CC BY
19ВИЗУАЛИЗАЦИЯ 1-СОЛИТОНА ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО
УРАВНЕНИЯ А6
А. В. Алексеева, Г. А. Амирханова*
Институт математики и математического моделирования МОП РК, 050010, Алма-Ата, Казахстан * Институт информационных и вычислительных технологий МОИ РК,
050010, Алма-Ата, Казахстан
УДК 517.957
В работе представлены пространственно-двумерное эволюционное уравнение А6, иерархия его вспомогательных линейных систем, закон сохранения, его пространственно-двумерная билинейная форма Н2, его N-солитонные решения, визуализация 1-солитонного решения данного уравнения, исследование свойств и качеств 1-солитона, обработка данных, статистические таблицы.
Ключевые слова: уравнение Кортевега-де Фриза, пространственно-двумерное эволюционное уравнение, пространственно-двумерная билинейная форма, вспомогательная линейная система, закон сохранения.
The work presents the spatially two-dimensional evolution A6-equation, the hierarchy of its auxiliary linear systems, conservation relations, its spatial two-dimensional bilinear H2-form, the N-soliton solutions, the visualization of the 1-soliton solution of the equation, analysis of the nature and properties of the 1-soliton, data processing, statistical tables.
Key words: Korteweg-de Vries equation, two-dimensional evolution equation, spatial two-dimensional bilinear form, auxiliary linear system, conservation relation.
Многомерные нелинейные уравнения, обобщающие классическое уравнение Кортевега-де Фриза, являются объектом интенсивных исследований в последнее время [1-7]. Интерес вызван тем, что уравнение Кортевега-де Фриза, как и его многомерные аналоги, является универсальной математической моделью, так как описывает многие нелинейные процессы в океанах, кристаллических телах, магнитных материалах, эфире, атмосфере Земли и других планет, живых организмах, экономике и др.
В 1949 году Ферми, Паста и Улама изучали нелинейные системы, которые позже были названы солитонами. Солитоны запоминали информацию и хранили ее очень долго, как молекула ДНК. Ученые утверждали, что солитоны ведут себя как разумные существа, но объяснить этот феномен не смогли.
В океанологии большое внимание уделяют изучению солитонов в морях и океанах, динамику которых описывает (2+1)-мерное эволюционное уравнение А6. Их называют волны-убийцы, аномальные волны, волны-монстры, блуждающие волны. Они достигают высоты более чем 25-30 метров и представляют большую опасность для судов и морских сооружений. Появление волн-убийц не связано с катастрофическими геофизическими событиями. Они появляются неожиданно и также неожиданно исчезают. Ученые предпо-
лагают, что явление волн-убийц связано е особенностями динамики солитонов и не зависит от внешних факторов. Динамику солитонов в морских и океанских водах описывают пространственно-двумерные обобщения уравнения Кортевега-де Фриза [8].
Ранее Алексеевой А, В, были выведены новые пространственно-двумерные нелинейные уравнения А1-А14 и А1-АХП [1], которые являются обобщениями классического уравнения Кортевега-де Фриза,
В данной работе представлены (2+1)-мерное эволюционное уравнение А6, иерархия его вспомогательных линейных систем, закон сохранения, его (2+1)-мерная билинейная форма Н2, его М-еолитонные решения, визуализация 1-еолитонного решения данного уравнения, исследование свойств и качеств 1-еолитона, обработка данных, статистические таблицы.
Рассмотрим (2+1)-мерное эволюционное уравнение А6 [1]:
Ф* + Фжжу + 3 [ФУ]Л = 0,
где Ух = Фу, Ф = Ф (ж, у, ¿) — достаточно гладкая комплекенозначная функция.
Интегрируемость (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 доказывает наличие высших иерархий его вспомогательных линейных систем уравнений:
Цо<£ + А<£, АvУ + + АВ^, Ц"о<£ + А<£,
А^у + + АВ^ + А2С^, Цо<£ + А<£,
А^у + + АВ^ + А2С^ + А3^,
где А = А (у, г), А* = ААу, ¥х = Фу,
тт ( 0 М ( V!
Ц0 = ,7, П ) , V ~
А
Ф 0 ) ' г ^
0 -фху - 3ФУ
-Фху - 3ФУ
В
г — 2гдг1Ф — V
ж
— 2гдг1Ф — V -г
'ж
с = ^ =... = ( 0* 2гд-1Ф
2гджФ —г
Ф = Ф (ж, у, г), ^г = V» (ж, у, г) г = 1, 2 — достаточно гладкие комплекенозначные функции.
Закон сохранения для (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 имеет вид
дТ ,
— + ^г^ = 0,
дг
где Т — плотность, ^ = ^2) — поток,
йгьЕ = —--+ ——,
дх ду
Т = Ф + Сь Г = ЭФУ + С2, Г = Фхх + Сз, Ух = Фу,
Ф = Ф (х, у, *) — достаточно гладкая комплекснозначная функция, С?, ] = 2,Э — постоянные.
(2+1)-мерное эволюционное уравнение А6 можно привести к (2+1)-мерной билинейной форме Н2:
+ Д3Бу) (р о = 0
где
(<£ о = 2 - ,
БхБУ ◦ = 2 (^ххху^ '^ххх'^у Э^хху^х + Э'£хх'£ху) ,
^ = ^ (х, у, *) — достаточно гладкая комплекенозначная функция.
(2+1)-мерная билинейная форма Н2 является многомерным обобщением классической билинейной формы Хироты Н [8]:
(БхБ + Бх) (/ о /) = 0,
где
^БГ (Г о С) = (дх - дх'Г (д - д,)Г Г (х,*) С (х',^)|х,=
/ = / (х, *) — достаточно гладкая действительная функция.
Используя метод Хироты, находим солитонные решения (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6.
1-еолитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения:
Ф = 2(Ь )хх ,
где
= 1 + ехр {ах + ву — ва2* + 7} ,
Ф = Ф (х, у, *), = (х, у, *) — достаточно гладкие комплекснозначные функции, а, в; 7 — постоянные.
2-еолитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6:
Ф = 2(Ь ^2 )хх ,
где
^2 = 1 + ехр (щ) + ехр {п2> + ехр {щ + П2 + Л2} ,
п? = а?х + в?у - в?а2* +т?, =1,2,
а2 - а1 -в1а2 + в2а| + (в1 - в2) (а1 - а2)2 ехЫ А=-•-тт, а1 = а2,
} а2 + а1 -в1а2 - в2а2 + (в1 + в2) (а1 + а2)2
Ф = Ф (х, у, *), = (х, у, *) — достаточно гладкие комплекснозначн ые функции, а?, в?, 7? = 1,2 — постоянные.
М-солитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6:
Ф = 2(1п ^ )ж
где „пробегает" все множества = 0, 1, 3 = 1, N,
(М N
г=1 1<г<^
П, = а,ж + в,у - в,, + 7,, 3 = 1,2,
ехр {Агг }
а, - а» -вг«2 + в,«2 + (вг - в,) («г - а)2
а, + аг -вг«2 - в,«2 + (вг + в,) («г + Г а1 = а, , г = 3 г3 = 1,N,
Ф = Ф (ж,у,г)^м = VN (ж, у, г) _ достаточно гладкие комплекенозначные функции, а,, в,; 7, 3 = 1, N — постоянные.
Запишем 1-еолитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6:
ф = 2 (1п V)®® , V = 1 + ехр {аж + ву - в«2г + 7}
в виде
где
2
— V
Ф = 2-
V2
Откуда имеем
VЖ = а2 ехр {2аж + 2ву - 2ва2г + 27} , V®® V = а2 ехр { 2аж + 2ву - 2ва2г + 27} .
„ 2 ехр {2аж + 2ву - 2ва2г + 27}
Ф = 2а -к
(1 + ехр {2аж + 2ву - 2ва2г + 27})2
или
Ф
а2
2 сй2 {аж + ву - ва2г + 7}'
Скорость 1-еолитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 имеет вид V =
а2в а2
а его амплитуда вычисляется по формуле А = —, Видно, что скорость 1-
л/а2 + в2' " " 2
солитопа (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 и его амплитуда пропорциональны
V = —. в т_ е_ чем выше волна, тем быстрее она бежит, / а2 + в2
Приведем компьютерную реализацию, анализ свойств и качеств 1-еолитонного решения (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6,
а = 1 в = 1
7 = 0 г = 0 изображено на рис, 1,
На рис, 2-4 изображено 1-еолитонное решение (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 в течение времени, изменяющегося от -10 до 10 при а = 1, в =1 7 = 0.
На рис, 5-12 показано, что постоянные а и в задают направление г = а1 + в^ вдоль которого расположен 1-еолитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6, Далее будем называть вектор г вектором направления солитона.
1
Рис. 1. 1-солитон (2+1)-мериого эволюционного уравнения А6 при а = 1, (3 = 1,7 = 0, £ = 0
Рис.3. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 1, (3 = 1,7 = 0, Ь = 5
Рис. 5. Направление г = а! + в j расположения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 1, в = 1 (или а = -1, (3=-1),7 = 0, ¿ = 0
Рис. 7. Направление г = а1 + вj расположения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 5, в = 1 (или а = -5,
в = -1), 7 = 0 г = о
Рис.2. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 1, (3 = 1, 7 = 0, Ь = —10
Рис. 4. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 1, в = 1 7 = О £ = 10
Рис. 6. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного
а = 1 в = 1 (или а = -1 в = -1) 7 = 0 г = 0
Рис.8. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 5, в = 1 (или а = -5, в = -1), 7 = 0 г = 0
Рис. 9. Направление г = а! + в j расположения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 1, в = 5 (или а = -1,
(3=- 5), 7 = 0,* = О
Рис. 11. Направление г = а! + в j расположения
1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 1, в = -5 (или а = -1,
(3 = 5), 7 = о, г = о
¥
Рис. 10. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного
а = 1 в = 5 (или а = -1, в = -5)? 7 = 0 t = 0
¥
Рис. 12. Расположение 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 1, в = -5 (или а = -1 в = 5) 7 = 0 Ъ = 0
Рис. 13. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 0, 1, в = 0, 5, 7 = 0, Ъ = 0,
основной вид
Рис. 15. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 0, 1, в = 0, 5, 7 = 0, Ъ = 0, вид слева
Рис. 14. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 0, 1, в = 0, 5, 7 = 0 Ъ = 0, вид сверху
Рис. 16. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6 при а = 0, 1, в = 0, 5, 7 = 0, Ъ = 0, вид справа
179781061060603
Рис. 17. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного Рис. 18. 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного
уравнения Аб при а = в = 5 Y = 0 t = 0 уравнения Аб при а = в = 0, 1, Y = 0 t = 0
Таблица
Сводная таблица параметров и характеристик 1-солитонов (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб различной амплитуды (а, в ~ постоянные, А — амплитуда, V — скорость)
а в A, м у, м/с
1 4,5 1 в 0,5 10 0,7 20в ^/20,25 + в2
5 7,7 5 в 12,5 30 17,6 60в /59,29 + в2
10 10 50 70,7
Интересно отметить, что гладкий, ровный гребень 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб достигается только тогда, когда а = в, как показано на рис. 1-4, 6 и далее 17, 18. В случае неравных параметров а = в наблюдается эффект закручивания 1-солитона против часовой стрелки от вектора направления г, при этом гребень 1-солитона становится неоднородным и возникает эффект „морской пены" на гребне волны, как показано на рис. 8, 10, 12-16.
а2
Амплитуда A = — 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб всегда по-2
ложительна, Следовательно, 1-солитон (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб может принимать только форму горы или холма, он не может быть впадиной, чего нельзя сказать о солитонах других пространственно-двумерных нелинейных уравнений А1-А14 и AI-AXII [1].
Направление движения 1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб показывает вектор п, ортогональный вектору направления г, т. е. п+г. Далее будем называть вектор п вектором движения солитона.
Из табл. видно, что 1-солитоны (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб могут иметь одинаковую амплитуду при разных скоростях. Например, в табл. показано, что
в
1-солитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения Аб зависит от вектора направления
г = ai + в j или вектора движения n, ортогонального вектору г.
Таким образом, мы представили (2+1)-мерное эволюционное уравнение А6, получили иерархию его вспомогательных линейных систем, вывели закон сохранения, показали его (2+1)-мерную билинейную форму 112. нашли его N-еолитонные решения, сделали компьютерную реализацию 1-еолитонного решения (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6, исследовали свойства и качества 1-еолитона данного уравнения, для наглядности собрали в таблицу некоторые данные и характеристики 1-еолитона (2+1)-мерного эволюционного уравнения А6,
Список литературы
1. Alexeveva A.V. (2+l)-dimensional analogs of the Korteweg-de Vries equation // International Journal of Contemporary Mathematics. 2012. V. 3. N 1-2. P. 47-55.
2. Алексеева А. В. (2+1)-мерное солитонное уравнение А9 и его решения / Современные проблемы гуманитарных и естественных наук: матер. XIV Междунар. науч.-практ. конф. Москва, 26-27 марта 2013 г. С. 13-18.
3. Алексеева А. В. (2+1)-мерное нелинейное уравнение А10 и его солитонные решения / Тенденции и перспективы развития современного научного знания: Матер. VI Междунар. науч.-практ. конф. Москва, 29 марта 2013 г. С. 21-27.
4. Alexeveva А. V. Solution of the (2+l)-dimensional soliton equation A3 by the Hirota's method / Applied Sciences in Europe: tendencies of contemporary development. Proc. of the 6th Internat. scien. conf. Stuttgart, Oct. 18, 2014. Stuttgart: ORTPublishing, 2014. P. 3-7.
5. Alexeveva A.V. The (2+l)-dimensional soliton equation A7 and its bilinear form / Applied Sciences and technologies in the United States and Europe: common challenges and scientific findings. Proc. of the 7th Internat. scient. conf. N.Y.: CibunetPublishing, 2014. P. 30-34.
6. Alexeveva A. V. The (2+l)-dimensional soliton equation All and its bilinear form / Innovations in Technical and Natural Sciences. Proc. of the 3rd European conf. Vienna: „East West" Association for Advanced Studies and Higher Education GmbH, 2014. P. 63-68.
7. Алексеева А. В. (2+1)-мерная модель Кортевега-де Фриза и ее интегрируемость // Вестник MOH РК. 2006. № 3. С. 12-15.
8. Абловиц \!.. Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. \!.. 1987.
Алексеева Александра Валерьевна — канд. физ.-мат. наук, PhD, вед. науч. сотр.
Института математики и математического
моделирования МОИ РК; тел.:: 8 (727) 375-93-05, 8 (701) 742-22-52;
e-mail: alankritalalita@gm,ail.com, Амирханова Гулыиат Аманжоловна — PhD докторант, науч. сотр. Казахского национального университета им. аль-Фараби, Института информационных и вычислительных технологий МОИ РК; тел.: 8 (727) 272-10-00, 8 (707) 636 80 78;
e-mail: [email protected]
Дата поступления — 03.05.2015
