МАКСИМАЛЬНЫЙ ЧЛЕН РЯДА ДИРИХЛЕ, СХОДЯЩЕГОСЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ: ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 3 (2022). С. 23-34.

УДК 517.53

МАКСИМАЛЬНЫЙ ЧЛЕН РЯДА ДИРИХЛЕ, СХОДЯЩЕГОСЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ: ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

A.M. ГАИСИН, Т.И. БЕЛОУС

Аннотация. Исследуется задача об эквивалентности логарифмов максимальных членов адамаровской композиции (измененного ряда) ^ апЬпеХпг рядов Дирихле ^ апех"г

и bneXnZ с положительными показателями, область сходимости которых есть полу-

плоскость. Аналогичная задача для целых рядов Дирихле впервые изучалась A.M. Гай-синым в 2003 году — им был тогда получен критерий устойчивости максимального члена ^(о) = max{|ara|eAnCT}. Этот результат оказался весьма полезным при изучении

асимптотических свойств ряда Дирихле на произвольных кривых, уходящих в бесконечность, а именно при доказательстве известной гипотезы Полиа.

Как в случае целых рядов Дирихле, и в случае рядов, сходящихся лишь в полуплоскости, в задачах такого типа ключевую роль играют формулы А.Ф. Леонтьева для коэффициентов, функции соответствующей биортогональной системы содержат множитель — производную характеристической функции в точках \п (п ^ 1). Это обстоятельство естественным образом и приводит к рассматриваемой здесь постановке задачи об устойчивости максимального члена.

Получен критерий того, чтобы логарифм максимального члена ряда Дирихле, область сходимости которого есть полуплоскость, на асимптотическом множестве был эквивалентным логарифму максимального члена измененного ряда.

Ключевые слова: ряд Дирихле, полуплоскость сходимости, максимальный член, адамаровская композиция, асимптотическое множество.

Mathematics Subject Classification: 30D10

абсолютно сходящегося во всей плоскости, впервые исследована в [1]. При этом свойство устойчивости максимального члена сыграло важную роль при доказательстве проблемы Полиа (более подробно об этом см. в [1]). Позже результаты работы [1] были перенесены на случай полуплоскости (см. [2], [3]). Так, в [2] была доказана теорема об устойчивости максимального члена ряда (1.1), абсолютно сходящегося в полуплоскости

A.M. Gaisin, T.I. Belous, The maximum term of a Dirichlet series converging in the halfplane: a theorem on stability.

(с) Гайсин A.M., Белоус Т.И. 2022.

Работа поддержана РНФ (грант № 21-11-00168).

Поступила 2 марта 2022 г.

1. Введение

Устойчивость максимального члена ряда Дирихле

(1.1)

По = {s : Res < 0}, А статья [3] была посвящена применениям этой теоремы к исследованию поведения ряда Дирихле (1.1) на кривой, произвольным образом приближающейся

По

и значимость рассматриваемых в [3] задач в частном случае, а именно для лакунарных степенных рядов

те

/(z) = ^a^zPn, 0 <рп tro, рп е N, (1.2)

п= 1

область сходимости которых есть единичный круг D(0,1) = {z : |z| < 1} Пусть 7 — любая кривая, начинающаяся в D(0,1) и оканчивающаяся на границе D(0,1) или асимптотически приближающаяся к ней, например, по спирали. Рассматривается специальный измененный ряд

^ anQ' (Pn)zp", (1.3)

п= 1

где

v2

к*)=п - £¡)

При выполнении условий на {рп}, обеспечивающих эквивалентность логарифмов максимальных членов рядов (1.2), (1.3) (т.е. при устойчивости максимального члена ряда (1.1)), в [3] показано следующее: существует последовательность {£га},£га € 7, |£п| ^ 1, такая, что

1П М; (|Ы) = (1+ 0(1)) 1П |/(е„)|,

где

Mf (г) = max |/(z)|, 0 <г< 1.

Как видно, в [2] устойчивость максимального члена ряда Дирихле (1.1) (или ряда (1.2)) рассматривается в связи с конкретными задачами, исследуемыми в [3]. По этой причине ограничения на последовательность показателей Л = |Лга} в [2], [3] оказались достаточно жесткими, а именно \п являются нулями целой функции конечного порядка. Однако проблема устойчивости максимального члена является и самостоятельной задачей. Поэтому условия на показатели \п могут быть существенно ослаблены.

Цель настоящей статьи — для наиболее широкого класса последовательностей Л = |Лга} доказать критерий устойчивости максимального члена ряда (1.1) в терминах множите-

те

лей Ьга измененного ряда anbneXnZ, сходящегося также в полуплоскости По-

п=1

2. Определения. Основной результат

Пусть Л = |Лга} (0 < \п ^ го) — последовательность, удовлетворяющая условию:

-— ln п , .

lim —— = 0. (2.1)

га^те Хп

Через Dc (Л) обозначим класс всех функций F, представимых в полуплоскости Пс = s : Res < c (-го < с ^ го) рядами Дирихле

^ (в) = ^ ап еХп3 (в = а + И), (2.2)

п=1

сходящимися лишь в данной полуплоскости. Из условия (2.1) следует, что ряд (2.2) сходится в полуплоскости Пс абсолютно, а его сумма ^ — аналитическая в Пс функция [4].

Наряду с рядом (2,2) введем в рассмотрение и ряд

(эо

F *(s) = ^ anbnex"s (s = а + it), (2.3)

n=1

где В = {Ьп} — последовательность комплекс пых чисел bn (Ьп = 0 при п ^ N), удовлетворяющая условию

lim ^ПМ = о. (2.4)

п^о Хп

Тогда ряд (2.3) также абсолютно сходится в полуплоскости Пс, а F* — аналитическая в этой полуплоскости функция. Условие (2.4) позволяет рассматривать и ряды Дирихле

о

anb-1eXnS, абсолютно сходящиеся в полу плоскости Пс.

n=N

Если F — функция, заданная в полуплоскости По рядом (2.2), а

G(s) = ^2 bneXnS, (2.5)

п=1

то ряд (2.3) есть адамаровская композиция рядов (2.2) и (2.5), т.е.

оо

(F * G)(s) = J2 anbneKs = F*(s).

п=1

Ясно, что если F е D0(K),tq F* е D0(K) (это следует из условия (2.4)).

Пусть ß(a) и ß*(a) — максимальные члены рядов (2.2) и (2.3) соответственно. Через L обозначим класс всех непрерывных, неограниченно возрастающих на [0, то) функций. Пусть

оо

W = {w е L : i ^dx < то}, J х2 1

Wv = {w G W : lim ^(t)J(t; w) = 0},

t—>oo

Wv = {w G W : lim p(t)J(t; w) = 0},

где p е L, а

Т/ ч f w(x) , J (t; w)= —— dx. I x2

Пусть М — класс функций Ф из Ь, таких, что хФ(х) < Ф(кх) при х > х0 , где к — некоторая постоянная. Ясно, что все функции из М растут быстрее любой степени, т.е. хп (п = 1, 2,...).

Каждой функции Ф из М поставим в соответствие ее обратную функцию <р. Тогда получим новый класс функций, обозначим его через М-1, Таким образом, классы М = |Ф} и М-1 = {р} состоят из взаимно обратных функций. Легко показать, что если р € М-1, то функция ш(х) = у/х принадлежит классу Ш, .

Пусть е С [— 1, 0) — измеримое то мере Лебега множество. Верхней Ие и нижней de плотностями множества е называются величины [5]:

Ое , ь = .

И И

Пусть

ШФ) = ( F е Д, (Л) : sup lim > Л ,

[ r>0 ^ 0- МФ(R) J

где ^(а) — максимальный член ряда (2,2),

Будем говорить, что максимальный член ^(ст) ряда (2,2) B(d) (B(D)) — устойчив (см." [2]), если при а ^ 0- вне некоторого множества е С [-1, 0) нулевой нижней плотности de (нулевой верхней плотности De) имеет место асимптотическое равенство

ln ß(a) = (1 + o(1))1n ß* (а).

Множество А = [—1, 0)\е называется асимптотическим множеством. Будем говорить, что последовательность {bn} (Ьп = 0 при п > N) Wv — нормальна, если найдется функция 9 е Wv, такая, что

— ln |&га|< в(Хп) (п > N).

Пусть n(t) = Y1 1 — считающая функция последовательности Л, а щ (t) — наименьшая \n<t

вогнутая мажоранта функции ln n(t). В силу условия (2,1), щ (t) = o(t) при t ^ го. Сформулируем основной результат. Имеет место следующая

Теорема 2.1. Пусть Ф — некоторая фиксированная функция из класса, М, а р — обратная, к Ф функция. Пусть щ е Wv, а, В = {bn} — последовательность, удовлетворяющая условию

1

где w Е W и такая, что

N + тг-г < ew(Xn) (п > N), (2.6)

lim ^(MlnN = 0. Хп

Для, того, чтобы, для любой функции F е Д0(Ф) максимальный член представляющего ее ряда (2.2) был В(d) — устойчив, достаточно, а, для, Wv-нормальной последовательности, {Ъп} и необходимо, чтобы для некоторой функции w е Wвыполнялись оценки (2.6).

Л

Т.— ln п lim -—— < го. ln Хп

Это означает, что ln п = ln п(Хп) ^ а ln Хп (п ^ 1). Значит, ni(t) ^ а ln t и потому щ е Wv. Обратное, очевидно, не верно.

Отметим также, что условие согласования (2.7) в теореме 2.1 существенно (см. [2]). Условие щ е W<p может быть ослаблено, а именно, заменено на условие p(t)J(t; ln п) = о(1), t ^ го. Но доказательство этого результата требует несколько другого подхода и будет опубликовано в другой статье.

3. Необходимые сведения и факты 1. Выпуклый полигон Ньютона.

Для доказательства теоремы 2.1 нам понадобятся некоторые свойства максимального члена ряда Дирихле. Хорошо известно геометрическое описание максимального члена

степенного ряда или ряда Дирихле, задающего целую функцию, через выпуклый полигон Ньютона (см., например, [4]), Аналогичное описание максимального члена степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге, дается также в ряде работ (см., например, [6]), Построим выпуклый полигон Ньютона для ряда Дирихле (2,2), абсолютно сходящегося лишь в полуплоскости П0, Для этого, предполагая, что вир |ап| = то (можно также счи-

п

тать, что а1 = 0 ) отметим на плоскости точки Рп = (\п, дп),тд$ дп = — 1п |ап| (если ап = 0, то полагаем дп = то), Поскольку Р Е И0(А), то

-1п |ап|

Ит—^ = 0. (3.1)

п^ж Хп

Учитывая это, через ф(^) обозначим выпуклую оболочку точек Рп (п > 1). Пусть 'у(х) = т£{у : (х,у) Е Q(F)}, Линия, описываемая уравнением у = 7(ж) (х > А1), называется диаграммой или выпуклым полигоном Ньютона [6]. Из (3.1) следует, что диаграмма Ньютона, обозначим ее Ь(Р), есть выпуклая вниз ломаная линия. Пусть ^ Е Р0(А),

ж

F(s) = ^^ aneXnS, sup |an| = то.

n=1

Положим

F(s) = ^TneKs, Тп = e-l(x") (п > 1). (3.2)

п=1

Функция F называется мажорантой Ньютон а функции F Е D0(A).

Пусть 7(An) = Gn (п > 1). Тогда (An,Gn) Е L(F). Для бесконечного множества значений An, в частности, для абсцисс Ani (i > 1, n1 = 1) всех вершин полигона L(F) имеем: Gn = — ln |ara|. Отметим, что точка Рп = (An, — ln |ап1) лежит либо па полигоне L(F) (точка Рщ обязательно лежит на полигоне), либо над ним. Угловой коэффициент отрезка, соединяющего вершины Pni и Pni+1 полигона L(F), равен

G G

D ^ni+1 ^Щ / • \ 1 л

Ri = . _ . (г > 1, Ai = 1).

Лщ+1 Ani

Ясно, что Ri ^ 0 при г ^ то. Следовательно, при R—1 < о < Ri центральный индекс и(о) = щ = const, а ln^,(a) = ln |ani | + Anio [4]. Отсюда, в частности, следует, что ^(о) = fi(o), v(o) = ^(о), где ]2(о) и т)(о) — максимальный член и центральный индекс ряда (3.2). Известно также, что функция ln^ (о) непрерывна, а при sup |an| = то

п

неограниченно возрастает на интервале [— 1,0) [4]. 2. Лемма типа Бореля-Неванлинны

Пусть L — класс всех непрерывных, неограниченно возрастающих на [0, то) функций, а W — класс сходимости, введенный выше. Для функции w из W введем обозначение

ж

Т/ \ f w(x) , J (t;w) = ——ax. J x2 t

Через H обозначим подкласс L, состоящий из функций Ф, для которых (см. [5]):

1) tp(2t) < ctp(t), 0 < с< то; 2) tp(t)t-1 lnt = o(1), t ^ то, где функция <р является обрати ой к Ф,

Хорошо известна следующая теорема Бореля-Неванлинны, которая широко используется для исследования асимптотических свойств функций, заданных рядами Дирихле (см. [7]).

Теорема (Бореля-Неванлинна). Пусть на [га, го) задана, непрерывная функция и(г), неубывающая, стремящаяся к +го при г ^ го. Пусть р(и) — непрерывная, положительная функция, заданная, на, [и0, +го) (и0 = и(га)), невозрастающая, стремящаяся, к 0 при и ^ го, причем,

<х

/ <р(и)йи < го.

UQ

Тогда, для любого г > га, кроме, возможно, конечной меры, выполняется, неравенство

u(r + p(u(r))) < u(r) + 1.

В работе [5] доказан следующий вариант теоремы Бореля-Неванлинны.

Лемма 3.1. Пусть n(t) — непрерывная, неубывающая на [— 1, 0) функция, n(t) ^ го при t ^ 0—, причем, для некоторой функции Ф из Н

lim еи^Ф-1 (А ) > 0.

Если, для, некоторой функции w из W

p(t)J(t; w) = о(1), t ^ го, то при t ^ 0— вне некоторого множества еС [—1, 0), de = 0,

u(t + 5(t)) = u(i) + o(1), 5(t) = ,

( )

где v = v(t) — решение уравнения

w(v) = eu(t). (3.3)

В работе [2] доказан более общий вариант леммы 3.1, который и нам понадобится далее.

Лемма 3.2. Пусть u(t) — непрерывная, неубывающая на [—1, 0) функция, u(t) ^ го при t ^ 0 — .Пусть w G W, а v = v(t) — решение уравнения (3.3). Если

w(v(t)) m

———— = о(1), t^ 0—, |ф(t) ( ), ,

а для, некоторой последовательности, {Tj} (Tj t 0)

lim AJ(v3;w) = 0, v3 = v(rJ), (3-4)

tJ ->0- 1 Tj 1

то при t ^ 0— вне некоторого множества e С [—1, 0),

m(e П [tj, 0)) = o(|T,|), T, ^ 0—,

имеет место асимптотическое равенство

Mt

v(t)

w( ( ))

Ht+ v{t) ) =u(t)+°(1).

4. Доказательство теоремы 1.1

Приступим теперь к доказательству теоремы 2.1. Достаточность. Пусть выполняется условие (2.7), и

|м + ^ ^ ew(K) (п >N), (4.1)

1 Оп1

где w = w(x) — некоторая функция из W, . Можно считать, что w(x)<(x) = о(х) при х ^ го (это следует го (2.7)). Не теряя общности, предположим также, что п(х) ^ w(x) (это позволит упростить некоторые выкладки). Тогда существует функция w* G W, , такая, что /х ^ w*(x), w = о(1), w(x) = o(w*(x)) при х ^ го [5]. Пусть v = v(a) — решение уравнения

w*(v) = 2lnß(a). (4.2)

Ясно, что v(a) t го при a t 0. Поскольку w* G W, , то найдется последовательность {тз} (Tj t 0), такая, что

lim <(Vj)J(Vj;w*) = 0, (4.3)

Vj

где Vj = v(Tj) ^ го при Tj ^ 0-,

oo

J(vj;w*)= [ w (x) dx.

J x2

V3

Далее, уравнение (4.2) можно записать в виде

w*(v) = еи(а), u(a) = ln2 + lnln^(a). (4.4)

Поскольку F G Д0(Ф), т0? кроме того, для некоторого т > 0

еи(а)

lim | | ж / г ч > 0.

0- МФ(^)

Следовательно, учитывая (4.4) и то, что Ф G М, отсюда имеем:

w*(v(a)) > £о|а|ф( ^ > £оФ( щ)

.НУ ° \М,

где £0 > 0 £\ > 0, а' < а < 0. Поскольку ™*(х) = о(х) при х ^ го, то из этих оценок получаем, что

^ < е-1^-1™») < £~_1^(у), (4-5)

| а|

где V = ь(а), а' < а'' < а < 0. Последняя оценка верна, в частности, для а = ^ (] ^ ]'). Так что из (4,2)-(4,4) видим, что для функции условия (3.3), (3.4) леммы 3.2 выполнены. Кроме того, из (4.5) следует, что

0 < и>*{у{а)) < £_1 ^(у(а))т*(у(а)) ^ 0 |а|г> (а) 1 у(а)

при а ^ 0 — . Поэтому, применяя лемму 3.2, при а ^ 0— вне некоторого множества е1 С [—1,0), т(е 1 П [тj, 0)) = о(|^|) (^ ^ 0—) получаем, что

р(а + К) <^(а)(1+о(1)), К = , у = у(а). (4.6)

Пусть

Rv к |е.

Хп > v

Далее, Inn = lnn(Ara) ^ щ(Лп). Поскольку функция ni(t) вогнутая, то, кроме того,

щ(\п) ^ (4.7)

при Хп ^ v. Следовательно, при а Е [а0,0)\е1

Rv ^ а + h)Y^ e-hXn ^ С0ц(а + h) exp[max^(t)],

\n>V

oo

где ф(Ь) = 2п1^) — Ы, С0 = ^ Л. Отсюда, если учесть оценку (4.7), при а ^ 0— будем

J° ^ п2

п=1

иметь

-(и)

тах(ф(Ь)) ^ 2— Ы ^ —V(1 + о(1))Ы

Ъ^и V

Тогда с учетом (4.2), (4.6) при а ^ 0— гае е1 получаем, что

К, ^ С0/(а)(1+о(1)) ехр[—-*(ь)(1 + о(1))] = /(а)-1(1+о(1)). (4.8)

Значит, при а Е [&]_, 0)\е 1 получаем, что ^ и(а), где р = ь'(а) — центральный индекс ряда (2.2). Тогда при а ^ 0— гае е1 с учетом (4.1), (4.2) имеем:

/(а) = |а»|ех"° = |аЛ|е|К|-1 ^ /*(а)еш(") = (а)/(а)о(1).

Следовательно, при а ^ 0— гае е1 С [— 1, 0) получаем оценку

(1+ о(1))1п/(а) ^ 1п/*(а). (4.9)

С другой стороны, поскольку |Ьга| ^ е'ш(Хп) (п ^ 1), То

/*(а) = |афк|е^/(а)еш(Хк\ (4.10)

где к = к(а) — центральный индекс ряда (2.3). Пусть х = х(а) — решение уравнения

-*(х) = 31п/*(а), (4.11)

а Щ = ^ I ап11 М еХпа .Получим для Щ оценку типа (4.8).

Пусть {^} — последовательность, введенная выше. Из (4.9) при а Е [а2,0)\е 1 имеем:

3

1п/(а) <- 1п/*(а). (4.12)

Если для некоторой подпоследовательности {Tjп} последовательности {^} имеют место оценки 1п/(т^п) < 31п/*(т^п), то, учитывая (4.2), (4.11), получаем, что

21п/(т3п) = -*(у(т3п)) < 31п/(т3п) = -*(х(т3п)) (п > 1).

Следовательно, у(т^п) < х(т^п) (п ^ 1). Далее, поскольку Р Е Д0(Ф), то при некоторых т > 0, р> 0

1п/(а)

|а|ф (н)

> р > 0, а = Tj„ (n > 1).

Пользуясь тем, что Ф € М, при некотором д (0 < д < 1) отсюда получаем, что

Ф(т|а|-1)

1п/(а) > Р ( ) > РНЯ|а| 1), а = т3п (п > щ). (4.13)

|а| 1

Отсюда с учетом (4.2) получаем оценки:

^ < Аф(ты)) (п ^ щ). (4.14)

1 Т]П \

Но у(т3п) < х(т3п) (п ^ 1). Следовательно, из (4.3), (4.14) имеем

г^3(х();™*) < А^()3 (у3п= о(1) \ \

при т3п ^ 0 — . Учитывая это, применим лемму 3.2 к функции и(а) = 1п3 + 1п1п/*(а). Тогда при а ^ 0— вне некоторого множества е2 С [—1,0),

т(е2 П [т3п, 0)) = о(\т3п\), т3п ^ 0—,

получаем оценку

/*(а + К*) </*(а)1+о(1), К* = , х = х(а). (4.15)

х

Отсюда тем же способом, каким была получена оценка (4.8), получаем, что при а ^ 0— 2

К* </*(а)_2(1+о(1)). (4.16)

Пусть теперь для любого т3 (з ^ ]1) §1п/*(т3) ^ 1п/(т3). Тогда рассмотрим множество А3 = {х : х ^ т3, 1п/(т3) < 21п/*(х)} (] ^ Поскольку т3 € А3 для 3 ^ 3^-, т0 из непрерывности функции /*(а) следует, что 1п/(т3) = 11п/*(х^), где х3 = т£{х : х € А3}. Следовательно, го (4.2), (4.11) получаем, что т*(ь(т3)) = и}*(х(х3)), т.е. у(т3) = х(х3) (з ^ 3\). Далее, го (4,12) следует, что {т3} С е1, {х3} С е1. Поскольку т(е 1 П [т3, 0)) = о(\т3\) при т3 ^ 0—, то при этом х3 — т3 = о(\т3\), т.е. х3 = (1 + о(1))т3. Следовательно, учитывая (4.3) и оценку типа (4.14), имеем:

11

3(х(х3) =, Д(Уз) ^ 0

\хз \ (1 + о(1))\ Ъ \

при ] ^ го (у3 = у(т3)). Видим, что функции и и(а) = 1п3 + 1п1п/*(а) удовлетворяют

всем условиям леммы 3.2. Значит, согласно этой лемме, оценка (4.15), а следовательно,

и (4.16), справедлива при а ^ 0— вне некоторого множества

е 3 С [—1, 0), т(е3 П [х3, 0)) = о(\х^-\), х3 ^ 0 — .

Следовательно, тем более т(е3 П [т3, 0)) = о(\т3\), т3 ^ 0 — . Таким образом, при а ^ 0— вне множества е4 = е2 и е3, т(е4 П [т3п, 0)) = о(\т3п \), т3п ^ 0—, имеет место оценка (4.16). Но это означает, что \к(а) ^ х(а), если а € [а3, 0) \ е4. Следовательно, из (4.10)

а

/*(а) ^ /(а)ет(х(а)) = /(а)/* (а)о(1),

т.е.

(1+ о(1))1п/*(а) ^ 1п/(а). (4.17)

Из оценок (4.9), (4.17) окончательно получаем, что при а ^ 0— вне множества е = е1 и е4, т(е П [т3п, 0)) = о(\т3п \), т3п ^ 0—, выполняется требуемое равенство

1п/(а) = (1 + о(1))1п/ (а).

Необходимость.

Мы должны показать, что если последовательность {bn} Wv — нормальна, а для любой функции F Е D0(Ф) максимальный член представляющего ее ряда (2,2) B(d) — устойчив, то существует функция w Е W, , такая, что

|Ьп| + ^ ^ ) (п >N).

| bnl

Пусть это не так. Тогда для последовательности {ln |bnl}^=N не существует мажоранты w(Xn), w Е Wv, Это означает, что

оо

lim <p(t) [ ^dx > 0, (4.18)

t^-о J x t

где а = a(t) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности {ln |Ьп\}о0= N, т.е. a(t) = max{ln |Ьга| : п ^ N}. Не теряя общности, можно считать, что a(t) > 0 при

t ^ An .Заметим, что а (t) — непрерывная справа ступенчатая функция. Пусть Т = {tn} (tn = Ajn) — последовательность всех точек разрыва функции а (t). Пусть q (0 < q < 1) — произвольное, но фиксированное число, ß(t) = qa(t), In = J(tn; ß), Gn = — tnIn (п > 1). Положим

е -С1, если к = 1, 2,...,

ак = ^ е-с", если к = ]п (п > 1);

е-1п(Хк)-1, если ]п < к < ]п+1 (п > 1),

где у = 'Уп(х) — уравнение прямой, проходящей через точки Рп = (1п, Сп)

и Рп+1 = (1п+1,Сп+1).

Убедимся, что Яп ^ 0 при п ^ то, где

&п+1 — Сп

R„

t n.+ l t Г.

Действительно, Rn = — In + ^^ (п > 1) (мы воспользовались тем, что ß(t) = qa(t), a a(t) = a(tn) при tn < t < tn+i). Отсюда получаем, что

^ — R„ = <¡ (a(t— a(t"Л > о (п > 1).

V t-n+l J

Но так как Gn = o(tn) при n ^ то, то, действительно, Rn ^ 0 при n ^ то. Следовательно, совокупность всех отрезков прямых, соединяющих точки Рп и Рп+1 (n ^ 1) есть выпуклый полигон Ньютона L(F) для ряда Дирихле [4]

те

F (s) = ^akeXkS, (4.19)

к=1

а поскольку точки ( , — ln |ak|) при jn < к < jn+1 (n ^ 1) лежат выше L(F), вершинами полигона L(F) являются гак раз точки Рп = (tn,Gn), tn = Xjn (n ^ 1). Имея это в виду, оцепим максимальный член ^(о) ряда (4.19) сверху. При Rn-i ^ о < Rn максимальный член равен |an| ех"а [4]. Следовательно, для любого n ^ 1

¿n+l

ln^(a) = —Gn + tna < tntn+1 f dx = qan. (4.20)

ln+1 ln J x

tn

С другой стороны, (о) ^ |а3пЬ3п |ехз™а, Ь3п = еа(п\ а(Ьп) = ап (п ^ 1). Следовательно, для Рп-1 ^ о < Рп получаем, что для любого п ^ 1

1п^*(о) ^ ап + ¿п( 1п + о) = ап + 1п^(о) > ап. (4.21)

Таким образом, из (4.20), (4.21) получаем, что 1п^(о) < (о), если Кп-1 ^ о < Рп.

Значит,

1п^(о)

Ь"0 1 Л ' ^ Я< Ь

а^ 0_ 1п ^ (о)

и максимальный член ^(о) те обладает свойством В (в) — устойчивости. Убедимся, что Р Е Д0(Ф). Действительно, из представления [4]

а

1п ^(о) = 1п ^(-1) + У _1

получаем, что

а/2

1пМ2) > [ > (о < 0). (4.22)

Далее, Rn = — In + @(tn) = anq (п > 1). Следовательно, с учетом (2.7), (4.18)

имеем

|RnHin) = In^(tn) — ^^(¿n) >1> 0 (п > 1).

n

Пусть Rn-i ^ а < Rn. Тогда \v(a) = tn, и

1 1 V(К) > > ^ и = и(а).

|Rn| |а|

Следовательно, из (4.22) получаем, что для Rn-1 ^ а < Rn (п > 1)

- (2) > ^ > * *( ]0|) • п —

Это означает, что

.И

Значит, F Е Р0(Ф).

Теорема 2.1 полностью доказана

V 1п^(а) 1

km -> 0 т = -.

^ 0- МФ(R) 2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A.M. Гайсин. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Математ. сборник. 194:8, 55-82 (2003).

2. A.M. Гайсин, Т.И. Белоус. В-устойчивостъ максимального члена адамаровской композиции двух рядов Дирихле // Сибир. математ. журнал. 43:6, 1271-1282 (2002).

3. A.M. Гайсин, Т.И. Белоус. Оценка на кривых функций, представленных в полуплоскости рядам,и Дирихле // Сибир. математ. журнал. 44:1, 27-43 (2003).

4. А.Ф. Леонтьев. Ряды, экспонент,. М.: Наука. 1976.

5. A.M. Гайсин. Поведение логарифма модуля суммы ряда, Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 53:4, 173-185 (1994).

6. Г.Г. Цегелик. Свойства, мажоранты и диаграммы Ньютона, функции,аналитической в круге // Укр. математ. журнал. 29:4, 560-562 (1997).

7. A.A. Гольдберг, И.В. Островский. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука. 1970.

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УФ! Ii I РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: gaisinam@mail.ru

Татьяна Ивановна Белоус,

ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. Карла Маркса, 12, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: belousti@yandex.ru