CC BY
39
УДК 517.93, 517.937
© В. А. Русанов, Л.В. Антонова, А.В. Данеев, А.С. Миронов
О ФОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ РЕАЛИЗАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МИНИМАЛЬНОЙ ОПЕРАТОРНОЙ НОРМОЙ1
Проведено изучение необходимых и достаточных условий существования нелинейных дифференциальных реализаций управляемых бихевиористических систем (динамических систем Я. Виллемса) в классе квазилинейных дифференциальных уравнений с минимальной операторной нормой в равномерно выпуклом банаховом пространстве.
Ключевые слова: динамическая система, дифференциальная реализация с минимальной операторной нормой.
© V.A. Rusanov, L. V. Antonova, А. V. Daneev, A.S. Mironov
ON THE FORMAL REALIZATIONS OF SOLVABLE DYNAMICAL SYSTEMS WITH MINIMAL OPERATOR NORM 1
The study of necessary and sufficient conditions for the existence of nonlinear differential implementations of managed behavioral sciences systems (dynamical systems, J. Willems) in the class of quasi-linear differential equations with minimal operator norm in uniformly convex Banach space.
Key words: dynamical systems, differential implementation with minimal operator norm.
Введение
Теория реализации изучает [1, с. 21] проблему апостериорного математического моделирования уравнений состояния прогностической динамической системы в её наиболее чистом виде, когда модель рассматривается лишь с точки зрения соответствия (или несоответствия) некоторому фиксированному набору экспериментальных данных [2], представленных пучком вектор-функций «траектория, программное управление, нелинейное позиционное управление» - бихевиористиче-ская модель [3] динамической системы (D-системы); при этом подходе все остальные возможные свойства исследуемой модели остаются в стороне. В данном контексте в [4,5] были изучены характеристические критерии формальной разрешимости задачи дифференциальной реализации на произвольных пучках (фиксированных семействах) управляемых динамических процессов в сепарабельных банаховых пространствах, в частности, равномерно выпуклых [5]. В них рассматривались понятия и отношения наиболее общего вида. Дальнейшая задача заключается в более глубоком конструктивном изучении дифференциальной реализации; желательно привести общие свойства разрешимости в связь с моделями более конкретными, допускающими «непосредственное» изучение, при этом либо понять, что к означенной задаче применим уже существующий аппарат, либо изобрести новый.
Обсуждая роль математики в формулировании физических законов и выводе из них прогностических следствий, необходимо отметить часто возникающее соответствие между глубиной физической теории (когда лежащие в её основе физические идеи и представления чрезвычайно тонки и глубоки) и степенью элегантности ее математического аппарата. И хотя бесполезно было бы пытаться сколько-нибудь полно описать взаимодействие между математикой и науками из ряда прогностического моделирования, остановимся, однако, на одном важном аспекте этого взаимодействия, представляющем значительный методологический интерес.
Внешний мир настолько сложен, что ученый-естествоиспытатель бывает доволен, если ему удается уловить и понять хотя бы некоторые самые простые из присущих миру закономерностей. Для этого он вводит упрощенные и идеализированные модели (в частности, и квазилинейные), освобожденные от маловажных и усложняющих дело подробностей-деталей и отражающие, как он надеется, наиболее существенные свойства рассматриваемых физических объектов. В ходе этого процесса, грубо говоря, дело обстоит так: вопрос о выборе класса модели решает ученый-естествоиспытатель, после этого свою роль выполняет МАТЕМАТИКА, позволяющая дедуктивно
1 Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН (проект № 2.5).
выводить заключения уже только на основе предложенного модельного класса. Все это достаточно хорошо известно и вряд ли требовало дальнейшего обсуждения, если б не обстоятельство «множественности» моделей, которое может возникнуть в обстоятельствах, когда апостериорных данных не достаточно, чтобы определить (в означенном классе) модель однозначно. Исходя из этих соображений, кажется оправданным классифицировать эти модели на основе решения вспомогательной задачи оптимального моделирования на базе формального критерия, интерпретированного некоторым ясным физическим контекстом.
1. Постановка задачи дифференциальной реализации нелинейной бихевиористической ZJ-системы с минимальной операторной нормой
Везде далее (Х,||-||х), (Г,||-||у) и (Z,||-||z) - вещественные сепарабельные банаховы пространства, ДГД) - банахово пространство с операторной нормой ||-||ц7д) всех линейных непрерывных операторов, действующих из Y в X (аналогично L(X^X), |Н|щ-д) и L(Z.X). ||-||д2Д)), Т.= \ - отрезок чи-
словой прямой R с мерой Лебега ц и v - положительная мера, абсолютно непрерывная относительно ц и определенная на ст-алгебре ц. всех v-измеримых (лебеговски пополненных [6, с. 73]) подмножеств из Т, черезр, д^1,со) обозначим сопряженные числарЛ +<:/'= 1 [6, с. 145].
Пусть (5,||-||в) - банахово пространство, £,(7.v./i). г^1,да) - пространство всех интегрируемых (по Бохнеру [7, с. 189]) отображений / /' с нормой Ц/[|ды:= =(1 iM'0l|/v(<iT))1/r. Как обычно, L,(7.v./i) - банахово фактор-пространство классов v-эквивалентности в £,(/'. v./i). через А('(/./])(£,(7.ц./j) - линейное множество всех абсолютно непрерывных функций (относительно меры ц).
Определим (/i.||• 11/;)-пространства с дополнительной структурой:
Определение 1 [7, с. 182]. Банахово пространство (5,||-||в) называют равномерно выпуклым, если каково бы ни было s > 0, существует такое 8 = 8(в) > 0, что из ||х||в< 1, ||у||в< 1 и ||х-у||в> в (х, у^) следует неравенство ||х + у||в< 2(1-5).
Замечание 1. а) Есть перефразировка: банахово (5,||-||в) равномерно выпукло, если из ||х||в< 1+8, ||у||в< 1+8,||(х + у)/2||в > 1 следует ||х-у||в —>0 вместе с s—>0.
б) Любое гильбертово пространство (G,||-||g) будет a fortiori равномерно выпукло согласно [7, с. 182] характеристической формулы «предгильбертовости»
IIх + У11о2 + ||х - y||G2 =2(||x||g2 + ||у||Д Vx, уgG.
в) Всякое равномерно выпуклое пространство рефлексивно [7, с. 182].
Выделим к рассмотрению дифференциальные модели класса
dx(t)/dt=A(t)x(t) + B(t)u(t) + B#(t)u#(x(t)), (1)
где xeAC(TJf) - решение Каратеодори (^-решение), ие Ь9(77,ц,У) и u#(x)eLq(T,\i,Z) - программное и нелинейное позиционное управления, Lp{T,\iJ^{XJC))x х ЬД/.ц./Х Y.X))yLl,(T.\i.IiZ.X))'. в
целях удобства вектор-функцию (x.u.ii (х)) из (1) тоже будем называть ^-решением, а тройку опе-ратор-функций (А,В,В ), согласно терминологии из [5], - (А,В,В ^-моделью дифференциальной системы (1).
Теперь введем несколько важных конструкций. Обозначим через
Lp.= Lp(T,yiMXM^P(T,yiMYM^P(T,yiMZM
банахово пространство классов ц-эквивалентности всех (А,В,В*)р-моделей (упорядоченных троек оператор-функций из уравнений (1)) с нормой
||(ЛД5#)||Ь:=
= (J" А№(ъ)\\ихх>Р + \\B{t)\\l(YX)P + ll^#(T)llL(zx>P)ll(^T))llP■
Через (Нф\\-\\н) обозначим пространство-произведение (с нормой)
Нц:=Lt;( 7\\Х) X Lt;( 7ц. Y) х Lt;( 7|i.Z).
Il(g,w,v)||ff:= (I r(||g(x)||x‘?+ ||w(t)||79+ \\v(x)\\zq)]i.(dx))y\ (g,w,v)etf„
которое, как полное (в силу конструкции нормы |Н|я), является банаховым. Далее, через {L{Hq^),\\-\\L(Hjc) обозначим банахово пространство с операторной нормой всех линейных непрерывных операторов, действующих из Нч в X.
Пусть (А,В,В*)е Lр. Рассмотрим оператор с: Hq->-X. имеющий представление
£(g,w,v):= j r04(x)g(T) + 5(t)w(t) + 5#(т)у(т))ц(б/т), (g,w,v)&Hq; (2)
ясно, что c;g L(HqX): по терминологии [5] оператор 2, - ^-модель. Для обратного утверждения: «Се L(HqrX) => оператор С, имеет аналитическое представление (2)», требуются mutatis mutandis уточнения и рассуждения (см. лемму 2 [5]).
В задачах апостериорного моделирования уравнений динамики сложных управляемых динамических процессов понимание физической природы функционирования исследуемой D-системы, представленной процессами «вход-выход», не всегда достаточно для определения структуры её математической модели; например, допустима ли линеаризация уравнений модели на основе анализа полученных экспериментальных данных. В такой постановке возникает следующий методологический вопрос: какой из возможных математических структур модели следует отдать предпочтение при имеющихся входных и выходных данных? На самом деле, в большинстве практических случаев, ответ на означенный вопрос должен быть одним из первых шагов в построении математической модели D-системы. Следуя этой парадигме, началом в исследовании дифференциальной реализации системы часто служит следующая обратная задача системного анализа [4,5]: Разрешимость дифференциальной реализации на пучке процессов2:пусть
/(•): AC(TJ)^Lq(T,v,Z), 9<1,оо),
ЛШИ# :={(х,м,у)е1С(ГД)хЦ(Г,ц,7)х (3)
xLt;(7-.|i.Z): (x,u,v) = (х,и,и#(х))}
где N - фиксированное экзогенное поведение типа «вход-выход» исследуемой D-системы с нелинейным позиционным управлением и#(х), заданным a priori. Определить необходимые и достаточные условия, при которых пучок динамических процессов N представляет /\-рсшсния некоторого дифференциального уравнения (1); ограничений на Card N (мощность пучка N) не накладываем (например, допустимо положение, когда Card N> К0 - алеф нуль).
При построении дифференциальной реализации для фиксированного семейства процессов (3), как правило (даже для конечномерных систем (2)), имеем дело не с одной системой уравнений реализации (2), а с целым семейством систем [10], что выдвигает задачи построения «оптимальных реализаций» по некоторым формальным критериям (речь не идет о минимальных реализациях [11, с. 165]). Данные постановки допускают несколько математических трактовок, а именно, -можно исходить из задачи «оптимальной реализации» в структуре пространства L(HqJC) по критерию нормы ||-||дяд) (см. раздел 3), или пространства Lp по критерию нормы ||-||L (раздел 4); см. так же замечание 3° и пример 1 [12]. Начнем с задачи существования реализации с минимальной операторной нормой в пространстве (L(HqrX),||-||дяд))-
Перейдем к деталям. Банахово пространство X по геометрии локально выпукло, следовательно (т.к. пространство сопряженное X разделяет на X точки), интегральный оператор Г: Lp-^L(HqrX), осуществляющий согласно (2) соответствие
Г(А,В,В#):= с. (4)
2 Означенная постановка дифференциальной реализации D-системы не исключают методологического положения, когда закон и*(х) детерминируется не по принципу «state feedback», а характеризует существенную «нелинейную компоненту» в уравнениях динамики (1), моделируемых a posteriori [8], опираясь (и развивая) на результаты теории геометрии и#(х)-поверхностей [9].
линейный гомеоморфизм ipso facto (лемма 2 [5]) между линейными множествами всех (А.В.В )р- и
Ъ,р- моделями (дифференциальными и интегральными моделями), при этом {А,В,В )р- и с;/Г модели (4) будем называть Г-изоморфнъши [13, с. 124]. Здесь уместно отметить, что [13, с. 124] эквивалентные нормы ||-||х, 11-11 на X а,||-||Л-<||-| <а2||-||х, aba2>0ei? не определены однозначно, но тоже «производят» изоморфизм (A,B,lf)p- и с;/Г моделей для и {I.{H4X).\[\\I(II v f. как правило,
обычно в каждом случае для рассматриваемого изоморфизма существует естественный (прагматический) выбор нормы ||-|| , и он может быть «по-своему хорош» (по крайней мере, практически оправдан в некоторой физической интерпретации).
Определение 2. Для динамических процессов (3) дифференциальную реализацию (1) с t,p-моделъю £mindjHnX). для которой при (Х,||-|| ) имеет место
Штт\\инх>= тт{||^||дяд> £, - оператор (2) некоторой реализации (1) семейства процессов (3)},
назовем реализацией оптимальной по критерию операторной нормы ||-||дяд> при этом (А.Н.Н )р-модель Гл{ £,mm) назовем \\-\\цдх)-оптимальной с (Х,||-|| ).
Стоит подчеркнуть, что можно провести четкую физическую границу между оптимизацией по критерию нормы Н'НцяД) ИЛИ по критерию нормы ||-||L; несомненно, при желании здесь тоже можно найти новые темы для размышления.
2. Распространение линейных ограниченных операторов с сохранением линейности и нормы
Все выдающиеся достижения математического моделирования связаны с тем, что оно позволяет абстрагировать определенные свойства наблюдаемых объектов и наблюдаемых отношений между ними и чисто логическим путем выводить новые свойства и новые отношения, которые можно затем проверить экспериментом. При этом в самой математике новая теория обычно начинается с того, что постулируется ряд новых математических свойств. Как скоро убедимся, вопрос о существовании £,тт-модели для N решается в зависимости не только от аналитической структуры пучка N, но и от метрических структур пространств «входных» - Нц и «выходных» — X сигналов пространства операторных ^-моделей L(HqrX).
Определение 3 [13, с. 246]3. Система множеств называется сцепленной, если каждая пара множеств из этой системы имеет непустое пересечение, при этом будем говорить, что линейное пространство х есть пространство структуры sJi, если (х,||-||9?) является нормированным пространством, каждое сцепленное семейство замкнутых шаров которого имеет непустое пересечение.
Заметим [13, с. 246], что всякое нормированное пространство х типа 9? - банахово. Действительно пусть {х„} - сходящаяся в себе последовательность элементов пространства х. Обозначим через гп значение sup{||xm-x„||9?: т>п} и рассмотрим семейство {<SV„(x„)}„=i>2, замкнутых шаров радиусов гп с центрами в х„. Это сцепленное семейство, поскольку при т>п будет ||xm-x„||9?< гп и, следовательно, x„eeSr„(x„) n Srm(xm). Если х - пространство типа 9?, то существует элемент ха, входящий в каждый из шаров Srn(xn), т.е. имеем ||x-x„||9i< гп («=1,2,...) и поскольку гп—> —>0, то х„—>х. Тем самым полнота пространства х установлена.
Следующие два предложения установлены Нахбиным [14].
3 Простейшим примером пространства типа 5И является вещественная числовая прямая. Действительно, замкнутый шар в этом пространстве представляет собой замкнутый промежуток. Рассмотрим поэтому сцепленное множество {[яа^а]} («в\) замкнутых промежутков и проверим, что это множество имеет непустое пересечение. Фиксируем ДЛЯ ЭТОГО некоторое а е\. Поскольку промежутки |«„./)„! И 1 имеют общие
точки, каково бы ни было ае\, то аа*<Ьа (ае\). Следовательно, а<г<\п({Ьи\ ае\}. А так как а е\ произвольно, то отсюда д»=5ир!да: ае\]< <тГ!/>а: ае\| =/> . Таким образом, любая точка промежутка \a-.h ] входит в каждый из промежутков |д„./>„ |. что в конечном итоге и доказывает исходное утверждение.
Предложение 1 4 Пусть (Н,||-||н) - нормированное пространство и О1- линейное множество, содержащееся в Н. Пусть, далее, - линейный непрерывный оператор, отображающий О в нормированное пространство (х,||-||9!) типа 9?. Тогда существует линейное непрерывное распространение оператора ^#, отображающее пространство Н в пространство х, причём выполняется
||^+1кн,х)=||^#||до,х>
Доказательство. Линейное множество О*, состоящее из всех элементов вида сссо*+е>, где со* - фиксированный элемент из Н, аё(. назовём элементарным расширением линейного множества О. Покажем вначале, что условия предложения позволяют всякий оператор £, ё\И ,х) линейно распространить с сохранением нормы на любое элементарное расширение О* множества □ ; разумеется, что речь идёт о собственном расширении, - когда ю* <£1 .
Ясно, что если распространение 2* ёХ£Т'г.х) оператора сёХП.х) на элементарное расширение О* существует, то оно определяется указанием в пространстве х элемента х*=£,*(со*), при этом, очевидно, для вектора х* должна выполняться следующая цепочка транзитивных отношений:
1|х*-^#(ю)||9!=||^*(ю*Н*(ю)||9!<
— ||^*||дп*,х) ||ю*-ю||н=||^#|Ь(П#,Х) ||со*-ю||н.
Таким образом, необходимым условием существования оператора ^*^(П*,х) является наличие общей точки х* у всех замкнутых гга-шаров <5гга(хш) с центрами, соответственно, в точках х,=с (со) и радиусами гга=Ц2, ||дп#х)||®*-®||н, где (;)(£} . Теперь покажем, что это условие является также и достаточным.
Пусть и предположим, что имеется точка х*, принадлежащая всем гш-шарам
семейства и. Условимся, что с;*(е>*)=х* и ^*(со')=ах*+с;#(со) для со'= =ае>*+сой^*. Далее, так как при а^О справедлива цепочка отношений
||£,*(со')||;к=|сх| ||х*-^#(со/а)||9?<|а|г.ш/а=|а| ||^#||до#х)||(о*-со/а||н=||^#||дп#х)||©'||н,
то £,* - линейный непрерывный оператор, переводящий О* в {ах*+2,(0)): аё{, причём
||^*||дп»х)^ ||^||до,х). Обратное неравенство очевидно. Поэтому окончательно ||£*||цп»х)=||£#1|£(п#х> Теперь остаётся показать, что шары семейства и имеют непустое пересечение, для чего (принимая во внимание посылку предложения, касающуюся задания типа 9? пространства х) достаточно проверить, что и - сцепленное семейство. Последнее очевидно, рассмотрим два произвольных шара 8г(1у(х(1у) и 15гИ"(хИ") из и. Ясно, что для этих шаров выполняется
^ш'+^ш"=||^#1ко#х)(||ю*-со'||н+||со*-со"||н)> ^||^#||дП#Х)||(®*-ю')-(®*-®")||н^ ||^#(ю'-ю")||9Н1*<о'-Хй"|к
т.е. сумма их радиусов не меньше расстояния между их центрами, следовательно, шары ЗгЮ'(хЮ') и 5>>(Хш") пересекаются5. Последнее (в виду произвольности сделанного выбора шаров из (/) означает, что семейство и сцепленное.
Вторую часть доказательства можно провести одним из канонических способов трансфинитной индукции6 (выбранным по вкусу). Можно воспользоваться либо постулатом Цермело, либо лем-
4 Необходимость введения в рассмотрение пространств структуры 91 обусловлена тем, что аналитический аппарат ^тш-моделей можно строить в рамках теории о распространении линейного оператора с сохранением его нормы [14], как плодотворного аналога классической теоремы Хана-Банаха. Ниже сформулируем и докажем предложения 2, 3 и тем самым в некотором смысле полностью охарактеризуем линейное расширение оператора <|тт-моделей с инвариантной нормой.
5 Если Б^х') и 8,”(х") - два замкнутых шара пространства г и г'+г”>||х'-х"||у[, то их пересечение непусто; например, имеет место включение г"хЧ{г'+г")+ г'х"1(г'+г")£г,(х’)г8г,'(х").
мой Цорна, либо принципом максимальности Хаусдорфа [15, с. 54]; ниже предпочтён последний способ.
Пусть Е - семейство всех упорядоченных пар (О.с;), где О - линейное множество в пространстве Н, содержащее 0.#, а 2,^(0,х) - такой оператор, что с;=с' на О и Ш\цп,х)=\\£>#\\цп#,х)- Введём в X частичное упорядочение, считая, что (для (□',£,'), (^",^")^Х если и
на О'. В соответствии с принципом Хаусдорфа в Е существует максимальное гнездо Е+.
Пусть И - множество всех таких линейных множеств О пространства Н, что (ОД) & для некоторого с^(О.х). Тогда /) линейно упорядоченно относительно теоретико-множественного включения и, таким образом, 0 =и{0: Оё)} - линейное множество. Если со<£} . то, очевидно, ооеО. для некоторого Оё). Далее, положим с ((о)=с;(о)). где ^^(П,х) - оператор, составляющий вместе с О пару (О.с)еХ . Несложно проверить, что оператор с, корректно определён на О . к тому же он линеен, совпадает с 2, на О и удовлетворяет на О соотношению
8ир{||^+(ю)||9!: ю^2+, ||ю||н<1} = ||^#||до#х).
Если бы О оказалась собственным линейным множеством в Н, то конструкция, приведённая в первой части доказательства, позволила бы продолжить (элементарным расширением) 2, на большее линейное множество с сохранением всех нужных свойств, а это противоречило бы максимальности гнезда Е+. Поэтому 0 =Н и, таким образом, с ^.(Н.х) при \\^+\\ь(н,х)=Ш#\\цп#,х)- Доказательство завершено.
Условие (на структуру пространства х) распространения линейного оператора с сохранением операторной нормы, сформулированное в предложении 1, является так же и необходимым (см. ниже предложение 2), для установления этого свойства нам понадобятся некоторые приготовления, скомпонованные в лемме 1.
Лемма 1 ? Допустим, что Б - произвольное бесконечное множество и Г(Л') - семейство всех заданных на Б вещественных ограниченных функций. Тогда, если для любых фиксированных функций /'/"ё°°(5) положить
\\гли=ыР{\т-гт*£}, (5)
то (1”(<5),|Н|оо) ~ банахово пространство типа 9?.
Доказательство аналогично рассуждениям, приведенным в сноске 3.
Предложение 2. Банахово пространство (х,||-||х) будет типа '.И. если какое бы банахово пространство (Н ,||-||н) ни взять, всякий непрерывный линейный оператор, отображающий произвольное подпространство из Н в х, допускает линейное непрерывное распространение с сохранением операторной нормы на всё Н.
Доказательство. Пусть Л' - шар сопряженного пространства х . Тогда, очевидно, х -подпространство в Г(Л'). при этом существует (см. [13, с. 241]) линейная изометрия пространства х на подпространство в х**, таким образом, установили, что х суть подпространство в Г (Л). Теперь рассмотрим тождественный оператор 1х: х—>х. По условию предложения оператор 1х допускает распространение 1ь: 1°°(5)—»х, такое, что операторная норма 1ь совпадает с нормой оператора 1х и равна 1. Следовательно, 1[ - линейный непрерывный проектор из Г (Л) на х, имеющий норму 1. Согласно леммы 1 Г (Л') - пространство типа 9?. Очевидно, что тип 9? сохраняется при проектировании с нормой единица, поэтому х - пространство типа 9?. Предложение доказано.
Замечание 2. Установлено (см. [14]), что банахово пространство обладает типом 9? в том и только в том случае, если оно линейно изометрично банахову пространству С(<2), где О — экстремально несвязный компакт; напомним, компакт О называется экстремально несвязным, если замыкание всякого открытого множества из <2 открыто-замкнуто [13, с. 366] (так например, - любое
6 Обычная математическая индукция доказывает, что теорема верна для всех конечных положительных целых чисел, упорядоченных «по возрастанию». Трансфинитная индукция по существу использует тот же метод, но распространяет его на вполне упорядоченные множества трансфинитных ординальных чисел.
7 Не трудно показать, теорема 1.2.19 [6, с. 35], что Г(.V) с метрикой ||-||ш - полное метрическое пространство, сходимость в котором означает равномерную сходимость соответствующей последовательности функций.
конечное множество с дискретной топологией; в разделах 3, 4 более детально рассмотрим этот вариант О).
Для описанной выше конструкции аналитического решения задачи расширения линейного непрерывного оператора, сохраняющего норму, существует двойственный процесс (предложение 3), который установил и развил Какутани [16].
Предложение 3. Пусть (Н,||-||н) - фиксированное нормированное пространство, Е - произвольное линейное множество в Н, X- произвольное банахово пространство и пусть с;_: Е—- линейный непрерывный оператор. Тогда, чтобы существовал с;+ - линейный непрерывный оператор такой, что
Н—\\К\\тгг\\и\тг), необходимо и достаточно, чтобы Н по структуре было предгильбертово, т.е.
IIх + У11н2 + ||х - у||н2 =2(||х||н2 + ||у||н2), Vx, уИ.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением достаточности, поскольку именно к ней в дальнейшем (теорема 2) и будем апеллировать, при этом будем считать, что (Н,||-||н) - гильбертово пространство. Обозначим через Е замыкание множества Е; Е — подпространство пространства Н. Так как Е плотно в Е, то распространение оператора с_ на Л с сохранением нормы возможно по теореме 2 [13, с. 245]. Поэтому, не уменьшая общности, можно с самого начала считать, что Е -подпространство. Далее, обозначим через Р оператор проектирования [13, с. 202] пространства Н на подпространство Е и положим Е, (х)=с_°Р(х). \/хеН. Тогда линейность, непрерывность и Ш+\\тг>=Ш#\\тг> оператора 'С вытекает из
||^(х)||х<||^_1кад||Дх)||я<
^11^1дад11^1кн,1?)||х||н=||^_||дад||х||н,
так как ||/>||/.ш,/;-1=1 согласно пункта с1) [13, с. 202]. Доказательство завершено.
Предложения 1-3 составляют (как скоро убедимся) «краеугольные камни» геометрического фундамента в решении задачи дифференциальной реализацией оптимальной по критерию операторной нормы ||-||дяд> Правда остается открытым вопрос:8 как «согласуется» структура бесконечномерного сепарабельного банахова равномерного выпуклого пространства с геометрией пространство типа 9?? Какой в такой постановке можно получить результат, показывает следующая лемма.
Лемма 2. Предположим, что (Х,||-||х) - некоторое вещественное бесконечномерное сепарабельное банахово равномерно выпуклое пространство. В этом положении найдется такое множество Б, что X - замкнутое подпространство пространства (Г°0$),|Н|оо), при этом норма ||-||х - сужение на X нормы 11 * 11оо.
Замечание 3. В разделах 3, 4 ограничимся рассмотрением локально-компактных Г(Л'). поэтому не будем в этом разделе глубже вдаваться в вопросы сепарабельности подпространств в Г (Л).
Доказательство. Пусть Л' - замкнутый шар единичного радиуса с центром в нуле сопряженного пространства^*. Далее, поскольку Xбудет рефлексивно (см. теорему 2 [7, с. 182]), то X-замкнутое (в силу полноты X) подпространство в Iх(Л), при этом согласно пункта (Ь) теоремы 4.3 [17, с. 106] и формулы (5) будут выполнены следующие «сочлененные» равенства:
||х||х=зир{|<х,5>;г|:
где <у>х — каноническая билинейная форма, устанавливающая двойственность между пространствами X и Х\ Этим лемма доказана.
8 Не трудно показать (§ 4.6 [13, с. 40]), что любое бесконечномерное пространство /“(5) с метрикой ||-||от всегда (!) несепарабельное.
Заметим, что построенный в приведенном доказательстве Л'-шар пространства X является ст <?, А") - ко м пакт н ы м (теорема Алаоглу-Бурбаки [13, с. 118]), - иногда этот геометрический факт бывает полезен.
3. Разрешимость задачи дифференциальной реализации с минимальной операторной нормой и локально-компактным пространством выходных сигналов
Одна из целей, проводимых в этом разделе исследований, - выявить связь теории реализации и теории расширения операторов, которая обогащает каждый из этих разделов математического моделирования возможностью интерпретации в другом разделе. Такая взаимосвязь между различными разделами теории математического моделирования ломает зачастую искусственное её деление на различные предметные «области» и подчеркивает существенное единство этой теории.
Ниже понадобятся некоторые дополнительные конструкции. Обозначим через L(77,(j,,i?) пространство классов ц-эквивалентности всех вещественных ц- измеримых на Т функций и пусть <L -квазиупорядочение в ЦТ^цД) такое, что ф|<| ф2. когда фьф2^(77,ц,Л) и при этом ф|(/) < ф2(/) ц-почти всюду в Т. Наименьшую верхнюю грань для подмножества Wd,{T,\i,K) обозначим supL W, если она существует для W в структуре частичного упорядочения <L. Далее, примем U:=XxYxZ и введем энтропийный оператор Релея-Ритца Y: А('(7’.X)х Lt;(7ц.Y)хLt;(7ц, Z) —> L(7). построенный согласно «поточечного правила» на промежутке Т (для конечномерного U данная конструкция была впервые рассмотрена в статье [18]):
\\\dg{t)idt\\x{\\g{f)\\xq+ 1К0Н/+ \m\zqyllq,
I если (g(t),w(t),v(t)) ф 0eU,
'F(g,w,v)(0:H
[0d?, если (g(t),w(t),v(t)) = 0eU;
корректность оператора определяется теоремой 2 [7, с. 182] и теоремой 2.1 [19, с. 16]; данные теоремы «обеспечивают» существование вектор-функции dg(-)/dt. Везде далее Fr(-) - граничный оператор [20, с. 51] на семействе подмножества некоторого (фиксированного) топологического пространства.
В общих предположениях раздела 1 (сепарабельность и равномерная выпуклость пространств X, Y, Z) нельзя доказать общую теорему, дающую необходимые и достаточные условия формальной разрешимости дифференциальной реализации с минимальной операторной нормой. Поэтому, прежде всего, естественно поинтересоваться (в контексте определений 2, 3), когда все нормы в пространстве выходных сигналов (А'.Ц-Цд-) эквивалентны (Х,||-||9?)? Например можно спросить какова при этом характеристика топологии в пространстве X, или (с учетом важного замечания 2) структура пространства ( (О): поскольку пространство X должно быть нормируемо, то оно как минимум должно быть локально выпукло, что ниже предполагается по умолчанию. Теорема 2 [13, с. 127] и теорема 1.22 [17, с. 24] содержат ответы на эти вопросы, - топология в X должна быть локально компактна (!) и это обеспечивает наличие (условие) Card Q < оо; важно отметить, что в такой постановке в геометрической структуре пространства входных сигналов Нч пространство (А'.Ц-Цд-) вовсе не обязано быть типа 9?.
Теорема 1. Пусть Ndlu#, Sр. :=Span {(#.и-.v)eAC(7\Х)хLt;(7ц.Y)хLt;(7ц.Z): (g,w,v)e еN} с топологией индуцированной из Нч. Fr - граничный оператор в Sp v. © - ограниченная выпуклая окрестность нуля в Sp , и X -локально-компактно. Тогда пучок динамических процессов N обладает £,mm-моделью при (X,||-||9i) в том и только в том случае, если существует функция fpeLyj(7’.|ll./^). 0 <Lcp такая, что
supL'I/(Fr(0)) = ф.
Замечание 4. Выпуклость окрестности 0 не носит «принципиальный» характер (можно опустить), она лишь упрощает технические детали доказательства, исключая потенциально-возможные «патологии» геометрической структуры множества 0 как «произвольной» окрестности нуля в линейном многообразии Sp v.
Доказательство теоремы. Необходимость очевидна (теорема 2 [5]), докажем справедливость достаточных условий. С этой целью рассмотрим линейное множество £1:={о)ё^ц: 37,сГ. Э(£,м/,у)&>, оз = %7;-(£.и’.у)}. где Хтг ~ характеристическая функция подинтервала Тг= .
Перейдем к частностям.
Условимся, что линейное множество О наделено топологической структурой, индуцированной из пространства Нч. В такой постановке, как показано в доказательстве теоремы 1 [21], формальный идентификационный процесс (1-процесс [22]), организованный на 1-базисе О . определяет в силу теоремы 2 [23] единственную идентифицируемую ^-модель в идентификационном пространстве (Х(П#Д),Зо) (здесь 3<2 - 1-классификация на 1ХИ.Х). имеющая 1-базисе О [22, 23]), оператор которой обозначим через с. Так как пространство выходных сигналов (Х,||-||9?) является пространством типа 9?, то оператор Е, в силу предложения 1 можно линейно с сохранением нормы распространить на Нч. Пусть с; - такое распространение. Очевидно, что (А,В,В )/Гмодсль /''(с ) (её существование гарантировано леммой 2 [5]) будет (А ./].71)/Гмодслью в дифференциальной реализации семейства процессов N Покажем, что оператор с; отвечает прочим условиям ^тт-модели (по отношению к ТУ). Допустим, что в семействе (А,В,В#)Р-моделей для множества N существует такая, что для её Г-образа £,* справедливо \\^*\\инх) < \\^+\\тх) = Но в этом случае будет
||^*|П#||цп#х>- тем самым пришли к противоречию, поскольку имеет место с;'!|СГ = ^#. До-
казательство завершено.
К существованию £,тт-модели можно подойти с иной методологической позиции, нежели представленной теоремой 1. С этой целью в доказательстве заменим предложение 1 предложением 3, которое характеризует Нч в условиях, когда X— произвольное равномерно выпуклое пространство; данная характеризация определяет Нч при с/ = 2 как унитарное пространство (когда X, 7, 2 суть гильбертовы), поэтому ответ на такую методологическую постановку ниже даёт:
Теорема 2. Пусть ТУсЕ1и# и в Ь(Н2гХ) пространство Xравномерно выпукло (но не обязательно гильбертово). Тогда для дифференциальной реализации N существует £,тт-модель в Ь(Н2гХ), если Н2 гильбертово (т.е. Х,У,2- гильбертовы).
Как и следовало ожидать, вариант, когда пространство входных сигналов Н2 гильбертово, а выходных сигналов X типа 9! обладает дополнительными преимуществами при построении ^тт-модели; присвоим такой £,тт-модели структуру Н~>}\ (или, равнозначно, - Я29^:;|Т1т-\10дсль). Это особенно проявляется в том случае, когда множество N суть одноэлементное. Поэтому в оставшейся части будем считать, что Саге! N = 1 (вполне частый практический случай) и
Я2:=Ь2(7'.ц./Г)/Ь2(741./Г)/Ь2(7'.ц.^).
где В", В.т и В.к - евклидовы пространства, а В" в 1ХН2М") имеет норму ||х||тах>ди= =тах{|хг|: 1 </<«}, со1(хь...,хп) = х и 7У*:={(х*,и*,г/(х*))}, где (х*,и*,и#(х*)) - фиксированная тройка вектор-функций из П„ с//2. При этом дополнительно предполагаем, что ТУ* имеет реализацию (1); все возможные затруднения снимаются, как только замечаем, что характеризация этого положения (в силу теоремы 1) является
ч^мад),
где ¥ - оператор Релея-Ритца. Далее, условимся также, что ю*:=со1(х*,и*,и#(х*)) и, соответственно, ю ,/:=(<(» ,ю >Кп+т+к)~1 со\(с1х 1/Ж,...Дх п!сИ), где <-,->Кп+т+к - операция скалярного произведения в пространстве К1 т , с1х ,/с/1 - /-ый элемент вектора с1х /Л. Доказательство следующей теоремы прозрачно в силу следствия 5 [24]9.
Теорема 3. Для ТУ* существует Н2%-Ъ,тт-модель с Г-изоморфной (А,В,Е?)2-моделью (А,В,В*)ё^,2, у которой аналитическое представление имеет вид
И*(0Ж(0,Я>)]=®^(0[®(0]', (6)
9 Формула (6) - очевидная конкретизация общей конструкции (6) [24].
при этом норма Н2У\-^,тт-модели равна тах!<г<„(| d2(t)\x(dt))1'2, где ю*л - i-ая координата век-
тор-функции со d, [•]' - операция транспонирования матрицы.
Теоремы 1-3 не отвечают на важный вопрос: имеет ли задача построения Я2 9 ? -с ГТ1, п - м о д с л и единственное решение? Следующее утверждение даёт удивительно простой (и одновременно конструктивный) ответ на поставленный вопрос.
Теорема 4. £,тт-моделъ для реализации N" в структуре Н->Я единственна в том и только в том случае, если
mini<г<„(| rCoV(0|i(t/0)1/2=max1<!<„(J Гю*d2{t)\i{dt))112.
Пример 1. В предположении нарушенного условия (min...=max...) теоремы 4, построим (Л,5,5#)2-модель, /-изоморфную некоторой Я2У?-стт-модели и не равную (А'.Н'.Н4). Пусть min,..,.„(I T<£*di2(t)V-(dt))y2 Ф тах!<г<„(1 ^(^(dt))112. Тогда найдётся индекс j, для которого
(17<о V(0(i(£/0)1/2 ф тах1-'-»^ гюУ (ОцО*))1^2-
Далее пусть число а таково, что (j d2(t)\x(dt))112 < а < тах,£(£„(| d2(t)\x(dt))112. Тогда любая
вектор-функция 5 (-)&i2 такая, что supp(ro )csupp(.v) (mod ц) [13, с. 137], dx*j(t)ldt=<s*(t),& \t)>Rn+m+k и (j T<s*(t),s*(t)>Rn+m+k\x(dt))1/2 = а, может заменить в качестве /-ой строки в функциональной (6) матрице со ,/| со ]' её /-тую (исходную) строку без потери у полученной таким образом (Л,5,Л#)2-модели аналитического свойства, а именно, - быть / -изоморфной некоторой Я2 '.Н-с | п - моде л и множества N*; например, конструкция s*=s*j+s, где s*j - j-ая строка матрицы со ,/|со ]' и s - любая вектор-функция из ортогонального дополнения - Q [13, с. 165] к максимальному 1-базису Q , индуцированному процессом ю , удовлетворяет всем выдвинутым к вектор-функции s требованиям.
Поскольку из min,£(£„(j гю*л2(0ц(<^0)1/2^тах1<г<и(1d2(t)\x(dt))112 (Л,5,5#)2-модель, осуществляющая «роль» реализации для наблюдаемого динамического процесса N* с Я2 9 ? -с ГТ1, п - м о д с л ь ю. не обладает свойством единственности, то процедуру её построения естественно усилить дополнительным требованием - о минимальности нормы этой (А,В,В#)2-модели, как элемента банахова пространства L2, что составит предмет рассмотрений следующего раздела.
4. Конструирование (A,B,lf)2-моделей с минимальной нормой в L2( T,\i,L(R",R"))xL2( T,[i,L(R"\R"))xL2( Т^Ц^Л))
Операторная норма Я2Ш-^тт-модели для реализации N* из § 3, в силу своей аналитической конструкции равна max1<!<„(J т</г(0,/г(t)>Rn+m+k\x(dt))1/2, где s*f - i-ая строка Г-изоморфной для неё (А,В,В#)2-модели. Таким образом, целесообразно рассматривать вектор-функции 5 1 </<«, как
элементы гильбертова пространства Н2= =L2{T,\iJin)x'L2{T,\i,Rm)x'L2{T,\i,Rk). Сделаем этот факт «ключом» к решению задачи конструирования Я29?-^тт- модели в рамках Фурье-анализа.
Пусть для каждого индекса /—\,...,п выделены: (), - бесконечномерное подпространство пространства Я2. {фу};=1,2, - некоторая полная ортогональная система в (), и s',4], - i-ая объединённая (совместная) вектор-строка некоторой фиксированной нестационарной (Л,5,5#)2-модели (А',В',B'#)(L,2. Тогда, из s' ,41i=\,...,n следует, что для тройки матричных функций (А’,В’,В’#) корректно её аналитическое представление в структуре пространства h2(T,[iJ^(Rn+m+k,Rn)) (через ряды Фурье в гильбертовом пространстве Н2) следующего вида:
Г^1Д...СиФи1
[А’,В',В'#]= I ...............I (7)
при этом [25, с. 411] для каждой вектор-строки 5'г(-) (1 </<«) матрицы \А' ,В' ,В'*\ при д—>со ц-почти всюду на Т будет выполняться поточечная сходимость:
^y=l,...,gcz/Pz/(t)-q-^s'i(i). (8)
В такой постановке упорядоченную тройку ({G,} ]<;<„, {фу} !<г<„ ;=12 ,(Л',5',5'#))
будем называть10 сигнатурой «спектрально-векторной» идентификации (сигнатурой СВИ) нестационарной {А,В,В )2-модели (А',В’,В' ) динамического объекта (1). Отметим, что введение в рассмотрение процедуры СВИ методологически оправдано тем, что задача конструирования объекта (1), как правило, решается в условиях, когда a priori нет «прямых указаний» на вид аналитического представления (моделирования) нестационарных параметров (А,В,В#)2-модели.
Основное свойство, характеризующее понятие сигнатуры СВИ как элемента формализации общей постановки задачи СВИ, свяжем с конструкцией семейства процессов P(flu#, имеющего реализацию (1) и порождающего 1-базис, теоретико-множественная модель которого допускает конструктивное построение вида (7).
Определение 4. Пусть РсПи# сЫ2. {{Gi}i<i<n,{<$ij}i<i<nj=i2^ ,{A’J5’,В'#)) некоторые семейство динамических процессов и сигнатура СВИ. В этом случае будем говорить, что семейство Р и сигнатура ({Сг-}1<г-<и, {фу}1<г<п,;=1,2,..., {А'.В'.В'*)) находятся в двойственности, если выполнены оба следующих условия11:
а) множество Р удовлетворяет классу допустимых К-решений дифференциальной системы (1) с (А,В,В#)2-моделью равной (А’,В’,В'#);
б) в пространстве входных сигналов Н2 существует такой 1-базис, индуцированный множеством Р, что V/=l,...,« этот 1-базис разделяет точки в (/,.
Через 2м обозначим семейство всех подмножеств фиксированного множества динамических процессов N<Hu#d32, по существу элементы из 2м - «потенциальные кандидаты» для 1-процесса, призванные a posteriori определить структурный «фенотип» третьей компоненты сигнатуры СВИ.
Определение 5. Задача СВИ (А,В,В#)2-модели объекта (1) частично решена (аналогично, вполне решена) над множеством динамических процессов сН2. если одновременно имеют место:
а) в 2м выделено непустое максимальное множество Р, для которого существует реализация в виде некоторой дифференциальной системы (1) (соответственно показано, что N - К-решения некоторой дифференциальной системы (\));
б) определена некоторая сигнатура СВИ, двойственная множеству Р из а) (аналогично, двойственная N) такая, что в этой сигнатуре для тройки матричных функций (А’,В’,В’#) и любой пары индексов (ij), \<i<n,j= 1,2,... возможно тем или иным способом вычисление коэффициента с у из разложения (7).
Замечание 5. Вводя в обращение понятия как частичной так и вполне разрешимости задачи спектрально-векторной идентификации, пунктом а) обеспечиваем её решение в классе {А,В,В )2-моделей, тогда как б) гарантирует единственность этого решения с «точностью» до компонент сигнатуры СВИ.
Определение 5 позволяет формально истолковывать задачу СВИ как некое «правило» или, если угодно, «закон соответствия», которое каждому заданному множеству наблюдаемых динамических процессов класса П„#с£/2 сопоставляет предельные пары «максимальное апостериорное семейство К-решений некоторой дифференциальной системы (1), двойственная сигнатура СВИ», в терминах которых можно конструктивно построить разложение вида (7). Следует, однако, иметь в виду, что аналитические решения задачи СВИ, удовлетворяющие лишь правилам а) и б), могут иметь самую замысловатую структуру. Так, например, когда N — конечное множество, то допустим вариант, при котором задача СВИ вполне разрешима для любой линейной комбинации из N,
10 Здесь преднамеренно, ставим «...», так как «спектральная» терминология двусмысленна с учётом классических разделов теории операторов. Вместо неё уместнее говорить (употреблять) о «гармоническом» варианте термина. Однако необходимо признать, что «спектральные доводы» настолько укрепились в специальной литературе по ортогональным разложениям [26,27], что, по-видимому, бесполезно настаивать на изменении.
11 Чтобы получить более выпуклое представление о возможном прикладном аспекте пунктов а) и б) определения 4, полезно (интересуясь «рецептурной» стороной вычислений) обратиться к рассмотренной в монографии [26] задаче спектральной идентификации элементов матриц А(•), 1Ц-) и /! (•) из дифференциальной системы (1) по замерам в точках интервала Т вектор-функции (х(1).и(1).и (х(1))). Так как всё обсуждение в монографии [26] для данной задачи ведётся без анализа критерия, подобного пункту а), то даже в предположении, что алгоритмическая реализация полученного в [26] её (спектральной задачи) решения удовлетворяет пункту б), эта реализация не гарантирует обеспечения спектрально-параметрической идентифицируемости в том смысле, как это трактуется авторами указанной монографии, а именно, представление (вычисление) элементов матриц .!(■). В(-) и /■> (■) в ортогональном базисе из Ь2(Т,цД).
тогда как над всем множеством N она разрешима лишь частично (см., например, конструкцию примера [24, с. 52]).
В случае, когда N - бесконечное множество, возможен вариант, при котором задача СВИ вполне разрешима для любого элемента из Span N, в то время как над всем множеством N задача СВИ не разрешима даже частично. В связи с этим полезно вводить те или иные дополнительные условия, выделяющие более узкие классы задач СВИ; вышеизложенное можно рассматривать как «идеологическую» подготовку к введению основного в этом разделе понятия, а именно, (А,В,В#)тт-реализации, с помощью которой появляется (при апостериорном моделировании) возможность оперировать «оптимальными» сигнатурами СВИ.
Обозначим через (L2,||-||l2) - пространство L2 с нормой (эквивалентной норме ||-||L из § 1) вида 11(A 11l2:=(Е!<г-<„Е!<y<„(j ]Cty (0м-(^0)+^1<г<п^1<у<»!(1 тЬу (t)\i(dt))) + +2i<!<„Si<;<Jt(J jb у
(A.Bjf)=(|au |.|A,,!.|h*u |)e L2; в силу теоремы 8 [25, с. 162] линейное (А./^//^-многообразие (L2,||-||l2) гильбертово.
Определение 6. Пусть РаПи#аН2. Скажем, что упорядоченная тройка матричных функций (А',В’,В’#)&7 является (A.Bjf) тт-реализацией над Р, если имеют место оба следующих условия:
- Р есть семейство К-решений системы (1) с (А^,^)2-моделъю (А'.В'.В’и):
- упорядоченная тройка (А',В',В'#) имеет в (L2,||-||l2) минимальную норму среди всех норм от (А,В,В#)2-моделей, реализующих через (1) семейство процессов Р.
Наша ближайшая цель - установить: если множество P=N* (где N* из теоремы 3), то (A.Bjf)mm-реализация над Р существует, единственна (как элемент линейного (А ./].//^-многообразия (L2,||-||l2)) и решает единственным образом (в отличие от теоремы 3) задачу Я-..Н-£,тт-модели для наблюдаемого динамического процесса N*. При этом последнее обстоятельство указывает на то, что предложенное понятие (Л./].//%,,„-реализации возникает естественным образом, а исследование структуры сигнатуры СВИ, содержащей данную (A.Bjf)rmn-реализацию, и находящейся в двойственности к JV*, носит сугубо прагматический характер.
Пусть N*={(x*,u*,u#(x*))} , где динамический процесс (х*,и*,и#(х*)) обладает реализацией (1). Обозначим через Л*2 пространство сигнальных функций, отвечающее (х*,и*,и#(х*)), через Q 2 - максимальный 1-базис [22], индуцированный (х ,и .и (х )) и Л 2, при этом из теоремы 1 [22] семейство функций Л 2 имеет представление:
Л*2 = L2(T,v,R), v = J (||х*(0||д«2+||м*(0|И2+||м#(х*(0)||^2)|1(б/0,
где ||-||Rn, ||-||Rm и ||-||д£ евклидовы, в свою очередь, 0.*2={'к-(х*,и*,и#(х*)У ^еЛ*2}.
Теперь на L(H2,Rn) рассмотрим [22,28] формальный 1-процесс12
{H2,Rn, (L(H2,Rn), пК,*-1^]: ие W}, п^Л^со)]: ^ЩУ ЗГсО*2},
где 71и: L(H2.Rn)—>Rn - отображение вычисления в точке юе Q*2 и я;и* - его каноническое распространение [28], с(со) = c(h(x\i/.i/(x )))=\ ■,(/.(I)dx (l)/dl)yi(c/l). ХеЛ*2 (см. формулу (3) [22]), ARn -диагональ в RnxRn. В силу теоремы 4 [22] данный I-процесс выделяет в пространстве L{H2,R”) тождественный (в соответствии с леммой 2 [5]) нетривиальный (не одноточечный) класс ^-моделей, равный
r^i{7rra_1[J T(k(t)dx*(t)/dt)[i(dt)\(^L(H2,Rny а>=Х-(х*,и*,и#(х*)), ХеЛ*2}.
Этому классу на основании леммы 2 [5] в L2 отвечает класс (А,В,В#)2-моделей, который, обозначим через L ; ясно, что любая система (1) с {A,B,lf)2-моделью из L содержит в множестве своих допустимых троек типа «К-решение, программное управление, позиционное управление» означенную выше тройку (х ,и ,и#{х )), причём класс L по данному признаку является максимальным в пространстве L2.
Лемма 3. Класс L замкнут в L2.
12 В действительности необходимо показать корректность (определение 2 [28]) данного 1-процесса, что при необходимости (если встать на формальную позицию) не составит труда ввиду «реализуемости» (х ,и ,и#(х )).
Принимая во внимание, что многообразие L* является классом смежности по некоторому подпространству пространства L2, и учитывая тот факт, что L2 имеет структуру гильбертова пространства, можно подвести аналитический итог:
Теорема 5. (А,В,В>*)тт-реализация над N" существует, единственна, принадлежит L* решает задачу Н2%-Ъ,тт-модели над N* и имеет вид (6).
Определим аналитическое представление сигнатуры СВИ, находящейся в двойственности к JV* и такой, что её структура в качестве третьей компоненты содержит (А,В,В**)тт-реализацию над N*. С этой целью выделим в гильбертовом пространстве Л 2 полную ортогональную систему функций {(])j} (ясно, что в терминах меры ц система {(|)j} ортогональная с весом (||х*(-)||я«2+||м*(-)||я»72+||м#(х*(-))||я^2)). Для определённости рассмотрим тригонометрическую систему, которую обозначим как {ф;}. Тогда {ф;}={1, sin(27т/т(• )/v(7'))_ cos(2tc/t(-)/v(7-)): t(/)=v(| t(T=[t0Al j= =1,2,...}. Далее, рассмотрим сигнатуру ({(Q*2);}i<;<„, {Ф*у}1<г<и,;=1,2,..., (А*,В*,ВЩ)), которую для удобства обозначим через SIG .
Теорема 6. Сигнатура SIG* находится в двойственности к N*.
Доказательство. На основании определения 2 и теоремы 5 для доказательства теоремы 6 достаточно установить, что для любого /—\,...,п имеет место \ 2- где s г - г-ая совместная век-
тор-строка матричнои троики (л ,В ,В ); то, что £2 2 - подпространство в Н2 — следствие теоремы
7 [23].
Пусть L0 - подпространство в L2, все точки которого эквивалентны (лемма 2 [5]) точкам подпространства П {71,.," '[О]: юе Q 2} пространства L(H2,R"). В соответствии с леммой 2 [5] имеет место следующее утверждение:
Уь ([^])е L°«Vcoe Q*2, V/'=l,...,«, <5гх,со>я2=0,
где <у>я2 _ каноническая билинейная форма (скалярное произведение) в Н2. Так как L* - класс смежности в L2 по L0, то в силу Г| справедливо предложение:
Т2: (V/=l,...,«) (3s*t£2*2) (Y|.v,|d/): st=s^+s\ ^Х±П*2; здесь _L - знак ортогональности в гильбертовом пространстве Н2. Далее, т.к.
||([5!])||l2=(21<!<J T<Si\t),s1\t)>Rn+m+k\i(df)+'Ll<1J T<s\(t)/lf)>Rn+m+k\i(df))m
и |(|.v*(|)||i 2=min {||(|.v(|)||| 2: |.v,|cL }. то выполнение min {||(|.v(|)||| 2: |.v,| d/} при наличии утверждения T2 будет в том и только в том случае, если для любого /=\,...,п будет =0 и, поскольку |.V,| (L , то V/'=l,...,«: s')dT2. Доказательство завершено.
Сравнительно простое устроение сигнатуры SIG приводит к вопросу: как для произвольной пары индексов (/./), 1 <i<n,j= 1.2.... определить численное значение коэффициента с у в формуле (7), отвечающее данной сигнатуре? Конструктивный ответ на этот вопрос означал бы «окончательную точку» в рассмотрении проблемы вполне разрешимости задачи СВИ для //2 S.H - с ГТ1, п - м о д с л и и реализации над динамическим процессом N*. Ниже установим основные элементы процедуры вычислений коэффициентов Фурье из разложения (7), а также определённые виды и аналитические условия сходимости предела (8).
Пусть в терминах, принятых нами выше, (х м .и (х )) и [s ,\=\А ,В ,В ] - аналитические конструкции, определяющие структуру сигнатуры SIG . Тогда
s*\=Xr{x*,u,u#{x*)) (1 </<«), (9)
при некоторой сигнальной функции Хге\.*2, своей (единственной по mod v) для каждого индекса /; всюду далее под обозначениями s /., (1 <i<n) будем понимать конструкции из (9). В соответствии с формулой (9) правило определения коэффициентов Фурье в разложении (7) для случая N* даёт следующее предложение.
Теорема 7. Пусть t\-^i(ty.=v([t0,t\), тогда:
a) = (oci0 + 2;=i>2>...(a!ysin(27y'T(0/v(7)) + fiijCOs(2iijT(t)/v(T))))(x*(t),u (t),u#(x*(t))) с коэффициентами a*,, Ру, (1 </'<«) равными
аю = (I T\{t)v{dt))N{T), ау = (I Th{t)sm{2njx{t)lv{T))v{df))lv{T),
Ру = (I A(0cos(27yx(0/v(T))v(t/0))/v(?),
11(Л11L2=(i;!<г<„(| Ty?(t)v(df))y2, где й-»уг<0 = {dx*\{f)ldt){dx{f)ldtyl и у,=Хг.
Замечание 6. Поскольку s и р р (б/х /б//) cs и р р (б/т /б//) по mod ц (т.к. N* - /\'-рсшснис). то функции уг,
1 <i<n определены корректно.
Перейдём теперь к группе вопросов, связанных с рассмотрением свойства сходимости предела (8) при его «реализации» в структуре сигнатуры SIG .
Теорема 8. Для фиксированной точки /е/- предел (8) сходится к s*i{t)dln+m+k в структуре SIG*, если при некотором §>0 существует J T^\(rki(t+z)-Xi(t))lz\v(dz), где 7-,;=|/-6./+6|п7-. a s*\ и связаны соотношением (9).
Доказательство. Обозначим через \ч( частичную сумму ряда Фурье для s г в структуре SIG . Тогда вектор-функция s1', в силу теоремы 7 имеет вид:
5<?!(0=(a0+S;=i> g(a/sin(27y'x(0/v(7))+P;cos(27y'T(0/v(7))))(x*(0,M*(0,M#(x*(0)) с формулами для а;, Р;, представленными соотношениями:
a0=(J Th(t)v(dt))lv(T), otj=(I T^i(t)sin(2%jT(t)/v(T))v(dt))/v(T)
P;=(i Th(t)cos(2njx(t)lv(T))v(dt)))lv(T).
Используя эти соотношения, а также формулу (9), определим в точке величину разности sqi{t)-s*i{f) в норме евклидова пространства Rn+m+k-
\\sqlt)-s*lt)\\Rn+m+k=\\ T(kt(t+z)--Xi(t))sm(2%(2q+l)T(t)/v(T))/sm(2%T(t)/v(T)))v(dz)\ • ■\\(x*(t),u*(t),u#(x*(t)))\\Rn+m+k/v(T).
Таким образом, вопрос о сходимости предела s® (0 (q—>оо) из формулы (8) последовательно свели к вопросу о стремлении к нулю интеграла с ядром Дирихле при наличии условий Дини. Дальнейшие выкладки опускаем, отсылая за деталями (если они необходимы) к выводу теоремы 1 [25,
с. 409].
Оценка взаимной близости элементов пространства C(T,Rn+m+k) в топологии sup-нормы позволяет более тоньше (в сравнении с топологией поточечной сходимости) выяснить степень отклонения между частичной суммой ряда (8) и вектор-функцией s г. Всё это даёт основание подробнее рассмотреть условия равномерной сходимости предела (8); ясно, что, если вектор-функция s г имеет хотя бы один разрыв на Т, то её ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно и, таким образом, непрерывность отображения s {. 7’—>R" есть необходимое (но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости предела (8).
Теорема 9. Пусть Ус А С ’(7'./Г)хС ’(7\Rm)y (’(7[Rk). В этом случае предел (8) сходится к C(T,Rn+m+k) в сигнатуре SIG* равномерно на Т=\|. если выполняется хотя бы одно из двух следующих условий:
а) (Vs>0) (35>0) (VteT): J T5\(ki(t+z)-'ki(t))/z\v(dz), где 77§=[^-§,^+§]п77;
б) ^&4C(r,i?)&t/V^GL2(r,v,i?)&^(^)=^(^).
Схема доказательства теоремы 8, с учётом теорем 2 и 3 [25, с. 409], с модификацией (которую, в виду её прозрачности, опускаем) переносится на случай равномерной сходимости предела (8), иначе - на теорему 9.
Теорема 9 утверждает, что в некоторых случаях процедура аппроксимации нестационарных вектор-строк матричной модели (/!./].//%,,„-реализации конструкциями частичных сумм векторных рядов Фурье вида - sqj(t), \<i<n приближает (g—>оо) к «физически» реализуемой (Л,5,5#)2-модели класса C(TJJ(Rn,Rn))xC(TJJ(Rm, Rn))/('(T.R ); правда это приближение ограничивается выполнением пунктов а) или б). Если «поискать» для варианта б) более слабые условия на конструкцию подсемейства сигнальных функций {Xi}i<i<n(^AC{T,R), а именно, {^}i<i<nc C(T,R), то (привлекая теорему
Фейера [25, с. 415]) небольшое изменение в процедуре предела (8) приводит к такому же качественному результату, как и теорема 9, а именно, равномерной сходимости к вектор-функции s г.
Теорема 10. Пусть N*cAC(T,Rn)xC(T,Rm)xC(T,Rk), i.,4'(T.R). Хг(^0)=^г(^) и пусть siq(t):=q'lsqi(t), где sqt - частичная сумма ряда Фурье в сигнатуре SIG*. Тогда сходимость siq—q—>s*j - равномерная сходимость на 7=|/п./, |.
(Ясно, что имеем: N*<AC(T,Rn)xC(T,Rm)xC(T,Rk)&[supp Л' ]7=7-=х>/.(4'(T.R). (1 </<«), где [supp iV*]r -замыкание носителя supp N* в интервале 7).
Резюме и комментарии
Норма оператора является мерой того, насколько он «усиливает» входные сигналы, измеряемые в соответствующей норме. Обычно желательно выбрать модель так, чтобы эта норма была по возможности мала - это означает, что выход системы будет мал при любых возмущениях, ограниченных в соответствующей норме. В этой парадигме в работе формализованы математические понятия (категории словаря математического моделирования динамики изучаемых процессов), такие как ^min-модель, (А.В.Ви)т,„-реализация. Н2ЧЯ-^min-модель, процедура СВИ, позволяющие с общих позиций подходить к исследованию свойств существования и моделирования дифференциальных (А,В,В#)2-моделей (описывающих «оптимальную» математическую структуру динамики изучаемых процессов), при этом формулировать утверждения о таких свойствах с помощью единой системы понятий и терминов, которая обеспечивает необходимую общность исследований, позволяя в то же время наиболее естественно излагать решения конкретных прикладных задач. При этом авторы ставили перед собой задачу подробно изложить применяемые конструкции и представить детальные доказательства всех сколько-нибудь существенных фактов; существуют, вообще говоря, два вида математических доказательств - экзистенциональные и конструктивные, выше были использованы примеры обоих типов. К общезначимым результатам теории структурно- параметрической идентификации, установленным в данной работе, относятся:
- определены необходимые и достаточные условия существования реализаций нестационарных {А,В,В ^-моделей с минимальной операторной нормой в зависимости от метрических структур пространств входных и выходных сигналов;
- в рамках Фурье-анализа обоснована и построена процедура спектрально- векторной идентификации матричного представления (Л,5,Л#)2-модели в дифференциальной реализации динамического процесса Tf={{x*,u*,u#{x*)).
Основная мотивация заключалась в рассмотрении на строгой основе (по существу теории На-хбина-Какутани) методологии, вовлечённой в этап конструирования на базе спектральной идентификации вектор-функций строк (А,В,В )2-модели / -изоморфной Я2У{-с|Т1|Г1-модсли. и по-видимому, необходимо констатировать, что рассмотренная постановка задачи СВИ, а именно, для (А.В.Ви)т,„-реализация для N* носит, отчасти, паллиативный характер, поскольку не гарантирует восстановление спектральных характеристик вектор-строк системы (1) при Card N> 1. Данное затруднение перестаёт казаться столь принципиальным после того, как на основании модификации теоремы 4 [29] замечаем, что его можно обойти, если в постановке о вполне разрешимости задачи СВИ перейти (в отличие от варианта - N*) к более общему случаю, когда множество наблюдаемых динамических процессов N состоит не менее чем из п+т+к пар «траектория, программное управление, позиционное управление» (ясно, что данное условие необходимое, но не достаточное). Наконец заметим, что, если множество N таково, что задача СВИ над N не является вполне разрешимой, то проблему СВИ методологически можно ставить как задачу идентификации динамического объекта с наблюдателем.
Не менее содержательные вопросы в исследовании решения задачи СВИ в постановке Card N > n+m+k, по-видимому, возникнут и в отношении позиции б) определения 5; ясно, что выполнение именно этого условия сделает возможным представление a posteriori рядами Фурье вектор-строк в матричных (Л,5,5#)2-моделях в структуре фиксированных сигнатур СВИ (здесь необходимо отметить, что окончательное описание сигнатур СВИ такого рода, в частности, на основе быстрого преобразования Фурье [26,27], ещё ждёт своего окончательного решения). Что же касается моти-
вации выбора структуры сигнатуры СВИ, отвечающей разложению именно вида (7)13, то заметим, что в действительности в переформулировке пунктов б) определений 4 и 5 в терминах матриц или их элементов (т.е. спектрально-матричной, т.к. L2 гильбертово, или спектральнопараметрической, т.к. L2{T,\i,R) гильбертово), а не вектор-строк (А./].//^-моделей, не вызывает каких-либо принципиальных трудностей (это - общий факт [7]), к тому же стоит иметь в виду, что некоторые важные вопросы (вычисление нормы {A.Bjf)mm- реализации, анализ сходимости (8) и т.д.), как показывают теоремы 7-9, могут быть удовлетворительно решены уже на этой степени общности.
Подводя итог, отметим, что использование в определении 5 двух различных понятий а) и б) позволяет методологически разделить исследование задачи СВИ на две относительно независимые части, т.к. а) отражает геометрическую сторону её решения (и по существу носит характер структурного тестирования), б) - алгебраическую (выявляя аспект параметрической идентификации), при этом важность введения этих понятий состоит ещё и в том, что они порождают некоторый математический аппарат в моделировании динамики систем, расширяя проблематику и подсказывая новые пути и подходы, значение которых не ограничивается спецификой задачи СВИ.
Литература
1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.
2. Willems J.C. System Theoretic Models for the Analysis of Physical Systems // Ric. Aut. 1979. № 10. P. 71-106.
3. Polderman J.W., Willems J.C. Introduction to mathematical systems theory: A behavioral approach. Berlin. Springer-Verlag, 1998. 454 p.
4. Русанов В.А., Лакеев A.B., Линке Ю.Э. Характеристический признак реализации нестационарной дифференциальной системы в банаховом пространстве // Доклады РАН. 2011. Т. 438, № 3. С. 323-325.
5. Русанов В.А., Антонова Л.В., Данеев В.А. К обратным задачам нелинейного системного анализа. Бихе-виористический подход // Проблемы управления. 2011. № 5. С. 14-21.
6. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.
8. Сергиенко И.В., Дейнека B.C. Идентификация параметров эллиптико-псевдопараболических распределенных систем // Кибернетика и системный анализ. 2011. № 4. С. 28-50.
9. Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир, 1968. 236 с.
10. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // Прикладная математика и механика. 1952. Т. XVI, № 6. С. 659-670.
11. Месарович М., ТакахараЯ. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. 312 с.
12. Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. К теории структурной идентификации нелинейных многомерных систем //Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, вып. 1. С. 119-132.
13. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.
14. Nachbin L.A. Theorem of the Hahn-Banach Type for Linear Transformations // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 68. № 1. 1950. P. 29-46.
15. Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. 384 с.
16. Kakutani S. Some characterization of Euclidean space // Jap. Jom. Math. 1939. V. 16. № 2. P. 93-98.
17. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 448 с.
18. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Принцип максимума энтропии в структурной идентификации динамических систем. Аналитический подход // Известия вузов. Математика. 2005. № 11. С. 16-24.
19. Barbu V. Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Space. Ncordhoff International Publishing, Leyden (the Netherlands), 1976. 352 p.
20. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Наука, 1986. 752 с.
21. Русанов В.А., Антонова Л.В. Геометрия пучков управляемых динамических процессов, обладающих нелинейной дифференциальной реализацией в равномерно выпуклом банаховом пространстве // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9: Математика и информатика. 2011. С. 188-201.
22. Данеев А.В., Русанов В.А. К методам качественной теории идентификации сложных динамических систем // Доклады РАН. 1997. Т. 355, № 2. С. 174-177.
23. Данеев А.В., Русанов В.А. Геометрический подход к решению некоторых обратных задач системного анализа//Известия вузов. Математика. 2001. № 10. С. 18-27.
13 Эта форма характеризуется своей лаконичностью и емкостью, открывая широкие возможности для анализа и синтеза соответствующих (А,В,В*)2-моделей.
24. Данеев А.В., Лакеев А.В., Русанов В.А. К теории реализации сильных дифференциальных моделей. II // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. VIII, № 2. С. 46-56.
25. Колмогоров А.Н.. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.544 с.
26. Солодовников В В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986. 440 с.
27. Залманзон Л. А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. 496 с.
28. Данеев А.В., Русанов В.А. К аксиоматической теории идентификации динамических систем. I // Автоматика и телемеханика. 1994. № 8. С. 126-136.
29. Данеев А.В., Русанов В.А. К аксиоматической теории идентификации динамических систем. II // Автоматика и телемеханика. 1994. № 9. С. 120-133.
Русанов Вячеслав Анатольевич, д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник. Институт динамики систем и теории управления СО РАН (ИДСТУ СО РАН); 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, ИДСТУ СО РАН; e-mail: V.Rusanov(0imail.ru; телефон: (3952) 36-50-93; факс: (3952) 51-16-16
Антонова Лариса Васильевна, канд. физ.-мат. наук, доц.. Бурятский государственный университет, г. Улан-Удэ, e-mail: antonov vifilmail.ru
Данеев Алексей Васильевич, д-р техн. наук, проф.. Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: daneev(@mail.ru
Миронов Артем Сергеевич, аспирант. Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: mironov [email protected]
Rusanov Vyacheslav Anatolie\>ich, doctor of physical and mathematical sciences, principal researcher. Institute of system dynamics and control theory' of Siberian branch of Russian academy of sciences - ISDCT SB RAS Antonova Larisa Vasilye\’na, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Buryat state university
Daneev Aleksey Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor of Irkutsk state transport university Mironov Artem Sergeevich, postgraduate student of Irkutsk state transport university
