CC BY
14
УДК 681.3: 514.18
С.Ю. СУЛ1МЕНКО, В О. АНП1ЛОГОВА, Г Г. СУЛ1МЕНКО
Кшвський нацiональний унiверситет будiвництва та архiтектури
ПОБУДОВА ПЛОЩИНИ СИМЕТРП КОНУСА, ДОТИЧНОГО ДО ПОВЕРХН1 ОБЕРТАННЯ, ЗА ЕСК1ЗОМ Л1НП ОБРИСУ
Проаналгзовано власmuвосmi конуса загального положення, дотичного до деяко'1' поверхш обертання. За цим аналгзом сформульовано критерш симетрИ пари твiрних вiдносно невiдомоi площиш симетрИ поверхнi конуса. Показано, що пара симетричних твiрних однозначно визначае i площину симетрИ. Для естзно задано'1' на екраш моттору лiнii обрису площина симетрИ конуса може бути знайдена тшьки наближено. Пропонуеться такий алгоритм. Сформульовано критерш придатностi даного конуса для моделювання поверхонь обертання.
Ключовi слова: дизайн, комп'ютерне моделювання, перспектива, лiнiя обрису, поверхнi обертання, площина симетрИ
С.Ю. СУЛИМЕНКО, В.А. АНПИЛОГОВА, А.Г. СУЛИМЕНКО
Киевский национальный университет строительства и архитектуры
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ КОНУСА, КАСАТЕЛЬНОГО К ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ, ПО ЭСКИЗУ ЛИНИИ ОЧЕРТАНИЯ
Проанализированы свойства конуса общего положения, касательного к некоторой поверхности вращения. По результатам анализа сформулирован критерий симметрии пары образующих относительно неизвестной плоскости симметрии поверхности конуса. Показано, что пара симметричных образующих однозначно определяет плоскость симметрии. Для заданной эскизно на экране монитора линии очертания плоскость симметрии может быть найдена только приблизительно. Предлагается такой алгоритм. Сформулирован критерий использования данного конуса для моделирования поверхностей вращения.
Ключевые слова: дизайн, компьютерное моделирование, перспектива, линия очертания, поверхности вращения, плоскость симметрии
S.Y. SULIMENKO, V.A. ANPILOGOVA, A.G. SULIMENKO
Kiev national university of civil engineering and architecture
CONSTRUCTION OF TH E PLANE OF SYM M ETRY OF TH E CONE TANGENT TO TH E SURFACE OF REVOLUTION ACCORDING TO THE SKETCH OF THE OUTLINE
In current work properties of cone of general position tangent to some surface of revolution were analyzed. Based on the results of the analysis, a criterion for the symmetry of the pair of creation lines relative to the unknown plane of symmetry of the cone surface is formulated. It is shown that a pair of symmetric creation lines also unequivocally determines the plane of symmetry. For a given line of the outline sketch on the screen, the plane of symmetry can only be found approximately. Following algorithm is proposed. The criterion for using this cone for the modeling of surfaces of revolution is formulated.
Keywords: design, computer modeling, perspective, outline, surfaces of revolution, plane of symmetry
Постановка проблеми
Сучасний р1вень розвитку технологш та засоб1в дизайну вщкривае нов1 можливосп для комп'ютерного проектування на перспективних зображеннях. Одшею з основних задач дизайнера при такому проектуванш е побудова штучного середовища та вписування в нього об'екта, що проектуеться. Досягнення оргашчного взаемозв'язку м1ж призначенням та формою об'екта проектування виникае внаслщок адекватного вписування його обрису в навколишне середовище.
Роботи в цьому напрямку проводяться [1, 5], але вони далей ввд розв'язання як у геометричному, так i в комп'ютерно-техшчному та дизайнерських планах. Наведеш дослщження присвячеш комп'ютерному моделюванню поверхонь обертання за перспективною лшею обрису. Таке моделювання неможливе без встановлення площини симетрп обгортувальних конуав. Якщо площина симетри не задана заздалепдь, то задача мае тривiальнiй розв'язок лише тод^ коли ця площина перпендикулярна як картиш, так i предметнш площиш. У випадку конуав другого порядку достатньо перпендикулярносп картини. В робоп пропонуеться алгоритм знаходження такого розв'язання у загальному випадку.
Аналiз останшх дослвджень i публжацш
Пряма задача побудови обгортувального конуса для аналiтично задано! поверхш вперше була розв'язана ще Гаспаром Монжем. Проте алгоритми комп'ютерно! графiки, орieнтованi на побудову обрису довшьного об'екту, мають iтерацiйний характер, а сам обрис, навпъ при розв'язанш прямо! задачi, iснуe як растрова границя м1ж зображенням об'екта та вшьним полем екрану.
Щодо обернено! задачi, то вона, в будь якому разi, може бути розглянута як задача розпiзнавання образiв. Це, перш за все, фотограмметрiя, а також вiдтворення форми прообразу по фотографiям, зробленим з фiксованих точок зору (наприклад, вiдтворення форми тша конкретно! людини).
На даний момент найпоширенiшiм завданням спецiалiста з 3D-моделювання е побудова просторово! моделi за так званим концепт-артом, тобто есшзним малюнком ввд художника-дизайнера. Це досить трудомюткий процес, що вимагае кроттко! та уважно! працi.
Виходячи з цього, зниження трудовитрат на моделювання е прiоритетним завданням провiдних розробнишв програмного забезпечення. Алгоритми (змiст яких приховано), що використовують у сучасних комп'ютерних системах i надають можливють такого спрощеного моделювання, здатнi забезпечити результат достатнш для як1сно! 3D-вiзуалiзацi!', але такий, що потребуе досить важкого ручного редагування при використанш для створення реальних об'ектiв.
Тому алгоритми, яш ставлять у вщповщтстъ вiзуальному образу точну геометричну модель, мають свою сферу використання. Побудова площини симетрi! конуса, що обгортае поверхню обертання, орiентована саме на щ цiлi.
У випадку конуса другого порядку задача мае строгий аналтгачний розв'язок [4], який було застосовано для моделювання поверхонь обертання другого порядку [6]. Цей алгоритм вимагае рiвняння криво! в неявнш формi i зводиться до розв'язання характеристичного рiвняння третього степеня.
Проте такий шдхщ не вiдповiдае сучасним тенденщям, тому що додатки до систем автоматизованого проектування краще створювати на основi синтетично! геометрi! [2-3]. Так в робот [3] ос конуса другого порядку побудованi з залученням методiв проективно! геометрi!. Але це не вирiшуе проблеми з конусом загально! форми.
Мета дослвдження
Сформулювати властивостi симетричного конуса, яш можуть бути встановленi при несиметричному завданнi його напрямно!. Виявити критерп симетрi!' такого конуса та на !х основi запропонувати iтерацiйний алгоритм пошуку площини симетрi!. Встановити критери придатностi еск1зного контуру в якосп напрямно! конусу, що обгортае деяку поверхню обертання (а тому i двопараметричну множину поверхонь).
Викладення основного матерiалу досл1дження
Розглянемо конус, що е дотичним до поверхнi обертання. Вш обов'язково мае принаймнi одну площину симетрi!, а його напрямна крива (лiнiя обрису на картиш) визначена разом зi сво!ми дотичними.
Такий конус будемо вважати коректтш. Цим умовам ввдповщають усi конуси другого порядку.
Зауваження: коректний дотичний конус побудувати шляхом довiльного завдання криво! т неможливо. При алгорштшчнш побудовi зазвичай не втрачаеться шформащя i про площину симетрi!. Але i така задача мае мюце, коли контур поверхнi обертання зафжсовано на фотографi! з ведомого центру. Проте властивють коректного конуса наводиться далi з метою застосування !! в некоректнiй ситуацi!.
Властивгсть 1. Коректний конус задаеться вершиною та лшею обрису т (рис.1) На ньому знайдено двi твiрнi 5А та 5В (Лет, Бет). Разом з дотичними до криво! т (ВС, АС) вони утворюють дотичш площини до конуса. Якщо бюекторна площина 5СВ двогранного кута при ребрi 5С перетинае трикутник по бюектрисл кута \пж прямими Л'. I Рис.1. Iлюстрацiя до властивостi 1 та 5В, то така площина е площиною симетрп всього
конуса.
Така властивють випливае з одного iз можливих методiв побудови коректного конусу (рис. 2а). В площиш I задаеться симетрична крива т' де т' - !! вюь симетрi!'. Площина II перпендикулярна до I проведена через вюь симетрп т'. Вершина БеП обираеться довiльно. {5,т } - коректний конус поверхш обертання за побудовою. В А' - деяка хорда криво! т' перпендикулярна до вга /т'. Вiсь подiляе цю хорду навпш: |В 'Б ] = \0 А ]. Дотичнi до т' в точках А' та В' перетинаються в точщ С'ет'. Внаслщок симетрi! маемо: В С' = А 'С' та В 5= 5А'. Тобто, в цьому симетричному випадку II, бюекторна площина дотичних площин В 5С' та А 5С' перетинае трикутник В 5А' по бiсектрисi '.
В1СНИК ХНТУ №3(62), 2Q17р., ТОМ 2 ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА
КОМП'ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГИ
Рис. 2. Пoбудoва ^^MeTp^TOro nepepÍ3y KopeKraoro ^нуса
Cпрoектyeмo з вершини кoнyсa S криву m ' на плoщинy, яку задае дoвiльнa тoчкa Ce SC ' та o^ гoмoлoгiï k. Бyдемo вважати цю плoщинy картишю К, пoбyдoвaнy криву m - лшею oбрисy, а S точтою зoрy.
Зрoзyмiлo, щo кoнyс {S,m} спiвпaдae з кoнyсoм {S,m } i е кoректним. ToMy твiрнi SA та SB, дoтичнi плoщини в ниx SA С i SBC, бiсектoрнa плoщинa SDC i бюектриса кута мiж SA i SB, залишились без змiн, а тому: якщ двi твiрнi симетричнi вадшсш плoщини симетрiï кoректнoгo кoнyсa, то бюекторна плoщинa ïx дoтичниx плoщин iнцидентнa бiсектрисi кута мiж твiрними.
Toчки А та В несиметричнi ввдшсш плoщини II i BD Ф AD. Якщo на SA та SB ввдкласти рiвнi вiдрiзки SB ' та SA, то B 'D ' = D A '.
Влaстивiсть 1 нaвoдилaсь з метoю встaнoвлення критерiю симетрп двox дoвiльниx твiрниx кoректнoгo тонусу вiднoснo невiдoмoï плoщини симетри. Tarax критерив мoже бути дешлька. Шприклад, рiвнiсть прямиx АС та В 'С на рис. 1. Лле точка С ïx перетину мoже бути вщдалена, тoмy важго спiввiднoсити пoxибкy з дoвжинoю самт лiнiй i зрoбити критерiй знатозмшним. Вiн мoже бути зaмiнений рiвнoзнaчним, як oцiнкa рiвнoстi вiдрiзкiв B 'D ' та D A '. Це oбчислюють наступним чишм:
1. Oбирaють двi дoвiльнi точки А та В ^moi' m. Записують рiвняння дoтичниx плoщин в неявшму виглядi такт, щo належать твiрнiй та дoтичнiй в тoчкax А та В, яш за yмoвoю визнaченi.
2. Cклaдaeться рiвняння бiсектoрнoï плoщини II.
3. Знaxoдяться тoчки В ' та А ' так щo |B S| = ¡A S|. Рoзyмнo знaxoдити тiльки oднy тoчкy, на твiрнiй, щo мае бiльшy дoвжинy (як на рис.1).
4. Визначаеться точка D 'перетину плoщини II та прямoï А В '.
5. Oстaтoчнo критерш мае вигляд:
KR =
B 'D A'D'\
A'B '1
Це вадносний критерш. BiH не залежить вад довжини в1др1зшв SA' та SB' i дор1внюе нулю при симетрп TBipHHx. В цьому pa3i площина II буде площиною симетрп всього коректного конуса. Якщо знайти ще одну пару симетричних твiрних AS та B,S, то в перетинi прямих AiBiHAB отримаемо центр пучка, що встановлюе всю множину пар симетричних твiрних. Це випливае з того, що Bci хорди A ¡B' i перпендикулярш площинi симетрп, тобто паралельш мiж собою i мають на картинi точку сходу.
Зауваження: е особливостi, як1 не змiнюються при перетвореннi симетричного контуру m в несиметричний m'.
Перше: наявшсть прямолiнiйних вiдрiзкiв. Наприклад прямi (1,3) та (2,4) при симетризаци контуру переходять в прямi (1',3) та (2 ',4') i вiсь всього конуса може бути знайдена як бюектриса кута м1ж площинами S13 та S24.
Друге: якщо вершина S не належить площиш I та площина криво! m' не належить дотичним в точках перегину, то точки перегину при симетризаци контуру перейдуть також в точки перегину. На рис. 2б) задано фрагмент з точками перегину. Нехай ачш в точках перегину замшять криву. Вони перетинають дотичну в точках перегину. Це означае, що при перспективному перетворенш вони теж будуть перетинати дотичну i лiнi! перегину зберiгаються. Тому пара точок перегину теж однозначно задае площину симетрi! коректного конуса.
Iтерацiйний алгоритм пошуку площини симетрi! коректного конуса в загальному випадку полягае в наступному:
1. На кривiй обираеться довiльна точка А (рис. 3), яка не е точкою перегину i двi точки Bn та B0 так, щоб м1ж ними не було точки перегину. В цьому разi критерш KR буде змiнюватись монотонно.
2. В точках B0 та Bn визначаються KR для пар хорд SB0 i SA та SBn i SA. Якщо KR0 i KRn мають рiзнi знаки то розв'язок лежить в iнтервалi (B0, Bn) i знаходиться шляхом подшення iнтервалу параметрiв навпш. За наступний з двох iнтервалiв обираеться iнтервал з рiзними знаками
величини KR на границях.
Рис. 3. Глюстращя до роботи иерацшного алгоритму
3. Якщо KR0 i KRn мають однаковi знаки, то розв'язку може не бути. В разi його вадсутносп точка з меншим по модулю значениям залишаеться границею iнтервалу, а друга задаеться ззовнi iнтервалу. Мае виконуватись умова, що точка перегину може бути пльки граничною.
Алгоритм працюе в автоматизованому режимi в тому сена, що почaтковi точки А, B0 та Bn користувач задае самостшно.
Цей алгоритм працюе у випадку кривих другого порядку. Крии другого порядку привaбливi в якосп обрисiв поверхонь обертання, тому що побудоваш на !х основi поверхш з будь яко! точки зору утворюють обриси, що мають власну вюь симетрi!.
Критерi! i алгоритми нацшещ перш за все, на випадки некоректного конуса, як1 виникають при еск1зному зaвдaннi лiнi! обрису. Площини симетрп в цьому рaзi може взaгaлi не бути. Щоб з'ясувати це знаходиться множина симетричних пар твiрних. Кожна з них визначае точку на картищ що мае належати сладу площини симетрп.
Для реал1зацп цiе! зaдaчi була створена програма Outline на бaзi iнтегровaиого середовища розробки Unity з можливютю iмпорту файл1в креслення AutoCAD та подальшо! !х обробки. Роботу ще! програми проiлюстровaно прикладом (рис. 4).
В робочому пол1 AutoCAD користувач задае довтну криву деякою ламаною. В даному випадку схожу на параболу з вертикальною вюсю. Функщею «Smooth» вiн виконуе згладжувальну aпроксимaцiю криво!, та функцiею "Path array" задае N точок, що описаш 3D-об'ектaми "сфера" з дотичними в них, що описaиi 3D-об'ектaми "цилiндр". Ця iнформaцiя експортуеться грaфiчним редактором в формaтi ".FBX". Отриманий файл iмпортуеться у пiдготовлену сцену програми Outline у комплекс Unity.
В прогрaмi Outline користувач видме iз загального масиву N робочих точок (в приклащ N=3, точки А1, А2, А3) та робочий штервал B0, Bn, який може бути спiльним для вах робочих точок. За розробленим алгоритмом знаходяться точки D1,D2,D3. Точки Di е наближеною iнформaцiею для побудови сладу im площини симетрп конусу на картинг Розрахунок проводиться за методом найменших квaдрaтiв та ощнюеться коефiцiентом кореляцi! r [7], модуль якого мае наближатись до одинищ Остаточне рiшения щодо прийнятносп результату залишаеться на розсуд користувача. При позитивному ршенш користувач
обирае одну з гшок криво! обмежену т i за алгоритмом, розробка i реалiзацiя якого описана в [5], будуе поверхню обертання, ось яко! належить площит II {5, т }. На рис. 4 це вюь (1, 2), що обмежена точкою 3.
В табл. 1 наведено результати по визначенню ос Iт: координати знайдених точок результат !х лшшно! апроксимаци та критерш кореляцп. Висока якiсть, показана критерiем, в значнiй мiрi обумовлена простотою вихвдно! шформацп.
Точка х (мм) У (мм) \KR\i у = ах + Ь \ г \
а Ь
Вх -4651,72 1558,418 0,0014 -2,54813 -10073,6 0,97446
Вг -5271,84 3791,112 0,0072
Вз -5924,25 4811,921 0,0049
Висновки
Доведет властивосп, запропонований критерiй та розроблет алгоритми, що реалiзованi в
програмному виглядi, дають надiю, що зроблено певний крок у моделювант поверхонь за есшзами
перспективно! лiнi! обрису.
Список використаноТ лiтератури
1. Сазонов К.А. Диалоговое графическое пространственное проектирование: автореф. дисс. на соискание учен. степени доктора техн.наук : спец. 05.16.12 "САПР"/ Константин Александрович Сазонов. -М.,1988. - 38 с.
2. Несввдомш В.М. Комп'ютерт моделi синтетично! геометрп : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня доктора техн. наук : спец. 05.01.01. "Прикладна геометрiя, iнженерна графта" / Вжгор Миколайович Несвiдомiн. - К.,2008. - 38с.
3. Короткий В. А. Геометрическое моделирование поверхности посредством ее отображения на четырехмерное пространство / В. А. Короткий // Омский научный вестник - 2015. -№ 1(137). - С. 8-12.
4. Моденов П.С. Аналитическая геометрия / П. С. Моденов. - М.: изд. "Московский университет", 1969. -698 с.
5. Сазонов К.О. Моделювання поверхонь обертання на перспективних зображеннях / К.О.Сазонов, Г.Г. Сулiменко, С.Ю. Сулiменко // Сучаст проблеми моделювання. - Мелитополь: Видавництво МДПУ iм. Б.Хмельницького, 2016. - Вип.5. - С. 110-115.
6. Сулiменко С.Ю. Формоутворення поверхонь обертання другого порядку за !х лiнiями обрису / С.Ю. Сулiменко, В.О.Анпiлогова, Ж.Г.Левiна // Сучаснi проблеми архггектури та мiстобудування. - К. : Видавництво КНУБА, 2016. - Вип.44. - С. 313-320.
7. Щербаков И.Н. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ, Материалы к лекционному курсу [Електронний ресурс] / Игорь Николаевич Щербаков - Режим доступу: http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/NumMethods/Reg_MNK.htm.
