Математическое моделирование пульсовых волн на основе теории солитонов и уравнения Кортевега де Фриза Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-76

© Т.Г. Дармаев, А.С. Цыбиков, Б.В. Хабитуев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЛЬСОВЫХ ВОЛН НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ СОЛИТОНОВ И УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА ДЕ ФРИЗА

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-07-92202-Монг_а), РНПВШ (проект 2.2.3.3 / 5964)

В статье рассматривается один из подходов моделирования пульсовых волн человека на основе теории солитонов, в частности с помощью уравнения Кортевега де Фриза. С помощью метода Хироты получено 5-солитонное решение. Проведены расчёты в среде Maple 8, построены график и фазовый портрет по параметрам реальной пульсовой волны.

Ключевые слова: моделирование пульсовой волны, уравнение Кортевега де Фриза, теория солитонов, пульсовая диагностика.

T.G. Darmaev, A.S. Tsybikov, B.V. Khabituev

MATHEMATICAL SIMULATION OF PULSE WAVES BASED ON THE THEORY OF SOLITONS AND

KORTEWEG-DE VRIES EQUATION

This article discusses one of the approaches to modeling human pulse waves based on the theory of solitons, in particular the approach that uses Korteweg-de Vries equation. Using the Hirota method a 5-soliton solution has been obtained. The calculations in the Maple 8 environment have been performed, a chart and phase portrait according to parameters of real pulse wave have been constructed.

Keywords: simulation ofpulse wave, Korteweg-de Vries equation, theory of solitons, pulse diagnostics.

Введение. С точки зрения восточной медицины пульс - источник, в котором закодирована информация о состоянии всего организма в целом. Используя методы восточной медицины, можно быстро, но при этом довольно качественно провести исследование пациента. В упрощенном варианте данный процесс можно представить так [2]:

1) варьируя силу нажатия и участок соприкосновения попеременно на левой, правой и обеих руках, пульсодиагност поочерёдно опрашивает 12 внутренних органов (сердце, тонкая кишка, лёгкие, толстая кишка, селезёнка, желудок, левая почка, половые органы, печень, желчный пузырь, правая почка, мочевой пузырь);

2) результаты опроса соотносятся с "врождённым пульсом" пациента, сезонными, суточными особенностями пульса и его психофизиологическим типом по восточной системе;

3) выносится диагноз.

Учитывая тенденции развития медицины превентивного действия, данный подход вызывает большой практический интерес.

С точки зрения физики течение крови - довольно сложный процесс, многие исследователи даже называют его третьим режимом течения. Сложности при моделировании данного процесса обусловливаются множеством факторов: как «чисто физическими» (например тем, что кровь сама по себе является неньютоновской жидкостью, течение крови происходит по сосудам и венам), так и тем, что приходится учитывать различные регуляционные функции организма. По этой причине большинство моделей, основанных на теории математической гемодинамики, довольно сложны и трудно применимы.

В настоящее время известны попытки математического моделирования пульсовой волны, например модель Волобуева на основе нелинейного уравнения Шредингера (Волобуев А.Н., 1995, 3), модель Акулова, представляющая собой произведение экспоненциальной и тригонометрической функции с тремя параметрами (Акулов В.А., 2006), модель Самарского, основанного на законе сохранения энергии и импульса (Самарский А.А. с соавт., 1996), модели на основе численных методов (Бороноев В.В., 1999) и др. (Астраханцева Е.В., Гидаспов В.Ю, Ревизников Д.Л., 2005). Каждая из этих моделей и подходов имеет свои достоинства и недостатки, и все же они остаются далеко несовершенными по сравнению со сложностью данного биофизического явления в организме человека, которая, возможно, и оправдывает его информативность.

В данной работе рассматривается возможность моделирования пульсовой волны при помощи теории солитонов, поскольку характер реальной пульсовой волны во многом схож со свойствами соли-

тонов. Напомним, что солитонами называются любые локализованные нелинейные волны, которые взаимодействуют с произвольными локальными возмущениями и всегда восстанавливают асимптотически свою точную первоначальную форму с некоторым сдвигом фазы [4]. Другими словами, основное предположение заключается в том, что по природе пульсовая волна состоит из комбинации определенного количества импульсов (единичных волн), исходящих из различных органов и систем организма и являющихся взаимодействующими компонентами пульсовой волны. Таким образом, математическое представление одного импульса - это один солитон. Следовательно, математическая модель пульсовой волны - это система из определенного количества солитонов, взаимодействующих между собой и имеющих набор параметров, определяющих все возможные его состояния. И центральную роль в предлагаемой модели играют свойства упругого взаимодействия между солитонами и солитонов с локальными возмущениями. Мы рассматриваем пульсовую волну, не принимая во внимание процессы регуляции кровотока, как распространение уединённых волн (пульсовой) в эластичной тонкостенной трубке. В результате анализа научной литературы по теории солитонов наиболее подходящим по классу моделируемых систем выбрано уравнение Кортевега де Фриза, имеющее солитонные решения, состоящие из солитонной и несолитонной части [1,4,5,6,7].

Солитонное решение уравнения Кортевега де Фриза (далее КдФ). Итак, рассматривается уравнение КдФ следующего вида:

К (и ) = и{ + 6иих + иххх = 0 , (1)

где и(х, t) - потенциал пульса; t - глобальное время одной моделируемой волны; X - локальное время одного моделируемого сердечного цикла.

В работе [1] представлен способ формирования ^солитонного решения данного уравнения методом Хироты. Общее решение уравнения КдФ состоит из солитонной и несолитонной части. В нашем случае рассматривается решение, в котором локальные возмущения (несолитонная часть) пренебрежимо малы. То есть мы строим в некоторой степени идеализированную модель, в которой не учитываются малые локальные возмущения [7,5]. Хирота показал, что в общем виде ^солитонное решение уравнения (1) имеет вид: d2

и(х,^ = 2-^-у1п F, (2)

где F - определитель некоторой матрицы.

Получение 5-солитонного решения уравнения КдФ. Опуская промежуточные выкладки процесса получения ^-солитонного решения, представим результат получения функции F в общем виде [1]:

( N N Л

^ = Е ехр Енч + Е , (3)

„ г=! 1^'</ )

A

где juj = 0 или 1; e 1 =

,u=CU V

к - к,'2

к + к,

V j 1

; rj = kjx + <ajt - h(0; kj, <aj, r/10, j = 1, N - параметры системы.

В результате подстановки (3) в (2) и определенных упрощений получаем следующий вид потенциала u(x,t):

N

u( x, t) = X u ,(x, t) + &( x, t), (4)

j=i

где ut(x,t) = — k2sech2 ^ —5—Wt—Lj , CT(x,t)- сумма локальных возмущений (несолитонная часть решения). Функция а( x, t) имеет достаточно громоздкий вид, однако согласно [1] она оказывает несущественное влияние на форму волны:

N

|ст(x, t)| ^ X u j ( x, t) .

j=1

При этом локальные возмущения достаточно сильно усложняют систему, получается довольно громоздкое решение. Поэтому предлагается рассмотреть потенциал (4) в следующем виде:

u(х,t) « ^w(х,t)

i= 1

Соответственно система (3) принимает вид при t=0:

N 1 'k;x+h;

N 1

u( х) = V —k2sech2

и 2 ‘ ^ 2 _

В результате расчетов при N=5 получено 5-солитонное решение: d2

u( х, t) = 2—-ln F5 (5)

dx

где F5 получаем из формулы (2), при N=5. Потенциал и (напряжение пульсовой волны) представляет собой сложную функцию из комбинаций показательных функций с основанием exp (e).

Идентификация параметров, входящих в решение. В полученное решение (5) входит ровно 3 х N параметров, т.е. при N=5 ровно 15 параметров, через которые определяются переменные

г/. = ktx + a t - h° , где k., о. ,^г°, i = 1..5 - параметры данной системы. В результате различных расчетов были получены следующие соотношения:

1. Амплитуда i-го солитона, плотно не взаимодействующего с другими солитонами, прямо про-

- 1/2

порционально зависит от соответствующего параметра k, а именно wmaxi = 2 ki . При плотном

взаимодействии i-го, допустим, с i+1 солитоном амплитуды i и i+1 солитонов возрастают на величину Г = g ( k., k.+j) и гг+1 = g ( k.+j, k.) , где g - неизвестная функция;

2. Аргумент точки максимума i-го солитона определяется следующим выражением:

-at + h(0) х . =-----------—

max i i

3. Скорость по фазе (с) определяется как отношение коэффициентов при х и t . Для i-го солитона

она равна ci = °J/k . В данном случае целесообразно брать все фазовые скорости одинаковыми, так

как реальную пульсовую волну предполагаем не меняющейся во времени или хотя бы на некотором промежутке времени. То есть рассматривается частный случай: c1 = c2 = c3 = c4 = c5. Отсюда получаем, что график модели пульсовой волны не меняется со временем, а просто осуществляется перенос графика на величину c At. Например, 3-солитонное решение, где фазовые скорости солитонов равны, наглядно представлено на рисунке 1.

Рис. 1. Реализация 3-солитонного решения по времени с равными скоростями

Построение солитонного решения с параметрами реальной пульсовой волны

Если известны численные значения локальных максимумов, т. е. значение координат вершин каждого «горба» реальной пульсовой волны, то можно построить модель, соответствующую данной пульсовой волне. Для этого значения всех пяти вершин заносятся в приведенную ниже таблицу исходных данных.

Потенциал(u) u1 u2 u3 u4 u5

Фазовая координата пиков (x) x1 x2 x3 x4 x5

Далее, используя соотношения, полученные при идентификации параметров, построена система уравнений следующего вида:

i = 1,5;

(0)

k

■ = x., i = 1,5;

k

i = 1, 4;

Данная система состоит из 14-ти уравнений и имеет 15 неизвестных. Для получения единственного решения предлагается задать произвольное значение одного из неизвестных параметров. Например, с1 = 1, тогда данная система должна иметь единственное решение в виде числовых значений всех параметров модели. Подставив параметры в решение, мы получаем функцию и=и(х) (из-за довольно громоздкого аналитического вида функции здесь она не приводится). Ниже представлены график этой функции с параметрами реальной пульсовой волны здорового человека и его фазовый портрет (рис. 2 и 3).

-4 -2 2 4 б а

X

Рис. 2. Потенциал с параметрами реальной пульсовой волны здорового человека

Построенный график на рисунке 2 в достаточной степени точности повторяет контур реальной пульсовой волны. Из ранее проведенных исследований в данной области [2] известно, что фазовый портрет пульсовой волны здорового человека должен иметь вид, напоминающий форму сердца, что соответствует полученному графику на рисунке 3.

Заключение. В работе рассмотрен один из возможных подходов моделирования пульсовых волн человека на основе солитонного решения уравнения Кортевега де Фриза. С помощью метода Хироты получено 5-солитонное решение. Проведены расчёты в среде Maple 8, построены график и фазовый портрет по параметрам реальной пульсовой волны.

Таким образом, данный подход заслуживает более глубокого исследования. Детального изучения требуют параметры и характеристики данной системы, а также их связь с физиологическими процессами. В перспективе возможно введение в модель локальных возмущений для моделирования высокочастотных составляющих пульсовой волны.

Литература

1. Абловиц М., Сигур Х.Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 480 с.

2. Бороноев В.В. Пульсовая диагностика заболеваний в тибетской медицине: физические и технические аспекты. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005.

3. Волобуев А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // Успехи физических наук. 1995. Т.165, №2. С. 177-186.

4. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. 294 с.

5. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. М.; Ижевск: РХД, 2002. 96 с.

6. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. 324 с.

7. Теория солитонов: метод обратной задачи / Б.Е. Захаров [и др.]. М.: Наука, 1980. 320 с.

Дармаев Тумэн Гомбоцыренович, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий лабораторией вычислительных и геоинформационных технологий Научно-образовательного центра системных исследований и автоматизации Института математики и информатики Бурятского государственного университета. Тел. +7 (3012) 221215, e-mail: dtg@bsu.ru.

Цыбиков Анатолий Сергеевич, кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник Научнообразовательного инновационного центра системных исследований и автоматизации Института математики и информатики Бурятского государственного университета. Тел. +7 (3012) 221215, e-mail: cas313@rambler.ru

Хабитуев Баир Викторович, научный сотрудник Научно-образовательного инновационного центра системных исследований и автоматизации Института математики и информатики Бурятского госуниверситета. Тел. +7 (3012) 421665, e-mail: bairinc0@mail.ru

Darmaev Tumen Gombotsyrenovich, сandidate of physical and mathematical sciences, head of laboratory of calculation and geoinformational technologies, scientific and educational center of system researches and automation, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, e-mail: dtg@bsu.ru

Tsybikov Anatoly Sergeevich, candidate of pedagogical sciences, research associate, scientific and educational center of system researches and automation, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, е-mail: cas313@rambler.ru

Khabituev Bair Viktorovich, research associate, scientific and educational center of system researches and automation, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, е-mail: bairinc0@mail.ru

УДК 517.977

© Е.В. Дрыганова

МАГИСТРАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ В ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 12-01-00914-а, 12-01-98011-р_сибирь_а, 13-01-92200-Монг_а

Рассматривается схема поиска магистральных решений для дискретных управляемых систем и их последовательного уточнения. Магистральное решение находится при переходе от исходной задачи к задаче меньшего порядка выявлением и исключением пассивных дискретных цепочек. Эффективность данного подхода демонстрируется на моделях социо-эколого-экономических систем, связанных с решением актуальных проблем устойчивого развития.

Ключевые слова: магистральное решение, дискретная система, социо-эколого-экономическая система.

E. V. Dryganova

TURNPIKE SOLUTION IN THE DISCRETE MODEL OF REGIONAL DEVELOPMENT

The article copnsiders the scheme of turnpike research for discrete control systems and their sequential elaboration. A turnpike solution is while the transition from basic problem to the problem of lower degree by identification and