ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛОГО РЯДА ДИРИХЛЕ ИЗ КЛАССА 𝐷(Φ) НА КРИВЫХ ОГРАНИЧЕННОГО K–НАКЛОНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 3 (2023). С. 3-13.

УДК 517.53+517.537.7

ПОВЕДЕНИЕ ЦЕЛОГО РЯДА ДИРИХЛЕ ИЗ КЛАССА Б{Ф) ИА КРИВЫХ ОГРАНИЧЕННОГО К НАКЛОНА

H.H. АИТКУЖИНА, A.M. ГАЙСИН, P.A. ГАЙСИН

Аннотация. Изучается асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле F (s) = aneXnS, 0 < Xn ^ œ, на кривых ограниченного ^-наклона, естественным

та

образом уходящих в бесконечность. Для целых трансцендентных функций конечного

порядка, имеющих вид f(z) = ^ anzp", рп G N, Полиа показал, что если плотность пота

следовательности {рп} равна нулю, то для любой кривой 7, уходящей в бесконечность, существует неограниченная последовательность {£та} С 7, такая, что при ^ œ имеет место соотношение:

inMf (ы) - in |/(е„)|

(Mf (г) — максимум модуля функции /). Позже эти результаты были полностью перенесены И.Д. Латыповым на целые ряды Дирихле конечного порядка и конечного нижнего порядка по Ритту. Дальнейшее обобщение было получено в работах H.H. Юсуповой-Аиткужиной на более общие классы И(Ф) и Щ_(Ф), определяемые выпуклой мажорантой Ф. В настоящей статье получены необходимые и достаточные условия на показатели Хп для того, чтобы логарифм модуля суммы любого ряда Дирихле из класса П_(Ф) на кривой 7 ограниченного ^-наклона был эквивалентен логарифму максимального члена, когда а = Res ^ +œ по некоторому асимптотическому множеству, верхняя плотность которого равна единице. Отметим, что для целых рядов Дирихле произвольного, сколь угодно быстрого роста соответствующий результат для случая 7 = R+ был получен A.M. Гайсиным в 1998 году.

Ключевые слова: ряд Дирихле, максимальный член, кривая ограниченного наклона, асимптотическое множество.

Mathematics Subject Classification: 30D10

1. Введение

Кратко остановимся на истории вопроса. Пусть

те

f(z) = ^ anzр" (1.1)

п=0

— целая трансцендентная функция, Р = {рп} — последовательность натуральных чисел, имеющая плотность

л т п

Л = Iim —.

П^ж рп

N.N. Aitkuzhina, A.M. Gaisin, R.A. Gaisin, Behavior of entire Dirichlet series of class и(ф)

on curves of bounded ^-slope.

(с) Аиткужина II.П.. Гайсин A.M., Гайсин P.A. 2023. Поступила 31 января 2023 г.

Работа второго автора (Введение) выполнена при поддержке гранта РНФ 21-11-00168. Работа третьего автора (раздел 3) выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FMRS-2022-0124).

Полиа [1] показал, что если Д = 0, то в каждом угле {z : | arg(z — а)| ^ $}, 6 > О, функция f имеет тот же порядок, что и во всей плоскости. Соответствующий результат для рядов Дирихле

те

F(s) = ^ aneKs, 0 < Лга t го, (1-2)

п= 1

абсолютно сходящихся во всей плоскости, доказан в [2]: если для последовательности Л = {Ап} выполняются уеловия Д = 0 и Ап+1 — An ^ h > 0 п ^ 1, то Д-порядок функции F на положительном луче R+ = [0, го) равен Д-порядку pR функции F во всей плоскости,

Д=0

конденсации 6 последовательности Л равен нулю, то pR = р7, где

р7 = lim lnln (s) \, а = s,

7, s^-те (j

_ ПОрЯдОК п0 Ритту на кривой 7, уходящей в бесконечность так, что если s G 7 и s ^ го, то Res ^ +го.

Наиболее общий, но результат несколько иного характера, установлен в статье [4]. Для того, чтобы сформулировать его, введем соответствующие обозначения и определения.

Пусть Г = {7} — семейство всех кривых, уходящих в бесконечность так, что если s G 7 и s ^ го, то Re s ^ +го.

Через D (Л) обозначим класс целых фупкций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле (1.2), а через D(Л, R) — подкласс D(Л), состоящий из фупкций F, имеющих конечный порядок Pr(F) по Ритту:

/ т-а т~.— lnln MF (а) „ , . . ...

pR(F)= lim -, MF(а) = sup \F(а + it)\.

^+те О |4|<те

Для F G ^(Л), 7 G Г положим

d(F; т >=Jm- етЬ • d(F >=7nfd(F; ?

Через L обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на [0, го) положительных функций.

Последовательность {bn} (Ьп = 0 при п ^ N) называетея W-нормальпой1, если найдется функция 9 G L, такая, что [4]

х

lim í ®dt = 0, — ln\bn\ ^ 0(\п), п ^ N. х^те ln X J t2 1

Рассмотрим произведение Вейерштрасса

те / т2 \

Q(z) = U{1 — TT , 0 < К Тго.

п=1 ^ Ап'

Известно, что Q — целая функция экспоненциального типа в том и только в том случае,

Л

В [4] доказана

Л

Предположим, что последовательность {^'(Ап)} W -нормальна. Для того, чтобы, для

настоящей статье будет применяться термин «W(ln)—нормальная последовательность».

8 = Иш — 1п

п^те рп

0.

любой функции Р е Р(Л, К) выполнялось равенство ¿(Р) = 1, необходимо и достаточно, чтобы, выполнялось условие

— щ1- Е г = 0. м

х^те 111 ^ . , /хп

ХП^Х

Пусть целая функция / конечного порядка имеет вид (1,1), Если последовательность Р имеет плотность А = 0, то ) = 1 ) — аналог вели чины ¿(Р), который определяется по всевозможным кривым, произвольным образом уходящим в бесконечность). Этот факт впервые был установлен Полна в [1], Заметим, что равенство ) = 1 вытекает и из более

А=0

11 Иш -- > — = 0.

х^те 1п X Рп

Рп ^Х

Так как А = 0, а рп е N то, как известно (см., например, [5]),

1

Я'(Рп)

Это означает, что существует функция 9 е Ь, 9(х) = о(х) при х ^ то, такая, что

- 1п (Рп)1 < 0(Рп), П > 1.

Значит, последовательность (рп)} ^-нормальна (Ж(1п)-нормальна),

Наконец, если / — целая функция конечного порядка, то полагая г = замечаем, что

те

Р (я) = / (е') = £ апеРп3

п= 1

— целая функция конечного Д-порядка, Следовательно, ) = ¿(Р), и все следует из теоремы 1,1,

Однако из того, что ¿(Р) = 1, вообще говоря, не следует выполнение равенства Рк(Р) = Р~( для порядков то Ритту функции Р во всей плоскости и на кривой 7 е Г, Оказывается, если в теореме 1,1 условие (1.3) заменить на более сильное требование

11 Иш -- > — = 0,

х^те 1п X ' Лп

Хп^х

ТО Рк(Р) = Ру ДЛЯ любой функции Р е 0(Л, Я) (см, [6]),

Как и в работе [6], здесь рассматривается более общая ситуация, а именно изучается класс рядов Дирихле (1.2), определяемый некоторой выпуклой мажорантой роста. Для кривых 7 е Г, имеющих ограниченный наклон, доказана более сильная асимптотическая оценка, чем полученное в [6] равенство ¿(Р) = 1 для функций из того же класса.

По определению, кривая 7 е Г, заданная уравнением у = д(х), х е = [0, +то), имеет ограниченный наклон, если

д(Х2) — д(хг)

вир

Х1 >х2 ^^ х1=х2

Х2 — Х\

К < то. (1.4)

Условие (1.4) означает, что тангенсы всех хорд кривой 7 то модулю то превосходят К. В этом случае 7 называется кривой ограниченного Х-наклона,

В ряде статей была обнаружена тесная связь регулярности роста суммы ряда Дирихле (1,2) на 7 е Г с неполнотой системы экспонент |еХп2:} на дугах 7' С 7, особенно — с усиленной неполнотой этой экспоненциальной системы в вертикальной уолосе (см, [7]-[9]), Следует отметить, что результаты работ [8], [9] о неполноте системы {еХ"г} на дугах могут быть применены к исследованию теорем единственности и асимптотических свойств

целых рядов Дирихле (1.2) без никакого ограничения на роет MF(а), т.е. в самом общем случае.

Цель настоящей статьи — при тех же условиях на Л, что и в [6], показать, что если

ln MF (а) lim — — < го Ф(а)

(Ф — некоторая выпуклая на R+ функция), то для любой кривой 7 е Г ограниченного К-наклона при s е 7, а = Res ^ +го то некоторому асимптотическому множеству А С R+, верхняя плотность которого DA = 1, имеет место асимптотическое равенство Полна

ln |F(s)| ~ ln MF(a), s е -у.

Ясно, что это соотношение существенно лучше, чем равенство d(F) = 1.

2. Вспомогательные утверждения. Основные результаты

Пусть Л = |Ап} (0 < \п t го) — последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность D. Тогда Q(z) — целая функция экспоненциального типа не выше nD*, где D* — усредненная верхняя плотность последовательности Л:

D* = lim ш, N(*)=/ ^М dx, n(t) = у 1.

^те Ь } я

о хз ^

Всегда В* ^ И ^ еБ* (см., п-р, [5], [10]).

Пусть Ь — класс всех непрерывных и неограниченно возраетающих па положительных функций, Ф — выпуклая функция из Ь,

Бт(Ф) = е Б (Л) : 1п Мр (а) ^ Ф(та)} , т ^ 1,

где Мр(а) = вир (а + й)|, Положим

|*|<те

те

Я(Ф) = U А»(Ф)

т=1

Ф

пт < го, (2.1)

х^те 1р(х)

где р — функция, обратная к Ф. Для наших целей потребуется следующий класс монотонных функций:

^ х

Ш Ы = { т е Ь : /х ^ т(х), Ит —^ [ ^^ <Ц = 0

х^те <р(х) ^ Ь2

Отметим, что условие у/х ^ т(х) в данном определении не ограничивает общность рассуждений. Оно вводится для удобства. Пусть Г = (7} — семейство кривых 7, введенное выше, и пусть для Р е О (Л)

d(F; 7 ) = йт п 1П '^У1 ,, d(F) = т£ d(F; 7). (2.2)

1 ' 8&у, з^те 1п Мр(Ие в) 1 ; тег 1 ' 1 ;

Через ^(а) обозначим максимальный член ряда (1.2).

В работе [11] доказан критерий выполнения равенства ¿(Р) = 1 для любой функции Р из класса Д(Ф), а в [6] — для класса Д(Ф), где

те

д(ф)= и

т= 1

В_т(ф) = е Я(Л) : 3{ага} : 0 < К} | го, 1пМР(ап) ^ Ф(тап)}, т > 1.

Будем говорить, что последовательность (Ап)} Ш(^)-нормальна, если существует 9 Е Ь, такая, что

x

lim 1 f^dt = 0, - lnl Q' (Ara) 9(Xn), n ^ 1. (2.3)

х^те (p(x) J tz 1

В [6] доказана

Теорема 2.1. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q1 (An)} W(ф)-нормальна.

Для того, чтобы, для любой функции F Е Д(Ф) выполнялось равенство d(F) = 1, необходимо и достаточно, чтобы, выполнялось условие

lim V -1 = 0. (2.4)

х^те т(х) Xn

1 ап^х n

Отметим, что в определении класса Д(Ф) можно, например, рассматривать функцию

Ф(а) = ехрехр ... exp(a), k ^ 1. 4--'

к

Следовательно, из теоремы 2.1 вытекает соответствующий результат из [4], доказанный для случая к = 1.

Сформулируем основной результат.

Пусть Ф — функция, введенная выше, ф — функция, обратная к Ф, Верна

Л

вательность {Q'(An)} W(ф) -нормальна. Если, выполняется условие (2.4), то для, любой функции F Е Д(Ф), для, всякой кр ивой 7 Е Г ограничены ого К-наклона при s Е 7, а = Res ^ +то по некоторому асимптотическому множеству А С R+, верхняя, плотность которого DA = 1, справедливо асимптотическое равенство

ln |F(s)| = (1 + о(1)) lnMp(a), s Е j. (2.5)

Приведем формулировки лемм, которые будут использованы для доказательства теоремы 2.2.

Лемма 2.1. Пусть Ф Е L, и для функции у, обратной к Ф, выполняется условие (2.1). Пусть, далее, и(а) — неубывающая, положительная и непрерывная на [0, то) функция, причем, lim и(а) = то, ° для некоторой последовательности {rn} и т Е N выполняется

а^те

1

u(Tn) ^ ln Ф(шГп).

Предположим,, что функция w принадлежит классу W(ф). Если v = v(a) — решение уравнения

w(v) = еи(а),

[12] лемма 2.1 доказана при выполнении оценки и(тп) ^ СФ(т„). То, что она верна и при и(тп) ^ Ф(ттп), очевидно.

'то при а ^ го вне некоторого множества Е С [0, го),

mes(£" П [0, тп}) = o(<p(v(rn))), тп ^ го,

имеет .место оценка

( w(v(a))\ . .

V /

Лемма 2,1 доказана в [12].

Лемма 2.2. Пусть функция g(z) аполитична и ограничена в круге

D(0,R) = [z : |z| <R}, |g(0)| ^ 1. Если, 0 < г < 1 — NN > 1, то существует не более чем счетное .множество кружков

Vn = [z : |z — Znl < Pn} , У Pn < RrN(1 — r), (2.6)

п

'таких, что для, всех z из круга [z : | z| ^ rR}, но вне |J Vn справедлива, оценка

п

R - Ы

ln №)| ^ ln |,(0)| — 5NL, (2.7)

где

L =Ц ln+\g(Rew )\d0 — ln |^(0)|. о

Лемма доказана в [13].

3. Доказательство теоремы 2.2

Последовательность [Q'( An)} W(^)-нормальна, а Л = [Ап} имеет конечную верхнюю плотность. Следовательно,

_ N(х)

lim < го, — ln |Q'(An)| ^ в (An), п ^ 1, BeW {ф).

х^те х

Так как (см. [6])

ж

1 [ N (t)

sup

ж>0

Е

An J t2

0

а < го,

то с учетом (2.3), (2.4) отсюда получаем, что

х

1 [ N (*) ,

Ит —— -Аг-<й = 0.

х^те ф(х^ Ь2 о

Положим 1^(1) = тах(^Д,М(еЬ) + #(£)), где в — функция из условия (2.3). Ясно, что т е Ш(ф). Тогда, очевидно, существует функция и)* е Ш(ф) такая, что и)*(х) = 3(х)ги(х), 3 е Ь.

Пусть V = у(а) — решение уравнения

т*(ь) = 31п^(<г). (3.1)

Положим

^ = тю(У(а)) н(1) = 'Шг(у) ь* = ю*(у(а)) у(а) ' V ' у(а) '

где и!* (у) = \/3(х)'ш(х). Пусть

К = ^ |а3| еХ>а, ь = ь(а).

те

Так как последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность, то С = ^ Л-2 < го,

п=1

Следовательно, верна оценка (см., например, [7])

К < С^(а + к*) ехр [-(1 + о(1))т*(ь)]. (3.2)

Рассмотрим функцию и(а) = 1п3 + 1п1п^(<т), Поскольку Р е Д(Ф), то найдется последовательность (т3}, 0 < т3 ^ го, такая, что

и (а) < 1пФ(гаа), а = т3, т ^ 1.

Следовательно, с учетом (3,1) при а = ту, ] ^ 1, имеем:

1п^*(г>(<7)) = и(а) < 1пФ(гаа), т ^ 1.

Значит,

1 —т/ ^ , ° = Т1, т ^ 1. (3-3)

Учитывая условие (2,1) и то , что у/х < т*(х), имеем

<р(х) <С1<р(ь)*(х)), х ^ хо, 0 < С1 < го. (3.4)

В итоге из (3,3) и (3,4) получим оценки

1 < С2

а < р(У(а))'

Далее, поскольку и)* е Ш(<р), а функция <р вогнутая то

1 < „лС,^ , * = Т1, 1, 0 <С2 < го. (3.5)

х^те

что сразу вытекает из равенства

Ит = 0, (3.6)

- ■ -- хр(х)

х

11т /^* = 0. (3.7)

х^те Ь2

1

Применяя лемму 2.1 для функций и и и)* и учитывая (3.5) при а ^ го, вне некоторого множества Е1 С [0, го),

те8(^1 П [0, т3]) < о(<р(ь(т3))) = о(т3), т3 ^ го, (3.8)

получаем, что

р(а + 3к*(а)) =^(а)1+о(1). (3.9)

Следовательно, из (3.2), (3.9) получаем, что при а ^ го вне множества Е1, нижняя плот-Е1 = 0

К < С^(а)1+о(1) ехр [-^»(1 + о(1))] = ^(а)-2(1+о(1)). (3.10)

Отсюда следует, что Л„(а) < ь(а) при а ^ а^ а е Е^, где Л„(а) — центральный показатель ( г/(а) — центральный индекс) ряда (1.2).

Тем же способом, что и (3.10), показывается, что при а ^ го вне того же множества Е1

(см. [7])

^ К-1еХ(°+н(1)) </1-2(1+о(1))(а). (3.11)

Ху >'и(а)

Соотношение Бореля-Неванлинны (3,9) позволяет это сделать, так как (а) = о(И*(а)) при о ^ то (свойства (3,6), (3,7) необходимы при доказательстве самой леммы 2,1), Пусть

ад = £

Тогда для \п ^ а имеем (см, [5]):

a(S) У j Л„<а

X„s

s = а + it.

ап = е-а л — <Pn{t)Fa{t + a)dt,

(3.12)

с

где а — произвольный параметр,

= db/ ^ ^ ^ «а(Л)=п(1 - $ ,

п лп^а

(3.13)

а С — любой замкнутый контур, охватывающий Д — сопряженную диаграмму Qа(\). Но Я а (А) — полином, следоват ельно, И = {0}.

Положим а = у(а), а = а + И, где ¿такое, что а Е 7, В качестве С возьмем контур Н : Щ = где = к(1\а) = ^ (<т) . Далее, по предположению,

- 1п (Ага)| £ в(Хп) £ т(Хп), п > 1.

Следовательно, с учетом равенства (3.1) получаем, что для любого \п £ у(а) при а ^ то будем иметь

1 £ . _ 1 .. < ев(х") < е™^ = = ^(а)о(1).

\Q'V(Ап)Р \Q>(Ап)|

Но тогда из (3.12), (3.13) получаем, что для всех \п ^ v(a) при а ^ то вне множества El

\ап\еКа ^ ^(a)o(l)h(l)

max(1) \F(£)\ + £ К-\ (ct+h(1))

Qv (A)

A — \r,

\е-л\\dA\, (3.14)

где a = a + it E 7.

Нетрудно показать, что (см. [14]

max |л|=

Qv (А)

А — \г,

^ М(l)Mv(г),

(3.15)

где М(l) = max\Q(z)\, Mv(г) = max \Qv(z)\. N=l

Так как \v(a) ^ v(a) вне El при a ^ а', учитывая (3.11), (3.15), из (3.14) при a ^ то вне El получаем:

Ma)l+o(l) ^ h(l)

max(i) \F(£)\ + M^)-2(l+o(l))

Mv (r)e-rh(1) dr. (3.16)

Далее, учитывая определения величин V = ь(а), = Л,(1)(а), а также неравенства п(ж) < N(ех), 1п(1 + х2) < х, х > 0, имеем:

ln М(г) = n(v) ln l + -г J + 2r

(1+5)

<t) dt < My) r + 2N(v) = 0(i)h(l)r + 0(1) ln ^(a).

t(t2 + r2)

Следовательно, из (3.16) получаем, что при а ^ то гае El

^(a)l+o(l) ^ max(i) \F(£)\ = \F(£*)\,

(3.17)

v

2

где |£* — а| = Н(1) , а = а + й е 7. Учитывая оценку (3,15), при а ^ го вне Ех имеем также

те

р(а) ^ Мр(а) ^ Мр(а + 2Н*) ^ ^ К|еМ^*)

п=1

^ р(а + 3Н*)

п(у) + X]

л^ >'(а)

е-н*х3

(3.18)

< Ма)

Пусть В = \Е1; Н = . Тог, [,н нмсск'Я шкмс.юна !ельность (а,}, а, е 5, а, ^ 0

а, + Н, < а^+ь > 1, такая, что (см. [13])

В с и[а, — + Н]

,=1

где Н

1 1

Положим д(г) = Р(г + £*). Из (3.17) видно, что (0)| > 1 при а ^ а'' > а' гае Е1. При-

меним лемму 2.1 к функции д(г), полагая в (3.17) а, = а, + гН(1) = Н^ = ' у/@(V,), а в оценках (2.6), (2.7) N = 4, г = Д = Н*, где Н* = э > ^. Тогда в круге

(г : |г| < Н,1}, то вне исключительных кружков Уп, с общей суммой радиусов

Н

Т,Рп < ^, Ъ = 0Ж")), 3> 31,

(3.19)

выполняется оценка (2.7).

Пусть у, — часть 7, соединяющая вертикальные прямые, проходящие через концы отрезка Д, = [ а, — Н,, а, + Н,]. Поскольку кривая 7 имеет К-наклон, то у, лежит в некотором прямоугольнике Р, = Д,х [с,, (], ( — с, < 2КН,, с центром в точке а, = а,^ и соединяет его вертикальные стороны.

Поскольку прямоугольник Р, содержится в к руге (х : |г| < Н1}, то для всех г е Р,', но вне кружков Ущ с общей суммой радиусов, удовлетворяющей оценке (3.19), при ] ^ го получаем, что

20 Ь "

1 + о(1) —

1п ^(г)| >

1п 1д (0)|.

(3.20)

1п 1д (0)|,

Учитывая (3.17), (3.18), а также то, что (0)| > 1, убеждаемся в том, что при ] ^ го выполняется асимптотическое равенство

Ь

1п 1д (0)|

= о(1),

где

1

2ж

Ь 1п+ ^ (Пегв)( — 1п Ь (0)|, 0

0(0) = Р(С*), |Ке Г — а,| < Н(1), а3 = а, + г 13 е 7.

Следовательно, из (3.20) для всех г из прямоугольника Р,, то вне кружков Уппри j ^ го имеем:

1п к( *)| > (1 + о(1))1п к(0)|. (3.21)

Но тогда, учитывая, что д(г) = Р(г + £*), и используя оценки (3.17)—(3.21), получаем, что для всех г из Р, с центром в точке а, = а, + гто вне исключительных кружков Уп,

с общей суммой радиусов не больше тт-,

Р]

1п |Р(г)| > (1 + о(1))1п), 3 —^ то>. (3.22)

Пусть Е2 — проекция всех исключительных кружков множества из- Рз на В, где

оо

аз = аз + Из — центр Р^ В С и [аз- — Из, аз + Из], аз Е В, аз + Из < > 1. По-

з=1

кажем, что РЕ2 = 0. Действительно, пусть аз < а < аз+1. Согласно (3.6),

Из < Ир < И* = о(а3-), — то.

А так как ф ^ то при ] — то, то, очевидно,

те8(Р2 П [0,а]) 11т -= 0.

а^о (у

Значит БЕ2 = 0, а следовательно, ¿Е = 0, где Е = Е1 и Е2.

Оценка (3.22) имеет место в каждом Рз с центром аз = аз + Из Е 7, но вне исключительных кружков Упз, общая сумма радиусов которых удовлетворяет оценке (3.19).

Проекция рз дуг и ^з на есть отрез ок [аз- — Из, аз + Из]. Положи м А = Р\Е, где Р = и°=1 Рз- На этом множестве выполняются асимптотические оценки (3.18), (3.22) {А называется асимптотическим множеством). Отсюда следует, что при э Е 7, Ее 5 = а — то то миожеетву А

1п 1Р (в)| = (1 + о(1))1п Ма) = (1 + о(1))1п Мр (а).

Осталось оцепить РА. Учитывая, что В С Р, а те$(Е П [0, Тз]) = о(гз-), т — то, имеем

ПА = 11т те8(А П [°,а]) ^ 11т тез(РП]0,тзД — 11т те8(Р П [0,Гз]) = 1.

а^о (у Ту Тз Ту Тз

Здесь {тз} — последовательность, введенная выше. Значит, БА = 1. Теорема 2.2 доказана.

Как показано в [6], условия теоремы 2.2 и необходимы для того, чтобы для любой функции Р Е Р(Ф) на некотором множестве А С имеющей положительную верхнюю плотность РА, выполнялось асимптотическое равенство (2.5). Следовательно, утверждение теоремы 2.2 носит необходимый и достаточный характер.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Pölva. Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzeihen // Math. Z. 29, 549-640 (1929)'.

2. M.II. Шеремета. О росте na действительной оси целой функции, представленной рядом, Дирихле // Магс.м. заметки. 33:2, 235-245 (1983).

3. A.M. Гайсин. Поведение суммы ряда, Дирихле заданного роста // Матем. заметки. 50:4, 47-56 (1991).

4. A.M. Гайсин, И.Д. Латыпов. Асимптотическое поведение суммы ряда, Дирихле заданного роста на, кривых // Матем. заметки. 78:1, 37-51 (2005).

5. А.Ф. Леонтьев. Посл,едова,т,ел,ъност,и полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980.

6. A.M. Гайсин, H.H. Юсупова. Поведение суммы ряда, Дирихле с заданной мажорантой роста на, кривых II Уфимск. матем. журн. 1:2, 17-28 (2009).

7. A.M. Гайсин. Оценка, роста и убывания, целой функции бесконечного порядка, на, кривых // Матем. сб. 194:8, 55-82 (2002).

8. A.M. Гайсин, P.A. Гайсин. Неполные системы экспонент на дугах и неквазианалитические классы, Карлемана // Алгебра и анализ. 27:1, 49-73 (2015).

9. P.A. Гайсин. Интерполяционные посл,едова,т,ел,ъност,и и неполные системы экспонент на кривых 11 Матем. сб. 212:5, 58-79 (2021).

10. А.Ф. Леонтьев. Ряды, экспонент,. М.: Наука. 1976.

11. H.H. Юсупова. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2009.

12. A.M. Gaisin, N.N. Aitkuzhina. Stability preserving perturbation of the maximal terms of Dirichlet series // Probl. Anal. Issues Anal. 11(29):3, 30-44 (2022).

13. A.M. Гайсин. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН. Сер. матем. 58:2, 73-92 (1994).

14. A.M. Гайсин. Свойства рядов экспонент с последовательностью показателей, подчиненной условию Левинсона // Матем. сб. 197:6, 25-46 (2006).

Наркес Нурмухаметовна Аиткужина, Уфимский университет науки и технологий, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: YusupovaNSrambler. ru

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: gaisinam@mail.ru

Рашит Ахтярович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: rashit. gaj sinSmail. ru