Порядок ряда Дирихле с правильным распределением показателей в полуполосах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 51-63.

УДК 517.537.32

ПОРЯДОК РЯДА ДИРИХЛЕ С ПРАВИЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В ПОЛУПОЛОСАХ

A.M. ГАЙСИН, Г.А. ГАЙСИНА

те

оА „s

Аннотация. Изучаются ряды Дирихле F(s) = ^ aneXnS с положительными и неогра-

п= 1

ниченно возрастающими показателями Хп. Предполагается, что последовательность показателей Л = {Ап} имеет конечную плотность. Пусть эта плотность равна Ь. При этом требуется, чтобы последовательность Л имела правильное распределение. Это понимается в следующем смысле: найдется положительная вогнутая функция Н из класса сходимости, такая, что

|Л(*) - bí| < Н(t) (t> 0).

Здесь Л(£) — считающая функция последовательности Л. Показано, что если, кроме того, функция Н имеет не очень быстрый рост, то порядки функции F по Ритту в любых замкнутых полуполосах, ширина каждой из которых не меньше 2жЬ, будут равны. При этом на близость и концентрацию точек Хп никаких требований не предъявляется. Соответствующий результат для открытых полуполос ранее был получен A.M. Гайсиным и H.H. Аиткужиной.

Показано, что если ширина одной из двух полуполос меньше 2жЬ, то порядки по Ритту суммы ряда Дирихле в данных полуполосах не равны.

Ключевые слова: .ñ-плотность последовательности, ряд Дирихле, fí-порядок, полуполоса, полуплоскость

Mathematics Subject Classification: 30D10

Введение

Пусть Л = {Ага} (0 < \п ^ то) — последовательность, удовлетворяющая условию

_ ln ^

lim —— = Н< то. (0.1)

га^те Хп

При изучении целых функций, определённых всюду сходящимися рядами Дирихле

те

F (s) = ^ ап eXnS (s = а + it), (0.2)

п= 1

в своё время Рпттом было введено понятие Д-порядка, Приведём определение этой величины.

Порядком, по Ритту (R-порядком) целой функции F, определённой рядом (0.2), называется величина [1]

— lnlnМ(а) . . w . ..

Pr = lim -—, М(а) = sup |F(а + it)|.

(У |4|<те

A.M. Gaisin, G.A. Gaisina, The order of a Dirichlet series with a regular distribution of

the exponents in the half-strips

© A.M. Гайсин, Г.А. Гайсина 2018.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 17-41-02 0070 р_а). Поступила 27 июля 2018 г.

Рассмотрим замкнутую полосу S(a,t0) = (s = а + it : |i — i0| < о,}. Обозначим Ms(a) = max |F(а + zi)|. Величина

|i-io|<«

-— ln+ ln Ma(a) . + .

ps = lim - (a+ = max (a, 0))

СТ^ + те (J

называется Д-порядком функции F в полосе S(a,t0), Пусть

л

_ n _ 1 r

lim — = D < ж, D* = lim — D(x) dx,

п^-те Xn А^+те Л J

0

где D(x) = А(ж) = 1 (D — верхняя плотность, D* — усреднённая верхняя плот-

\п<х

ность последовательности А). Очевидно, D* < D.

В [2] доказано, что если lim (А„+1 — Хп) = h > 0, то Д-порядок ps функции F в полосе

п^те

S(a,t0) при а > nD* равен Д-порядку рд во всей плоскости. Наиболее общий результат о равенстве Д-порядков в разных полосах Si = S(ai,ti) (i = 1, 2) установлен А.Ф, Леонтьевым в [3].

Приведем этот результат. Пусть F — сумма ряда Дирихле (0,2), а ¿1 и S2 — открытые горизонтальные полосы, содержащие соответственно D(a1) и D(a2), где D(a) — смещение сопряженной диаграммы D целой функции

L(z) = I I (1 — (z = х + iy)

п(1—Й

на вектор а. Тогда Д-порядки функции Р в этих полосах равны [3, гл. II, § 5, п.З], Для замкнутых полос соответствующий результат доказан Г,С, Садыховым в [4].

Отметим, что для целых рядов Дирихле (0,2) (как произвольного, так и заданного роста) в [5] была сделана попытка в общей ситуации получить соотношение

1п М(а) - 1п М8(а) (0.3)

при а ^ ж вне некоторого множества Е С — положительный луч (0, ж)), Это

те

соотношение выводится из утверждения [5]1: если ^ А-1 < ж (когда Е имеет произ-

п=1

вольный роет) или, п = о(\п) при п ^ ж (если Е — целая функция конечного порядка по Ритту), то для всяких горизонтальных полос Б1 С при а ^ ж вне некоторого множества Е конечной меры или нулевой плотности, соответственно

1пМв2(а) ^ 1пМв1 (а) ^ 1п [Мв2(а) - |о(1)|^(а)} + о (1пМ(а)) , (0.4)

где р,(а) — максимальный член ряда Дирихле.

Однако, в (0,4) выражение в фигурных скобках, вообще говоря, отрицательно. Но тогда правая оценка в (0,4) не имеет смысла несмотря на то, что показатели ряда подчинены весьма жестким ограничениям — условиям Фейера или Фабри. Тем не менее, если же коэффициенты ап ряда (0,2) лежат в фиксированном угле {в = гегв : |#| ^ ^ < то (а)| ^ М(а) сое 7, и при подходящем выборе полосы соотношение (0,3) легко вытекает из (0,4), Отметим, что это условие па ап вообще не существенно (по этому поводу более подробно см, в [7], [8], где получены более сильные результаты), равно как и условия

1В терминах коэффициентов мажоранты Ньютона ряда Дирихле (0.2), сходящегося лишь в полуплоскости, аналогичный результат приведен в [6].

сэо

Фейера или Фабри1. Так, в [7] вообще не требуется, чтобы сходился ряд Y1 А"1, если даже

n=1

F имеет сколь угодно быстрый рост, а предполагается лишь конечность так называемой W- плотности G(W) {W — класс сходимости) и выполнение условия типа

- ln hn ^ w(Xn) (п ^ 1), w е W,

где hn = min |An — \кI- Тогда, например, для любой полосы S(a,t0) при а > nG(W) соот-

к=п

ношение (0.3) имеет место вне множества Е конечной меры [7].

Для целых рядов Дирихле конечного порядка по Ритту в [8] доказан даже критерий выполнения соотношения (0.3) (последовательность Л должна иметь нулевую a-конденсацию и удовлетворять более слабому условию роста, чем условие Фабри [8]).

В статье [9] приведенный выше результат А.Ф. Леонтьева из [3] о равенстве порядков по Ритту в открытых полосах, содержащих D, перенесен на случай, когда область сходимости ряда (0.2) — полуплоскость П0 = (s = а + it : а < 0}.

Предполагая в (0.1) Н = 0, класс всех аналитических функций, предетавимых рядами Дирихле (0.2), сходящимися лишь в полуплоскости П0, как и в [9] обозначим через И0(Л). В настоящей работе также рассматривается подкласс функций из И0(Л), имеющих конечный порядок, аналогичный порядку Pirna в классическом случае. Оказывается, (см. в [9]) методы и идеи работы [7], где шла речь о рядах произвольного роста, применимы и в данном случае.

Пусть S(a,t0) = (s = а + it : \t — í0| < а, а < 0} — замкнутая полуполоса. Величины

-— ln+ ln М (а) -— ln+ ln Ms(a) Pr = lim -——.-, ps = lim -——-

называются порядками функции F по Ритту в полуплоскости П0 и полуполосе S(a,t0) [10]. В дальнейшем величины pR и ps будем называть просто порядками в полуплоскости и полуполосе.

В [8] показано, что если

lim ln п = 0

п^с А,

n

(эти условия и необходимы [11]), то порядок pR любой функции F е D0(A) равен

_ ln \

pr = lim - — ln+ ^nl (0.5)

п^с \n

Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность D, Н(ф) — индикатриса роста функции L(z). Тогда т = h(±) < nD* [2], Очевидно, т — тип функции L. Если

|ВД|< еа(х) {х > 0), lim Ж =0, (0.6)

ж^+те X

то порядок ps в полуполосе S(a,t0) при а > т и порядок рп любой функцпн F G До (Л) в полуплоскости П0 удовлетворяют оценкам [10]

Ps < Pr < Ps + q, (0.7)

где

1 Обычно рассматриваются две отдельные задачи:

1) последовательность коэффициентов А = {ап} произвольная (она подчинена лишь естественному требованию), но исходя из рассматриваемой задачи накладываются условия на Л = {А„};

2) последовательность показателей Л любая (она подчинена лишь естественному требованию), но накладываются условия па А, опять диктуемые конкретной задачей.

М.Н. Шеремета рассматривает комбинированную задачу, накладывая ограничения одновременно и на А, и на Л, а они очень жесткие.

q = q(L) = lim п ln

п^<х \п

1

L (Лп) < ~ <°.8)

(в [10] рассматривается и случай, когда полуполоса S(a, t0) имеет ширину, равную в точности 2т), Отсюда следует, что если q < го, то величины ps и pR конечны и бесконечны одновременно, причем ps = pR, если q = 0, В общем случае ps = pR [12]. Однако в [9] установлено, что если ширина каждой из двух полуполос Si = S(ai, ti) (i = 1, 2) больше 2nG(R) (G(R) - R-плотность), то порядки по Ритту в этих полуполосах равны.

Как и в работе [4], напрашивается естественный вопрос: при каких условиях любая функция F из Do (Л) в разных полуполосах ширины не меньше 2nG(R) имеет один и тот же порядок?

Цель настоящей статьи (она реализована в теореме 1) — в классе последовательностей Л, имеющих плотность Ь, указать условия, при выполнении которых ps1 = pS2J где pSi —

Si ( = 1, 2)

меньше, чем 2nЬ. Как будет видно из доказательства, в теореме 1 величина q может быть произвольной, но теорема вообще неверна при ai < nb < a2, если даже q < го (приводится соответствующий пример),

1. Предварительные сведения

Нам в дальнейшем потребуются некоторые специальные плотности распределения последовательности Л. Пусть Л = {Лп} (0 < Лп t го) — последовательность, имеющая ко-

L

возраетающих па [0, го) функций. Через К обозначим подкласс функций h из L, таких, что h(0) = 0, h(t) = o(t) при t ^ го, -I при 11 го (hj) монотонно убывает при t > t0), В частности, если h Е К, то h(2t) < 2h(t) (t ^ t0). К Л

G(K) = inf lim рлМ)), (1.1)

v y heKt^tt h(t) K J

где w(t) = [t, t + h(í)) — полуинтервал, рл(ш(£)) _ число точек из Л, попавших в полуинтервал ш(£).

Пусть П = {ш} — семейство полуинтервалов вида ш = [a, b). Через |ш| будем обозначать длину ш. Всякая последовательноеть Л = {Лп} (0 < Лп t го) порождает целочисленную считающую меру рл'.

рл(ш) = 1, ш Е П.

х„еш

Пусть рг — считающая мера, порождённая поеледовательностью Г = {рп}(0 < рп t го). Тогда включение Л С Г означает, что рл(ш) < рг(ш) для любо го ш Е П. В этом случае говорят, что мера рг мажорирует меру рл.

Через D(K) обозначим точную нижнюю грань тех чисел b (0 < b < го), для каждого из которых существует мера рг, мажорирующая рл, такая, что для некоторой функции h ЕК

|М(t) - btl < h(t) (t > 0). (1.2)

Здесь Л = { Лп}, Г = {рп}, М(t) = Е 1.

^n<t

D( К) G( К) D( К) = G( К)

Рассмотрим еще следующие классы функций: L0 = {h Е L : h(x) \nx = o(x) npи x ^ +го},

X / x \

R = {h ЕК : h(x)ln—— = o( --), x ^ +го}.

h( x) ln x

Дословное повторение доказательства леммы 1 показывает, что О(Я) = С(Я) (величины И (Я) и С (Я) определяются как и выше, то с той лишь разницей, что в (1.1) и (1.2) к € Я). В [12] показано, что если последовательность Л имеет конечную С(Д)-плотноеть, то существует чётная целая функция Q, имеющая в некотором смысле правильное поведение

Л

множество ее нулевого множества. Учитывая по существу это важное обстоятельство, в [9] показано, что р$1 = Для любых полу полос Si = Б (щ, и) (г = 1, 2), каждая из которых имеет ширину больше, что 2ъС(Я) (Л расширяется до поеледовательноети М всех положительных нулей функции ф, имеющей плотность Ь > С (Я)).

В настоящей работе предполагается, что сама последовательность Л имеет плоти ость Ь и удовлетворяет условию типа (1.2). Ставится цель выяснить, при каких дополнительных условиях на функцию к из соотношения (1.2) будет вытекать равенство рз1 = р$2 для любых замкнутых полуполос ¿1 и ширины не меныне 2пЬ. Нам понадобится следующая

Лемма 2. [13] Пусть С(х) Предположим, что

и положим для а > 0

неубывающая функция, равная нулю в окрестности, 0.

оо

Г С (х)

-dx < оо,

X2

т(а)

С (х)

dx.

х2

Пусть р и д - две постоянные, такие, что р > 2, 0 < д < р — 2. Тогда для любого а существует четная целая, функция Ра(г) (г = х + {у), удовлетворяющая условиям:

|ВД| < ерет(а)1у1-с^Ча(х, у),

где

La(X, У) =

ж 1 + (X2 + у2) '

Ясно, что ||Lo||l(r) = ||A*||l(¿r) = 1 В данной лемме

(р — Q — 2)ет(а) (р + q)em(a) Р =-о-, 7 = —

а сама функция Fa(z) имеет вид:

2

^ е с(а 0) ¡— sin fíz sin jz

) = 0_„ v h —— <P(z),

2ne

где

причем

= (^ > 0),

п=1

MnZ

У^Уп < ет(а).

п=1

В пашей ситуации Л = |Ага} (0 < \п ^ <х>) - множество всех положительных пулей функции Q, т.е.

Q(z) = L(z)=\\[l—-) (z = х + iy). (1.3)

П(1 — S)

Пусть 7q — функция, ассоциированная по Борелю с целой функцией Q. Тогда справедлива

1

Лемма 3. Для функции Q условие (0.6) выполняется, тогда и только тогда, когда,

lim ¿ln+ In |7o(i)| < 0, S= | Re i|.

<5^0+

Необходимость леммы доказана в [10], а достаточность — в [12],

Лемма 4. Пусть последовательность A = {Лп} (0 < Лп t го) удовлетворяет условию

|A(i) -btl<H(t) (t > 0), (1.4)

где функция H принадлежит классу К и, кроме того,

г

Г H (t)

J t2 1

-dt < го. (1.5)

Тогда, для целой функции Ц, заданной формулой (1.3), верны оценки: 1) существуют А > 0, В > 0, такие, что на, вещественной оси

2) на, мнимой оси где

х

ln |Q(x)| < AH(|х|) ln+ + В, (1.6)

ln(|x|)

К

ln \Q(iy)\ < КЪЫ + 2NH(|y|) + -H(|y|), (1.7)

, f H()dt, если r > Л1; Nh (r)=u 4 , " 1;

0, если 0 < r < Л1.

Оценка (1.6) доказана в [14], а (1.7) непосредственно вытекает из представления

о

ln iQfe)! = 2у2 Г

0

с ={-Nh(у) + 2H(у) + Vу, если у > Л1; 10, если 0 < у < Л1.

За счет слагаемого ^/у, очевпдно, имеем: lnC(у) х lny (пишем ^1(у) х р2(у), если при некоторых с1 > 0 °2 > 0 имеют место оценки: с1^1(у) < р2(у) < с2^1(у)). Поскольку

NH с( )

ям леммы 2. Тогда, комбинируя леммы 2 и 4, получаем следующее утверждение

Лемма 5. Пусть Q - функция (1.3), Qa(z) = Fa(iz)Q(z), где Fa - функция из леммы 2. Тогда, для любого а > 0 на вещественной и мним ой осях для функции Qa верны оценки:

1) |Qa(x)| < exp [ah(|х|) ln+ H^ +pem(a)|х\ - C(|х|) + в] La(x, 0);

2) |Qa(^)| <Q(*Л1 )La(0, у)e*b\y\-,

a Qa

l± = {t: | Im i| = ±к b}, причем,

sup 17a(i)|<Q(« Л1).

| Im t\=±itb

Все параметры в оценках 1) - 3) определены в лемм,ах 2 u, 4-

Оценка в утверждении 3) следует из неравенства 2) и из того, что ||La||^(iK) = 1. Непрерывность rya на прямых I± представляет собой хорошо известный факт (см., например, в [3, гл. III, п. 7]).

2. Основной результат

Пусть L0, Д — классы функций, введенные выше, а G(R) — R-плотность последовательности Л. В указанных обозначениях верна

Теорема 1. Пусть Л = |Ага} (0 < Хп t то) — последовательность, для которой выполняется, условие (1-4), причем

оо

lim ln а [ dx = 0. (1.8)

а^о / х2

а

Если S1 = S(а\, t1), S2 = S(а2, t2) — полуполосы

S(щ, ti) = {s = а + it : \t — U\ < щ, a< 0} (i = 1, 2),

каждая, из которой имеет ширину не меньше 2-кЬ, то pSl = ps2, какова, бы, ни, была, функция F Е D0(K). Здесь ps\ и ps2 — R-порядки функции F в S1 и S2 соответственно.

Для доказательства теоремы 1 нам понадобится еще одно утверждение, а именно оценка для величины т(^) = — ln\Q(reiip)\ при ф ^ 0, где Q - произведение Вейершрасса (1,3), последовательность пулей Л = {Ап} (0 < \п t то) которого имеет положительную плотность Ь, причем для некоторой функции Н Е R

т) — bt\ ^ Н(t), Л(1) = £ 1. (2.1)

Лемма 6. [14] При условии, (2.1) целая, функция Q имеет следующую оценку: существует р ^ 0, такое, что при г ^ р для, всех у, 0 < \ip\ ^

, , г 8п Н2(г)

Iln \Q(reip)\— жЬ\ sin(p\r\ ^ 6Н(r)ln-— + —-+ ЗХгт. (2.2)

1 1 Н (г) \щ г

3. Доказательство теоремы 1

Имеем:

\Л(г) — bt\< Н(t) (t > 0), Н Е R, (3.1)

причем усредненная функция Nh удовлетворяет условию (1,8), Тогда целая функция экспоненциального типа nb

0 f Z 2 \

Q(z) = U[1 — х) (z = х + гУ) (3.2)

п=1 ^ п'

обладает свойствами [14]:

10. д(Ап) = 0, Q'(Хп) = 0 (п > 1); 20. ln\Q(x)\ < g(x) (x > 0), g Е Lo.

Кроме того, на некоторой последовательности окружностей

т

Кп = {X : \А\ = гп}, —п--> 1, п ^ то,

Гп+1

имеют место оценки [3, гл. I, § 3, п,1]

ln\Q(z)\ ^ —Vo(r), г = \z\ = rn, (3.3)

где 0 < V0(r) = о(г) при г ^ то. Не теряя общности рассуждений, можно считать, что п = о(гп) при п ^ то. Для этого, например, из последовательности {гп} исключим, если это необходимо, часть точек, оставляя в каждом полуинтервале вида [п2, (п + 1)2) не более одного члена исходной последовательности. При этом г1 выберем так, чтобы 0 < r1 < min(1, А1^, Имея это в виду, через Гп обозначим замкнутый контур, составленный дугами окружностей Кп = {X : \А\ = гп}, Кп+1 = {X : \А\ = гп+1} и отрезками лучей {X : arg \ = ±рп, 0 < <рп < ж/4} (уп выберем позже).

Справедливо следующее представление

' м=£ (/

V п

шQ(ц, а, F) ^

Q(р)

е ^ др

в = а + г Ь € П0

(3.4)

где ^ — сумма ряда Дирихле (0,2) из класса Д0(А), Q — целая функция (3,2), а ^(р, а, F) = е-аJ 7Q(Í) ( I F(* + а - ^е^ дщ | (

(3.5)

— интерполирующая функция А.Ф, Леонтьева (см., например, в [3, гл. I, § 2, п. 13]). В определении функции ШQ(ц,а,F) через С обозначим замкнутый жордановый контур, охватывающий сопряженную диаграмму целой функции Q, ^^ — функция, ассоциированная по Борелю с Q, а а, а0 — комплексные параметры. Если, например, С — контур, звездообразный относительно начала координат, то обычно полагают а0 = 0, В этом случае г] во внутреннем интеграле в (3.5) пробегает отрезок [0, ¿]. Тогда Ь — г] также пробегает этот отрезок, причем (£ — г/) € С, где С — замыкание области С, ограниченной контуром С. Тогда (£ + а — ц) € Са, Са — сдвиг С на вектор а. По этой причине в (3.5) параметр а выбирается так, чтобы функция ^ ^^^^ ^етулярна в Са [3].

Приступим к доказательству равенства рв1 = рз2-

Пусть а\, а2 — любые числа, а1 > жЬ, а2 > жЬ, а = 5(а\, Ь1) и 52 = 5(а2, ¿2) — полуполосы. Положим

а = вир ■

п>1

г п+1

с = 11 + | ¿21 + а1 + а2,

Н (гп)

фп = ^0- (п ^ 1).

Так как Н € Д, то фп ^ 0 при п ^ го, Число е0 выберем так, чтобы 0 < фп < 4 (п ^ 1).

Учитывая равенство [15, гл. IV, §2, п. 2]

) = (р,а^)

Q(р) Qa(р)

(Яа ~ функция го леммы 6) и введя упрощенное обозначение ша вместо для любого 8 = а + гЬ € П0 имеем

F (в)

Ша(р,а^)

Qa (Р)

др

где

1

(3.6)

(3.7)

ша(р, а, F) = е-а» — J ъ(¿) ( I F(I + а — г])е^ дг] | М,

С \0

1а = 7а(^) _ функция, ассоциированная по Борелю с целой функцией Qa, С — замкнутый (выпуклый) контур, охватывающий сопряженную диаграмму Да функции Qa^, а — произвольный комплексный параметр, выбранный так, чтобы Са С П0 (Са — смещение С на

а

Уточним выбор параметра а и контура С. Пусть 72 € (0,1), 71 = 27|, Положим а = —а(1 — 72) + г¿ь а = Яе 5 < 0, Поскольку Иа, как видно из оценок леммы 5, содержится в прямоугольнике [г = х + гу: |х| < ка(0) < рет(а), |у| < ка(±2) = жЬ} (ка(ф) - индикатриса роста функции Qa), в качестве С возьмем границу прямоугольника Р = [г : | Яе ^ 2рет(а), 11т ^ а1} где а1 = жЬ. Учитывая, что т(а) - непрерывная функция, т(а) 0 при а ^ го, параметр а > 0 выберем как корень уравнения

2 т( ) = 1 | а| .

(3.8)

п

п

Так что для z Е Р будем иметь: | Rezl < 7^^. Пусть, для удобства, ^ll^l ^ 1.

Наша цель - пользуясь некоторым представлением типа (3,7), оценить IF(s)| в полуполосе S2 через максимум модуля функции F в полуполосе S1. Проблема заключается в том, что в оценке (3,3) V0 Е L0. Чтобы преодолеть эту трудность, предварительно докажем лемму.

Лемма 7. Пусть s = а + it Е S2, р Е Гп, rq Е С, j2 — любое, но фиксированное число из (0,1). Тогда

| e-ll{a-S-v) | ^ А(^2)е-12(1+12)Гп\а\+асН(гп) (п ^ 1), (3.9)

а, с — числа, введенные выше, Н Е R.

Доказательство. Полагая rq = rq1 + i-q2, имеем а — s — rq = —j2a — ,q1 — i(-t1 +t + щ), Если р = relLp = + ip2, R = Re [—p(a — s — то R = + p1,q1 — p2(—t1 +1 + rq2), Отсюда получаем, что R ^ —r^al cos p + r71|a| cos p + rl sin (гп ^ r ^ rn+1l 0 < \p\ ^ рп < Значит, R ^ —rn^WKl + 2^2) cos pn + српГп+1 (n ^ Так как Гп+1 ^ ar,n (n ^ <Pn I 0 при n ^ <x, то при n ^ n0(j2)

R ^ —12(1 + ъУп^ + acH(гп),

тем самым, оценка (3,9) доказана.

Вернемся к доказательству теоремы 1, Для s Е S2, р Е Гп оценим выражение

Ua(p,a,F )e^S

Qa(ß)

Так как ^il^l ^ 1, то

l^a(p,a,F)e/S\ ^ (1 + aDle-^-s) l max leml max max lF(u)\.

/EP tEC uECa

Поскольку max leml достигается на контуре С, то применяя лемму 7, имеем

r/EP

lua(^,a,F\ ^ В(^2)е-12(1+12)г"\а\+асН(Гп) max \j(t)l max lF(u)\. (3.10)

tE C uECa

Здесь В(ъ) = (1 + а1)А(ъ), V Е Гп (п > 1), ъ Е (0,1). Далее, учитывая соотношение (3,8), из оценки 1) леммы 5 получаем, что

max lja(t)l < ев exp t Е С

l Retl = 1ilal

i + 71 \

max AH(x) ln+ —----\a\x

x>0 \ y J H(x) 2 1 1 J

Так как H Е R, отсюда легко выводится (см., например, в [12]), что на вертикальных участках контура С

Um | Re tl ln+ ln ha(t)l< 0

| Re

(отметим, что для функции 7^, ассоциированной по Борелю с Q, последнее соотношение сразу следует из леммы 3), Следовательно, для любого > 0 при |ст| < £0 = £0(^3) на вертикальных участках контура С получаем оценку

l^a(t)l ^ exp ехр[ЪЪ1Н-1], l Re tl = (3.11)

Так как на горизонтальных отрезках контура l,ya(t)l ^ Q(i\i), то, толагая 73 = 7^ и учитывая (3,11), равенство 7i = получим

max l^a(t)l ^ expexp^H"1], lal < £i = £i(j2). (3.12)

Таким образом, из (3,10), (3,12) для s Е S2 ж ß Е Гга имеем

U(ß,a,F)е"sl ^

С(Ъ) exp exp [-2lal"i]e"'i2(l+'i2)r«l^l+acH) max lF(u)l, (3.13)

ueCa

где 7i|<г| ^ 1 (п ^ 1),

Поскольку для любого v > 0 при | arg z | < j

sin v z

> 1,

то для таких z при каждом фиксированном а > 0

Шъ z)l>iß e-c(a), С (а - 0) = С (а).

2п е

На дугах окружностей Кп и Кп+1 контура Гп выполняется оценка (3,3), Следовательно, если учесть предыдущую оценку, то на тех дугах

- ln IQa(z)l ^ V(г), V(г) = о(г), г^го. (3.14)

Пусть 7^— часть копт ура Гп без дуг Сп, Сп+1 (п ^ 2), где Сп означает общую часть контуров Гп и Гп+1 (п ^ 1), Считаем, что 71 = Г1 \ С1; вде С1 = {z : |z| = r1, | arg z| ^ Из (3,13), (3,14) видно, что для любого фиксированного s G S2

Ua(ß,a,F) eßS

Qa(ß)

^ e-72Wrn, p G п ^п1.

Значит, для любого фиксированного s G S2

f Ua(ß,a,F)eßS

п

Cn

Qa(ß)

при п ^ го, А поскольку

Ua(ß,a,F) eßS

E

k=1

*) = Ё (/

dp ^ 0

Ua(ß,a,F)

dp I +

Qa(ß) j k=1 W Qa(ß)

/ m

то на самом деле вместо (3,6) в полуполосе S2 имеет место представление

Ua(p,a,F) eßS

F(•) = £ (7

п=1 W

\7п

Qa(P)

dp

(3.15)

Сначала оценим ^(р)| на 7п снизу, причем равномерно по ф фп+1 ^ |ф ^ фп. Для этого обратимся к лемме 7, согласно которой найдется р > 0 что при г ^ р

г 8тт Н2 (г) — 1п |Q(rе^)| ^ 6 Н(г) 1п — + — —^ + 3А1Ь,

Н (г) |ф| г

где Гп ^ г ^ Гп+ь ^ 1 при п ^ го, ^п+1 ^ агп (п ^ 1) фп+1 ^ |ф| ^ фп] Ь —

плотность последовательности Л = [Ап}, а1 = жЬ. Так как Н(г) ^ ГО 0 при г ^ го,

фп = £0 Н1Т"\ то для р = г€ при п ^ п2 имеем:

1) 6 Н(г) 1п ^ 12 Н(гп) 1п Гп

Н (г)

2) ^ ^ ^Н(т).

Н( п)

М г £0

Таким образом, учитывая приведенную выше оценку для |Fa(zz)| снизу в угле {z: | arg z| < j}, имеем: та контуре

т 16 2-^р

- ln |Qa(ß)| ^ 12 Н(Гп)1п-^ + -Н(Гп) + С(а) + ln -= (п ^2). (3.16)

Н (Гп £q y/ß^

Так как Н £ R,то функция Н(г) ln -щ^ принадлежит L0, Следовательно, из (3,13), (3,16) окончательно имеем

ша(ß,a,F) Qa(ß)

^БЫеС(а) ехр ехр ^М-^ ■ ехр [-72(1 + 72)гга|<г| + т(гп)] тах (и)|,

иЕСа

где т — некоторая функция из Ь0, 71|<г| ^ 1, р £ 7п, (п ^ 1),

Теперь можно оценить М32 (а) через М31 (а) сверху. Из (3,15), учитывая (3,17), получаем

М32 (а) = тах ^(а + it)| ^

те

Д(72)еС(а) ехр ехр [72|а|-1 ] тах (и)| V 17п| ехр [т(-72Гп|а|], (3.18)

иЕСа *-'

п=1

где w £ L0, | jn| — длина Рассмотрим ряд Дирихле

ф( s ) = Ьпе VnS, (3-19)

Jn

п=1

где ип = 72гп (п ^ 1) Ъп = 17п| exp [w(^)], причем п = о(ип) при п ^ го согласно выбору гп. Очевидно, ряд (3,19) сходится абсолютно в П0, а так как w £ L0, то порядок функции Ф в полуплоскости П0 равен нулю (см, [10], а также (0,5)):

р(ф) = um — in+1 &п| = о.

Далее, так как, согласно условию (1.8), m(a)lna ^ 0 при а ^ го, а in С (а) х in а, то с учетом равенства (3.8) заключаем, что |a| in С(a(|a|)) ^ 0 при a f 0 (при этом, очевидно, а(|а|) f го). Учитывая все это, из (3.18) получаем

MS2 (a) ^ max |F(u)| expexp [272|a|-1], (3.20)

иеСа

0 < |a| < £2(72)- Выберем 72 £ (0,1), Так как а = | a | (1 — j2) + то | Im и — ^ а1, |a|(1 — 72 — 7i) ^ Reu ^ |a|(1 — 72 + 71) (71 = < 72 при 0 < 72 < \), если и £ Са. Следовательно, если функция F имеет в полуполосе S1 порядок, равный ps1, то из (3.20) окончательно имеем

MS2(a) ^ expexp [272|a|-1 ] expexp [(р^ + 72)(1 — 72 — T1)-1 |a|-1],

0 < |a| < £3(72). Отсюда

MS2(a) ^ expexp [(pSi

+ З72Х1 — 72 — 71)-1|a|-1], 0 < |a| < £4(72). Это означает, что порядок pS2 в полуполосе S2 удовлетворяет оценке

h < , 71 = 0 <72 < 1.

1 — 72 — 71 2

Так как 72 £ (0,1) - любое, то pS2 ^ psi, если а2 > жЬ, а1 = жЬ, тем более - при а1 > жЬ. Аналогично показывается и обратное неравенство. Таким образом, psi = pS2 для любых полуполос S(а1, t1) и S(а2, t2), если а1 > жЬ, а2 > жЬ.

Замечание 1. В доказанной теореме G(R) < го, хотя это утверждение имеет смысл и в том случае, когда G(R) = го (следует рассматривать полуполосы вида S(ro, t0), совпадающие с полуплоскостью П0, а тогда опять psi = pS2). Но теорема 1 не сводится к простому случаю ps = pR, где pR - порядок функции F в полу плоско сти П0 (он вычисляется по формуле (0.5) по коэффициентам), а ps — порядок в полуполосе S(а, t0), а > жЬ (см. в [9], [10]).

Замечание 2. В условиях теоремы 1 при Ь = 0 равепетво р31 = р32 верно для любых полуполое 5(а\,1\), Б(а2,Ь2) (а\ > 0, а2 > 0 — любые). Однако отметим, что аналог теоремы 1 для горизонтальных лучей не верен [16].

Оказывается, как только одна из полуполос имеет ширину меньше 2жЬ, то теорема тоже не верпа, если даже предположить, что д < то.

Приведем соответствующий пример. Пусть Л = [Ап} (0 < \п ^ то) — любая последовательность с конечной плотностью Ь, удовлетворяющая условиям теоремы 1, Положим

/ \2 \ ЛЛ) = П (1 + ц],

где числа Ьк при к > N определим из равенств

к

А Ьк)

А, А > 0,

Ь

при этом числа Ьк (к ^ N) — любые, 0 < Ъ\ < Ь2 < ... < р(г) = 1 —(г ^ еС) (очевидно, это — уточненный порядок). Целая функция ф имеет минимальный тип при порядке 1, а на вещественной оси [15]

(ж А — е)|ж|А(|ж|) ^ 1п [ф(х)1 ^ (ж А + г)|ж|А(|л|)

при |ж| ^ г0(е) (е > 0 — любое). Рассмотрим ряд Дирихле

= мы = - + ^

к=1

Для него область сходимости есть полуплоскость По (так как д < то, то индекс копдепса-

Л

оог

1 С е^

-<хг

равномерно сходится внутри полосы

5 = [г : 11т г| < жЬ}

и определяет аналитическую в 5 функцию I(в), ограниченную в любой полосе [в = а + И : Щ ^ а<жЪ (а > 0)},

Обычным образом показывается (см., например, в [3], а также в [17, теорема 2,1,4]), что сумма ряда (3,21) аналитически продолжается при помощи интеграла (3,22) в полосу Б через интервал (—жЫ,жЪг). Но тогда (см, [15, теорема 2,4,1]) ряд Дирихле

Р = ь тъ)

е

По

которым продолжима функция Ф, Следовательно, функция Д ограничена в полуполосе = Б(а\, 0) (0 < а\ < жЬ), и потому р31 = 0, Ее порядок рд по Рнтту, очевидно, равен ж А + д. Так как в условиях теоремы 1 функция Ц удовлетворяет условиям (0,6), то для любой полуполосы Я2 = Б (а2,Ь0) (а2 > жЬ), как следует из (0,7), р32 ^ рд — д = ж А > 0,

С другой стороны, как было показано в теореме 1, р$2 = рь, где рь ~ порядок в полуполосе 5(Ь, а потому рь > 0,

Теорема 2. Пусть последовательность Л удовлетворяет условиям теоремы 1. Для того, чтобы, для всякой функции F G 00(Л) ее порядки pSl и ps2 в полуполосах S(а\, t\) и S(а2, t2) были, равны, необходимо и достаточно, чтобы, каждая из них имела ширину не меньше 2жЬ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. F. Ritt On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. J. of Math. V. 50, No 1. 1928. R 73-86.

2. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. М.: ИЛ. 1955.

3. Леонтьев А.Ф. Посл,едова,т,ел,ъност,и полипомов из экспонент. М.: Наука. 1980.

4. Садыхов RC. Вопросы роста функций, определенных рядам,и Дирихле и другим,и более общим,и, рядам,и. Автореф. канд. дне. Москва. 1968.

5. Шеремета М.Н. Рост в полосе целых функций, представленных рядами Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 45, вып. 2. 1981. С. 674-687.

6. Скасюв О.Б. Acu,M,nm,om,u,4H,i вл,а,ст,и,востл аналгтичных функцт, представления, степене-вими рядам,и, и рядам,и, Дi,pi,xл,e. Автореф. докт. Льв1в. 1996.

7. Гайсин A.M. Оценка, ряда, Дирихле, показатели, которого — нули целой функции с нерегулярным поведением, // Матем. сб. Т. 185, вып. 2. 1994. С. 33-56.

8. Гайсин A.M. Аси,м,пт,от,и,чески,е свойства, функций, заданных рядам,и, экспонент. Докт. дис. Уфа. 1994.

9. Гайсин A.M., Аиткужина H.H. Порядок ряда, Дирихле с нерегулярным распределением показателей в полуполосах // Алгебра и анализ Т. 30, вып. 4. 2018. С. 27-46.

10. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. Т. 117, вып. 3. 1982. С. 412-424.

11. Аиткужина H.H., Гайсин A.M. Точность оценок для k-порядка ряда, Дирихле в полуполосе // Уфимский матем. журн. Т. 7, вып. 4. 2015. С. 15-24.

12. Гайсин A.M., Сергеева Д.И. Оценка, ряда, Дирихле в полуполосе в случае нерегулярного распределения показателей. II // Сиб. матем. журн. Т. 49, вып. 2. 2008. С. 280-298.

13. Мандельбройт С. Ряды Дирихле: принципы, и, методы. М.: Мир. 1973.

14. Гайсин A.M., Сергеева Д.И. Целые функции с заданной последовательностью нулей, имеющие правильное поведение на, вещественной оси. I j j Сиб. матем. журн. Т. 48, вып. 5. 2007. С. 996-1008.

15. Леонтьев А. Ф. Ряды, экспонент. М.: Наука. 1976.

16. Гайсин А. М. Поведение суммы ряда, Дирихле в полуполосах // Матем. заметки. Т. 42, вып. 5. 1987. С. 660-669.

17. Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука. 1971.

Ахтяр Магазович Гайсин, Институт математики с ВЦ УФ! Ii I РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия,

Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Галия Ахтяровна Гайсина

Башкирский государственный университет,,

ул. 3. Ва. ni. ni. 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]