CC BY
39
Вычислительные технологии
Том 2, № 4, 1997
ПОСТРОЕНИЕ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
О. В. Клпцов Вычислительный центр СО РАН, Красноярск, Россия e-mail: [email protected]
The exact solutions of some classical models of hydrodynamics are presented. These solutions are analogues of N-soliton solutions, they are expressed in terms of elementary functions and as a rule are characterized by singularities. Linear differential connections are employed for constructing the solutions.
В настоящее время теория солитонов прошла начальный этап бурного развития и вступила в стадию эволюции, позволяющую оценивать реальные достижения. Для нахождения солитонных решений часто применяются изощренные методы. С другой стороны, поскольку эти решения выражаются через элементарные функции, возникает мысль о том, что они могут быть получены более просто. Билинейный метод Хироты [1, 2] дает пример такого подхода, позволяющего достаточно легко находить решения экспоненциального типа.
В данной работе для построения многопараметрических решений предлагается использовать простейшие дифференциальные связи [3], заданные линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Как показывают примеры, это позволяет находить не только солитонные, но и другие решения, выражающиеся через элементарные функции и имеющие сингулярности. В качестве первого примера рассматривается уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ), затем строятся решения уравнений идеальной несжимаемой жидкости.
Основная идея построения многопараметрических решений проста и состоит в следующем. Пусть имеется нелинейное уравнение с частными производными
Потребуем, чтобы функция п(х\,...,хп) удовлетворяла дополнительным обыкновенным линейным уравнениям с постоянными коэффициентами
Подставляя общее решение системы (2) в (1), находим частное решение этого уравнения. Очевидно, что чем выше порядок системы (2), тем от большего числа параметров может зависеть частное решение. Данная конструкция легко переносится на системы уравнений с частными производными.
© О. В. Капцов, 1997.
F(u, Ux-1, •••) uxn , uxixi, ••• ) 0.
(1)
Li(u,ux. ,uXiXi, ...) = 0, 1 < i < n.
(2)
Если искомое уравнение (1) не имеет решений, удовлетворяющих линейной системе (2), то может оказаться, что после некоторой замены переменных преобразованное уравнение будет совместно с системой (2). Во всех примерах данной работы такие замены необходимы.
В качестве первого примера рассматривается уравнение КдФ
Щ + Щххх + = 0. (3)
В результате замены
щ = 2^Х(1п и),
где 4 = 4/4ж, приходим к уравнению пятого порядка, интегрируя которое, можно понизить порядок и получить билинейное уравнение [1]
иЬхи иЬих + ииХХХХ 4ихиххх + 3ихх (4)
Теперь будем присоединять к (4) линейные уравнения порядка 2м. В случае N = 1 дифференциальные связи имеют вид
4(4 - к)и = 0, 4(4 + к3)и = 0, (5)
здесь 4 = 44, к — произвольная константа. При к = 0 система, состоящая из уравнений (4), (5), имеет решение
и = 1 + 5 ■ ехр(кж — к34), (6)
а при к = 0
и = ж + 5, (7)
где 5 Е Л. Функции (6), (7) порождают известные решения уравнения (3): односолитонное и рациональное.
Пусть N =2; тогда дифференциальные связи задаются уравнениями четвертого порядка
4(4 — к:)(4 — к2)(4 — к1 — к2)и = 0, (8)
4(4 + к3)(4 + к3)(4 + к3 + к3)и = 0, (9)
где к1, к2 — константы, которые могут быть и комплексными. Выбор этих констант определяет тип решения.
Если к1 = к2 = 0, то общее решение уравнения (8) имеет вид (с точностью до умножения на произвольную функцию от 4)
и = ж3 + Г2ж2 + Г1ж + Г0, (10)
где г могут зависеть только от 4. Подставляя представление (10) в (4) и решая полученные уравнения на функции г^, получаем полиномиальное решение [1]
и = (ж + а1)3 + 124 + а2, а € Л.
Если к1 = 0, к2 = 0, то, согласно (8), функция и должна иметь вид
и = 1 + г1ж + (г2ж + г3)ехр(к1ж),
где г — некоторые функции от 4. Снова подставляя данное представление в (4) и решая уравнения для функций гг, находим
Г1 = 51, Г2 = 52ехр(—к3^),
Г3 = 52<к. — 4.,) еХр(_^)
к15 1
51, 52 € Л.
Аналогичным образом изучаются остальные случаи. Ниже приведены некоторые решения системы (4), (8).
При к1 = к2 = к = 0
и = 1 + (г1ж + г2)ехр(кж) + г3ехр(2кж),
где
г1 = 51ехр(—к34), г2 = (—3к2514 + 52)ехр(—к34), Г3 = —(51/2к)2ехр(—2к34), 51, 52 € Л.
При к1 = ¿к, к2 = —¿к
и = кж + 3к34 + 8т(кж + к34).
При к1 = а + ¿Ь, к2 = а — ¿Ь
и = 1 + 2ехр А ■ (^соэ В — з2вт В) — ——^^^ехр 2А,
где А = а [ж + (3Ь2 — а2)4], В = Ь[ж + (Ь2 — 3а2)4].
При к1, к2 € Л, к1 ■ к2 = 0, к1 = к2 получается решение, выражающееся через экспоненциальные функции и порождающее двухсолитонное решение уравнения КдФ. Некоторые из представленных выше решений можно найти в [4, 5].
В случае N = 3 вместо дифференциальной связи (8) имеем уравнение восьмого порядка
4(4 — М(4 — к2)(4 — к3)(4 — к1 — к2 )(4 — к1 — к3)х
х(4 — к2 — к3)(4х — к1 — к2 — к3)и = 0. (11)
Подобным же образом выписывается аналог уравнения (9). Снова выбирая различным образом константы кг, можно найти разные решения системы (11), (4). При к1 = к2 = к3 = 0 получаем полиномиальное решение
и = ж6 + 60ж34 — 72042 + 5ж, 5 € Л.
При к1 ■ к2 ■ к3 = 0, кг = к (г = ^) возникает трехсолитонное решение. Однако этими двумя известными решениями все возможности не исчерпываются. Например, при к1 = к = 0, к2 = к3 = 0 имеется решение
и = (ж3 + г2ж2 + г1ж + г0 )ехр(кж) + (г7ж3 + г6ж2 + г5ж + г4)ехр(к3 4),
где г2,г7 € Л, г1 = г|/3, г0 = 124, г6 = г7(12 + кг2)/к, г5 = г7(12 + кг2)/3к2, Г4 = г7[124 + (2к ■ г2 + 12)2/3к3]. При к1 = к2 = к = 0, к3 = 0
и = (ж + г5)ехр(2кж — 2к34) + (г4ж2 + г3ж + г2)ехр(кж — к34) + г1ж + г0,
где r4,r5 е R, r3 = -3k2r4t, т\ = -rf/4k2, r0 = -rf(kr5 + 8)/4k3, r2 = -r4((3k2r5 + 12k)t + r2 + 8r5/k + 12/k2).
В случае N = 4 дифференциальная связь задается уравнением шестнадцатого порядка
dx П (dx - ki)Y[(dx - kj) Д (dx - k - kj - km)
i=l i>j i>j>m
<х - к^ п = 0. (12)
Если все кг попарно различны и не равны нулю, то решая уравнения (12), (4) можно получить функцию, порождающую четырехсолитонное решение. При к1 = к2 = к3 = к4 = 0 эти уравнения дают полиномиальное решение.
Если же к1 = к = 0, а к2 = к3 = к4 = 0, то система (12), (4) имеет решение
п = Qexp(kx — к3Ь) + Р,
где Q, Р — полиномы шестого порядка следующего вида
Q = х6 + 60Ьх3 — 720Ь2,
Р = х6 + 60Ьх3 — 720Ь2 + 720Ьх2/к + 24х5/к + 240х4/к2+
+ 1200х3/к3 + 2880(х/к5 + х2/к4 + Ьх/к2 + 2Ь/к3).
При необходимости, перебирая различные комбинации из к1,...,к4, можно построить и другие решения.
Остановимся кратко на уравнении Буссинеска
Ыи - Ыхх 3(ы )хх Ыхххх 0-
Выполняя замену ы = 2й2.(ши) и интегрируя два раза, можно получить билинейное уравнение [1]
ииЫ п2 иихххх + 4пхпххх 3ихх иихх + их — (13)
Обыкновенные уравнения, задающие дифференциальные связи порядка 2м, при N = 2 имеют вид
dx(dx — к1)(йх — к2)^х — к1 — к2)и = 0, (14)
— kll)(dt — к22)(<к — ки — к22)и = 0, (15)
где к11 = ек1 + к2, к22 = ек2^/1 + к2, |е| = 1. Заметим, что уравнения (8) и (14) совпадают.
Вновь перебирая различные значения к1, к2, можно строить различные решения. Приведем лишь одно из них (случай чисто мнимых к1 ,к2)
и = в1х + в2Ь + эт(кх — к V1 — к2Ь),
здесь = \/3(к4 — к2)/(4к2 — 3), в2 = в1(2к2 — 1)/л/1 — к2. Записывая высшие аналоги системы (14), (15) и интегрируя их, несложно найти другие решения уравнения Буссинеска.
4
4
4
Рассмотрим теперь уравнение на функцию тока
Д— = ехр(—) — ехр(—2-0) (16)
(здесь Д — двумерный оператор Лапласа), которое можно использовать для описания стационарных двумерных течений идеальной жидкости. Некоторые решения этого уравнения имеются в [6, 7].
В результате замены переменных
0 = 1п( 1 — 2 Д (1пи)) (17)
получаем трилинейное уравнение на и:
Д(1п[1 — 2 Д (1пи)]) = 1 — 2 Д (1пи) — 1/[1 — 2 Д (1пи)]2. (18)
Представление подобное (17) использовалось в работах [8, 9] при исследовании решений уравнения Цецейки — Булло — Додда.
Дифференциальные связи, описывающие эволюцию по ж, задаются теми же уравнениями порядка 2м , что и для уравнения КдФ. При N =1 имеем связь второго порядка
4(4 — к)и = 0.
Прямым вычислением проверяется, что функция
и = 1 + 5ехр(кж + л/ 3 — к2 у)
удовлетворяет последнему уравнению и (18). Следует отметить, что функция
и = (1 + з1ехр(л/3ж)) ■ (1 + з2ехр(л/3у))
удовлетворяет связям второго порядка
4(4 — л/3)и = 0, 4 (4 — "\/3)и = 0
и уравнению (18).
При N = 2 одна дифференциальная связь задается уравнением (8), а вторая есть
4 (4 — т1)(^у — т2)(4 — т1 — т2)и = 0, (19)
где тг = ^/3 — к2. Если к1 = к2 и к1 ■ к2 = 0, то система (8), (19), (18) имеет "двухсолитон-ное"решение
и = 1 + 51ехр(к1ж + т1у) + 52ехр(к2ж + т2у) +
+512ехр((к1 + к2)ж + (т1 + т2)у), (20)
где 51,52 € Л, тг = л/3 — к2, 512 = 5152Р12, причем Р12 — выражается формулой
Р12 = (4т1Ш2к1к2 — 9т1т2 + 4к2к| — 6к2 — 9к1к2 — 6к| + 27)/
/(4т1Ш2к1к2 + 9Ш1Ш2 + 4к2к| — 6к2 + 9№ — 6к| + 27). (21)
Если ki = k2 = k = 0, то функция
u = 1 + (s1x + r1y)exp(kx + my) + r12exp(2kx + 2my),
где m = V3 — k2, s1 = —r1 m/k, r12 = r2/12k2, r1 G R, удовлетворяет уравнениям (8), (19) и (18). Если же k1 = k2 = 0, то решением этих уравнений является функция
u = (s1x + m0)exp(v^3y) + m1exp(^v/3y) + m2,
где m2 = s1/36m1.
При N = 3 можно построить следующее "трехсолитонное"решение:
3
u =1 + ^ Siexp(kjx + m»y) + ^ s»jexp[(k» + kj)x + (m» + mj)y] +
i=1 3>»>j>1
+S123 exp((ki + k2 + k3)x + (mi + m2 + m3)y), (22)
где Sj = SiSjPj, s123 = s1s2s3P12P13P23, а величины Pj определяются формулой (21) с заменой индексов 1 на i, 2 на j.
Вид решений (20), (22) в теории солитонов [1, 10] является типичным. Исходя из этого легко выписать "N-солитонную''формулу, но нужно при этом доказать, что она действительно задает решение уравнения (17).
Показанные выше примеры дают основание предполагать, что дифференциальные связи (8), (12) и их высшие аналоги при построении многопараметрических решений могут претендовать на роль универсальных.
В работах [11, 12] с помощью инвариантных подпространств конечных размерностей были найдены точные решения ряда нелинейных уравнений с частными производными. С. Р. Свирщевский заметил [13], что этот подход связан с инвариантностью линейных обыкновенных уравнений, решения которых и образуют инвариантные подпространства. Однако, как показано тем же автором, требование инвариантности накладывает жесткие ограничения на порядок линейного уравнения. В подходе, описанном в настоящей работе, нет требования инвариантности, что и позволяет дописывать дифференциальные связи высоких порядков и находить многопараметрические решения.
Список литературы
[1] Авловиц М., Сигур Ч. Солитоны и метод обратной задачи. Мир, М., 1987.
[2] MATSUNO Y. Bilinear Transformation Method. Academic Press, N.-Y., 1984.
[3] Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Наука, Новосибирск, 1984.
[4] Аркадьев В. А., Погревков А. К., Поливанов М. К. Сингулярные решения уравнения КдВ и метод обратной задачи. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VI (Зап. науч. семинаров ЛОМИ, т. 133), Наука, Л., 1984, 17-37.
[5] Ablowitz M. J., CORNILLE H. On solutions of the Korteweg-de Vries equation. Phys. Lett., 72A, No. 2, 1979, 277-280.
[6] Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. ВО Наука, Новосибирск, 1994.
[7] МАРКОВ Ю. А. Об одном классе точных решений кинетической модели равновесия плазмы. ТМФ, 91, №1, 1992, 129-141.
[8] Cherdantzev I. Yu, SHARIPOV R. I. Solutons on a finite-gap background in Bullough-Dodd-Juber-Shabat model. Int. J. Modern Phys., 5A, No. 15, 1990, 3021-3027.
[9] САФИН С. С., ШАРИПОВ Р. А. Автопреобразование Беклунда для уравнения utx = eu - e-2u. ТМФ, 79, №1, 151-154.
[10] Захаров В.Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория со-литонов. Метод обратной задачи. Наука, М., 1980.
[11] GALAKTIONOV V. A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction equations with source and applications. Diff. and Integral Equat., 3, No. 5, 1990, 863874.
[12] GALAKTIONOV V. A., POSASHKOV S.A. Examples of nonsymmetric extinction and blowup for quasilinear heat equations. Diff. and Integral Equat., 8, No. 1, 1995, 87-103.
[13] SVIRSHCHEVSKII S. R. Lie-Bäcklund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations. Phys. Lett., 199A, 1995, 344-348.
Поступила в редакцию 18 августа 1995 г.
