CC BY
27
УДК 517.957
И.А. Ильин1' 2' 3, Д.С. Нощенко1, А.С. Пережогин1' 3
'Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Камчатский край, 684034;
2Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003;
3Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 683032 e-mail: d95'039@gmail.com
СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ КДВ-ТИПА 7-ГО ПОРЯДКА
В работе исследовано семейство нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных 7-го порядка. С помощью д log-подстановки установлены условия существования решений в виде уединенной волны и двойного солитона. Рассмотрены индуцируемые дифференциальным оператором цепочки алгебраических уравнений.
Ключевые слова: прямой метод решения, нелинейный дифференциальный оператор, солитоны, параметрическое разложение.
1 1 ^ fi
I.A. Ilin ' ' , D.S. Noshchenko , A.S. Perezhogin ' ( Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Paratunka, Kamchatka, 684034; 2Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky 683003; 3Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky 683032) Soliton solutions for nonlinear 7th order KdV-type equations
In this study we investigated some families of 7th order nonlinear PDEs. With д log substitution we obtained conditions for one-and two-soliton solutions. We also described algebraic equations derived from initial differential operator.
Key words: direct method, nonlinear differential operator, solitons, parametrical expansion.
3 u(x, t) + au(x, t)—u(x, t) + —u(x, t) = 0, (1)
В01: 10.17217/2079-0333-2015-31-18-22
Солитонами называют уединенные волны, взаимодействующие друг с другом упругим образом (рис. 1). В классическом случае солитоны возникают как решения нелинейного уравнения Кортевега-де-Вриза [1, 2]:
д3 д д —-и( х, ¿) + аи( х, t)—и( х, t) н— дх дх дt
которое имеет п-солитонное решение для любого натурального (дисперсия компенсируется нелинейным членом).
Аналитически задавать форму солитона можно различными способами, одним из которых является д log-подстановка [1, 2]:
д2 дх
u(x, t) = — log(x(x, t)), (2)
n
t(x, t ) = 1 + Yfk ( x, t ), (3)
k=1
причем кратность солитона определяется числом ненулевых / в разложении.
Функции / зависят от волновой переменной ^ = рх — qt, где константы р, д связаны дисперсионным отношением. Для КдВ (1) д = ръ.
Таким образом, 1, 2, ..., п -солитоны можно получить подстановкой
т = 1 + ехр рх — д0, (4)
т = 1 + exp(px — qt) + exp(p2x — q2t) + a12 exp(px — qt) exp(p2x — qt),
(5)
(6)
В такой форме п -солитонные решения допускаются уравнениями Лакса - для 3-го порядка это КдВ (1) и Савада-Котеры [2-5]. Двойной солитон для уравнения КдВ представлен на рис. 1.
Солитонные решения для КдВ 7 Рассмотрим уравнение КдВ-типа 7-го порядка с постоянными коэффициентами [3-5]:
(7)
t = - 20.
0,4
■ : 0,3
: '. / ■. 0,2
/ \ / \ 0Д
-30 -20
2 3
апии5х + а12и иЪх + а13и их + а23и3хи2х +
-10
t = -2.0408
л
0,3 1
1 0,2 \ A
; 0,1 v 1V
0,3 0,2 0,1 M
-30 -20 -10 0 10 х 20 30
Рис. 1. Двойной солитон для уравнения КдВ
+ а24и4xUX + а2бих + а32ии2XUX + Ut + и7x ,
. , 8ku и = и(x,t),u, =—- а,.,. = const y ' ъ kx 8x .
Случай уединенной волны
При помощи д log-подстановки и = К(ln(x)^ определим, какие уравнения в классе (7) допускают решения в виде уединенной волны. Для этого возьмем
f = 1 + fi, fi =exp(qx — pt + r),
(8) (9)
подставим (2-3) в оператор (7), выполним дифференцирование и приравняем выражения при степенях в к нулю. Получим алгебраическую систему на параметры подстановки К, р, д и коэффициенты уравнения а
1 7
s : p — q ,
(10) (11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
; (18)
Первое уравнение системы определяет дисперсионное отношение для солитона и в общем случае (если не сводить к алгебраической системе) всегда является линейным по /. Система (10-18) имеет нетривиальное решение:
s2: 5p — Kq7(ап — а24 + 247/Kq7 — а23),
s3 : 9p — Kq7(а32К — 4293K + 57ап — аиК + 15а23 — а26К + 27а24), s4: 5p + Kq7(5а32К — а1ЪК2 — 302ап + 11а12К — 56а23 + 15619К — 92а24 + 3а26К)
s5 := s4,
s6: —9p — Kq7(15а23 + а26К + аиК + 4293К + аЪ2К — 27а24 — 57ап),
7 2
s := s ,
s8 := s1,
p = q ,
(19)
0
10 х 20
30
20
0
0
10 х 20
30
_ - 252+ aK + a.K
лп
=--—- 1 1 ^ , (20)
K
42a?,K -10080+ a0K2 + 30a4K + a^K2
« _ 23 26 24 32 /Л 1 \
а12---~2-' (21)
K
2(4a26K2 + 60a24K + 108a23K - 25200+ 3a32K2)
а13---—3--(22)
K
(параметры K, a23, a24, a26, a32 остаются свободными). Случай двойного солитона
Среди уравнений, допускающих уединенную волну, выделим существование двойного солитона КдВ-типа. Для этого выберем
f = 1 + sf + as2 f2, a = const, (23)
f = exp(qx - pt + r ) + exp(qx - pt + rx ), (24)
f2 = exp((q + qjx - (p + p1)t + (r + r1)), (25)
7 7
где дисперсионные отношения p = q , p = q .
Ключевыми параметрами являются свободные коэффициенты уравнения, а также постоянная a .Например, для уравнения Лакса 5-го порядка [2]:
a=(-q + qù2
(д + дд
или для уравнения Савада-Котеры 5-го порядка [2]:
а_(—д + д1)2 (д2 — дд1 + д2) (д + дО2 (д2 + дд + д12)
Определим коэффициенты уравнения, применив д log-подстановку при значениях х = 0, t = 0, д = 1, д1 = 2, г = 0, г =0. Разрешая систему в нуле, получим допустимые наборы
Я, =( Д. ,[а.. ], ),{А, > = {1,1-1,-1,-1-}.
9 21 33 49
Если двойной солитон существует, то он определяется из одного или нескольких . Прогонка системы при различных х, /, д, д1 показывает, что только А = ~~ дает решение: коэффициенты
— 2520+ а„К2
а23 =--26-, (26)
23 18К
2 >
7(720+ a26K2) 90K '
2(-2520+ a26K2)
3K
26 ^ (27)
2 (28)
удовлетворяют двухсолитонному решению c параметром
(—q1 + q)2(q12 — qq1 + q2)2
A = -
(q + q1)2 (q12 + qq1 + q2)2
(29)
но лишь тогда и только тогда, когда а26 = 0. Таким образом, уравнение в классе (7), допускающее двухсолитонное решение КдВ-типа, определяется однозначно по амплитуде К солитона. Рассмотрим теперь модифицированное уравнение 7-го порядка:
2 2
а,,ии. + ам и + аМ2 + аи и + и, + и ,
11 4x 12 x 22 2x 23 3x x t / x'
(30)
и = u(x, t ),а = const.
Разрешая алгебраическую систему (по аналогии с предыдущем случаем), получим связи
7
p = q ,
_ 36(—42 + аиК)
«12 к2 '
_ (—252+ а^К) К :
252
К
(31)
(32)
(33)
(34)
Уравнения в классе (30), допускающие решение в виде уединенной волны, найдены (ап выбирается произвольно). Подстановкой и = К (1п(т))ххх проверим, существует ли двойной солитон для этих уравнений. Цепочка уравнений, получаемая подстановкой в нуле с параметрами х = 0, ? = 0, д = 1, д1 = 2, г = 0, г = 0, выглядит следующим образом:
18К (4аиКЛ5 + 3087А6-1071А5), (35)
18К(7476А2 + 688548А -65240А3 -2916КапВВВ4 + 288аиКА3 -28апКА2), (36)
; (37)
На рис. 2 и 3 представлены уединенные волны для уравнений (7, 30) и двойной солитон для уравнения (7).
0,06 0,04 0,02
0,10
0,08
0,06 1
0,04 !
0,02 \ 1 1 ■
1 \ ! V
-10
0
-0,02 -0,04 -0,06 -
10 х
20
10 х
II
Рис. 2. Уединенные волны для уравнений (7, 30) 21
а23 =
0
0
10
30
-20
Рис. 3. Двойной сояитон для уравнения (7)
Система не имеет решений для ненулевого А, таким образом, двойной солитон в заданном виде не существует.
Наличие солитонных решений среди уравнений 7-го порядка [3-5] может свидетельствовать о выполнении для них некоторых законов сохранения.
В уравнениях дисперсионные слагаемые (и^.^) компенсируются нелинейностями того же
порядка (ищх, и 2щх, иъих,...), что необходимо для существования устойчивой волны без диссипации. Достаточным условием является разрешимость алгебраической системы, получаемой д ^-подстановкой. Среди уравнений КдВ-типа 7-го порядка найдено уравнение, допускающее двухсолитонное решение и не сводимое (по предположению) к уравнениям Лакса или Савада-Котеры-Ито 7-го порядка [3, 4]. Открытым пока остается вопрос о существовании пары Лакса для нового уравнения.
1. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны: пер. с англ. - М.: МИР, 1983. - 408 с.
2. Nuseir A. Symbolic computation of exact solutions of nonlinear partial differential equations using direct methods: Ph.D. thesis. - USA: Colorado School of Mines, 1995. - 129 p.
3. Yao R.-X., Xu G.-Q. Conservation laws and soliton solutions for generalized seventh order KdV equation // Commun. Theor. Phys. - 2004. - Vol. 41. - P. 487-492.
4. Wazwaz A.-M. Exact travelling wave solutions to seventh-order and ninth-order KdV-like equations // Applied Mathematics and Computation. - 2006. - Vol. 182. - P. 771-780.
5. Wazwaz A. -M. The Hirota's direct method and the tanh-coth method for multiple-soliton solutions of the Sawada-Kotera-Ito seventh-order equation // Applied Mathematics and Computation. -2008. - Vol. 199. - P. 133-138.
Заключение
Литература
