебре pv всех v-измеримых (лебеговски пополненных) подмножеств интервала T. В дальнейшем будем часто рассматривать различные ц-отно-шения на T, введем для них символы : •=• — для равенства ц-почти всюду, •<• — для упорядочения ц-почти всюду, запись S -с- Q для множеств S, Q е р означает ^S\Q) = 0.
Пусть (B, ||||) — банахово пространство, £p(T, v, B) — пространство всех интегрируемых по Бохнеру [14, с. 189] отображений f : T ^ B с нор-
мой 11|f(т)fv(dт))l/p, ре[1, да). Как обычно, через т
Ьр(Т, V, В) обозначим банахово фактор-пространство классов v-эквивалентности в £р(Т, V, В), при этом АС(Т, В) с £1(Т, ц, В) — линейное множество всех абсолютно непрерывных функций (относительно меры ц).
Выделим к рассмотрению дифференциальные модели класса
dx(t)/dt •=• Ах(1) + Ви(0 + В#и#(х(^), (1) где х(-) е АС(Т, X) — решение Каратеодори (К-ре-шение), и(-) е Ь2(Т, ц, У) и и#(х(-)) е Ь2(Т, ц, Z) — программное и позиционное (возможно, нелинейное) управления, (А, В, В#) е Ь(Х, X) х ¿(У, X) х х Z(Z, X); для удобства тройку вектор-функций (х, и, и#(х)) из уравнения (1) тоже назовем К-ре-шением, а упорядоченную тройку операторов (А, В, В#), согласно терминологии из работы [8], — автономной (А, В, В#)2-моделью.
Нетрудно видеть, что декартово произведение Ь2 := Ь2(Т, ц, Ь(Х, X)) х Ь2(Т, ц, Ь(¥, X)) х х Ь2(Т, ц, Ц?, X))
образует банахово пространство классов ц-эквива-лентности всех (автономные + нестационарные)
(А, В, В#)2-моделей I а (A(t), B(t), В#(0) с нормой
||(A, В, B#)||L := I J(||A(t)||l(zjx) + ||В(т)||^(7>x) +
T
+ ||В#(т)|£(д X) )ц(йТ) I •
л 1/2
Далее, через Н2 обозначим Ь2(Т, ц, X) х х Ь2(Т, ц, У) х Ь2(Т, ц, Z) с нормой
||(& ?)||я:= [ Т(II&(т)|| X + 1Ит)||2у +
2 11/2 + ||д(х)|||)ц^т) j , (я, д) е Щ,
частное следствие [14, с. 64] конструкции ||-||я: И2 — гильбертово пространство. Наконец, через Ь(И2, X) обозначим банахово пространство с операторной нормой всех линейных непрерывных операторов, действующих из И2 в X.
Пусть (А, В, В#) е Рассмотрим оператор И2 а X, имеющий представление
д): = |(А(т)я(т) + В(хМх) +
+ B#(x)q(x)Mdx), (g, w, q) e H
2
(2)
согласно терминологии из [8] интегральный оператор ^ определяет некоторую ^-модель. Ясно, что ^ e L(H2, X). Верно и обратное утверждение (лемма 2 [13]): «Z e L(H2, X) ^ оператор Z имеет представление в виде ^2-модели» или, иными словами,
нет неразрешимых различий между (A, В, В#)2- и ^-моделями. В этой парадигме автономность (инвариантность во времени) (A, В, В#)2-модели в терминах ^2-модели имеет простое, но принципиальное, предложение:
(А, В, B#)eL(X, X) х L(Y, X) х L(Z, X) ^
^ \(g, w, q) = J(Ag(x) + Bw(x) + B#q(x)Mdx) =
T
= A Jg(xMdt) + В J w(xMdt) + B# Jq(xMdx),
T T T
V(g, w, q) e H2. (2')
Предложение (2') вытекает из следствия 2 [14, с. 191 ]•
Постановка задачи разрешимости дифференциальной реализации с автономной (A, В, В#)2-моделью: пусть u#: AC(T, X) a L2(T, ц, Z), П # := {(x, u, q) e AC(T, X) x L2(T, ц, Y) x L2(T, ц, Z):
H 22
(x, u, q) = (x, u, u#(x))}, N с П # — некоторое фик-
H
сированное поведение «вход — выход» D-системы с позиционным законом x a u#(x). Определить в аналитических конструкциях от семейства процессов N необходимые и достаточные условия, при которых N представляет К-решения некоторого дифференциального уравнения (1); в общем случае ограничений на Card N (мощность семейства N) не накладываем (например, Card N > Х0 — алеф-нуль).
2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕАЛИЗАЦИИ С АВТОНОМНОЙ (A, B, B%-МОДЕЛЬЮ В ВАРИАНТЕ Card N = 1
Для поведения (x, u, u#(x)) e П #, отражающего
H
процесс «вход — выход» в исследуемой D-систе-ме, выпишем две ц-непрерывные меры (с учетом [15, с. 107] любая функция x(-) e AC(T, X) обладает производной dx(-)/dt класса L1(T, ц, Х)):
v(S) := J (||x(x)|| X + ||u(x)|| Y + ||u#(x(T))||Z )ц(А),
S
S e (3)
v_(S) := J||dx(T)/dT||x ^dx), Sep
Далее считаем, что означенные меры лебеговс-ки расширены на ст-алгебры и pv . В терминах данных мер рассмотрим пространства 12(Т, V, R) и L1(T, v_, R), после чего введем ж: Ь2(Т, V, R) ^ Н2 и 11(Т, v_, R) ^ Х — линейные непрерывные операторы, действующие согласно следующим правилам:
ж(Х) := Х-(х, и, и#(х)), X е 12(Т, V, R), (4)
С(п) := 1 (п(т)^х(х)/^х)ц(^х), п е 11(Т, v_, R);
т
в теоретико-множественной модели [16] идентификации систем (1) операторы ж и £ — «конструкторы» пространств «входных» и «выходных» сигналов.
Нет такой информации о (Л, Б, Б#)2-модели, которую нельзя было бы извлечь из конструкции соответствующей ей ^-модели (лемма 2 [13]). Поэтому в аксиоматическом построении [16] теоретико-множественной интерпретации идентификационного процесса для дифференциальной системы (1) в качестве математической модели выступает не форма оператора Коши (прототип определения 1.1 [1, с. 13]), а ее представление в терминах интегральной ^-модели (реминисценция определения 1.3 [17, с. 22]). При этом в данной интерпретации (см. статью [16]) идентификационный базис задает область определения ^-модели. Есть и другие веские доводы исследовать геометрию идентификационных базисов, но далее понадобится только результат леммы 1, доказательство которой опускаем (несложная модификация теоремы 7 и следствия 4 из статьи [16]).
Лемма 1. Пусть (х, и, и (х)) е П # , V — мера
и
из (3), ж — оператор из выражения (4) и пусть О — полный образ в Н2 оператора ж. Тогда О — замкнутое подпространство в И2, при этом оператор ж: 12(Т, V, R) ^ О — линейная изометрия.
22
Замечание 1. Норма ||(х, у, г)||и := (||х|| х + ||у|| г
+ |к|| I )1/2 в произведении X х У х Z = : и наделяет последнее гильбертовой структурой. Следовательно, пространства Н2 и 12(Т, ц, и) равны с точностью до изоморфизма, осуществляющего естественное вложение Н2 в 12(Т, ц, и), поэтому резонно считать О с 12(Т, ц, и). ♦
С учетом замечания 1 введем на О конструкцию интеграла Бохнера [14], что позволяет выде-
лить в подпространстве О замкнутое нуль-многообразие вида
Ж := |к е О: {к(т)ц(йт) = 0 е ц|; (5)
в силу леммы 1 функциональное многообразие Ж замкнуто в 12(Т, ц, и) (и в Н2).
Лемма 2. В := [й е и: й = |к(т)ц(йт), к е О} —
т
множество второй категории в себе (с топологией, индуцированной из и).
Доказательство. Достаточно установить (согласно теореме Бэра — Хаусдорфа о категории [14, с. 24]), что Б — полное метрическое пространство. С этой целью построим «топологическую копию» множества Б. Перейдем к деталям.
Так как |d е Ц: d = {к(т)р^т), к е Ь2(Г, р, Ц)| = Ц, то к оператору
/(к) := | к(т)р^т), к е Ь2(Г, р, Ц),
т
применима теорема Банаха об открытости отображения [14, с. 112]. Таким образом, сужение /|о — открытое отображение на образ 1т /|о (т. е. на Б), откуда в силу теоремы 8 [18, с. 133] топология в Б совпадает с фактор-топологией, задаваемой /|о, что приводит к положению: фактор-пространство С := О/Ж и линейное многообразие Б обладают линейным гомеоморфизмом /*: С ^ Б, таким что /|о = /*°п, где п — фактор-отображение подпространства О на С. С другой стороны, опираясь на лемму 1, представление (5) и пункт (ё) теоремы 1.41 [19, с. 39], заключаем: фактор-пространство С — банахово.
Следствие 1. Линейное многообразие В замкнуто в и. Оператор /|о — открытое отображение подпространства О на В. ♦
Условимся обозначать фактор-пространство классов ц-эквивалентности всех вещественных и ц-измеримых на интервале времени Т функций через 1(Т, ц, R), и пусть У: ЛС(Т, X) х Ц,(Т, ц, У) х
х 12(Т, ц, Z) ^ 1(Т, ц, R) оператор Релея—Ритца [13]:
цЖ) :=
Ш О МП х/11g( О, * (О, ц (011 и,
если ||( g( 0, * (0, ц (0)11 и * 0; , (6)
0 е R, если ||(g(*(ц(0)11 и = 0,
где g е ЛС(Т, X), * е 12(Т, ц, У), ц е 12(Т, ц, Z).
Оператор У не стеснен рамками своих конструкций из выражения (6), более того, во второй строке он фактически «не обнуляет» информацию о динамических процессах (х(-), и(-), и#(х(-))) из П # , поскольку имеют место следующие поло-
и
жения:
— каждая функция x e AC(T, X) ц-почти всюду дифференцируема на интервале T и имеет (лемма 1 [13]) аналитическое представление в форме
x(t) = x(t0) + J dx(T)/d"^(dx), t e T;
[to, t]
— в силу леммы 3 [13] справедливо включение (по mod ц)
{t e T: ||(x(t), u(t), u#(x(t)))|U = 0} -с- {t e T:
dx(t)/dt = 0}, (7)
следовательно (в задаче реализации), на множестве моментов времени
{t e T: ||(x(t), u(t), u#(x(t)))|U = 0}
функция t a *F(x, u, u#(x))(t) согласно первой строке выражения (6) «не теряет информацию» о поведении (x(-), u(-), u#(x(-))) e П # (вне зависимо-
H
сти от факта наличия или отсутствия дифференциальной реализации (1) данного динамического процесса).
В формулировке следующей теоремы (в известном смысле она является пропедевтической к теореме 4, см. далее) выписаны наиболее компактные (на взгляд авторов) соотношения между понятиями, с одной стороны, поведения D-систе-мы как апостериорного динамического процесса «вход — выход», а с другой, как К-решения некоторого дифференциального уравнения (1); см. далее также замечание 5.
Теорема 1. (x, u, u#(x)) e П # — К-решение не-
H
которого уравнения (1) в том и только в том случае, если для соотношений (3)—(6), индуцированных
(x, u, u#(x)), выполняется ж 1( W) с Ker Z совместно с одним (любым) из двух условий:
а) 3 c e (0, да): v_(S) < c (ц(S))1/2(v(S))1/2, VS e рц;
б) 3 c e (0, да): ¥(x, u, u#(x))(t) •<• c. Замечание 2. Подтверждение одного из условий
а) или б) обеспечивает (см. замечание 1 [8]) непрерывное [20, с. 322] вложение £2(T, v, R) с £1(T, v_, R), что делает корректным (см. (4)) анализ операции
ж 1(W) с Ker Z на классах ц-эквивалентности из L2(T, v, R); во избежание недоразумений следует иметь в виду, что £2(T, v, R) с £1(T, v_, R) еще не обеспечивает факт L2(T, v, R) с L1(T, v_, R) (следствие 1 [13]). Уместно также отметить, что в отличие от задачи дифференциальной реализации в редакции нестационарной (A, В, В#)2-модели (см. п. в) замечания 1 [8]), реализация (1) процесса (x, u, u#(x))
не гарантирует, но (см. следствие 2) и не отвергает единственность представления автономной
(А, В, В#)2-модели.
Доказательство теоремы 1. Приняв временно на веру перечисленные в формулировке теоремы 1 факты, покажем, что позиции а) и б) эквивалентны.
• (а) ^ б)). Пусть существует такое с е (0, да), что
< с (ц(^))1/2(у(^))1/2, V,? е р . Рассмотрим на интервале Т три абсолютно непрерывные функции:
г а у(г) := | ||йХ(т)/Л||х ц(Л), г а а(г) := с2 { ц(Л), г а р(г) := | (||х(т)|| X + ||м(т)||27 + ||и#(х(т))|| X)ц(А).
[ 'о' ']
Функции у, а и р дифференцируемы ц-почти всюду: ^у(г)/Л = ||й?х(г)/Л ||х, йЬ.(г)/Л = с2, ф(г)/с?г = (||х(г)|| X + + ||и(г)||2 + ||и#(х(г))|| X). Поэтому, приняв ? : = [г, г + дг],
дг > 0, из факта < с(ц(?г))1/2(у(?г))1/2 согласно (3)
приходим к
дг-1(у(г + дг) - у(г)) = дг-1 | ||^х(т)/Л||хц(Л) <
[' + а']
< с (дг-1 | ц(А))1/2 [дг-1 | (||х(т)|| X +
^ ['' ' + а'] ^ ['' ' + а']
+ ||и(т)|| 2 + ||и#(х(т))||Х = (дг-1(а(г + дг) - а(г)))1/2(дг-1(р(г + дг) - р(г)))1/2
и, переходя к пределу при дг а 0, получаем неравенство
¿у(г)/Л = ||йХ(г)/Л ||х < (^а(г)/^г)1/2(^р(г)/^г)1/2 = = с||(х(г), и(г), м#(х(г)))||и. Следовательно (в силу (6) и (7)), справедливо положение и, и#(х))(г) ■<■ с.
• (б) ^ а)). Пусть найдется такое число с > 0, что выполнимо ^(х, и, и#(х))(г) ■<■ с. Тогда, очевидно,
||^х(г)/Л ||х ■<■ с (||х(г)|| X + ||и(г)|| 2 + ||и#(х(г))|| X )1/2 и, следовательно, в силу интегрального неравенства Коши—Буняковского для любого подмножества ? е р имеет место у_(?) < с (ц(?))1/2(у(?))1/2.
Теперь, после краткого отступления, вызванного подтверждением а) о б), возвращаемся к основной линии доказательства теоремы 1; разобьем его на две части — «только в том случае, и «в том случае,
• (только в том случае, Пусть (х, и, и#(х)) — К-реше-ние некоторого уравнения (1) и (А, В, В#) е Д(Х, X) х х Д(7, X) х X) — его автономная (А, В, В#)2-мо-дель. Тогда (теорема 1 [13]) имеет место непрерывное вложение £2(Т, V, В) с £1(Т, у_, В), и справедлив комментарий замечания 2. Используя представление (3),
Рис. 1. Диаграмма (к доказательству теоремы 1)
автономную ^-модель (формула (2')) и уравнение (1), обнаруживаем, что
\(А(т)йх(т)/А)р^т) = Л |А(х)х(х)р^х) +
т т
+ В ]*А(х)и(х)р^х) + В# ]*А(х)/(х(х))р^х),
тт
УА е Ь2(Т, V, Я).
Откуда, принимая во внимание (лемма 1), что оператор к: Ь2(Г, V, Я) ^ О обратим (т. е. Кег к = 0 е Ь2(Г, V, Я))
и (Л, В, В#): и^ X, получаем вложение к-1( Ж) с Кег
Осталось подтвердить а) или б). Выбираем свойство б), его наличие содержит следующая цепь импликаций (с учетом неравенства Коши — Буняковского и (7)):
•=• Лх(/) + Ви(г) + В#и#(х(0)
+
дд х)||и#(х(0)|^ ^ и, и#(х))0) •<• (||Л|| |х) + ||В |
2
Ь (У, X)
2
Ь (Д X)
)1/2 =: с е (0, «)).
(в том случае, <). Пусть к 1( Ж) с Кег £ и, кроме того, отыщется такое положительное число с, что
можно утверждать: ^(х, и, и#(х))(/) •<• с; это неравенство обеспечивает (теорема 1 [13]) вложение £2(Т, V, Я) с £1(Т, v_, Я), поэтому в (4) область определения оператора £ позволительно сузить до Ь2(Т, V, Я). Покажем, что оператор Ь2(Т, V, Я) ^ Х непрерывен. Позиция б) влечет связь
||А(^х(/)М ||х ■<■ с(А2(/)(|| х(/)|| X + \Ш\\У +
+ ||и#Сх(/)>|| |))1/2, А е Ц(Т, V, Я) ^ ^ \ (А(т^х(т)М)р^т) < \ !!А(т)dx(т)/dт||X р№) <
т х т
< с (\ (А2(х)(!|х(х)!! X + !!и(т)!! У + !!/(х(х))|! | ))1/2р^х)
< с(р(Т))1/2(\А2(х)(!|х(х)!! X + !!«(х)|!У +
V т
+ ||/(х(х))|| |)р(^т)11/2 = с(р(т))1/2!!а|! т ,
!•!! т, — норма в Ь2(Т, V, Я). Таким образом, установили
непрерывность что по существу равносильно существованию некоторой £2-модели (2), необязательно с автономной (Л, В, В#)2-моделью; см. далее диаграмму и в ней сужение £|о.
Для снятия возможных затруднений, а также облегчения и наглядности дальнейших рассуждений, рассмотрим коммутативную диаграмму, представленную на рис. 1.
Здесь — тождественное отображение (индекс — область определения/значений), £ — оператор ^-модели (2), ш — оператор интегрирования на функциональном многообразии О; с учетом (5) ясно, что имеет место ш = /|о и Кег ш = Ж
Теперь построим линейный оператор С, фигурирующий в диаграмме. Для этого каждому п е Б сопоставим такое значение С(п) е Х, чтобы в целом не нарушалось свойство коммутативности диаграммы, а поскольку располагаем отношением к-1(Ж) = к-1(Кег ш) с Кег то примем С(п) = ^(к-1(ш-1(п))).
Не теряя терпения, изменим несколько вопрос: обладает ли оператор С: Б ^ Х свойством непрерывности? (Подразумевается, что топология в Б индуцирована метрической топологией из и). Оказывается, что ответ положительный.
В самом деле, если Е — открытая область в Х, то ее прообраз ^_1(Е) открыт в Ь2(Т, V, Я) поскольку (как показано выше) оператор £ непрерывен. Далее (см. диаграмму), множество к(^-1(Е)), как утверждает лемма 1, открыто в О, следовательно ш(к(<^ 1(Е))) — открытая область в Б (в силу следствия 1). С другой стороны, как несложно установить (учитывая, что к-1 (Ж) =
= к-1(Кег ш) с Кег О, имеет место ш(к(^-1(Е))) = С-1(Е), что и подтверждает непрерывность оператора С.
Наконец, структура пространства и позволяет (см. теорему 8.4.2 [21, с. 213]) осуществить линейное непрерывное распространение оператора С до некоторой автономной (Л, В, В#)2-модели (Л, В, В#): и ^ Х такой, что
^(к-1(ш-1(п))) = (Л, В, В#)(п) = С(п), Уп е Б.
В свою очередь, это означает (согласно (4)) не что иное, как
\(А(х^х(х)^х)р^х) = Л |А(х)х(х)р^х) +
тт
+ В |А(х)и(х)р^х) + В# |А(х)и#(х(х))р^х),
тт
УА е Ь2(Т, V, Я).
Последнее равенство справедливо и для характеристических функций х от подинтервалов [¿0, /] с Т, что в силу (2') приводит к представлению «смещенной
+
на вектор x(t0)» траектории изучаемого динамического процесса:
Z(Xt(x, u, u#(x)))(t) = x(t) - x(to) =
= \ (Ax(t) + Bu(t) + B#u#(x(x)))^(dx), t g T.
[ ¿0,
Дифференцирование траектории t a x(t) позволяет заключить, что (x, u, u#(x)) — К-решение уравнения (1) с операторами А g L(X, X), В g L( Y, X), B# g L(Z, X). ♦
Теорема 1 определяет «единичные» процессы в П #, обладающие автономной (A, В, В#)2-моделью
H 2
реализации, при этом ход доказательства показал: свойства а) и б) эквивалентны; слабое место теоремы — необходимо добиться легкости в исчислениях, подтверждающих или опровергающих
вложение ж-1( W) с Ker Z. В этой связи пункт (ii) следствия 2 — первый шаг в направлении констатации, что конструктивность данных исчислений может достигаться (например, теорема 1 [10], утверждение 1 [22] и т. п.) в классе конечномерных систем (1).
Следствие 2. (i) Реализация (1) процесса (x, u, u#(x)) e П # обладает единственной автономной
H
(A, В, В#)2-моделью тогда и только тогда, когда D = U.
(ii) Если dim D < да, то условия а) и б) в теореме 1 можно опустить.
3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ^-ПРОДОЛЖИМОСТИ
Определения и конструкции, употребляемые при построении теории реализации, можно получить из небольшого числа общих понятий, поэтому дальнейшее изложение основывается на изучении пространства L2, что ставит задачу определения
остальных понятий через конструкцию (A, В, В#)2-модели, в частности, это относится к понятиям М2-продолжимости [8]. В связи с этим далее вкратце излагаются, с некоторой опорой на интуицию в части решения задачи реализации, формальные определения и некоторые важные положения об общих свойствах распространения М2-операторов; естественно собрать немногие нужные понятия вместе.
Определение 1. Пусть (A, В, В#) e L2. Назовем М2-оператором линейный оператор М: H2 a L1(T, ц, X), имеющий аналитическое представление вида
M(g, w, q) := Ag + Bw + B#q, (g, w, q) e H2.
Предложение 1 [8]. М2-оператор непрерывен в топологиях от ||-||H и ||-||l ; здесь ||-||l — норма в Li(T, ц, X).
Определение 2. Пусть V с И2. Линейный оператор М#: Span V a L1(T, ц, X) назовем М2-про-
должимым, если и только если М допускает распространение до некоторого М2-оператора М:
H2 a L1(T, ц, X), т. е. М(у) = М#(у), Vy e Span V. ♦
Не стремясь на данный момент к формулировке исчерпывающего результата по характеризации свойства М2-продолжимости, приведем ее конструкцию в семействе всех линейных непрерывных операторов, действующих из пространства H2 в L1(T, ц, X) (ее очевидная мотивация — предложение 1); впоследствии эта конструкция пригодится (для доказательства предложения 3).
Пусть S e p^ и PS l: L1(T, ц, X) a L1(T, ц, X) — оператор вида: PS L(y)(t) := y(t), если t e S и PS, L(y)(t) := 0 e X при t e T\S [20, c. 13]. Оператор
PS l — линейный проектор Ps l = PS l и пространство L2(T, ц, X) с L 1(T, ц, X) инвариантно относительно PS l, что делает корректным рассмотрение аналогичного оператора PS H: H2 a H2.
Предложение 2 [8]. Пусть Eс H2 — линейное многообразие, инвариантное относительно семейства проекторов {PS H: S e p^} и М*: Ea L 1(T, ц, X) — линейный непрерывный оператор. Тогда существует М2-оператор М: H2 a L1(T, ц, X), продолжающий
М* (т. е. М(у) = М*(у), Vy e E), в том и только в том случае, если
М^, н(у) = Ps, l0М*(У), VS e p^, Vy e E, (8)
что означает коммутативность следующей диаграммы (рис. 2).
Следствие 3 [8]. Непрерывный линейный оператор М: H2 a L1(T, ц, X) является М2-оператором тогда и только тогда, когда для любого S e p^ справедливо
М0PS, H(•) = PS, ♦
Рис. 2. Диаграмма (к предложению 2)
Пусть Vс H2 и М#: Span Va L1(T, ц, X) — некоторый линейный оператор. Чтобы получить с помощью предложения 2 действенный критерий продолжимости М# до М2-оператора, необходимо последовательно:
— расширить линейную оболочку Span Vдо линейного многообразия E с И2, инвариантного относительно семейства проекторов {PS H: S e p^};
— построить для оператора М его линейное расширение М* на образованное линейное многообразие E;
— показать непрерывность оператора М*;
— проверить для линейного расширения М* выполнение условия (8).
Решение трех последних из перечисленных задач содержит предложение 3, тогда как первая из них — это предмет анализа следующей леммы.
Лемма 3. Пусть V с H2 и E := Span{PS H(y): S e p , y e Span V}. Тогда:
а) E — наименьшее линейное множество в H2, содержащее Span V и инвариантное относительно семейства проекторов {PS H: S e p^};
б) если y e E, то найдется натуральное k такое, что существуют y1, ..., ykс Span Vи Sv ..., Sk e p^
такие, что y = Z PSi н(уг), S, n S. = 0, i ^ j
1 < i < k '
(i, j = 1, k).
Замечание 3. В геометрическом разложении
y = Z PSi Hy,) можно считать, что u Si исчер-
1 < i < k ' 1 <k
пывает весь интервал T, поскольку если u Si —
1 < i < k "
собственное подмножество интервала T, то, обозначив через Si + , множество T \ u S, и приняв
" + 1 1 < i < k "
у. + 1 = 0, получаем разложение вектор-функции
y = Z Ps. н (у,-), u S" = T. Таким об-
1 < i < k + 1 '' 1 < i < k + 1
разом, далее примем, что в представлении y =
= Z PS н (у) подмножества S1, Sk e pu об-1 < i < k '' ^ разуют дизъюнктное разбиение временного интервала Т.
Доказательство леммы 3. (а) Инвариантность (и минимальность) линейного множества E следует из вполне прозрачного соотношения P*, н°PyM н = P*, n *** H.
(б) Доказательство этого утверждения проведем индукцией по числу k в следующем представлении: y g E,
У = Z Ps, H(У,), S g p y. g Span V, i = 1, ..., k.
1 < i < k '
Индуктивный шаг. Рассмотрим сумму Z PS н (У) +
1 < i < k ''
+ P,y, Н(У *), где S,. n Sj = 0, i * j, У,, У * g Span V, i, j = 1, ..., k. Положим S/ := S* n S,, S- := S,\S*,
S'" := S*\ u S.. Тогда подмножества S/ , Si' и S"' 1 < i < k ' 11
попарно дизъюнктны и, кроме того, S,. = S/ u S",
S* = S"'" u ( u S" ), поэтому
1 < i < k
PS', h(У,) = Ps; h(У,) + Ps;; h (У,), 1 < i * k,
Ps. н(У*) = Z Ps'h(У*) + Py--- н(У*).
1 < i < k '
Последние соотношения позволяют завершить доказательство:
Z PS',H (У,) + Py, н(У*) =
1 < i < k '
= Z (Ps'H(У,) + Ps/; h (У,) + Ps;h(У*)) + Py--- н(У*) = 1 < i < k ' ' '
= Z (Ps; h(У, + У*) + Ps;; h (У,)) + Ps--; НУ*). ♦
1 < i < k ' '
Легко видеть, что доказательство леммы 3 опиралось исключительно на структуру линейной оболочки, натянутой на множество {PS Hy): S e p^, у e Span V}, которое по факту нелинейно. Это любопытно хотя и не очень важно, важно другое — предшествующая лемма вкупе с предложением 2 позволяют дать следующую компактную формулировку аналитического результата по М2-продол-жимости.
Предложение 3. Пусть V с И2 и М#: Span V a a L1(T, ц, X) — линейный оператор. Тогда для М2-продолжимости оператора М# необходимо и достаточно, чтобы в L2(T, ц, R) нашлась такая функция t a 9(t) •>• 0, что
||М#(y)(t)||x •<• 9(t)||y(t)|U, V у e Span V. (9)
Доказательство. (Необходимо, Если
M(g, w, q) := Ag + Bw + B#q — некоторый М2-оператор, продолжающий М , то, разумеется, имеет место
!|М#(у)(0||х ■=■ ||М(/)У(/)|Х■<■ ф(0!!у(0!|№ V У g Span V,
9(t) = (!|A(t)|! L (XX) + !!B(t)l! |( YX) + !!B#(t)!lL(zx) )1/2;
из сказанного следует, что функция <р принадлежит классу L2(T, ц, R).
(Достаточно, Пусть E с Н2 — линейное многообразие из формулировки леммы 3. Рассмотрим линейный оператор М*: E a L 1(T, ц, X), действующий согласно установки М*(y) := Z PS. l °М#(у,), где y, y,. g E,
1 < i < k ''
S. g p , 1 < i < k, в силу леммы 3 и замечания 3 связаны следующими конструкциями:
У = Z Ps h(У,), У, g Span V, S. n S. = 0, i ^ j,
1 < i < k ' J
u S,. = T, i, j = 1, ..., k. 1 < i < k '
Покажем, что оператор М* определен корректно, т. е. его значение от любой вектор-функции у е Е не зависит от представления у = £ н(у.).
1 < г < к ''
Пусть у е Е и у = £ Ру, н (у) = £ Ру н (у.), где
1 < i < k
1 < j < г '"
= , К и {S,}, = , r — некоторые фиксированные дизъюнктные разбиения интервала Т, а y, у. е Span V, 1 < i < k, 1 < j < r. Тогда семейство подмножеств {S- S-. = S; n S,, 1 < i < k, 1 < j < r} также образует разбиение отрезка Т. Далее, положим y, := y; — y, Так как y(t) '=' y,(t) '=' y,(t) в T, то yг..(t) ■=■ 0 на каждом S-, поэтому в силу (9) ||М#(y1j-)(t)||x '<■ 9(t)||y,7(t)||
U '— 0 при
yWIIU
t е S- и, таким образом, М (y-=- 0 в S^,-. Следовательно, M#(y;)(t) '=' M#(y,.)(t), t е S- Но в этом
случае, обозначив через z'(t) := 2 PS l °М#(у;) и
1 < i < k ''
z"(t) := ^ PS l °M#(y;), для этих функций получаем
1 < j < r '' J
цепь равенств z(t) = М#(у.)(0 '=' M#(y)(t) = z'(t), t е S^,-. Учитывая, что система подмножеств {S-.^ < ; < К 1 <- < r образует дизъюнктное разбиение интервала Т, приходим к заключению, что имеет место соответствие z(t) -=- z'(t) для точек из Т, и значит линейный оператор М* определен корректно.
Для доказательства непрерывности отображения М*, очевидно, достаточно проверить, что для М* справедливо соотношение (9) (в этом случае непрерывность оператора М* следует из интегрального неравенства Гельде-
ра). Пусть (как и прежде) y = 2 PS . H (У;), У; е Span V,
1 < i < k ''
где {S;}; = i к — разбиение отрезка Т. Тогда из М* (у) =
= 2 Ps l °М#(у) следует, что М* (y)(t) = М#(у.)(0, 1 < i < k '
t е S;, откуда в силу (9) для у. будет ||M(y)(t)||X =
и< 9(t)||y(t)||U |Г-почти всюду в S;, а значит и для р-почти всех точек интервала Т. Для завершения доказательства остается подтвердить для оператора М* свойство (8).
Пусть y е E, y = 2 Ps. н(У;), У; е Span V, S; n S. = 0,
1 < i < k '
i ф j, 1 u< kS; = 7, i, j = 1, ..., k и S с 7. Тогда PS, H(y) =
= 2 PS, H ° PS,H (Уi-) = 2 Ps n S:, н откуда в силу 1 < i < k ' 1 < i < k '
конструкции оператора М*, введенной выше,
М* ° Ps н(У) = 2 Psn S, l ° М#(У;) = 1 < i < k '
= 2 Ps, L ° Ps, l ° М#(У;) = 1 < i < k '
= Ps, l ° 2 Ps, l ° М#(У;) = Ps, l ° М*(У). ♦ 1 < i < k '
Пусть V с H2. Линейному оператору М#: Span V ^ ЬДТ, ц, X) из формулировки предло-
жения 3 сопоставим нелинейный оператор Ф: Span V ^ L(T, ц, R) вида
w, q)(t) :=
:= j||M#(y)(t)||x/||yи, если \\y(vф 0;
10, если ||y(ОН и = 0. '
Далее в геометрии поглощающего множества следуем [14, с. 42]: множество Q в векторном пространстве L является поглощающим, если для любого y е L можно указать такое а е (0, да), что ay е Q; если L — нормированное пространство, то не только каждая ограниченная окрестность нуля (п. (а) теоремы 1.15 [19, с. 19]), но и ее граница с нулем — поглощающее множество. Через Биррф : = {t е T: ф(?)-Ф-0} обозначим носитель функции ф е L(T, ц, R); в такой постановке каждый носитель определяется с точностью до множества меры нуль.
Следствие 4. Пусть V с И2, М#: Span V^ LX(T, ц, X) — линейный оператор и Q — некоторое поглощающее множество в Span V. Тогда М2-продол-
#
жимость оператора М эквивалентна совместному выполнению условий:
supp||M#(y)||x -с- supp||(y)||u, Vy е Q;
3Ф е L2(T, ц, R): Ф(у)(0 •<• ф(0, Vy е Q.
Замечание 4. В контексте использования оператора Релея—Ритца первое условие конструктивно: пусть M#(y) := dg/dt, y := (g, w, q) е AC(T, X) x x L2(T, ц, Y) x L2(T, ц, Z), тогда supp||dg/dt||X -с-•с- supp||(g, w, q)||u — прямое следствие (7).
4. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
ДЛЯ ПУЧКА ПРОЦЕССОВ В ПОСТАНОВКЕ Card N £ ¥
Следствие 4 и замечание 4 наводят на мысль, что метод оператора Релея—Ритца может быть продуктивным в анализе существования реализаций
как нестационарных, так и автономных (А, В, B#)2-моделей в обстоятельствах Card N < да; поэтому сейчас подробно исследуем соответствующее построение.
Начнем с небольшого уточнения порядковых свойств пространства L(T, ц, R). Пусть < l — квазиупорядочение в L(T, ц, R) такое, что фх < l ф2 для фр ф2 е L(T, ц, R) тогда и только тогда, когда
Часто бывает полезно охарактеризовать сложный объект, определяемый многими переменными и параметрами, с помощью скалярной функции. Оператор Ф — пример такого рода. Без особой натяжки его можно назвать обобщенным оператором Релея—Ритца; в его конструкции нетрудно угадать, как прототип, оператор (6).
фДО •<• ф2(^. Наименьшую верхнюю грань функционального подмножества F с L( Т, ц, R) обозначим supLF, если эта грань существует для F в структуре квазиупорядочения <l.
Следующая теорема опирается на следствие 4, находясь в тесной связи с замечанием 4, так как
использует представление оператора М в виде
М#^, w, q) = dg/dt, (g, w, q) e Span N, N с П
#; до-
H
казательство теоремы не приводим, оно — прямая компиляция отмеченных только что положений и теоремы 2 [13].
Теорема 2. Пусть N с П # , Q — некоторое пог-
H
лощающее множество в Span N и ¥ — оператор Релея—Ритца. Тогда задача реализации разрешима в постановке
3 (А, В, В #) e L2: dx/dt = Ax + Bu + В #u #(x),
V(x, u, u#(x)) e N, в том и только в том случае, если имеет место одно (любое) из условий
3 Ф e L^T, ц, R): ¥(g, w, q) < l9, V(g, w, q) e Q;
3 supL¥(Q) & 3 ф e L2(T, ц, R): supL¥(Q) <l Ф.
Замечание 5. Существует — см. п. б) теоремы 17 [23, c. 68] — счетное подмножество Q* с Q, такое, что для второго условия теоремы 2 функцию ф := supL¥(Q) определяет следующая sup-конс-трукция
t a ф(/) = sup{¥(g, w, q)(t) e R: (g, w, q) e Q*}.
Заметим, что даже 1 < Card N < да влечет Card Q — мощность континуума; это положение отличает теорему 1 (когда Card N = 1) от теорем 2—4 и дополнительно мотивирует задачу инвариантного расширения реализации из [13]. ♦
Модель (А, В, В #)
e L2 из теоремы 2 не обязана быть автономной, поэтому ниже соединим представление функции ф с поиском ответа на вопрос: какой вид имеет верхняя оценка supL¥(Q), если
(А, В, В #)
2-модель в реализации N автономная?
Представление функции ф, связанное с ответом на поставленный вопрос, едва ли не очевидно из свойства б) в формулировке теоремы 1.
Теорема 3. Пусть N с Пн# — поведение D-сис-темы, Q — поглощающее множество в Span N, ¥ — оператор Релея—Ритца и хТ — характеристическая функция интервала T. Тогда задача дифференциальной реализации в постановке
3 (А, В, В#) e L(X, X) х L(Y, X) х L(Z, X):
dx/dt = Ax + Bu + В#u#(x), V(x, u, u#(x)) e N имеет решение только в том случае, если отыщется такое число c > 0, что
¥(g, w, q) < l cxT, V(g, w, q) e Q.
Доказательство. Если (А, В, B ) — некоторая автономная (А, В, В#)2-модель, для которой К-решения уравнения (1) содержат семейство процессов N, то
dg(t)/dt ■=■ Ag(t) + Bw(t) + В#q(t), V(g, w, q) g Q ^
^ ||dg(t)/dt ||x ■<■ llA !!l(x, X )llg(t)llx + !!B !!l(y; X)!!w(t)!!y +
+ IB#!!x)llq(t)llz, V(g, w, q) g q ^
22 ^ Y(g, w, q)(t) ■<■ (!AIli(X X) + IIBII L(Y X) +
+ IIB#!! L(Z, X) )1/2 =: c g (0, да), V(g, w, q) g Q. ♦
Теорема 3 не имеет обращения и таким образом дает паллиативное решение задачи реализации в классе уравнений (1). Поэтому выясним, какие требуется внести коррективы с целью полной разрешимости данной задачи реализации.
Следуя утверждению леммы 3, минимальное линейное многообразие EN, содержащее N и инвариантное относительно семейства проекторов {PS н: S e p^}, имеет представление EN := Span{PS н^): S e p , у e Span N}; удобное совпадение: замы-
М-
кание [En] множества EN в И2 линейно (пункт (с) теоремы 1.13 [19, c. 18]) и инвариантно относительно проекторов из {PS н: S e pn}. Далее, пусть
ю
N := J\ En, := J\ [En], Dn := Im (образ оператора raN). Следующая лемма обобщает лемму 2 и следствие 1 (доказательство аналогично выводу леммы 2).
Лемма 4. DN — множество второй категории в себе (с топологией, индуцированной из U). Оператор raN: [En] a DN — открытое отображение. ♦
Разберем теперь, как действует сужение ^-модели : En a X в предположении, что ^-модель существует в контексте общего решения задачи реализации семейства N с П # (термин «общего» оз-
H
начает, что (А, В, В #)2-модель реализации не обязана быть автономной). С этой целью введем в рассмотрение линейный оператор ZN: EN a X, являющийся алгебраическим расширением с {PS ^у): S e p^, у e Span N} на EN с H2 оператора, осуществляющего Ps н^) a J (dg(x)/dxMdT), где у =
S
= (g, w, q) e Span N, S e p . В общем случае не
3
факт, что оператор ZN является непрерывным , более того, непрерывность ZN — эквивалент существования поскольку в этом случае формула (8) — это эквивалент равенства ZN(y) = ^N(y), у e EN (следствие свойства (3) [14, c. 32]). Теперь самое
Подчеркнем, что топологическая структура линейного многообразия Ем индуцирована из Н2.
время подвести итог: оператор непрерывен всякий раз, когда предъявленное семейство процессов N таково, что существует интегральный оператор ^. В такой постановке через п^ обозначим линейное непрерывное распространение на [Е^] (теорема 8.4.1 [21, с. 211]). Следующая теорема перекрывает теоремы 1, 3; конструкции Q и ¥ прежние.
Теорема 4. Семейство процессов N с П # харак-
и
теризуется К-решениями некоторого уравнения (1) в том и только в том случае, если
Кег с Кег ^
и, кроме того, найдется такое вещественное с > 0, что справедливо условие а):
м>, д) <ь схТ, V(g, м>, д) е О, или, что равносильно, условие б):
у_(5) < с(ц(^))1/2(у(^))1/2,
) := |(М| X + Ит)|| 27 + ||д(т)|| |)ц(А), б
Б
VS е V(g, д) е О.
При этом дифференциальная реализация (1) динамических процессов N будет единственной тогда и только тогда, когда 1т = и.
Замечание 6. Каждое из свойств а) или б) в действительности эквивалентно существованию квазилинейной (возможно нестационарной) реализации семейства процессов N и для каждого из них есть различные методологические основания именно его принять за аналитическую основу в зависимости от контекста решаемой задачи моделирования. При этом необходимо оговориться, что теорема 4 не сводится к «механическому» расширению теоремы 3 по той простой причине, что автономность «в чистом виде», т. е. без свойства
ограниченности операторов А, В, В# в структуре
(А, В, В#)-модели дифференциальной реализации (1), характеризует вложение Кег ш^с Кег ^, тогда
как свойство а) (равносильно б)) характеризует признак ограниченности данных операторов; в силу этого положения в конечномерных ^-системах позиции а) и б) можно опустить.
Доказательство теоремы 4. Не будет преувеличением сказать, что доказательством уже по существу располагаем; его наиболее прозрачный способ доставляет прямая (и от того вполне рутинная) модификация вывода теоремы 1 с заменой в выкладках множества Б на а подпространства О на [Ед] соответственно, оператора к на а £ на Все возможные затруднения при трансформировании вывода теоремы 1 к доказательству теоремы 4 снимаются, как только замечаем, что, во-первых, осуществляется а) ^ б) (см. начало до-
Рис. 3. Диаграмма (к доказательству теоремы 4)
казательства теоремы 1), во-вторых, установление теоремы 4 сводится, ступая почти «след в след» выводу теоремы 1, к подтверждению коммутативности диаграммы (с учетом поправок из доказательства идентичной теоремы 1), представленной на рис. 3.
Таким образом, все, что нам нужно — это установить эквивалентность двух включений (вызванных переходом от многообразия к его замыканию [Е^]):
Кег с Кег ^ ^ Кег с Кег
С учетом сделанных ранее построений Кег с с Кег ^ Кег с Кег ^ — результат положения, что операторы и п^ суть линейные расширения и Наоборот, Кег с Кег ^ ^ Кег с Кег п^ — прямое следствие непрерывности отображений и ^ (для ^ это следствие выполнение условия а) или б)). ♦
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В истории естествознания проблемы «оптимизации адекватности» математических моделей, описывающих наблюдаемые физические процессы, всегда были центральными4. В этом контексте любая область науки, связанная с математическим моделированием, старается выработать соответствующий аналитический аппарат, в частности, концепция адаптивного управления [1, с. 64] привела к постановкам реализации/идентификации систем, в которых первым шагом исследования является задача существования апостериорной математической модели исследуемого объекта в заданном классе уравнений [1, с. 356]. Поэтому в работе не ставились вопросы построения конкретных процедур дифференциальной реализации; важность данных вопросов не подвергается сомнению, так, например, в работе [10] специализированы результаты структурно-параметрической идентификации на случай нелинейного позиционного управления при неполном измерении вектора состояния, в работе [5] — на случай идентификации части спектра эллиптического оператора волнового динамического процесса нормально-гиперболического типа.
Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретических изысканий
Кеплера.
Достаточно упомянуть «Альмагест» Птолемея и законы
4
по качественному анализу вопросов существования дифференциальных реализаций непрерывных квазилинейных систем:
— системы с неограниченным интервалом времени Т [24];
— гиперболические системы [20, с. 456] (эта задача естественно появляется в связи со многими вопросами прикладной теории реализации [5, 22]);
— Мр-продолжимость и дифференциальные
системы с (А, В, B#)р-моделями из Lp, p е (1, да), включая квазилинейные системы с запаздываниями Тр т2, ..., тк при представлении в уравнении (1)
соответствующего закона u#(x(t — тх), x(t — т2), ..., x(t - Tk));
— квазилинейные дифференциальные включения [25] в банаховом пространстве X, когда
u#(x(t)) с Zили u#(t, x(t)) с Z — непустые, не обязательно выпуклые, компактные множества при каждых (t, x(t)) е T s X;
— парадигмы апостериорного математического моделирования (структурно-параметрической идентификации) нелинейных позиционных законов u#(x) в контексте выполнения теорем 2 и 4 с приложением к задачам восстановления внутренних источников/стоков эллиптико-псевдопарабо-лических систем [26] на базе их нелинейной дифференциальной аппроксимации [27, с. 392].
ЛИТЕРАТУРА
1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971. — 400 с.
2. Polderman J.W., Willems J.C. Introduction to mathematical systems theory: A behavioral approach. — N.-Y.: Springer-Verlag, 1998. — 424 p.
3. Данеев А.В., Русанов В.А. Об одной теореме существования сильной модели // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 8. — С. 64—73.
4. Данеев А.В., Русанов В.А. Геометрические характеристики свойств существования конечномерных (А, В)-моделей в задачах структурно-параметрической идентификации // Там же. — 1999. — № 1. — C. 3—8.
5. Данеев А.В., Русанов В.А., Русанов М.В. От реализации Кал-мана—Месаровича к линейной модели нормально-гиперболического типа // Кибернетика и системный анализ. — 2005. — № 6. — С. 137—157.
6. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Принцип максимума энтропии в структурной идентификации динамических систем. Аналитический подход // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 11. — C. 16—24.
7. Данеев А.В., Лакеев А.В., Русанов В.А. К теории реализации сильных дифференциальных моделей. II // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2005. — Т. VIII, № 2. — С. 46—56.
8. Русанов В.А., Козырев В.А., Шарпинский Д.Ю. К теории реализации квазилинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 5. — С. 82—95.
9. Русанов В.А. К качественной теории реализации квазилинейных систем в гильбертовом пространстве // Доклады РАН. — 2008. — Т. 421, № 3. — C. 326—328.
10. Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. К теории структурной идентификации нелинейных многомерных систем // Прикладная математика и механика. — 2010. — Т. 74, вып. 1. — С. 119—132.
11. Heij C, Ran A.C.M., van Schagen F. Introduction to Mathematical Systems Theory: Linear Systems, Identification and Control. — Berlin: Springer-Verlag, 2006. — 166 p.
12. Van der Schaft A.J. On realization of nonlinear systems described by higher-order differential equations // Mathematical Systems Theory. — 1987. — Vol. 19, N 3. — P. 239—275. См. русс. перевод: Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высшего порядка // Теория систем. Математические методы и моделирование / Под ред. А.Н. Колмогорова, С.П. Новикова. — М.: Мир, 1989. — С. 192—237.
13. Русанов В.А., Антонова Л.В., Данеев В.А. К обратным задачам нелинейного системного анализа. Бихевиористический подход // Проблемы управления. — 2011. — № 5. — С. 14—21.
14. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
15. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. — М.: Мир, 1970. — 456 с.
16. Данеев А.В., Русанов В.А. Геометрический подход к решению некоторых обратных задач системного анализа // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 10. — C. 18—28.
17. Месарович М, Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. — М.: Мир, 1978. — 312 с.
18. Келли Дж. Общая топология. — М.: Наука, 1981. — 432 с.
19. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 448 с.
20. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966. — 500 с.
21. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. — М.: Наука, 1967. — 416 с.
22. Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю, Козырев В.А. Инструментальный программный комплекс разработки и моделирования алгоритмов идентификации дифференциальных уравнений динамики больших стержневых систем // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2010. — № 9. — С. 13—17.
23. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 742 с.
24. Колмогоров А.Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений / А.Н. Колмогоров. Избр. тр.: т. 1. Математика и механика. — М.: Наука, 2005. — С. 296—300.
25. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Наука, 1986. — 296 с.
26. Сергиенко И.В., Дейнека В. С. Идентификация параметров эллиптико-псевдопараболических распределенных систем // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 4. — С. 28—50.
27. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. — М.: Мир, 1975. — 687 с.
Статья представлена к публикации членом редколлегии академиком РАН С.Н. Васильевым.
Анатолий Валентинович Лакеев — д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск, ® (3952) 45-30-21, И [email protected],
Вячеслав Анатольевич Русанов — д-р физ.-мат. наук, гл. науч. сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск, ® (3952) 36-50-93, И [email protected],
Владимир Александрович Козырев — аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения.
