CC BY
48
Таким образом, данный подход заслуживает более глубокого исследования. Детального изучения требуют параметры и характеристики данной системы, а также их связь с физиологическими процессами. В перспективе возможно введение в модель локальных возмущений для моделирования высокочастотных составляющих пульсовой волны.
Литература
1. Абловиц М., Сигур Х.Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 480 с.
2. Бороноев В.В. Пульсовая диагностика заболеваний в тибетской медицине: физические и технические аспекты. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005.
3. Волобуев А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // Успехи физических наук. 1995. Т.165, №2. С. 177-186.
4. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. 294 с.
5. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. М.; Ижевск: РХД, 2002. 96 с.
6. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. 324 с.
7. Теория солитонов: метод обратной задачи / Б.Е. Захаров [и др.]. М.: Наука, 1980. 320 с.
Дармаев Тумэн Гомбоцыренович, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий лабораторией вычислительных и геоинформационных технологий Научно-образовательного центра системных исследований и автоматизации Института математики и информатики Бурятского государственного университета. Тел. +7 (3012) 221215, e-mail: [email protected].
Цыбиков Анатолий Сергеевич, кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник Научно-образовательного инновационного центра системных исследований и автоматизации Института математики и информатики Бурятского государственного университета. Тел. +7 (3012) 221215, e-mail: [email protected]
Хабитуев Баир Викторович, научный сотрудник Научно-образовательного инновационного центра системных исследований и автоматизации Института математики и информатики Бурятского госуниверситета. Тел. +7 (3012) 421665, e-mail: [email protected]
Darmaev Tumen Gombotsyrenovich, сandidate of physical and mathematical sciences, head of laboratory of calculation and geoinformational technologies, scientific and educational center of system researches and automation, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, e-mail: [email protected]
Tsybikov Anatoly Sergeevich, candidate of pedagogical sciences, research associate, scientific and educational center of system researches and automation, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, е-mail: [email protected]
Khabituev Bair Viktorovich, research associate, scientific and educational center of system researches and automation, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, е-mail: [email protected]
УДК 517.977
© Е.В. Дрыганова
МАГИСТРАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ В ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 12-01-00914-а, 12-01-98011-р_сибирь_а, 13-01-92200-Монг_а
Рассматривается схема поиска магистральных решений для дискретных управляемых систем и их последовательного уточнения. Магистральное решение находится при переходе от исходной задачи к задаче меньшего порядка выявлением и исключением пассивных дискретных цепочек. Эффективность данного подхода демонстрируется на моделях социо-эколого-экономических систем, связанных с решением актуальных проблем устойчивого развития.
Ключевые слова: магистральное решение, дискретная система, социо-эколого-экономическая система.
E. V. Dryganova
TURNPIKE SOLUTION IN THE DISCRETE MODEL OF REGIONAL DEVELOPMENT
The article copnsiders the scheme of turnpike research for discrete control systems and their sequential elaboration. A turnpike solution is while the transition from basic problem to the problem of lower degree by identification and
exception of passive discrete chains. The efficiency of this approach is demonstrated on models of socio-ecological-economic systems which are concurned with actual problem solution of stable development.
Keywords: turnpike solution, discrete system, socio-ecological-economic system.
Введение
В настоящее время многие прикладные задачи оптимального управления из различных областей оказываются вырожденными, имеющими точные или приближенные магистральные решения. Магистральное решение находится в результате исследования задачи меньшего порядка, получающейся из исходной выявлением и исключением пассивных дифференциальных связей или дискретных цепочек.
В статье определяется магистральное решение задачи оптимизации стратегии развития региона на основе дискретной эколого-экономической модели с учетом инновационного фактора.
1. Схема поиска магистральных решений
В работах [1,2,3] рассматривается эколого-экономическая модель оптимизации стратегии развития региона. В дискретной форме модель представляет собой управляемую систему с неограниченным линейным управлением вида
x(t +1) = g(t,x(t),u) + h(t)v, t e T = [tI,tI +1,..., tF },u e U(t, x), v e Rh, (1)
здесь k < n, h - n x k - матрица, имеющая ранг k .
Будем рассматривать задачу оптимального управления в стандартной форме как задачу (D, I) поиска минимизирующей последовательности функционала I = F(tI, x(tj), tF, x(tF )) на множестве D решений системы (1), удовлетворяющем дополнительным ограничениям и граничным условиям
x e X(t) с Rn, (tI, x(tI), tF, x(tF)) e Г. (2)
При некоторых дополнительных предположениях система (1) может быть преобразована в эквивалентную ей с точки зрения поставленной задачи систему меньшего порядка. Для этого строится вспомогательная система, называемая производной посредством линейного преобразования y = A(t) x, где A(t) задается так, что A(t + 1)h(t) = 0. Производная система имеет вид
y(t + 1) = A(t +1)g(t,x,u),u eU(t,x), xe {x: y = A(t)x}. (3)
По построению любое решение исходной системы x(t) удовлетворяет производной, но не наоборот, причем производная система допускает разрывы x(t) , которая играет роль управляющей функции наряду с u(t)) со значениями на множестве Q (t, y). Иными словами, множество решений производной системы шире, чем исходной.
Тем не менее исходная и производная системы эквивалентны в том смысле, что любая траектория производной системы в пространстве (t, x) аппроксимируется последовательностью траекторий исходной xs (t) почти всюду на заданном отрезке [t I ,t F ] .
Перейдя к новым переменным y = ^(t, x), z = £(t, x) (по взаимно однозначному преобразованию как показано), исходная система (1) имеет вид
y(t +1) = gy (t, y, z, u), (4)
z(t +1) = gz (t, y, z, u) + hz (t, y, z)v, (5)
а производная система в новых переменных получается исключением уравнения (5).
Решение производной системы в пространстве (t, x), x(t) рассматривается как обобщенное решение исходной системы, называемое импульсным режимом. Каждый непрерывный участок x(t) называется магистралью.
Заменим дискретную цепочку в (1) соответствующей производной системой. Тем самым множество D заменяется некоторым более широким множеством E , поскольку при этом происходит исключение цепочки (5). Соответствующую задачу о минимуме рассматриваемого функционала I на E назовем производной задачей.
Из того, что D с E и из аппроксимируемости любого элемента из E последовательностью из D следует, что в (2) имеет место равенство, исходная задача эквивалентна производной и ее решение является магистральным.
Таким образом, для рассматриваемого класса дискретных управляемых систем с неограниченным линейным управлением она заведомо вырождена: имеется пассивная дискретная цепочка, выявленная в ходе преобразований и которая как раз и исключается. В итоге исходная задача заменяется точно или приближенно производной задачей, имеющей меньший порядок, что означает упрощение исходной. В свою очередь, если производная задача вырождена, то она вновь может быть преобразована к производной задаче и т.д. до тех пор, пока такая процедура возможна.
2. Пример
Рассматривается дискретная версия модели региона с инновационным сектором, подробно описанная в [1]. Временной шаг равен одному году.
k(г +1) = k(г) + и - Sk(г), (6)
г (г +1) = г (г) + г + N (г (г) - г) - Су + z,0 < у < g (к, Ь), (7)
и —
в(г +1) = вф + ^ + Н-)(в-вф), 0(0) = 0, (8)
k
П(г +1) = П(г) + (1 - А)у - Ви - А^ - А<1Ы - s(r - г)2. (9)
Здесь у, z, d - выпуск продукции, темп активного природовосстановления и темп активных инноваций; с - конечное потребление; k, g(к,Ь),и,5 - соответственно основные фонды, мощность, инвестиции и темп амортизации; Ь - население (предполагается, что трудовые ресурсы, от которых фактически зависит мощность, пропорциональны населению); А, А, Ал - коэффициенты прямых затрат в производственном, природовосстановительном и инновационном секторах; В - коэффициент фондообразующих затрат; г - индекс состояния природной среды и ресурсов; г(г) - заданная функция (опорная), например, получаемая из статистического прогноза; N, С - коэффициенты самовосстановления и прямого воздействия экономики на природную подсистему; в - инновационный индекс, имеющий смысл среднего процента инновационных изменений некоторой группы параметров (в данном случае А и С) относительно их значений в начальный момент времени; в (г) - значение в , соответствующее мировому уровню в данный момент; Н - коэффициент, отражающий влияние инвестиций, связанных с расширением производства; П имеет смысл дохода за вычетом штрафа s(r) за экологические нарушения на заданном временном интервале.
Предполагается, что g(к,Ь) - классическая вогнутая производственная функция, а коэффициент прямых затрат А может быть снижен за счет инноваций вместе с другим важным параметром - коэффициентом С , т.е. будем рассматривать эти коэффициенты как функции А(в) и С (в) с указанными свойствами. Учитывается удорожание инвестиций с ростом их «инновационности» посредством возрастающей зависимости В(Н). Остальные коэффициенты для простоты принимаются константами.
Предполагается также, что природо-восстановительная и текущая инновационная деятельность ведется на существующих мощностях и требует лишь дополнительных текущих затрат. При этом переменные у, z,и и d рассматриваются как управления, подчиненные ограничениям:
к > 0,г > 0,0 < у < g(к,Ь),d > 0. (10)
В [1,2] при идеализирующих допущениях находится магистральное решение, не зависящее непосредственно от граничных условий. Опишем кратко процедуру его нахождения.
Для удобства в заменяется новой переменной у = Н 1п к + 1п(в - в), тем самым упрощая связь (8):
у (г +1) = у(г) - + Н5),у(0) = Н 1п к 0 + 1пв. (11)
Нетрудно видеть, что в силу заданных дифференциальных связей и ограничений получаются естественные верхняя ()и и нижняя (), границы изменений искомых функций к (г), г (г) и у (г):
К = кр > к (г) > к, = к0, ги = гР > г (г) > г, = г0, уи = у0 - Н5г > у > у, = уР - Н5(г - гР).
В соответствии с теорией вырожденных задач управления u,z принимаются неограниченными и производится двукратный переход к эквивалентной производной задаче первого порядка о максимуме функционала П посредством преобразований x = П + p(Azr + Bk),£ = x-pAdk0y. Коэффициенты A и C задаются следующим образом:
A = (1 - a£)A0, C = (1 - (1 -a)6)C0,0 < a < 1,
Положим g(k, L) = mkaL~a (это известная функция Кобба-Дугласа), L = const (при этом g(k, L) = qka ), s (r) = s (r - r)2, где s - коэффициент штрафа. С учетом этих предположений и при естественном условии рентабельности экономики дело сводится к максимизации суммы tF -1 _ _ _ П = £ ((A(r) +^(r)0)qka - ¡u(r)e7qka-H - B5k + Az^(r - r) - s(r - r)2) -t,
- B(kF - K) - Az (rF - r0) + A^k0 (Уf - Г0 + HStF ), (12)
где A(r) = 1 - b(r)A0 - AzC0, u(r) = max(b(r) A0,AzC0).
Последняя сводится к серии конечномерных задач при каждом t. Из решения (9) находится магистраль, по которой определяется верхняя граница функционала.
Расчеты проводились для условного Байкальского региона при следующих исходных данных: tF = 20, Aq =0.5, 5 =0.05, C0 = 0,7-10-5 =1, Az =8000, k0=400, kF =800, r0=0.8, rF = 0.9, r =1, # = - 0.01, q =12, a =0.7, s =1200, H =0.5, Ad =1, bj = 0, b2 = 0.
Для решения производной задачи применялся метод проекции градиента.
Приведем результаты вычислительных экспериментов, в которых исследовалась зависимость зна-
10-1 10-4
чения П от шага дискретизации, который менялся в диапазоне от до . В таблице 1 приведены результирующие значения целевого функционала.
At П F
10-1 14693,924
10 2 14694,48
10 -3 14694,5355
10 -4 14694,5416
На рисунках 1-3 представлено магистральное решение
О i 10 й 20
f
Риг 3.
Л.М. Макшанова, Н.З. Злыгостева, Д.Ц. Митупова, М.С. Содномова. Оптимизация ТКС по критерию максимума рентабельности предоставления инфотелекоммуникационных услуг провайдера
Заключение
В работе [3] магистральное решение в задаче оптимизации стратегии развития на примере Байкальского региона находится на основе непрерывной модели. При этом значение функционала Пр ~ 14694,542. В данной работе в ходе проведенных вычислительных экспериментов показано, что предлагаемый подход позволяет найти сравнимое по точности приближенное решение. При этом трудоемкость рассматриваемого метода существенно меньше, поскольку вычисление решения производится в конечном числе точек. Результирующие значения целевого функционала, как и следовало ожидать, при уменьшении шага дискретизации приближаются к расчетному значению на непрерывной модели и при At < 10 2 целевой функционал перестает практически меняться. Таким образом, предлагаемый подход может быть достаточно эффективен для расчета приближенно-оптимальных (магистральных) решений задач рассматриваемого класса.
Найденное магистральное решение может служить хорошим начальным приближением для итерационных процессов, используемых для дальнейшего уточнения оптимального решения в модели оптимизации стратегии развития на примере Байкальского региона
Литература
1. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Магистральные решения в задачах оптимизации стратегий развития регионов // Автоматика и телемеханика. 2004. №4. С. 108-117.
2. Белышев Д.В., Соловьева О.В. Анализ инновационных эффектов развития региона на социо-эколого-экономической модели // Программные системы: теория и приложения. М.: Наука, Физматлит, 2004. Т. 2. С. 37444.
3. Будаева Д.Ц., Гусева И.С., Насатуева С.Н. Влияние инвестиций и прямых инновационных затрат на оптимальные стратегии развития региона // Программные системы: теория и приложения: электрон. науч. журн. 2012. Т.3, №5(14). С. 23-32.
Дрыганова Екатерина Вячеславовна, аспирант Бурятского государственного университета, тел. 89148312588, e-mail: [email protected]
Dryganova Ekaterina Vyacheslavovna, postgraduate student, Buryat State University.
УДК 517.977.5
©Л.М. Макшанова, Н.З. Злыгостева, Д.Ц. Митупова, М.С. Содномова
ОПТИМИЗАЦИЯ ТКС ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМУМА РЕНТАБЕЛЬНОСТИ ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ ИНФОТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ УСЛУГ ПРОВАЙДЕРА
В работе представлена математическая постановка задачи синтеза структуры ТКС согласно максимума рентабельности. Решена задача оптимального размещения контент и кэш-серверов, для локализации внутреннего трафика и уменьшения затрат на закупку внешнего трафика провайдера. Моделирование и решение поставленных задач производится с помощью методов теории графов и гиперсетей. Предложенный алгоритм может быть использован операторами и провайдерами для эффективного использования ресурсов сети.
Ключевые слова: мультисервисная сеть, пропускная способность, контент и кэш-сервер, рентабельность, целевая функция.
L.M. Makshanova, N.Z. Zlygosteva, D.Ts. Mitupova, M.S. Sodnomova
OPTIMIZATION OF TKS BY CRITERION OF PROFITABILITY MAXIMUM OF PROVIDING INFOTELECOMMUNICATION SERVICES OF PROVIDER
The article presents the mathematical statement of a problem of TKS structure synthesis according to profitability maximum. The problem of optimum placement of content and cache servers has been solved for localization of internal traffic and reduction of expenses on purchase of provider's external traffic. The modeling and solution of objectives is done by means of methods of the theory of graphs and hyper networks. The proposed algorithm can be used by operators and providers for effective use of network resources.
Keywords: multiservice network, bandwidth, content and cache server, profitability, objective function.
