CC BY
37
G
истемный анализ
УДК 517.93;517.937
К ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ НЕЛИНЕЙНОГО СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА. БИХЕВИОРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД1
В.А. Русанов, Л.В. Антонова, A.B. Данеев
Приведены признаки дифференциальной реализации нелинейных бихевиористических систем — слабоструктурированных семейств динамических процессов типа «вход — выход» с модельными реализациями в классе бесконечномерных нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений состояния с программным и нелинейно-позиционным управлениями.
Ключевые слова: обратная задача, системный анализ, нелинейная дифференциальная реализация.
ВВЕДЕНИЕ
К 1970-м гг. сложилось впечатление, что та часть качественной теории обратных задач системного анализа, которую принято называть реализацией линейных конечномерных динамических систем с непрерывным временем [1], в целом завершена и стоит ожидать лишь относительно второстепенных улучшений; это впечатление усиливалось заявлениями основателей теории реализации: 1969 г., Р. Калман [1, е. 268]: «... в § 10.13 мы дадим новое и (надеемся) исчерпывающее изложение теории реализации линейных систем с непрерывным временем» (курсив наш). Но как в последствии продемонстрировал Я. Виллемс [2], задача реализации, сформулированная в работе [1, с. 21 ], далеко не единственная постановка данной проблемы и часто не самая естественная. Конструктивность созданного на этом пути набора общих понятий и методов была апробирована для нестационарных систем (см. работу [3] с библиографией), а также систем, описываемых многомерными гладкими нелинейными дифференциальными уравнениями (см., например, статью [4]), когда задача реализации состоит в том, чтобы заменить неявные диф-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН (проект № 2.5).
ференциальные уравнения высшего порядка на явные дифференциальные уравнения первого порядка плюс специальные алгебраические уравнения, т. е. в виде системы «вход — состояние — выход»; как показано в работе [5], при выполнении некоторых предположений такая нелинейная реализация может быть редуцирована к модели дифференциальной реализации с уравнениями в пространстве состояний минимальной размерности [1, с. 267].
Что же касается результатов теории реализации, относящихся к бесконечномерному случаю, то они не затрагивают всех вопросов, которые нашли свое законченное решение в конечномерном варианте, хотя некоторые из них решаются уже на этой степени общности [6, 7]. Здесь необходимо отметить, что один фундаментальный результат теории идентификации в банаховом пространстве [8], а именно следствие теоремы 1 [9], по существу указал аналитическую форму, в которой следует искать необходимые и достаточные условия разрешимости задачи дифференциальной реализации динамического процесса «траектория, программное управление, позиционное управление». В подобной форме были получены нетривиальные обобщения результатов работы [10] на системы реализации в гильбертовом пространстве [11, 12] с опорой на теорему Рисса [13, с. 132] и разложение Фурье [13, с. 129].
В данной работе на языке сигнальных функций [9] и оператора Релея—Ритца [3] обсуждаются необходимые и достаточные условия разрешимости задачи дифференциальной реализации бихевиорис-тической динамической системы (Б-системы; определение 1 [10]), представленной фиксированным пучком вектор-функций «траектория, программное управление, нелинейное позиционное управление» — экзогенное поведение [14] «вход — выход» Б-сис-темы типа «черный ящик» с модельной реализацией в классе обыкновенных нестационарных дифференциальных уравнений состояния в равномерно выпуклом банаховом пространстве; при этом не претендуя на полноту и законченность, а лишь уточняя и развивая главные принципы (!), поскольку исследования качественной теории обратных задач нелинейной динамики в общем банаховом пространстве, по-видимому, активно только разворачиваются.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОЙ БИХЕВИОРИСТИЧЕСКОЙ 0-СИСТЕМЫ
Везде далее (X, ||-||х), (Т, ||-||7) и (Д ||-|у — вещественные сепарабельные банаховы пространства, Ь(Т, X) — банахово пространство с операторной нормой |||| х) всех линейных непрерывных операторов, действующих из Тв X (аналогично Ь(Х, X), ||'||вд X) и ОД, X), ||*||дд X)), Т: = [?0, — отрезок числовой прямой Я с мерой Лебега ц и V — положительная мера, абсолютно непрерывная относительно ц и определенная на ст-алгебре всех v-измеримых (лебеговски пополненных) подмножеств из Т, через р, # е (1, да) обозначим сопряженные числа р 1 + q 1 = 1 (т. е. (р — 1)(# — 1) = 1).
Пусть (В, |||в) — банахово пространство, £г(Т, V, В), г е [1, да) — пространство всех интегрируемых (по Бохнеру [13, с. 189]) отображений/: Т ^ В с нормой
Нд Ьг '
{II /(т)|| Bv( йт)
1 /г
Как обычно, через Ьг(Т, V, В) обозначим банахово фактор-пространство классов v-эквивалент-ности в £г(Т, V, В), через АС(Т, В) с £1(Т, ц, В) — линейное множество всех абсолютно непрерывных функций (относительно меры ц).
Наделим (В, ||-||в)-пространства дополнительной структурой.
Определение 1 [13, с. 182 ]. Банахово пространство (В, ||-||в) называют равномерно выпуклым, если каково бы ни было е > 0, существует такое 8 = 8(е) > 0, что из условий ||* ||в < 1, || у ||в < 1 и ||* — у||в > е (*, у е В) следует неравенство ||* + у||в < < 2(1 - 8).
Замечание 1:
а) есть перефразировка: пространство (В, ||-|| в) равномерно выпукло, если из || * ||в < 1 + е, || у ||в < < 1 + е, ||(* + у)/2||в > 1 следует ||* — у ||в ^ 0 вместе с е ^ 0;
б) любое гильбертово пространство (О, ||-|| е) — равномерно выпукло согласно [13, с. 182] формуле
II* + у 2о + II* - у 2о = 201X12о + 1Ы12о), V*, у е О;
в) всякое равномерно выпуклое пространство рефлексивно [13, с. 182]. ♦
Выделим к рассмотрению дифференциальные модели класса
й*(Р)/йг = А(1)*(1) + В(Г)и(Г) + В#(?)и#(*(?)), (1)
где * е АС(Т, X) — решение Каратеодори (К-ре-шение), и е Ь (Т, ц, Т) и и#(*) е Ь (Т, ц, Z) — программное и нелинейное позиционное управления, (А, В, В#) е Ьр(Т, ц, ОД, X)) х Ьр(Т, ц, ОД X)) х х Ьр(Т, ц, Ь(Д X)); в целях удобства вектор-функцию (*, и, и#(*)) из системы (1) тоже будем называть К-решением, а тройку оператор-функций
(А, В, В#), согласно терминологии из работы [10], — (А, В, В#) -моделью дифференциальной системы (1).
В практических задачах апостериорного моделирования уравнений динамики сложных управляемых процессов понимание физической природы функционирования Б-системы (порождающей наблюдаемые процессы) недостаточно для однозначного определения структуры ее математической модели (например, допустима ли линеаризация уравнений модели на основе полученных экспериментальных данных). В такой постановке возникает следующий методологический вопрос: какой из возможных структур модели следует отдать предпочтение при имеющихся входных и выходных данных? На самом деле, в большинстве практических случаев, ответ на означенный вопрос должен быть одним из первых шагов в построении математической модели Б-системы. Следуя этой парадигме, предметом исследований сделаем две следующие задачи системного анализа бихевиористической Б-системы.
• Сушествование дифференциальной реализации на пучке процессов: пусть
«#('): AC(T, X) ^ Lq(T, ц, Z), q е (1, ю),
П# := {(x, и, v) е AC(T, X) х Lq(T, ц, Y) х х Lq(T, ц, Z): (x, и, v) = (x, и, и (x))}
и N с Пн — фиксированное экзогенное поведение типа «вход — выход» исследуемой D-системы с нелинейным позиционным управлением и (x), заданным a priori. Определить необходимые и достаточные условия, при которых пучок динамических процессов N представляет K-решения некоторого уравнения (1); ограничений на Card N (мощность пучка N) не накладываем (например, Card N > Х0 — алеф нуль).
• Инвариантное расширение дифференциальной реализации: пусть
N1, N2 с П#, N1 n N2 = 0, N1 * 0 * N2,
где Nl и N2 — фиксированные пучки динамических процессов с дифференциальными реализациями в классе моделей (1); ограничений на мощности множеств Nl и N2 не накладываем. Используя наличие реализаций для Nl и N2, определить геометрические условия, при которых «объединенный пучок» Nl и N2 также представляет семейство K-решений некоторого дифференциального уравнения (1).
Замечание 2. Означенные постановки дифференциальной реализации D-систем не исключают
методологического положения, когда закон и (x) детерминируется не по принципу «state feedback», а характеризует существенную «нелинейную компоненту» в уравнениях динамики (1), моделируемых a posteriori [8], опираясь (и развивая) на результаты теории геометрии и ^-поверхностей [15, 16].
2. СУЩЕСТВОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА «ВХОД — ВЫХОД»
Для динамического процесса «вход — выход» (x, и, u#(x)) е П# далее в теореме 1 дадим три эквивалентных решения задачи существования дифференциальной реализации (x, и, u#(x)), которыми
легче пользоваться в приложениях, чем теоремой 2 из § 3; хотя последняя и превосходит первую своей аналитической общностью. Эти решения потребуют привлечения идей функционально-геометрического подхода в аксиоматическом построении теории идентификационных процессов [9]. Тем самым решение задачи параметрической идентификации, полученное в работе [9] применительно к управляемым динамическим объектам (1) в банаховом пространстве, примет общую структурную форму, при этом подтвердив универсальную математическую конструкцию для теоретико-системного анализа широкого класса непрерывных слабоструктурированных нестационарных систем (в том числе, динамических систем с распределенными параметрами [7]).
В работе [10] показано, что для конечномерного случая теория реализации существенно опирается на факт, что всякий линейный оператор ограничен. Для бесконечномерных систем ситуация оказывается более тонкой, что уже обсуждалось в статье [7], давая пищу геометрической интуиции. Кроме того, необходимо отметить, что в отличие от известных свойств (теорема Лебега) числовых функций произвольная ст-аддитивная ц-абсолютно непрерывная функция интервала Т, принимающая значения в некотором банаховом пространстве, не обязательно должна быть представима в виде некоторого ц-интеграла Бохнера (см. пример [13, с. 193]); это обстоятельство оправдывает следующее определение [17, с. 107].
Определение 2. Функция / на Т со значением в банаховом пространстве В называется первообразной, если существует функция/' е ЬХ(Т, ц, В), для
которой ДО = д?0) + |%(т)/'(т)ц(йт), х/-) — харак-т
теристическая функция интервала ?] с Т.
Замечание 3. Первообразная функция всегда абсолютно непрерывна, обратное верно, в частности, если В — равномерно выпукло; см. п. в) замечания 1 и работу [18, с. 16].
Лемма 1. Пусть сепарабельное банахово пространство В равномерно выпукло, тогда любая функция у(-) е АС(Т, В) обладает производной йу(-)/Ш е ЬХ(Т, ц, В) и, значит, всякая функция класса АС(Т, В) является первообразной. ♦
Теперь введем несколько важных конструкций. Обозначим через
Ьр1 = Ьр(Т, ц, Ь(Х, X)) X Ьр(Т, ц, ОД X)) X х Ьр(Т, ц, ДД X))
банахово пространство классов ц-эквивалентно-сти всех (А, В, В#)р-моделей (упорядоченных троек оператор-функций из уравнений (1)) с нормой:
||(А, В, В#)|^: = ( 101 А(т)|| Ь(х,^ + 11В(т)11 ^ +
+ IIb#(t)IIL(xf ц(А)
1/p
Через (Hq, ||-||H) обозначим пространство-произведение (с нормой):
Lq(T, Ц, X) X Lq(T, Ц, Y) X Lq(T, ц, Z),
исследуемой Б-системы две исключительно важные ц-непрерывные меры.
Определение 3. Для управляемого динамического процесса (*, и, и#(*)) е П#, протекающего в
равномерно выпуклом пространстве X, введем на интервале Т меры
v(S) := J01 X(T)||+ ||u(T)| + S
S e
v_(S) := J ||dx(T)/dT||x ц(dт),
I«#(t)I zq )|^т),
(3)
S e
ll(g, w, v)||h := ( J01 g(T)lX + ||w(t)||Y
+
+ ||v(t)|| | ц(а)
1/q
(g, w, v) e Hq,
которое, как полное (в силу конструкции нормы ||-||я), является банаховым. Далее, через (L(Hq, X), ||"||дд X)) обозначим банахово пространство с операторной нормой всех линейных непрерывных операторов, действующих из Hq в X.
Пусть (А, В, В#) е Ьр. Рассмотрим оператор Н ^ X, имеющий представление
%(£, w, v): = J(A(T)g(T) + B(t)w(t) + B#(тЩт))ц(йт)
(g, w, v) e Hq,
(2)
ясно, что ^ е L(Hq, X). По терминологии работы [9] оператор ^ — ^р-модель. Для обратного утверждения «£ е L(Hq, X) ^ оператор £ имеет аналитическое представление (2)» потребуются дополнительные уточнения и рассуждения (см. далее лемму 2). Перейдем к деталям. Банахово пространство X по геометрии локально выпукло, следовательно (так как пространство сопряженное X, разделяет на X точки), интегральный оператор Г: Ьр ^ L(Hq, X), осуществляющий согласно представлению (2) соответствие Г(А, В, В#): = суть линейный изоморфизм между линейными множествами всех (А, В, В#)р- и ^-моделями (т. е. дифференциальными и интегральными моделями), что позволяет относительно геометрических свойств оператора Г утверждать большее:
Лемма 2. Оператор Г: Ьр ^ L(Hq, X) — линейный гомеоморфизм. ♦
Чтобы приступить к решению поставленной ранее задачи дифференциальной реализации, прежде
которые (для определенности) будем называть би-хевиористическими. ♦
Мера v_ определена корректно, поскольку функция x(-) — первообразная в силу леммы 1. С другой стороны, в силу теоремы 1 [9] мера v определяет важный в теории идентификации D-систем класс сигнальных функций Lq(T, v, R). Далее считаем, что означенные меры лебеговски расширены до ст-алгебр pv и rv_.
Лемма 3. Пусть X — равномерно выпукло и пусть (x, и, u#(x)) e П#. Тогда {t e T: dx(t)/dt = 0 e X} з
з {t e T: (x(t), u(t), u#(x(t))) = 0 e Xx Yx Z} (mod ц).
Замечание 4. Важным обстоятельством леммы является тот факт, что в ней для вектор-функции (x, u, u#(x)) заведомо не оговаривается разрешимость задачи реализации. Если допустить a priori,
что (x, u, u#(x)) — K-решение некоторой системы (1), то лемма 3 — прямое следствие конструкции уравнения (1). ♦
Под впечатлением от леммы 3 мы должны признать:
Следствие 1. Для лебеговски пополненных мер v и v_ справедливо с pv с pv . ♦
В терминах бихевиористических мер введем линейные непрерывные операторы ж: Lq(T, v, R) ^ Hq и Z: L1(T, v_, R) ^ Х, действующие согласно следующим правилам:
ж(Х) := X -(x, u, u#(x)), X e Lq(T, v, R), (4) Z(n) := J(n(T)dx(T)/dT^(dT), n e L1(T, v_, R);
T
в теоретико-множественной модели [9] идентификации систем (1) операторы ж и Z — «конструкторы» пространств «входных» и «выходных» сигналов.
Есть много теорем [9], геометрических по характеру, о качественных свойствах сигнальных
всего введем для экзогенного поведения (x, u, u#(x)) функций Lq(T v, R) и вджт^жадтотьи бази-
S
сах к (Л), Л с Ьд(Т, V, К) в теоретико-множественной аксиоматической конструкции формального идентификационного процесса, но далее понадобится только следующий результат (для него можно временно забыть о сепарабельности и равномерной выпуклости X, У, Z).
Лемма 4. Пусть (х, и, и#(х)) е П# , ж — оператор (4) и пусть О — полный образ в Нд оператора ж. Тогда О — замкнутое сепарабельное равномерно выпуклое подпространство в Н', при этом конструкция ж: Ь (Т, V, К) ^ О — линейная изометрия.
Замечание 5. Напрашивается полезное уточнение. Норма
||(x, y, z)\\u := 014 + \\y\\
+
)
1/q
в произведении X х У х Z =: и наделяет его банаховой структурой. Следовательно, пространства Нд и Ь (Т, ц, и) равны с точностью до метрического изоморфизма, осуществляющего естественное вложение Нд в Ьд(Т, ц, и). Поэтому с разумной долей условности можно считать, что имеет место вложение О с Ьд(Т, ц, и), при этом, если все пространства X, У, Z равномерно выпуклы, то сопряженным к Ьд(Т, ц, и) является пространство Ьр(Т, ц, и*) (см. теорему 2 [13, с. 182]). ♦
Как показала лемма 1, у равномерно выпуклых пространств есть много хороших свойств, в частности, в теории реализации важен следующий геометрический факт:
Лемма 5. При равномерно выпуклых X, У, Z для любого замкнутого подпространства Е с Нд существует замкнутое подпространство Е' такое, что Е + Е' = Нд, Е п Е' = {0}.
В аналитической теории обратных задач системного анализа теорема 1 [9] «описывает» один из основных качественных результатов общей теории идентификации, а именно, в любом идентификационном процессе «параметрического восстановления» динамического объекта (1) семейство сигнальных функций характеризуется конструкцией обычного лебегова пространства Ьд(Т, V, К). С другой стороны, развитие следствия [9] этой теоремы для задач структурной идентификации позволяет сформулировать важный результат (см. далее теорему 1), но уже в области качественной теории реализации непрерывных управляемых ^-систем в классе квазилинейных дифференциальных объектов с уравнениями состояния (1).
Теорема 1. Пусть X, У, Z равномерно выпуклы.
Тогда процесс (х, и, и#(х)) е П# обладает реализа-
цией (1), если и только если истинно хотя бы одно из условий
£q(T, V, R) с £j(T, v_, R);
I I dx/dt 11 x 01 x|| X q
+
I yi
+ и
f( x )|| Z i )
-1 /q
е Lp(T, ц, R);
3 f е LB(T, ц, R): VS е r
v_(S) < (v+(S))1/p(v(S))1/q, v+(S) = J |f(x)fV(dx);
S
здесь v и v_ — лебеговски пополненные бихевиорис-тические меры (3).
Замечание 6. В условиях теоремы 1 имеют место следующие положения:
а) можно считать, что второе условие дано для оператора Релея — Ритца [3];
б) £q(T, v, R) с £1(T, v_, R) не гарантирует
Lq(T, v, R) с L1(T, v_, R) (в силу следствия 1), при этом вложение £q(T, v, R) с £1(T, v_, R) непрерывно [19, с. 322];
в) можно считать | | dx(t)/dt| X(|| x (t)|| ^ + ||и (t)|| yA +
+ ||и#(x(t))||Zi )-1/q: = 0 в точках t е {t е T: (x(t), u(t),
u#(x(t))) = 0 е U}, если это множество ненулевой ц-меры (лемма 3);
г) реализация (1) для процесса (x, и, u#(x)) не обеспечивает (всегда!) единственность соответствующей ей (A, B, В#)р-модели (теорема 4 [9] и лемма 2);
д) для D-системы с поведением (x, и) е AC(T, X) х х Lq(T, ц, Y) задачу дифференциальной реализации можно ставить (см. замечание 2) в терминах структурной идентификации нелинейного позиционного закона u#(x), при котором для (x, и) в теореме 1 имеет место любое из трех условий реализации (x, и, u#(x)) в динамике (1), что можно интерпретировать как задачу построения аналитического представления уравнений состояния исследуемой динамической системы, в которых форма нелинейного члена u#(x) посредством теоремы 1 через пару (x, и) и идентификационный базис Q (см. лемму 4) подлежит «апостериорному конструированию».
Мы проанализировали три признака дифференциальной реализации локального (Card N = 1) поведения D-системы. Второй признак дает теоретически состоятельную интерпретацию поведения, полученного экспериментально как некото-
ё
рого K-решения. Два признака (второй и третий) заслуживают дальнейшего развития, что станет предметом исследования в следующем параграфе.
3. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ РЕАЛИЗАЦИИ НА ПУЧКЕ ПРОЦЕССОВ
Как подчеркивалось ранее, основная задача качественной теории дифференциальной реализации систем (1) с нелинейным позиционным уравнением u (x) состоит в анализе геометрической структуры пучков динамических процессов на
многообразии П#. Таким образом, стратегия, которую следует выбрать, исходя из данной программы исследований, состоит в том, чтобы сосредоточиться на изучении фиксированного N с П# (фиксированное экзогенное поведение «вход — выход» исследуемой D-системы с позиционным управлением u#(x)). Желательно, чтобы при этом означенное семейство было «обширным» по Card N насколько это возможно (от конечного, более единицы, до континуума); для Card N = 1 данная проблема в части существования модели реализации полностью решена теоремой (касательно некоторых вычислительных схем при построении дифференциальной реализации см. алгоритмы из работ [20, 21]).
Обозначим через L(T, ц, R) пространство классов ц-эквивалентности всех вещественных ц-изме-римых на Т функций и пусть <L — квазиупорядочение в L(T, ц, R) такое, что ф1 <L ф2, когда ф1, ф2 e L(T, ц, R) и при этом ф 1(t) < ф2(^ ц-почти всюду в Т. Наименьшую верхнюю грань для подмножества W с L( Т, ц, R) обозначим sup W, если она
L
существует для подмножества W в структуре частичного упорядочения <L.
Для равномерно выпуклого пространства X введем (конечномерный прототип данной конструкции был введен в статье [10]) энтропийный оператор Релея—Ритца AC(T, X) х Lq(T, ц, Y) х x Lq(T, ц, Z) ^ L^, ц, R), построенный согласно правилам:
^(g, w, v)(t) :=
II dg( t)/dA\x(|| g( t)|| Xq + I |w ( t)|| Yq + || V ( t)|| |q ,
если (g(t), w(t), v(t)) * 0 e U; 0 e R, если (g(t), w(t), v(t)) = 0 e U.
Пусть N с П#, Card N > 1 и Q — некоторое
(следовательно, любое) поглощающее множество в Span N; в геометрии поглощающего множества следуем работе [13, с. 42], т. е. u{aQ}a > 0 = Span N. В такой постановке принцип максимума энтропии, выраженный теоремой 2 [10] в аналитическом решении задачи дифференциальной реализации поведения D-системы в классе конечномерных систем (1), трансформируется в его аналог для
реализации поведения N с П# бесконечномерной D-системы:
Теорема 2. Если X, Y, Z равномерно выпуклы, то семейство процессов N с П# — K-решения уравнения (1) тогда и только тогда, когда sup ^(Q) e Lp(^ ц, R),
или (что равносильно) существует такая ц-непре-рывная положительная мера v+ , что для произвольного подинтервала Т*: = [t*, t*] с Ти любой тройки (g, w, v) e Q справедливо неравенство v_(T*) < < (у+(Т*))1/р(у(Т*))1/q, где v и v_ — меры вида:
v(S): = J 01 g(T)|| xq + ||w (t)|| Yq + ||v(t)|| |q )ц(Л),
S
S e ^
v_(S): = J||dg(T)/dT||z^dT), S e
S
Замечание 7. Реализация фиксированной системой (1) семейств динамических процессов из
„#
Пн — свойство конечного характера, что позволяет (при желании) с учетом теоремы 2 и леммы Тейхмюллера — Тьюки [23, с. 28] построить (определение 1 [10]) весьма элегантную структурную по Бурбаки аксиоматику D-систем с реализацией в классе моделей (1); аналитическая основа — построение для заданного закона u#(-): AC(T, X) ^ ^ Lq(T, ц, Z) шкалы множеств, содержащей П#,
и «фиксация» в ней максимального в П# множества N с характеристическим (структурным) теоретико-множественным свойством вида 3 sup ^(Q) e
L
e L/Т, ц, R). ♦
Качественное изучение дифференциальной реализации состоит, прежде всего, в выработке языка геометрической структуры пучков управляемых динамических процессов, поэтому естественно спросить: когда два пучка процессов имеют одно (общее) дифференциальное уравнение реализации, выраженной в терминах этого языка? Требуется, следовательно, установить некоторое геомет-
рическое отношение на заданном (для начала, на конечном) семействе пучков моделируемых процессов. Далее исследуем «угловое отношение», которое индуцирует означенную структуру; назовем ее — угловым инвариантным расширением реализации ^-системы.
Пусть О и М — произвольные (но фиксированные) ненулевые замкнутые подпространства в (Нд, ||-||я) такие, что О п М = {0}. Далее, через конструкцию
у[О, М] := ш*(||(й/1|й||н- Ь'А\к'\\н)\\н: к е 0\{0}, к' е М\{0}}
обозначим угловое расстояние [17, с. 21 ] между подпространствами О и М; при q = 2 функция углового расстояния у[*, •], через скалярное произведение в Нд, тесно связана [17, с. 42] с конструкцией угла в гильбертовом пространстве (см., например, теоремы 11.0 [17, с. 21] и 14.С [17, с. 21], которые «коррелируют» с леммой 5).
Постановка углового расширения: пусть
лизации D-системы N с Пн , 1< Card N < k < К„ че-
N2 с Пн , N1 n N2 = 0 — пучки динамических процессов с дифференциальной реализацией (1) (необязательно с одной и той же (A, B, B#) -моделью для N1 и N2). Рассмотрим задачу, не прибегая к теореме 2, но используя (!) факт существования реализаций для N1 и N2, определить на языке угловой метрики у[*, •] условия, когда расширенный пучок N := N1 u N2 тоже характеризуется K-решениями некоторого дифференциального уравнения (1).
Замечание 8. Другой геометрический подход к решению задачи существования инвариантного расширения реализации можно развить, опираясь на свойство полуаддитивности оператора Релея — Ритца (развивая результат теоремы 1 [12]). ♦
Обозначим через Е1 и Е2 замыкания в пространстве Hq линейных многообразий Span{x -(x, и, u#(x)): X е F, (x, и, u#(x)) е N1} и Span{x-(x, и, u#(x)): х е F, (x, и, u#(x)) е N2}, где F с L(T, ц, R) — семейство классов эквивалентности (mod ц) всех характеристических функций, индуцированных элементами ст-алгебры р .
М-
Теорема 3. Пусть пространства X, Y, Z равномерно выпуклы, а пучки процессов N1, N2 с П# определены ранее. Тогда семейство динамических процессов N := N1 u N2 состоит из К-решений некоторого уравнения (1), если у[Е1, Е2] > 0. ♦
Эта теорема позволяет, в частности, не используя впрямую теорему 2, исследовать свойство реа-
рез анализ угловых расстояний у
X Ej' E + 1 j = 1
на
конечном семействе пучков, в частности, «одноэлементных» Щ, I = 1, ..., к, из N прошедших предварительную апробацию (теорема 1: е
е Ьр(Т, ц, К)) на предмет существования реализации (1) для каждого динамического процесса Щ в данном контексте особый аналитический интерес приобретает постановка дифференциального моделирования слабоструктурированных ^-систем, связанная с методологической позицией д) замечания 6. С учетом общих положений, высказанных в замечании 7, теорема 3 имеет как «контрпункт» положения г) замечания 6 по сути очевидное, хотя и парадоксальное, положение:
Следствие 2. Пусть N и N (Щ ф — максимальные элементы в семействе подмножеств из П#, обладающих реализацией (1) с нелинейным позиционным законом и#(*): АС(Т, X) ^ Ьд(Т, ц, Z). Тогда у[Ер Е2] = 0, при этом семейства процессов N и N не обладают общей (А, В, В#)р-моделью в реализации (1) с управлением и#(х).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложенная статья преследовала цель — развить общий концептуальный подход, сформулированный Р. Калманом [1, с. 286]: «Мы рассматриваем сейчас задачу реализации как попытку угадать уравнения движения динамической системы по поведению ее входных и выходных сигналов, или как задачу построения физической модели, объясняющей экспериментальные данные». В данном контексте системы (1), будучи необходимыми для содержательного разговора о нелинейной дифференциальной реализации, в целом не достаточны для этой цели, тем самым возникает потребность в принципах, гарантирующих более широкую свободу в обращении с дифференциальными моделями. Поэтому наметим (тезисно) исследования по дифференциальной реализации в бесконечномерном банаховом пространстве, на которые стоит обратить дальнейшее внимание: на реализацию с вполне непрерывной [13, с. 382] интегральной ^-моделью (2), на стационарные модели
(А, В, В#) е X) х Ь(У, X) х Ь(Д X), на модели при Т = К, на модели [23] с минимальной оператор-
ной нормой
"АД X)
а при dk lx/dtk 1 е AC(T, X)
и позиционном управлении и — т1), *(? — т2), ..., — тг)) с запаздываниями т1, т2, ..., тг означенные постановки распространить на модели вида:
йк*/йгк = Ак _ 1йк - к - 1 + ... + Ахй*/& + А0* + + Ви + В#и#(*; т1, т2, ..., тг),
(Ак_ 1, ..., Ао, В, В#) е Ьр(Т, ¿(X, X)) х ... ... х Ьр(Т, ¿(X, X)) х Ьр(Т, Ь(Т, X)) х х Ьр(Т, ¿(2, X)).
В этой связи еще раз сошлемся на работу [21], в которой предложена конструктивная процедура построения нелинейных дифференциальных реализаций, позволившая, например, показать, как рассматривать уравнения Эйлера в качестве эмпирической экстраполяции дифференциальной модели динамики в реализации наблюдаемого пространственного вращательного движения твердого тела (см. так же постановку задачи структурной идентификации, означенную в замечании 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971. — 400 с.
2. Willems J.C. System Theoretic Models for the Analysis of Physical Systems // Ricerchedi Automatica. — 1979. — N 10. — P. 71—106.
3. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Нестационарная реализация Калмана — Месаровича в конструкциях оператора Релея — Ритца // Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 1. — С. 82—90.
4. Van der Schaft A.J. On realization of nonlinear systems described by higher-order differential equations // Mathematical Systems Theory. — 1987. — Vol. 19, N 3. — P. 239—275.
5. Коровин С.К., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Нелинейные отображения вход-выход и их минимальные реализации // Доклады РАН. — 2010. — Т. 434, № 5. — C. 604—608.
6. Колмогоров А.Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений // Колмогоров А.Н. Избранные труды: т. 1. Математика и механика. — М., 2005. — С. 296—300.
7. Данеев А.В., Русанов В.А., Русанов М.В. От реализации Кал-мана—Месаровича к линейной модели нормально-гиперболического типа // Кибернетика и системный анализ. — 2005. — № 6. — С. 137—157.
8. Ahmed N.U. Optimization and identification of systems governed by evolution equations on Banach space. — New-York: John Wiley and Sons, 1988. — 188 p.
9. Данеев А.В., Русанов В.А. К методам качественной теории идентификации сложных динамических систем // Доклады РАН. — 1997. — Т. 355, № 2. — C. 174—177.
10. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Принцип максимума энтропии в структурной идентификации динамических систем. Аналитический подход // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 11. - C. 16-24.
11. Русанов В.А. К качественной теории реализации квазилинейных систем в гильбертовом пространстве // Доклады РАН. - 2008. - Т. 421, № 3. - C. 326-328.
12. Русанов В.А. Об одной алгебре множеств динамических процессов, обладающей дифференциальной реализаций в гильбертовом пространстве // Доклады РАН. - 2010. -Т. 433, № 6. - C. 750-752.
13. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. -624 с.
14. Polderman J.W., Willems J.C. Introduction to mathematical systems theory: A behavioral approach. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. - 454 p.
15. Розендорн Э.Р. Теория поверхностей. - М.: МГУ, 1972. -204 с.
16. Антонова Л.В. Вещественные n-поверхности в пространствах Rn(e) // Вестник Бурятского гос. ун-та. - 2010. -№ 9. - С. 204-209.
17. Массера ХЛ, Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. - М.: Мир, 1970. - 456 с.
18. Barbu V. Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Space. - Leyden: Ncordhoff International Publishing, 1976. - 352 p.
19. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пус-тыльник, П.Е. Соболевский. - М.: Наука, 1966. - 500 с.
20. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // Прикладная математика и механика. -1952. - Т. XVI, № 6. - C. 659-670.
21. Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. К теории структурной идентификации нелинейных многомерных систем // Прикладная математика и механика. - 2010. - Т. 74, вып. 1. -С. 119-132.
22. Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986. - 752 с.
23. Данеев А.В., Русанов В.А. К проблеме построения сильных дифференциальных моделей управления с минимальной операторной нормой. I, II // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - № 1. - С. 144-153; № 2. - С. 170-178.
Статья представлена к публикации членом редколлегии академиком РАН С.Н. Васильевым.
Русанов Вячеслав Анатольевич - д-р физ.-мат. наук, гл. науч. сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск, И [email protected],
Антонова Лариса Васильевна - канд. физ.-мат. наук, доцент, Бурятский государственный университет, г. Улан-Удэ, И antonov vi [email protected],
Данеев Алексей Васильевич - д-р. техн. наук, проф., Иркутский государственный университет путей сообщения, И [email protected].
