Симметрические многочлены и законы сохранения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 4, С. 83-94

УДК 517.928

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ1

А. Б. Шабат

Рассматриваются векторные поля, первыми интегралами для которых являются симметрические многочлены. Установлена связь полученных динамических систем с теорией многофазных решений солитонных моделей математической физики.

Ключевые слова: теорема Лиувилля, симметрические многочлены, инварианты Римана, соли-тонные уравнения.

1. Введение

Матрицей Якоби в Ж” мы называем невырожденную n х n матрицу A(x), x G Ж”, с элементами aij, удовлетворяющими условиям

Ш = dj (Vi j k). <->

Нам понадобится следующий упрощенный вариант теоремы Лиувилля, связывающей в теории динамических систем первые интегралы с инфинитезимальными симметриями.

Теорема 1. Пусть B = (Ат)-1, где A = A(x), x G Ж”, — матрица Якоби в Ж”. Тогда формула D = BV, где V = (di,..., дп)т — вектор-столбец, составленный из дифференцирований dj = d/dxj, определяет n коммутирующих векторных полей в Ж”:

Di = budi + ... + bind”, [Di, Dj] = 0. (I-2)

< Условия (1.1) обеспечивают замкнутость дифференциальных форм aij dxj и существование локальной системы координат X = ^(x):

xi = ^i (xi,..., xn),

< - (1-3)

^” = (£” (xi, . . . ,x”),

в которой dx = A(x) dx и

””

o v—> dxj и \—> и — ^тА

dxi = Sdxidj = SajioFj ^ = . (-)

j=i j j=i j

© 2012 Шабат А. Б.

1 Работа выполнена в рамках Программы Российской академии наук «Нелинейная динамика» при

финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 10-01-00088,

№ 11-01-12018-0ФИ-М-2011, № 2012-1.5-12-000-1003-011, и Программы поддержки ведущих научных школ России, проект № НШ-5377.2012.2.

Другими словами,

^Ж = А(ж) ^ж ^ Ъ = В (ж) ■ V

и дифференциальные операторы (1.2) совпадают с дифференцированиями дj = 5/5ж^ в новой системе координат (1.3). >

Замечание 1. Координатные функции ^pj, . = 1,...,п, из формулы (1.3) задают максимальный набор из п первых интегралов любой из динамических систем, связанных с векторными полями (1.2), т. е.

п п ( 0 = .

Ъi(Vj) = У] Ьгкдк(^) = V ^ = <^ ’ * (1.5)

V V I1- * =.

Из приведенного выше доказательства теоремы 1 видно, что условия (1.1) являются не только достаточными, но и необходимыми для коммутирования дифференциальных операторов (1.2), построенных по невырожденной матрице В(ж). Так как

В = (Ат)-1 ^ А = (Вт)-1 , (1.6)

то матрица первых интегралов А восстанавливается по матрице коммутирующих векторных полей В по одной и той же формуле.

2. Конечномерная формулировка модели

Выбрав в формуле (1.3) в качестве функций ^pj, . = 1,...,п, подходящие симметрические многочлены, и вычислив матрицу Якоби А, мы рассмотрим здесь свойства динамических систем, соответствующих векторным полям (1.5).

Рассмотрим сначала один из примеров такого векторного поля, соответствующий выбору в качестве первых интегралов элементарных симметрических многочленов.

Пример 1. Пусть

п 1 д

Ъо = § ПЖЛ «Ж!' (2Л)

где

п

Р (А) = ]^[(А — жк ) = Ап + 51 Ап 1 + ... + §п (2.2)

к=1

— многочлен степени п с единичным старшим коэффициентом. Тогда

п п п

Ъ0Р(А) = Ъ0 ^ (А — жк) = — ^^ Ъ0(ж!) П(А — жк)

к=1 !=1 k=j

и, следовательно,

ЪоР(А)|Л=Ж. = -Ъо(ж!)Р'(ж!) = -1, . = 1,...,п, ^ Ъо(Р) = — 1,

так как степень многочлена Ъо (Р) равна п — 1. Другими словами,

Ъо (51) = ... = Ъо (£п-1) = 0, Ъо (£п) = —1,

и, сравнив с (1.2), мы убеждаемся, что векторное поле Во соответствует выбору в качестве , элементарных симметрических многочленов

„і ^ ' хі, „2 ^ ' хіхз, „з ^ ' ХіХзЖк,

і<3 І<і<к

(2.3)

В частности, при п = 3, соответствующая векторному полю В о динамическая система, имеет вид

1

1

1

Х1 =

(Ж2 - Хі)(Хз - Хі)’ Х2 (Хі - Ж2)(Жз - Х2)’ ^ (Жі - Хз)(Х2 - Хз) '

Именно так эволюционируют корни многочлена третьей степени при Р(х) = -1.

х з =

(2.4)

3. Уравнения для корней

Векторные поля, коммутирующие с векторным полем (2.1), зависят, очевидно, от выбранного семейства симметрических многочленов. Оказывается удобным, для построения этого коммутирующего семейства, заменить элементарные симметрические многочлены (2.3) на суммы степеней, играющих роль координатных функций в формуле (1.3). Очевидно, что при

1 ^ ...

т = 1,..., п,

Жт = — У Ж™

т

/ у з

матрица Якоби А совпадает с матрицей Вандермонда и

Ат

1 Хі

1 Х2

1 Жп

рП і і

„п— і

„п-1

Можно проверить, что в этом случае матрица В = (Ат) 1 имеет следующий вид:

' 5П-і —і . „п 1 . Уга-і ' Р/(хі) 0 . .0

В = 2 - 2п 2 - „п . Уга-2 0 Р /(Х2 ) . .0

1 1 . .1 0 0 . . Р/ (Х„ ) _

-і

где

з гїе1 / м

5І = 5і(хі ,...,Хп)Іх .=,

п' х3' =0'

(3.1)

(3.2)

Следовательно, последняя строка обратной матрицы В дает по-прежнему векторное поле (2.1), а следующим строкам соответствуют

а = Е

з=і

53 д

р/(хз) дхз

і = 1, 2,..., п - 1.

(3.3)

Например, предпоследней строке матрицы (3.1) соответствует векторное поле

Аі

і_____д_

3= р/(хз) дхз:

5з = - ^ хк.

к=з

2

п

Для построения зависящих от произвольных функций г/ = Г/ (ж/) решений, рассматриваемых ниже уравнений (см. пример 2), мы будем использовать следующую модификацию матрицы Вандермонда

1 1 . .1

А = жі ж2 . . . ж„

жп-і і жп-і ж2.. жП-1 . жп

гі(жі) 0

0 Г2(Ж2)

0

0

Гп(Жп) .

(3.4)

Нетрудно проверить, что справедливо утверждение:

Лемма 2. При произвольном выборе функций г/ (ж/), 3 = 1,..., п:

(г) Матрица А из формулы (3.4) удовлетворяет условиям (1.1);

(гг) Для векторных полей Во и В*, построенным по строкам матрицы В справедливы соотношения (ср. (3.2)):

= (Ат)

-і

Вс(Р) а = -Во(ж,)Р'(ж,) =

А=ж;

в* (р )

А=ж-

= -в*(жі )р/ (ж ) =

-і .

гі(Х) . - А;'

(х;) ’

Р = Р(Л) = П(Л - жі). (3.5)

і=і

Так как степень многочленов Во(Р) и В* (Р) равна п — 1, то значения в п точках ж/ полностью их определяют. Сравнив значения указанных многочленов в этих точках, мы получаем

Теорема 2. В условиях леммы 1 выполняются соотношения

(іе£

Вт(Р) = (Р™,Р) = РтВо(Р) - РВо(Рт), т = 1, . . . ,П - 1.

При этом

Рт(А) — А™ + ді Ат 1 + ... + 5™ ^ р™(жі) = ,

В„(Рт) - В™(Рп) = (Рп,Рт) (VП, т).

(3.6)

(3.7)

(3.8)

В качестве примера перепишем уравнения (3.6) при т = 1 в терминах коэффициентов многочлена (2.2) произвольной степени п > 1. Так как т = 1 и Рі = ж + ді, то степень многочлена (Рі, Р) равна п - 1 и, приравняв его коэффициенты коэффициентам многочлена Ві (Р) той же степени, мы получаем

Ві (ді) = Во (52), Ві (52) = Во (дз) + (ді ,52),...,Ві (дга) = (ді ,дга),

(3.9)

где, как и в теореме, (а, 6) = аВ0 (6) — 6В0 (а) обозначает «вронскиан» функций а, 6. С другой стороны, полагая ж = ж/ в тех же уравнениях (3.6), мы получаем при т = 1

Ві + ( ^ ж^ ) Во

к=І

(жі ) = 0, ^ = 1,..., п.

Замена динамических переменных

ж/, 3 = 1,...,п, ^ д/, 3 = 1,...,п, связывает эти две формы уравнений (3.6).

(3.10)

(3.11)

Рассматривая приложения приведенных выше уравнений, мы заменяем коммутирующие векторные поля Во и В/, 3 = 1, 2, 3,... , дифференцированиями по независимым переменным ж и £/

Аналогичные (3.10) уравнения для корней ж/ переходят при этом в системы гиперболических уравнений, записанные в инвариантах Римана, а аналогичные (3.9) уравнения для симметрических многочленов д/ дают, как будет показано ниже, законы сохранения этих гиперболических систем.

Замечание 2. Так как при произвольных функциях /, д, зависящих от некоторого набора независимых переменных t = (£о, ^1, ^2,...), ^о = ж, мы имеем

то уравнения (3.8) из теоремы 3 можно записывать в виде коммутационных соотношений

Пример 2. Возвращаясь к уравнениям (3.10), рассмотрим гиперболическую систему уравнений

которая совпадает с (3.10) при п = 3 с точностью до обозначений. В зависимости от выбора вспомогательных функций г/ в формуле (3.4) мы получаем для отыскания трех искомых функций и(ж,£), г>(ж,£), ад(ж,£) следующие функциональные соотношения:

Первый случай является вырожденным, так как соответствует тривиальному выбору Г/ = 1, и приводит лишь к частным решениям с алгебраическими особенностями типа ветвления. С другой стороны, выбирая во второй формуле подходящим образом вспомогательные функции /, д, Л, можно исследовать широкий класс точных решений рассматриваемой системы уравнений (3.14). Законы сохранения этой гиперболической системы записываются в терминах симметрических многочленов от динамических переменных следующим образом:

(3.12)

[/Во, дВо] = /Во о дВо — дВо о /Во = (/,д)Во, (/,д) = /Во(д) — дВо(/),

[Вт — Рт(А, ^Во, В„ — Р„(А, ^Во] =0, п, т ^ 1.

(3.13)

и + (V + т)их = 0, ш + (т + и)^ = 0, т* + (и + ,у)'Юж = 0, (3.14)

и + V + т = е = сопя^ и2 + V2 + т2 = 2£; и3 + V3 + т3 = 3ж,

/ (и) + д^) + Л(т) = е = со^; или и/'(и) ^и + vg/(v) ^ + тЛ'(т) ^т = ^;

^ и2//(и) ^и + V2д/(V) ^ + т2Л/(т) ^т = ^ж.

В^д1 ) = Вх(д2), д1 = —и — V — т, д2 = uv + ит + vw, В*(д2 — д2) = 1 Вх(д3 + и3 + V3 + т3).

(3.15)

Общая конструкция этих законов сохранения указана ниже в теореме 4.

4. Солитонные уравнения

Переход (3.11) от корней ж/ к элементарным симметрическим многочленам приводит, как указано в теореме 2, к уравнениям (3.6), (3.8), которые фактически не зависят

от степени п исходного многочлена (3.5). Тем не менее предельный переход п ^ то приводит к замене многочлена Р(А) формальным рядом

ОО

С(А) = Пт А пр(А) = 1 + дА- + ... + А- + ... = ^дкА к, до = 1, (4.1)

———^о А А-

о

и существенно расширяет область приложений излагаемой теории. Интересно отметить, что классические формулы Ньютона, связывающие степенные суммы корней с элементарными симметрическими многочленами также не меняются при увеличении степени п многочлена Р(А). Например, при любом п ^ 4 мы имеем

| Е ж2 = д2 — 2д2, Е ж3 = —д3 — 3д3 + 3д1 д2, (4 2)

\д1 = — Е ж/, Еж4 = д4 — 4д4 + 2д| + 4д1 д3 — 4д2 д2,

и предельный переход п ^ то здесь возможен, если соответствующие ряды сходятся.

Очевидно, что на коммутационные соотношения (3.13) и уравнения (3.8) предельный переход п ^ то не влияет. Нетрудно проверить далее (см., например, [8]), что производящей функцией становится теперь формальный ряд (4.1), удовлетворяющий (ср. (3.6)), уравнению

Вт (С) = (^т , ^т (А) = Ат + д1Ат 1 + ... + дт, т = 0, 1, 2 . . . , (4.3)

эквивалентному коммутационным соотношениям (3.13), записанным в виде (см. замечание к теореме 3):

Вп(Ст) — Вт(Сп) = (Сп, Ст) (У п т). (4.4)

Первое достижение, от замены последовательности многочленов (3.5) степени п ^ то формальным рядом (4.1), заключается в адекватной реализации и уточнении нашего изначального утверждения (теорема 1) о взаимосвязи коммутирующих векторных полей и законов сохранения для интегрируемых динамических систем:

Теорема 3. Производящей функцией для законов сохранения уравнений (4.4) является формальный ряд Н(А) = 1/С(А):

Н(А) = 1 + — + А2 + . . . , Л1 = —g1, Л2 = д2 — д2, Л3 = —д3 + 2д1 д2 — д3, . . . (4.5)

< Дифференцируя Н(А) = 1/С(А), получаем в силу уравнения (4.3), что при любом т ^ 0

Вт(Н) = —Н2 (СтВоН — НВоСт) = Во(Ст • Н). (4.6)

Таким образом, мы доказали, что коэффициенты Л/ формального ряда (4.5) являются плотностями законов сохранения рассматриваемых уравнений:

Вт(р) = Во (а). > (4.7)

В полиномиальном случае, т. е. при конечном п, теорема 4 дает набор законов сохранения (4.7) гиперболических систем из предыдущего параграфа (см. (3.15)). Для того чтобы записать плотности Л* (ж1,... ,жп) найденных законов сохранения в инвариантах Римана достаточно воспользоваться формулами Ньютона (4.2). Например,

1 ^ 2 К 2

Л.1 = ж1 + ... + ж-, Л.2 = 2^ ж| + 2

Отметим, что, пользуясь формулами (4.2), мы всегда можем выразить коэффициенты ряда (4.5), по крайней мере формально, через степенные суммы корневых переменных ж&.

С теоретической точки зрения теорема 4, гарантирующая наличие «богатого» набора законов сохранения у рассматриваемых эволюционных уравнений, исчерпывает вопрос об интегрируемости бесконечномерной динамической системы (4.3). Однако, при построении частных решений при помощи, изложенной в предыдущем разделе схемы, встает вопрос о подходящем выборе дополнительной диагональной матрицы в формуле (3.4), гарантирующем не только локальную, но и глобальную разрешимость уравнений типа (3.14) (ср. [2]). В такой общей формулировке задача о глобальной разрешимости мало изучена и относится скорее к теории гиперболических уравнений. Мы изложим здесь вкратце результаты относящиеся к случаю, когда диагональная матрица в формуле (3.4) удовлетворяет условиям

Г/(ж/) = (V3 ^...^ (4.8)

обеспечивающим инвариантность динамической системы, отвечающей векторному полю Во (ср. (2.4)), относительно перестановок корней.

Лемма 2. Вспомогательной линейной задачей для динамической системы, отвечающей векторному полю Во, при выполнении условий (4.8), является дифференциальное уравнение третьего порядка

= 4иСх + 2ихС (4.9)

с произвольным потенциалом и = и (ж, А) вида

и (ж, А) = Ат + и1 (ж) Ак-1 + ... + ит(ж). (4.10)

< В полиномиальном случае, обозначив Р = Р(ж, А) = АпС(ж, А), в результате умножения уравнения (4.9) на 2Р и последующего интегрирования по независимой переменной ж мы получаем, связав константу интегрирования с заданной функцией г (А) из формулы (4.8), что

-

4и(ж)Р2 + Рж2 — 2РРхх = г2(А), Р = Ц (А — ж/(ж)). (4.11)

/=1

Полагая в полученном уравнении второго порядка А = ж/, находим, что

Рх I л=х . = — Во (ж / ) Р'(ж / ) = ±г (ж / ) (V 3),

где Рх и Р' обозначают производные от многочлена Р = Р(ж, А) по ж и А соответственно. Сравнение этой формулы с (3.5) завершает доказательство. >

Замечание 3. В дополнение к лемме 2, отметим, что вспомогательная линейная задача позволяет выразить коэффициенты д* формального ряда (4.1) в виде дифференциальных многочленов от коэффициентов и/ потенциала (4.10) уравнения (4.9). Например, в случае спектральной задачи Шредингера с потенциалом и (ж, А) = и(ж) — А подстановка в уравнение (4.9) формального ряда (4.1) приводит к рекуррентной формуле

д-+1 = 4 (—Во + 4и — 2Во 1 их) д—, и = и — ^

которая при 4иС2 + СХ — 2ССХ = —4А (ср. (4.11)), дает

д1 = 1 и, д2 = ^(3и2 — ихх), дз = ^^(ихххх — 10иижж — 5иХ + 10и3),... (4.12)

В случае квадратичного по А потенциала (4.10), соответствующего спектральной задаче Захарова — Шабата, аналогичные формулы для первых трех д* имеют следующий вид:

13 1

д1 = —77и1, д2 = -и2 — и2, дз = —- Ц,** + 10и1 — 12и1 и^ . (4.13)

2 8 8

Связь спектральной задачи с потенциалом и = и (ж, А):

'фхх = и (ж,А)^, (4.14)

с уравнением (4.9) и производной Шварца устанавливается следующим образом:

Лемма 3. Пусть ^1, ^2 — линейно независимые решения линейного дифференциального уравнения второго порядка (4.14). Тогда

(г) функция р = ^1 /^2 удовлетворяет уравнению с производной Шварца:

3рХх = и (ж); (4.15)

4РХ 2Р

(гг) функции

Ф1 = , Ф2 = , Фз = ^1 ^2 (4.16)

образуют фундаментальную систему решений линейного уравнения третьего порядка (4.9);

(ггг) функция Ф = фз = ^1 ^2 удовлетворяет уравнению

4и (ж)Ф2 + ФХ — 2ФФхх = ад2, ад = (^1 ,^2). (4.17)

< Обозначим / = ^j,x/^j. Тогда

(^2 ,^1) W n^2x п,

= -----2--- = Т2 > --- = — 2^— = —2f2,

^2 ^2 ^x ^2

и, таким образом, уравнение (4.15) является следствием уравнения Риккати f2,x+/| = U, которому удовлетворяют логарифмические производные ^x/^ решений уравнения (4.14). Прямое вычисление вронскиана трех функций ф1, ф2, фз дает

W = det(0i, Ф2, Фз) = (^1 ^2,x - ^2^1,x)3 = W3.

Следовательно, W = const = 0 и функции ф* линейно независимы. Далее, нетрудно проверить, что

W = /2 - /1, = /2 + /1, (4.18)

и, следовательно,

/ = Фз,x - W / = фз,x + W Л = 2фз ’ /2 = 2фз .

Подставив найденные выражения для / через фз = Ф в уравнение Риккати, мы приходим к уравнению (4.17). Легко видеть, что линейное уравнение (4.9) получается из (4.11) дифференцированием по ж. Аналогично проверяется, что функции ф1, ф2 удовлетворяют уравнению (4.17) с w = 0. >

Лемма 2 остается в силе и для потенциалов более общего вида

и (ж, А) = Ат + и1 (ж)Ат-1 + ... + ито(ж) + Ыж)1 + «2 (ж)-1, + ... (4.19)

А А2

Предположение о полиномиальности по А потенциала и (ж, А) приводит автоматически, в силу соотношения (4.11), к полиномиальности функции г2(А), стоящей в правой части уравнения (4.11)2. Вопрос о регулярности решений динамической системы, отвечающей векторному полю Во, сводится при этом к формулировке подходящих алгебраических требований на многочлен г2(А). В соответствии с леммой 3 (ср. уравнения (4.17) и (4.11)) эти требования допускают также формулировку в терминах структуры спектра соответствующей спектральной задачи. В случае и (ж, А) = и(ж) — А эта интересная задача хорошо изучена (см., например, [1, 4]).

В заключение этого раздела мы остановимся кратко на взаимосвязи бесконечномерной динамической системы (4.3) с основными иерархиями солитонных уравнений. Как уже отмечалось, подстановка производящей функции С (А) в виде бесконечного формального ряда (4.1) в дифференциальные уравнения (4.9) и (4.11) леммы 2 позволяет выразить коэффициенты д* формального ряда (4.1) в виде дифференциальных многочленов от коэффициентов из потенциала (4.10) уравнения (4.9). Остается, грубо говоря, подставить найденные выражения для д* (см. замечание 1) в исходные уравнения (4.3) или эквивалентные им

з

Вш(д] ) ^ '(д3—к, дт+к). (4.20)

к=1

Затем можно переписать полученные уравнения в терминах из. Цепочка формул

из ^ дз ^ жз- (4.21)

позволяет также, по крайней мере в принципе, получить корневые представления для коэффициентов из потенциала, используя классические формулы Ньютона (4.2).

Пример 3. В случае спектральной задачи Шредингера формулы (4.12) дают уравнение КдФ:

В1 д1 = Вод2 и = (ихх 3и )х = ижжж 6иих В^ = 4В1. (4.22)

Формулы (4.21), связывающие потенциал и = и(£, ж) с корнями жз, приводят нас к полезной формуле

и(£, ж) = 2д1 (£, ж) = — 2 ^ жз (£, ж).

Интересно, что известные осцилляционные теоремы для линейного уравнения Шредингера, позволяют доказать [3], что для уравнения (4.22) в процессе столкновения уединенных волн амплитуда не превосходит максимальной из амплитуд сталкивающихся со-литонов.

Дополнительные уравнения В„(д1) = В0(дга+1), п = 2, 3,..., из системы (4.20) дают здесь, вместе с уравнением (4.22), КдФ-иерархию совместных друг с другом эволюционных уравнений. Первое из этих дополнительных уравнений записывается в силу формулы (4.12) следующим образом:

^(дО = Во(дз) ^ 16В2(и) = Во (иЖЖжж — 10иижж — 5иХ + 10и3).

2 Это уравнение является следствием уравнения (4.9) и его первым интегралом.

Замечание 4. Нетрудно показать (ср. замечание 3), что при заданном потенциале и (ж, А) вида (4.19), решение линейного уравнения третьего порядка (4.9) в виде формального степенного ряда единственно, с точностью до умножения на формальный ряд по обратным степеням А с постоянными коэффициентами. Эта неоднозначность учитывается при переходе от уравнения (4.9) к билинейному уравнению (4.11) (ср. (4.17)) появлением в правой части этого уравнения нормировочного множителя г2(А). Решение билинейного уравнения (4.11) в виде формального степенного ряда (4.1), таким образом, единственно, но зависит от выбора правой части г2(А). В формулах типа (4.12) мы всюду, чтобы устранить указанный произвол, выбираем в качестве основной формы билинейного уравнения следующую:

ГО

4иО2 + О, - 2ОО,, =4Ат, О = 1 + V 3, (4.23)

' ^ А3 3=1

где Ат соответствует старшему члену потенциала вида (4.19). Это избавляет нас от появления младших членов в формулах, связывающих д* с коэффициентами п3- из (4.19). Отметим, что замена Н = 1/О и переход к производящей функции законов сохранения несколько упрощают вычисления, связанные с билинейным уравнением (4.23), и приводят его к виду3:

4Н2 - 1 Нг + АтН2 = и Н = 1 + £ £. (4.24)

3=1

Это помогает также выразить плотности законов сохранения из теоремы 3 в терминах потенциала (4.19).

Пример 4. В случае квадратичного потенциала и = А2 + Ап1 + п2 первые две из формул (4.13) устанавливают взаимно однозначное соответствие между д*, г = 1, 2, и п*, г = 1, 2. Это позволяет заменить п* на д*, г = 1, 2, в уравнении (4.23) и переписать формулы (4.13) в следующем виде дз = 3д1д2 - 2д3 + ± д^,,, В (д1) = До(д2). Так как

В д2 = В0д3 + (д1 ,д2), то обозначив В1 = В., д1 = д,, д2 = д., мы получаем уравнение

второго порядка по £, допускающее вариационную формулировку:

о. = 1*™, -6+ 4м,, + 2«Ь, « */л<ьФ(9„9„,9Х) = 0 (4'25>

с плотностью лагранжиана

1 ( 2 1 2 4 2

Ф = 2 + 4 — 2°*°,

Развитая теория преобразований этого лагранжиана охватывает широкий круг задач, включая цепочку Тоды, модель Гейзенберга и разнообразные модификации нелинейного уравнения Шредингера (см. [7, 10]).

Аналогично предыдущему, в случае

V

4иС2 + С - 2ССЖЖ = 4А, и = А + и + -, (4.26)

Л

обратив замену (4.21) и выразив и и V через д*, і = 1, 2, мы находим

1 2 1 1 1 2 и = —2д1, v = —2д2 + 2 д1,хх + 3д1; д3 =4 + 39жф; — 4 — 8 — 29ж >

1 Связь (4.23) с производной Шварца из уравнения (4.15) становится здесь очевидной.

где, как и выше, $1 = $2 = Несложно проверить теперь, что уравнение А $2 =

А0$з + ($1 , $2) приводит в данном случае к вариационной задаче:

5 У ^ ^ж Ф(д*, 9ххх, 9хх, 9х) = 0, Ф = 2 ^- 4 - 4 9^*** + - 29^ . (4.27)

Сопоставив леммы 2 и 3, мы можем заменить вспомогательную линейную задачу в виде уравнения третьего порядка (4.9) спектральной задачей (4.14). Условия совместности лаксовой пары уравнений

1 д

= и^, (^) = Ао(^) - 2 №(Ст), А = дж, (4.28)

записывается, очевидно, в следующем виде

Ат(и) = 2До(Ст)и + Ао(и)Ст - 2А0(Ст), т = 1, 2,..., (4.29)

где коэффициенты многочлена (А) = А™ + $1 А™-1 + ... + дто по-прежнему находятся из уравнения (4.9). Таким образом, эволюционное уравнение (4.29) для потенциала и (А) получается исключением из лаксовой пары ^-функции перекрестным дифференцированием, в то время как эквивалентное ему (4.3) полным исключением потенциала из рассматриваемых уравнений. Эти две формы, различных на первый взгляд эволюционных уравнений, отличаются только выбором динамических переменных (ср. [7]) и, например, в рассмотренном выше случае (4.26), уравнение (4.29) при т = 1 дает удобную систему уравнений (ср. [5])

2и = 2 (ижж - 3и2 + 4^)ж , 2г^ + + 2пх« = 0, (4.30)

мало похожую на вариационную задачу (4.27). В частности, второе из уравнений (4.30) показывает, что рассматриваемая система обладает дополнительным законом сохранения с нестандартной плотностью у/V.

5. Заключение

Одним из результатов данной работы является разработка общей и вполне однозначной процедуры сведения солитонных уравнений, соответствующих спектральной задаче (4.14) с потенциалом (4.19), к бесконечномерной динамической системе, закодированной в уравнениях (4.3).

Дальнейшее развитие теории [9] связано с отказом в уравнениях (4.4) от формальных рядов и замены уравнений (4.3) уравнением

, , (од,ед) ^ А т

А.С(А) = У V , А = Ао + V Ат^-га, (5.1)

А - р 1

где (а, 6) := а6х - 6ах обозначает вронскиан функций а, 6. Так как

1 11 1 11 1

А-Ц = -Ц 1-А = - Ц Ё рк ^ 1 + Р С‘(А) + Р 6'2(А) + - - - = Д-А С(р)‘

то уравнение (4.3) является одним из следствий (5.1):

А.^(А) = - /^(А) 1 + ^1 (А) +-2 ^2 (А) + . .

Р Р2

Литература

1. Drach U. Sur l’integration par quadratures de l’equation differentielle y" = [ty(x) + h] y // Compt. Rend. Acad. Sci.-1919.-Vol. 168.—P. 337-340.

2. Рождественский Б. Л., Сидоренко А. Д. О невозможности «градиентной катастрофы» для слаболинейных систем // Вычислительная математика и мат. физика.—1967.—Т. 7, № 5.—С. 1176-1179.

3. Шабат А. Б. О потенциалах с нулевым коэффициентом отражения // Динамика сплошной среды.—1970.—T. 5.—P. 130-145.

4. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега де Фриза, конечнозначные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи мат. наук.—1976.—Т. 31, № 1.—C. 55-136.

5. Ito M. Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation // Phys. Lett. A.— 1982.—Vol. 91.—P. 335-338.

6. Ferapontov E. Integration of weakly nonlinear hydrodynamic systems in Riemann invariants // Phys. Lett. A.—1991.—Vol. 158.—P. 112-118.

7. Адлер В. Э., Марихин В. Г., Шабат А. Б. Канонические преобразования Бэклунда и лагранжевы цепочки // Теорет. и мат. физика.—2001.—Т. 129, № 2.—С. 163-183.

8. Martinez Alonso L., Shabat A. B. Towards a theory of differential constraints of a hydrodynamic hierarchy // J. Non. Math. Phys.—2003.—Vol. 10, № 2.—P. 229-242.

9. Адлер В. Э., Шабат А. Б. Модельное уравнение теории солитонов // Теорет. и мат. физика.— 2007.—Т. 153, № 1.—P. 29-45.

10. Шабат А. Б. Symmetries of spectral problems // Lecture Notes in Physics.—2009.—Vol. 767, № 1.— P. 139-173.

11. Габиев Р. А., Шабат А. Б. О расширениях КдФ иерархии // Исследования по математическому анализу, дифференц. уравнениям и их приложениям / Ред. Ю. Ф. Коробейник, А. Г. Кусраев.— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2010.—С. 227-233.—(Итоги науки. Юг России. Мат. форум. Т. 4).

Статья поступила 30 ноября 2012 г.

Шабат Алексей Борисович

Карачаево-Черкесский государственный университет, профессор кафедры математического анализа РОССИЯ, 357190, Карачаевск, ул. Ленина, 29;

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, главный научный сотрудник

РОССИЯ, 142432, г. Черноголовка, пр. Ак. Семенова, д. 1-A E-mail: [email protected]

SYMMETRICAL POLYNOMIALS AND CONSERVATION LAWS Shabat A. B.

Vector fields with symmetrical polynomials as the first integrals are considered. The connection of these dynamical systems with the theory of multi-phase solutions of the solitonic models of mathematical physics is established.

Key words: Liouville therem, symmetric polynomials, Riemann invariants, solitonic equations.