CC BY
53
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«наука. инновации. технологии», № 2, 2018
удк 517.95 Редькина Т.В. [Redkina T.V.]
солитонные решения комплексификации уравнения
кортевега - де вриза
Solitone solutions complexifications of the Korteweg - de Vriz equation
К комплексификации уравнения Кортевега - де Вриза применен метод Хироты для построения n-солитонных решений. Для использования метода комплексное уравнение заменено системой двух уравнений третьего порядка на две действительные функции, которая с помощью дифференциального оператора Хироты сведена к билинейному виду, квадратичному по рассматриваемым функциям. Проведено доказательство существования односолитонного решения - действительная часть которого имеет вид солитона, а мнимая часть - кинка. Доказано, что использование классического подхода теории возмущений не дает возможности построить двусолитонное решение. Найдена специальная связь между неизвестными функциями, позволившая свести систему к одному билинейному уравнению, для которого построено двусолитонное решение. Показано, что полученный полином Хироты не удовлетворяет нужным свойствам, что привело к невозможности построения трехсолитонного решения.
The Hirota method for construction of soliton solutions is applied to the complexification of the Korteweg-de Vries equation. To use the method, the complex equation is replaced by a system of two third-order equations into two real functions, which, using the Hirota differential operator, is reduced to a bilinear form that is quadratic in the functions considered. The existence of a one-soliton solution is proved, the real part of which has the form of a soliton, and the imaginary part is a kink. It is proved that the use of the classical perturbation theory approach does not make it possible to construct a two-soliton solution. A special connection between unknown functions is found, which made it possible to reduce the system to a single bilinear equation for which a two-soliton solution is constructed. It is shown that the obtained Hirota polynomial does not satisfy the required properties, which led to the impossibility of constructing a three-soliton solution.
Ключевые слова: уравнения в частных производных, метод Хироты, точные решения нелинейных уравнений в частных производных, соли-тоны, автомодельное решение.
Key words: partial differential equations, Hirota method, exact solutions of nonlinear partial differential equations, solitons, self-similar solution.
Введение
При решении уравнений в частных производных особое место занимают те методы, которые позволяют найти точные решения. Так в теории солитонов, к математическим моделям, обладающим операторной парой Лакса, применимы следующие подходы: метод обратной задачи рассеяния, метод Пенлеве, метод Хироты, использование преобразований Бэклунда и др. Большинство из них позволяют найти или общее или частое решение.
Так метод Хироты [1-3] позволяет найти солитонные или солито-ноподобные решения нелинейных уравнений в частных производных. Его формализм практически всегда срабатывает для уравнений, имеющих пару Лакса. Метод основан на следующих идеях:
1. Провести замену зависимой переменной так, чтобы новое уравнение имело билинейную форму, квадратичную по зависимым переменным.
2. Рассмотреть формальные ряды теории возмущений для этого уравнения. В случае солитонных решений эти ряды обрываются.
3. Методом математической индукции доказать предполагаемую и-солитонную форму решения.
Материалы и методы исследований
Рассмотрим комплексификацию уравнения Кортевега -де Вриза, обладающую парой Лакса [7]
Щ=6йхи + 3(й-и)их+^(и-3й)ххх (1)
Разделяя действительную и мнимую части и(х,() = у(х,() + ¡ю(х,() в (1), получим
=6уу,+12Й*0х-Уяк,
(2)
где v(x,í), - действительные функции двух переменных.
Нужную замену зависимых переменных можно вывести регулярным образом. Выполним в (2) следующую замену функций
= ^ (3)
''} т{Х,1у у'; (3)
где вид произвольных функций Р{х, Р{х, Т{х, О, (){х, бу-
дет уточнен в ходе дальнейших исследований. Воспользуемся определением оператора дифференцирования, изобретенного Хиротой Ох:
т, А^^/уоб, Ч—И^оТ,
тогда производные, входящие в систему (2) перепишутся в виде
=°1р ° Q° ° в)>
^—О^оТ-^ ф\т о о Т).
В результате подстановки в (2), получим систему, связывающую четыре неизвестные функции
±(Dt + Dl)F oT--^(2FT + D2xT oT)DxF°T = U^DxPoQ, (4)
{Dt-2Dl)P°Q = J^DlQoQ + ^DxPoQ. (5)
Так как в полученной системе существует некоторый произвол, то выдвинем дополнительные условия так, чтобы уравнения упростились и приняли квадратичный вид, положим
|М = _2^1пе(х,0, T(x,t) = Q\x,t), (6) T(x,t)
тогда система (4), (5) примет вид
Dx((DxDt+D4x)Q°Q + 6P2)°Q2=0. (7)
(Dt-2D3X)P°Q = 0. (8)
Первое равенство (7) можно упростить, если предположить, что оператор Dx действует на пропорциональные функции, т.е.
(DxDt+D4x)Q°Q + 6P2=aQ2, (9)
где а - произвольный параметр.
ЛЕММА 1. Система (2) имеет билинейную форму, квадратичную по зависимым переменным вида (8), (9), где
v{x, 0 = -2д\ In Q{x, t), со(х, 0 = (10)
Предположим, что функции P и Q могут быть представлены в виде формальных рядов по степеням е:
Р= а +ер, + е2р7 + ..., а-const
г (И)
Q=\ + eqx +е q2 +...,
п п
где A = 2X,41ft' 01=5Х'+Л» Ti=kix + rit» к,,г„щ,^-сопШ. (12) ¡=1 /=1
Для всех задач, допускающих точное n-солитонное решение, эти формальные ряды обрываются. Подставим (11) в (8), (9), тогда на функции p , и q t получим уравнения, распадающиеся по степеням е
е0: 6a2 = а
(13)
из которого определяем произвольный параметр а, с учетом (13), остальные равенства примут вид (где дп8х - частные производные в обычном смысле):
е1: (5,-25^-^) = о, е : \(dt8x+d4x)ql+6a(p1-aql) = 0;
(dt-2dlXp2-aq2) = (Dt-2Dl)qi °ри
2(8t8x + 84x)q2 +12а(р2 -aq2) = 6(a2q2 -р2)-(ütDx + D4x)q, °
(dt -2д{)(ръ -aq3) = (Dt -2Dl)(q2 p2),
(8tdx + dt)<h + 6а(Рз ~aq3) = 6(a2qxq2 -Plp2) -(ptDx + D4^qx ° q2-
и т.д.
е:
■4: .
n-k>
(8t - 28l)(Pn -«?») = (Dt -2Dl)Y,4k° Pn
к
n-l n-k
Щдх+ 8t)qn+u<*(pn-aq„)= ¿ZtäkVn-k-PkPn-k )-\PtDx+Dx)^k°4„
' ' к
(14)
(15)
(16)
(17)
При п = 1 возьмем Р\ = еТ1+г}1 и q^= е^^. Тогда из первого уравнения системы (14) следует, что гх = 2к^, а из второго уравнения этой системы определим соотношение между постоянными цх и ^
(18)
( к4Л а-2-2а
ч
к2
При а = + -J- правая часть (15) обращается в нуль, поэтому можно положить p2 = q2 = 0, и ряд обрывается. Таким образом, при n = 1 решение системы (2) найдено (дополнительно полагаем е = 1),
з ь-2 1 _ lt+fi
v(x,t) = -282х ln(l + е^2^ )„ a>{x,t) = ±-=-
х 2 1 + ^+2 Ф+л
возвращаясь к уравнению (1) его решение примет вид
и(х,*) = у
1 3 1 3
-sech—(klx + 2klt + {il)± ¿th—(кхх + 2кх t +
(19)
Доказана следующая
е2:
е3: <
ТЕОРЕМА 1. Уравнение (1) имеет односолитонное решение вида (19),
где к1,¡и1 - произвольные постоянные, г - мнимая единица.
Действительная часть функции (19) представляет обычный солитон, а мнимая часть решения является кинком. Решения -
± Л а(х - Ы)
- типа «кинк» («антикинк») не обладают простыми столк-новенными свойствами солитона. Эти решения могут сталкиваться неупруго, сцепляясь или уничтожая друг друга; кроме того, в процессе столкновения они всегда испускают некоторое осциллирующее возмущение, или «излучение».
Перейдем к построению двусолитонного решения. При п = 2 в качестве р1 и д выберем соответственно
р1 = е™ + , Я1 = е^* + (20)
причем для выполнения первой системы (14) структура связи независимых переменных сохраняется в виде, найденном на первом этапе
т1 = к{х + 2к^, ¿ = 1,2 .
Функции V ~ аа£а для солитонного решения должны содержать только члены еТ1+Т2+П12 и еТ1+Т2+^12, а коэффициенты при е2т1, е2т1, ет1+2т2, е2т1+т2, е2(Т1+Т2\ обнуляются. Выполним подстановку (20) в (15) и определим видр1, д1:
(д1-2д1)(р2-ад2) = 6к1к2(к1 ~к2)(е^-е^Щ^Щ)^^ (21)
(д(дх+д^2+ 6а(р2-ад2)=3(а2е2*-е2^)е2к^4к'1+Ъ(а1е2^-е2Ъ)е2к*х+А®+ +3[(2а2 - (к2 + к2)(кг-¿2)2У1+№(22)
В силу тождественного выполнения системы (14) выполняются условия (18) ет = {а-ещ, г = 1,2. Анализируя (21) (22), видим, что в первом равенстве р2 - ад2 содержит только функции еТ1+Т2+П12, еТ1+Т2+т где т + т2 = (к + к2)х + 2(к[3 + к23)?, полагаяр2 - ад2 = еТ1+Т2+П12 - аеТ1+Т2+Ми, имеем
следовательно,
2 а
но р2 и д2 могут содержать и другие функции. В результате второе равенство доопределяет функцию д2
(ЭД+Э^2=3£4
1—
4а
е2к1х+4к;1+2м1+21(4
1 —
4а
+3
, -/г4 I /г4 1 2
7 I Л1 0
2а2
Из этих формул видно, что коэффициенты при е2т1, е2т2, полученные при рассмотрении 2-солитонных решений, автоматически в нуль не обратились. Поэтому левая часть, с найденными значениями, также не обращается в нуль, следовательно, надо положить, что д2 содержит члены пропорциональные е2т1+^11, е212+№2, е2т1+т2+№, а
еИп =1
И Л
1 —
4а2
еМ е№2=1
г-
1 2
4 а2
4 Л
(к2 + к22){кх + к2)2еМп
л „ к*к4 4 4 /СдК2
1 . 2 2а
,М1+М2
В результате получаем следующий вид функций р2 и д2:
„ -па № ^г)2(к\+к1) Г| /"г - "<*2 0 е > Чг ~ о
2а о
( 1—
4а
е2(т1+м) +
(23)
1 +- ( 1- к2 е2(т2+мг)+ ( к^ "Ь к2
8 V 4 а2} 2а2)
Чтобы (23) давало 2-солитонное решение необходимо показать, что ряд обрывается и р3 = 0, д3 = 0, тогда, правая часть системы (16) обнуляется.
Как показывает проверка правая часть (16) с найденными значениями не обращается в нуль, поэтому р3 и д3 отличны от нуля и ряд (8) не обрывается. Это означает, что 2-солитонное решение системы рассмотренного вида построить нельзя.
Полученный отрицательный результат, на первый взгляд, говорит о том, что метод Хироты не работает, но с другой - наводит на новые идеи. Возможно ли рассмотреть другой вид связи многочленов Р и Q, так чтобы су-
физико-математические науки
. Солитонные решения комплексификации уравнения Кортевега - де Вриза -
ществовали п-солитонные решения. Для построения 2-солитонного решения уравнения вернемся к операторной системе (8), (9) и в равенстве (9) выполним следующие преобразования
(А -Юъх)(а<2 -Р) о («б + Р) = 2а(ц-Ю3Х)б » Р. (24)
Теперь если подействовать оператором О, - 2qХ на (24), то получим в силу (8) окончательно запишем систему
Dx(D?-DtDl-2D6x)QoQ = 0,
(Dt-2D3X)Q°P = 0.
(25)
Второе уравнение (25) не представляет интереса, поскольку в нашей задаче теперь Р определяется из (9) в виде
P = ±,ja2Q2-^(DxDt+D4x)QoQ, (26)
тогда решение системы (2) примет вид:
v(x, 0 = -2dl In Q(x, t), ф, 0 = ±^а2--^[DxDt+DAx)QoQ, (27)
Первое уравнение системы (25) является тождеством для любой функции Q в силу нечетности D- оператора. Поэтому будем рассматривать уравнение
(D?-DtD3x-2D6x)Q°Q = 0. (28)
ЛЕММА 2. Система (2) эквивалентна уравнению (28), где a - const, v(x,t), m(x,t) - имеют вид (27).
Будем решать (28), разлагая Q в степенной ряд по параметру е
Q = \ + eql+s2q2+... (29)
Подставим (29) в (28) и объединим члены с одинаковыми степенями е:
4: 2(д?-д,д3я-2д6я)д2 = -(,D,2-DtD3x-2D6x)qi °qx, (31)
3:2(д2-дt8l-28(ic)qз = -(Df-DtDl-2D^{q2oql + qloq2), (32)
4: 2(d2-8t8l-28(j)q,= -(D2-DtD3x-2DX6)(<?3oq. + q^+q^)^. (33)
Из уравнения (30) имеем N
<7i=2>+ft, (34)
i=i
где Tt = kjX + rtt, jUj, kt,rt - постоянные, удовлетворяющие уравнению
г?-Пк?-2к*=0, (35)
из которого (/j + k3)(rt - 2kf) = 0 находим два решения
ri=-k3, rt=2kl (36)
Подставляя (34) в (31), найдем, что вследствие свойства D-оператора члены, подобные 2т,- , исключаются из правой части (31). Тогда, используя свойство
где Ф (Dt, Dx) - полиномы Хироты от Dt и Dx свойства которых более подробно рассмотрено в [1-3]. Для
q2=eTl+Tl+Mn, jul2- const, (37)
и полинома <!>{<Dx,Dt) = D2-DtD3-2Dx, определяющего правую часть системы (30) - (33), из (31) найдем функцию фазового сдвига
са? _ (ri ~гг) ~№ ~^2)3(ri ~к2)6 (38)
Соответственно для первого и второго значений связи между параметрами , (36) корней уравнения (35) определим неизвестную постоянную еиП:
1. efh2 _ hfjkl
(К +к2) (к2 к^ )
vA
Коэффициенты правой части (32) при е2т1, е2т2, е2т1+2т2, обращаются в нуль, коэффициенты при е2т1+'2, еТ1+22, возникающие при умножении еТ1, еТ2 на еТ1+Т2 дает Ф(кх + к2 - кх) = Ф(к1 + к2 - к2) = 0, в силу того, что параметры к, г1 удовлетворяют уравнению (35) (здесь использована более компактная векторная запись аргументов в полиноме Хироты (кг- — ку) = (£г- - kj, ц - ) . Поэтому д3 можно положить равным нулю и двусолитонное решение существует и определяется следующей теоремой.
теорема 2. Уравнение (28) имеет 2-солитонное решение 0 = 1 + еТ1+* + е^ + еТ1+Т1+^,
где т = к1 х + т11 ц„ к, т1
- постоянные, удовлетворяющие уравнению
г? - г^ - 2к? =0, а еопределяется из (38).
Будем искать трехсолитонное решение в виде
6 = 1 + + /.+Г2+Г3+Й23, (39)
/=1 ]>1
где = е1 +г* +Й23 определяется в силу (32).
Подставляя (38) в (32), найдем, что вследствие свойства оператора О и соотношения (30) члены, подобные е2т+V, имеют нулевые коэффициенты и исключаются из правой части (32) кроме еч+ 12+13. Коэффициент при еТ1+ Т2+Т3 строится из четырех взаимодействий и имеет вид
еЙ23 Ф(кх+к2+к3) + Ф(к! - к2 - к3) + (39)
+е№+ЛзФ(к2 - к! - к3) + е^+Й2Ф(к3 - к2 - Ц) = 0,
где Цу,1,]=1,2,Ъ, ]>и
определяются из ранее найденной связи для двусолитонно-го решения
ещ1= {ъ-г^-ф^-Щ-ф Ф(к,.-к7)(40)
+{к1+к])ъ) {Г1+Г]-2(к;+ф Ф(к,+ к,.)
е^2з_ —?- у -к к) (4!)
Условие (41) весьма неудобно и трудно вычисляемо. Более ясная и удобная проверка предложена Ньюэллом [5]. Многочлены Хи-роты однородны в том смысле, что если переименовать переменные Ф{0х,0(,...,0у) = Ф{01,0( ) для каждой переменной Д2„+1 поставим
в соответствии вес 2п + 1, а О(1 - вес 1 и будем складывать веса в произведениях, то каждый член в полиноме Хироты имеет один и тот же вес. В нашем случае Ф(Рх,0() = ФЩ^И^ ) все слагаемые имеют вес равный шести.
Условием того, что (2) имеет трехсолитонное решение, является равенство нулю правой части выражения (33), для этого полиномы Хироты должны удовлетворять ряду свойств:
ф(зд,)=ф (-а-д,), ф(о,о) = о.
Правая часть (33) имеет члены е2ч+2 Т2, elIl+1 Т3, elIl+1 Т3, коэффициенты, при которых автоматически обратятся в нуль, а обращение в нуль коэффициентов при е2т1+ 12+13, е Т1+ ^^ еТ1+ ^^ (полученных от суммы произведений еч+ь+кет и ет+ уетс+Тк, г Фу Ф к = 1,2,3) требует проверки, т.е. должны выполняться три равенства:
Ф(к2 + к3)ем+Й23 +Ф(к2 -к3)ей2+йз =0, Ф(к1 + к3)е№+Й23 +Ф(к! -к3)еЙ2+№з =0, Ф(к1 +к2)е№+й23 +Ф(к! -к2)еМз+№з =0.
Очевидно, достаточно проверить одно из равенств, так как они получаются с помощью циклический замены индексов. Распишем первое в расшифрованном виде
Ф(к2+к3) Л Ф(кгк7)
Ф(к к к-") I Ф(к юФ(к1"к2) Ф(к'"кз)=0 ,+к.) ' ^ К 2 з;Ф(к1+к2) Ф(к1+к3)
Ф(к1+к2+к3)ш^>гФ(к1
или избавившись от знаменателя
£ Ф(кт+ку)Ф(кт+Ц)Ф(к(-к^Ф(кт-к1-к7)+Ф(к1+к2+к3) Ц Ф(кгк,)=0
В нашем случае это условие сводится к равенству
-6к2къ[к2г2 + къгъ +10 к3к2 + 10£3А;23] = 0,
которое при подстановки корней (36) тождественно не выполняется. Таким образом, уравнение (28) не имеет 3 - солитонного решения.
Результаты исследований и их обсуждение
Обсудим еще один вопрос о нахождении другого вида точного решения - автомодельного. Воспользуемся уже имеющейся системой (2) с действительными функциями v(x,t ) и ю^Д). Проведем анализ, позволяющий сказать, существует автомодельное решение или нет. Решения существуют [6, 4], если растяжение независимых и зависимых переменных эквивалентно тождественному преобразованию. Анализ показал, построение автомодельного решения возможно, если положить
1 2 2
$ = co(x,t) = t 3®(£), v(x,t) = t . (42)
Подставив в исходную систему (2) новые переменные (42) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций ), v(£ )
18УУ' + 36юй/-ЗУ"' + 2У + £У' = 0, (43)
6й/* + (£-18У)Й/ + 2Й/ = 0.
Будем искать решение в виде степенных рядов с постоянными действительными коэффициентами
у=|(44)
Определим, какова должна быть степень а, в, чтобы система (43) замкнулась. Для этого подставим главные члены v~aa^a , w~bp%в в систему (43)
1За(а-1)(а-2)аа£а~3+ 36/?6^2/м+ (а + 2 )аа%"= 0,
\.№Р ~ ЧР - 2)Г3~ 1Р + 2] 0
и приравняем старшие степени, откуда определяются
значения а = -2, в > -2.
Рассмотрим предельный случай, когда в = -2, тогда старшие коэффициенты должны удовлетворять равенствам
а22 - 2а_2 + 2Ь*2 = 0, а_2Ь_2 - 4Ь_2 = О,
что при действительном коэффициенте Ъ_2 Ф 0 невозможно, поэтому положим Ъ_2 = 0, и будем искать решение в виде (44), при а = -2, в = -1.
Выполним подстановку степенных рядов (44) в систему (43), которая распадается по степеням £ начиная с и выше:
^ 5 : а_2а_2 — 2а_2 =0, => а_2 — 2;
: Ъа_2а_х - а_х = 0, 2Ь_х - Ь_ха_2 =0, =>
а-1 = 0, Ъ-1 - произвольный параметр;
£ 3 : 2а_2а0 + а2, + 2Ъ\ = 0,
ао=~^ь-\> Ъ0
произвольный параметр;
-1 1 ? 1:-ЩЬ1а_1-Ь_1а1+2Ь2а_2] + Ь_1 = 0, Ъ2=-—{№1фй-Ь_1), аг
произвольный параметр;
и+3
п+2
Г: 18£ ]а]ап+1_]+ЪЬ^]Ъ]Ьп+1_гЪ{п + Ъ){п + 2)(и + 1)а„+3+(2 + «)а„ = 0,
^ ^ „+2 (45)
6(и + 3)(и + 2)(я +1)6„+3 -18 £ (и +1 - 7>/„+1_у + (2 + п)Ьп = 0,
определяет рекуррентную связь между коэффициентами
=
"+3 3(и2-1) (л+ 6)
п+2
18 £ 7[ауап+1_7- + 26Д+1-,] + (2+и)а„
V ,
¿п+3 =
1
6(и+3)(и+4)(и-1)
п+2
18 £ (и +1 6й+1_,. - (2 + и)6й V 7=-1 ,
Из формул (46) видно, что Ъ4, а4 будут произвольными постоянными. Это легко проверить, выписав равенства (45) при п = 1.
ТЕОРЕМА. Уравнение (1) имеет решение в виде формального ряда
2 Ъ 00 •
X Х\ I
где г - мнимая единица,
Ъ-ь Ъ0, а2, Ъ4, а4, - произвольные действительные постоянные,
«о = ~\ъ\ Ъ, = —Ь^ , = -Ь_ф0, ¿2=--1-(18Й21Й0-Й_1),
остальные коэффициенты находятся по формулам (46).
Выводы
В статье развит метод Хироты применительно к комплек-снозначному уравнению в частных производных третьего порядка.
1. Проведено преобразование уравнения в билинейную систему, имеющую квадратичный вид по зависимым переменным.
2. Построено односолитонное и двусолитонное решения.
3. Для построения двусолитонного решения предложен новый вид связи зависимых переменных.
4. Доказана невозможность построения трехсолитонного решения.
5. Построено автомодельное решение.
Библиографический список
1. Hirota R. Nonlinear partial difference equations V. Nonlinear equations reducible to linear equations / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. 1979. V. 46. P. 312-319.
2. Hirota R. N-soliton of nonlinear network equations describing a Volterra system / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. 1976. V. 40. P. 891-900.
3. Hirota R., Satsuma J. A variety of nonlinear network equations generated from the Backlund transformation for the Toda lattice / R. Hirota, J. Satsuma // Prog. Theoret. Phys. Suppl. 1976. V. 59. P. 64-100.
4. Новикова О.В. Автомодельные решения комплекснозначного нелинейного дифференциального уравнения в частных производных // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. Научный журнал. Ставрополь. 2014 г №1 (40). С. 13-20.
5. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. 328 с.
6. Полянин А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев, А.И. Журов. М.: Физматлит, 2005. 256 с.
7. Редькина Т. В. Некоторые свойства комплексификации уравнения Кортевега - дe Вриза // Изв. АН СССР Сер. матем. 1991.
References
1. Hirota R. Nonlinear partial difference equations V. Nonlinear equations reducible to linear equations / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. 1979. V. 46. P. 312-319.
2. Hirota R. N-soliton of nonlinear network equations describing a Volterra system / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. 1976. V. 40. P. 891-900.
3. Hirota R., Satsuma J. A variety of nonlinear network equations generated from the Backlund transformation for the Toda lattice / R. Hirota, J. Satsuma // Prog. Theoret. Phys. Suppl. 1976. V. 59. P. 64-100.
4. Novikova O.V. Avtomodel'nye resheniya kompleksnoznachnogo neli-nejnogo differencial'nogo uravneniya v chastnyh proizvodnyh (Self-similar solutions of a complex-valued nonlinear partial differential equation)// Vestnik Severo-Kavkazskogo federal'nogo universiteta. Nauchnyj zhurnal. Stavropol'. 2014 g. №1 (40). S. 1320.
5. N'yuehll A. Solitony v matematike i fizike (Solitons in mathematics and physics). M.: Mir, 1989. 328 s.
6. Polyanin A.D. Metody resheniya nelinejnyh uravnenij matema-ticheskoj fiziki i mekhaniki (Methods for solving nonlinear equations of mathematical physics and mechanics) / A.D. Polyanin, V.F. Zajcev, A.I. ZHurov. M.: Fizmatlit, 2005. 256 s.
7. Red'kina T.V. Nekotorye svojstva kompleksifikacii uravneniya Kor-tevega - do Vriza (Some properties of the complexification of the Kortewegian-to Vries equation)//Izv. AN SSSR Ser. matem. 1991.
