Оценка ряда экспонент заданного роста на кривых Текст научной статьи по специальности «Математика»

бо

УДК 517.5З ББК 22.161.5

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ОБЗОРЫ раздел МАТЕМАТИКА

ОЦЕНКА РЯДА ЭКСПОНЕНТ ЗАДАННОГО РОСТА НА КРИВЫХ

Латыпов И . Д . *

Изучается связь между ростом и убыванием суммы целого ряда Дирихле конечного нижнего порядка по Ритту на кривых.

Пусть Л = {Хя} (О < X Т ад) —

последовательность, име ющая конечну ю верхн ю ю плотность

D = lim т- <ад- (1)

тад п

К

Через D(A, R) и D(A, R) обозначим классы всех функций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле

F(5) = ^ aneК■5 (5 = а + it) (2)

п = 1

и име ющими конечные порядки рR(F) и конечные нижние порядки рR(F) по Ритту (R-порядки). По определению

р R (F) = iT^lnln м (а ), р ( f ) = lim lnln м (а ), 0де м (а) = suPlF(a+ it)|.

а —R ------ а lt<“

а ^ + ад а ^ +ад

Так как ряд (2) сходится во всей плоскости абсолютно, то его сумма F - целая функция [1]. Наряду с рядом (2) введем измененный ряд

ад

F * (5) = £ anQ{\ )еЧ (3)

п= 1

( 2 ^

где q (z) = ^ \ _ I Так как Q — целая функция экспоненциального типа, то ряд (3) также

»=i I К» )

абсол ютно сходится во всей плоскости, а F* — целая функция.

Через L обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возраста ющих на [0,<ю) положительных функций W = w(х). Пусть

W = { w е L : I" —(—- dх < да}, а W = {w е L : л/х < w (х ), lim —— f W (/) d t = 0}.

J х х In х ' t

Будем говорить, что последовательность {bn}(bn Ф 0 при п > N) W _ нормальна, если найдется

функция 0 е L, такая, что

lim-^ f dt = 0, _ ln|b„|< 0 (К „)(п > N).

х In х ' t

Пусть Г = {у } — семейство кривых, где у — л юбая кривая, уходящая в бесконечность так, что если 5е у и 5 ^ ад,то Res ^ +ад .

Через D(A) обозначим класс всех функций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле (2). Для Fе D(A),у е Г положим

1п1^ (5)1 ^Ъ,= (6)

d (Р; у )= }1т М--, d (Р ) = тГ d (Р; у ).

1п М (Ке8) уе г

Пусть, далее, р (ст ) и р* (ст ) - максимальные члены рядов (2) и (3) соответственно, то есть

р (ст) = тах{| ап \ ех"а}, р* (ст) = тах{| ап\\@(кп) | ех"а}.

п>\ п> 1

* Латыпов Ильяс Дамирович - аспирант математического факультета БашГУ

В статье в терминах ц (ст ) и ц* (ст ) для й) установлена оценка снизу.

§1. Вспомогательные факты Имеет место следу ющая лемма типа Бореля - Неванлинны.

Лемма 1 [2] .Пусть и(ст ) - неубываю щая непрерывная на [0,да) функция, и(ст ) ^да прист ^да. Пусть ^ е Ь,

^ = 0(1), X ^да. (5)

X 1п X

Если V = у(ст ) - решение уравнения м^у) = еи(ст}, а для некоторой последовательности {т}(0 < X Т да) при т . ^ да

1п у(т ^) = 0(т}), (6)

^(т , )

lim — J dt = 0, (7)

mo при ст ^ да вне некоторого множества Е с [0, да),

mes(Е п [0,т .]) = о(т .), т . ^да,

имеет место асимптотическая оценка

и(ст + ^(у(ст ))) < м(ст ) + о(1). (8)

v(ct )

ЗАМЕЧАНИЕ . Найдется функция w* (t) = Р (t)w(t) (0 < Р (t) Т да, t ^да) из класса L ,

удовлетворяющая условиям (5), (7) леммы 1. С учетом (6) показано, что [2]

v(t j ) * (t)

mes(E п [0,тj]) < o(ln v(tj)) + 4 J W 2 dt = o(tj). (9)

V(T!) t

ЛЕММА 2 . Пусть максимальный член ц(ст ) ряда (2) имеет конечный нижний R порядок. Тогда существует последовательность ст . Т да, А (0 < А <да ), В (0 < В <да ), С (0 < С <да ) такие, что при ст = ст

lnln ц (ст ) < Аз, lnln ц * (ст ) < Вст,

где ц* (ст ) - максимальный член ряда (3).

Доказательство леммы 2 достаточно простое и поэтому его не приводим.

ЛЕММА 3 [3] . Пусть у — кривая, соединяю щая точку z0 с окружностью {z :| z - z0|= R},

состоящая из конечного числа кусочно-гладких жордановых кривых, а g (z) — функция, аналитическая в круге D(z0;R) = {z:| z- z0|< R} и непрерывная в ее замыкании D(z0;R). Пусть М = max | g(t)|, m = max|g(t)|.

D (z0 ;R) у

Тогда при 0 < Р < ^ для всех z из круга D(z0; Р R) верна оценка:

\g(z)|< m1'2рМ2р. (10)

§2 . Основные результаты

Сформулируем основные результаты статьи.

ТЕОРЕМА 1. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие

1 v- 1 Л

limi—Е^т=0 (11)

х^да In X <х Хи

то для любой функции F е D(Л, R) и любого Р (0 < Р < ^) существует множество Ер, dEp = 0, такое, что справедлива оценка

ln Ц * (ст ) < 9 Р + (1 - 9 Р ) d (W ) (12)

1im , : ' < 2 Р + (! - 2 Р )d (F; у )

аЛ, In ц (ст )

где ер = [0,да)\ Ер , у — любая кривая из семейства Г, а й(^;у ) — величина, определенная формулой (4).

ТЕОРЕМА 2. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {<0'(кп)} Ж -нормальна.

Для того, чтобы для любой функции ^ е 0_(Л К) выполнялось равенство й(^) = 1, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие (11).

Достаточность теоремы 2 следует из теоремы 1 и теоремы из [4]. Необходимость установлена в [5]. Теорема 2 является обобщением соответству ющих результатов Г. Пойа [6], М.Н. Шереметы [7], А. М. Гайсина [8], и в классе целых функций ^е 0_(Л К) она носит законченный характер.

§3 . Доказательство теоремы 1

Приступим к доказательству теоремы 1. Из (11) следует, что цт 1 Г ^(г) йг = 0. Положим

X^да 1п х •0 г2

^(г) = тах(>/г, N(ег)). Ясно, что меЖ. Тогда существует функция м* (х)еЖ такая, что

V (х) = Р (х)^(х) (0 < Р (х) Т да).

Пусть V = у(ст ), р = р(ст ) — решения уравнений

w1 (у) = 31п ц (ст ), w1 (р) = 21п ц * (ст ), (13)

где (х) = у1 Р (х)^(х), а ц* (ст ) —максимальный член ряда

да

Г (.) = £ ап0(1п )еЧ (14)

п=1

-----1п| № )|

Так как Цт------------------— < да, то данный ряд абсолютно сходиться во всей комплексной плоскости

и^да

и согласно лемме 3 его сумма имеет конечный нижний С - порядок. Положим

К = Да |е*Л К = , V = у(ст).

^ V

Как в работе [3] показывается, что

К < Сц(ст + К)ехр[-у(1 + о(1))К] = Сц(ст + К)ехр[-(1 + о(1))^(у)], С = £^г• (15)

Г

п= 1

Положим и(ст ) = 1п 3 + 1п1п ц (ст ), и* (ст ) = 1п 2 + 1п1п ц* (ст ). Поскольку Ре В_(Л К) , то согласно лемме 3 найдется последовательность {т .}(0 <т . Т да), такая, что и(ст ) < Мст, и и* (ст ) < Мст при ст = т .(0 < М < да). Следовательно, с учетом (13) при ст= т .(у > 1) имеем

1п (у(ст )) = и(ст ) < Мст, 1п (р(ст )) = и* (ст ) < Мст (0 < М < да).

Но у[х < (х) . Следовательно,

1 2 М 1 2 М ,

— <---------, —<------------, ст = т (у > 1). (16)

ст 1п у(ст ) ст 1п р (ст )

Далее, поскольку ж* е Ж, то

,. м* (х) Л

11т—— = 0, (17)

х^да х 1п х

11т— йг = 0. (18)

х^да 1п х * г

г 1 ’"г) (? Ь .

Следовательно из (16), (18) получаем, что 11т— I —-— йг = 0.

т, ^да т ^ г

1 т ^ 1 I

Из (16) следует, что 1п у(т .) = 0(т .), т . ^да. Так как (х) < (х), видим, что для пары

функций м и все условия леммы 1 выполнены. Поэтому, применяя эту лемму и учитывая при этом

у{г ,)

(9) вне некоторого множества ^р с [0, да),

п[0,хі])< о(1пу(хі)) + 4 | <*,хі — да,

^І

при о —— да получаем,что

и (о + (р -1 + 1)й(о)) = и (о У+о(1) (0 < Р < 1).

Следовательно, из (15), (20) получаем, что при о —да вне £*р

Я < С и (о У+о(1) ехр[-^ (у)(1 + о(1))] = и (о )-2(1+о(1)). Пусть Ра (я) = ^ апек° (^ = о + И). Тогда [2]

= e-аХ" [ф „{t)Pa{t + а )d-у

2ж i J

где

ф „ с-) = ^тт ІГ-г1 e~Г 1 d Г qa {г) = П

і - ■

(19)

(20) (21)

(22)

(2З)

Ч 'а ( Х „ ) 0 Х - Х »

а С — л юбой замкнутый контур, охватыва ющий сопряженну ю диаграмму ча, то есть начало координат. Положим а = у(о ), а в качестве С возьмем контур {?:| і\= к(о )}. Пусть а =о + іх , где х

такое, что а є у . Поскольку что для любого Гп < v(a )

1 .< 1

q\(Г „ )| | Q'{Г „ )|

{п > 1) для Г < v(a ) то из (22), (2З) получаем,

Q'{Г„)|eг"а < h{а )[ max \Fg)|+^|a \е

Ц-а|< h {а ) “^

Г, {а + h {а ))

][ М (r + 2; q„)e - h{a >rdr. (24)

Из (24) получаем, что для всех Хп < у(ст ) при ст ^ да вне Ер [3]

| «Л )| eX"a < ц(ст )-2(1+о(1)) + ц(ст )о(1> max I F(g)|.

|£-а|<^а)

(25)

Пусть Rp =^|aJ|Q'{r„ )|ex"a, p = p (a ). Далее, и* (a ) < Мa при a= г j ( {г^.} —

Xn > p

последовательность введенная выше), где и* (a ) = In 2 + lnln х* (a ). Поэтому, применяя лемму 1, из тех же рассуждений, при помощи которых была получена оценка для Rv, получаем, что С х * (а ) 2{1+°{1)), если а їда вне некоторого множества Е1 с [0,да) (Ег от P не зависит),

г{г,)

mes( Ех п [0,г j ]) < o(ln p(c j )) + 4 [ W ^) dt, г j їда.

(2б)

?{гі)

Отс юда следует, что Хк (ст) < р(ст ), если ст > ст рст £ Ех. Здесь к (ст ) — центральный индекс ряда

(14).

Следовательно, при о —да вне Е1 и * (о ) < И (о )е"( р(оУ) = и (о )[ И * (о )]

(1 + о(1)) 1п и * (о ) < 1п и (о ). (27)

Пусть Ер = Е'р ^Ех. Тогда, учитывая (16), (19),(26) и то, что м>* <е Ж, при х . —да получаем, что

m es {Еp п [0,г ; ])

< 2 М

m es {Е 'р п [ 0, г J ]) m es {Е t п [ 0, г J ])

= o {1).

1п V (т 1) 1п р (т 1)

Поскольку К < X К* < 1 (V = у(ст ), р = р(ст )) при ст > ст 2,ст ^ Ер , то, очевидно,

1) Г(ст) < у(ст ); 2) ГА(ст) < р(ст ), где V (ст ), к(р ) — центральные индексы рядов (2) и (14). Далее,

для Гя < p(a ) получаем

| Q'{г„ )|<т- П

j* п

Г j < p (о )

1 -

П

Г1 Г < p (о )

1 +

Но при Гя < p(a ) и а ї да

1п П 1 +VET = n(P ) ln f1 +^^]+ 2 P 2 f , 2 (1) 2N d 1 < И^) ~ + 2 N (P) < 3 N (eP ) = °(ln Ц ' (° ))•

> < Л„ ) X .. 1 P I J0 / (/ + P ) P

X} < р (о )

|0'(ХЯ)|<-X* (о )](о(1)), X < р(о )

Так, что I- ] если п '

Следовательно, ц * (о ) =| ак@(Хк )|е^а< ц (о )- ц * (о )] °, где р = р(о ), к = к(о ) . Значит, (1 + о(1)) 1п ц * (о) < 1п ц (о ) при о — ад. Так что (р) = 21п ц* (о ) < 31п ц (о ) = (у) (о > о 3). Это

означает, что \к (о} < р(о ) < у(о ) при о > о 3,о е £р .С учетом этого из (25) получаем, что при о — ад

вне = е' р и £, для а = о + гс (а е у)

ц* (о) < 1 + ц (о )о(1) тах | ^(Е,)|, (28)

|£-а|<й(а)

Дальнейшие рассуждения основаны на лемме 4.

Пусть у (а ) —часть кривой, содержащейся в круге Б(акр -)

(О < Р < 5, к = к(о )) . Не умаляя общности, можно считать, что она кусочно-гладкая и жорданова [3]. Применяя лемму 4 для круга И(гО; Р -1к) и кривой у (а ), получаем

тах |^(£)|< (2| ^(2а.)|)1-2р М2р (о + р -1к(о)), 2а,е у (а). (29)

||-а|<й(а)

Далее, применяя лемму 1, имеем (см. (20))

ад

ц (о) < М(о) < М(о + Р -1к(о)) < £| ап | ех(о+р"‘Ыа )) < ц (о У+о(1), (30)

и=1

когда о —— ад вне множества £*р . Следовательно, с учетом оценок (29), (30) из (28) получаем , что

при о —ад вне множества Ер = Е'р, ЫЩ нулевой нижней плотности

(1 + о(1))ц * (о) < 21 ^(г'а) |1-2р ц (о )(1+о(1))2р, г'а е у (а).

Следовательно, при о —ад вне Ер

< (1 + о(1))2р + (1 - 2р ) 1п^(о_)1 ^ о < р < 1.

1п ц (о) 1п ц (о) 5

Так, как \Яег'а -о |< р ~1к, учитывая еще раз оценки (30), отсюда окончательно получаем, требуемую оценку

1п ц * (о )

lim . Г ) < 2р + (1 - 2р )d(F;y ), где0 < р < -L, ер = [0,ад) , Ер

стеер ^п Ц (СТ )

ст^ад

ЛИТЕРАТУРА

1. Леонтьев A. Ф. Ряды экспонент. М.:Наука, 1976.

2. Гайсин A. М., Латыпов И. Д. Асимптотика логарифма максимального члена измененного ряда

Дирихле// Изв. вузов. Математика. 2002. № 9 (484). С. 15-24.

3. Гайсин А. М. Оценка роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых. // Матем. сб.

2003. Т. 194. 1 8. С. 55-82.

4. Латыпов И.Д. // Максимальный член ряда Дирихле заданного роста. Региональная школа-

конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа. 2001. С. 14.

5. Гайсин А. М. Об одной гипотезе Полиа//Изв. РАН Сер.матем. 1994. Т. 58. №2. С. 73-92.

6. Polya. G. Untersuchungen uber Lucken und Singularitaten von Potenzreihen// Math. z. 1929. V. 29. P. 549-

640.

7. Шеремета М. Н. О росте на действительной оси целой функции, представленной рядом Дирихле//

Матем. заметки. 1983. Т. 33, вып. 2. С. 235-245.

8. Гайсин А. М. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста // Матем. заметки. 1991. Т. 50. вып. 8.

С. 47 - 56.

Поступила в редакцию 05.07.04 г.