Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

И.В. Расина, А.О. Блинов, И.С. Гусева

МАГИСТРАЛИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ РАЗВИТИЯ РЕГИОНА НА МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ МОДЕЛИ 1

Статья посвящена исследованию задачи оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной со-цио-эколого-экономической модели, учитывающей ограничения на восстановительные мощности природной среды и социальной сферы и на инновационные мощности. Управляющими воздействиями являются текущие выпуски отраслей, инвестиции и инновационная активность. В результате находится магистральное решение как приближенное глобально оптимальное и новый количественный критерий устойчивого развития. Приводится численный пример.

Ключевые слова: оптимизация, магистраль, инновация, устойчивое развитие, метод кратных максимумов.

I.V. Rasina, А.О. Blinov, I.S. Guseva

TURNPIKES IN THE OPTIMIZATION PROBLEM OF REGIONAL DEVELOPMENT STRATEGY ON THE MULTICOMPONENT MODEL

The article is devoted to researching of optimization problem of regional development strategy for multicomponent socio-ecologic-economical model. This model considers the constraints for the natural environment and social sphere recovery capacities and for the innovative capacities. Consequently there are found the turnpike solution as an approximate globally optimal solution and the new quantitative criterion of sustainable development. A numerical example is given.

Keywords: optimization, turnpike, innovation, sustainable development, the method of multiple maximums.

Введение

В [1] исследована задача оптимизации стратегии развития на многокомпонентной модели [2], описывающей взаимодействие трех секторов - основного производственного, социо-природо-восстановительного и инновационного. Предполагалось в целях упрощения, что мощности последних двух секторов не ограничены, и учитывались лишь прямые затраты, связанные с текущей деятельностью. Это привело к постановке вырожденной задачи оптимизации неограниченных линейных управлений и характерному решению - магистральному, которое находится путем преобразования исходной задачи к эквивалентной меньшего порядка, называемой производной задачей [3,4].

Соответствующая траектория (магистраль) разрывна, не удовлетворяет в общем случае заданным граничным условиям и реализуется практически при достаточно больших управляющих воздействиях в окрестностях разрывов.

В данной работе рассматривается новая по сравнению с [1] постановка задачи, в которой учитывается динамика ограниченных мощностей восстановительного и инновационного секторов, а роль управляющих воздействий наряду с темпами выпуска продукции отраслей выполняют соответствующие инвестиции, которые принимаются неограниченными. Производная задача оказывается линейной относительно новых управлений, и ее можно преобразовать к новой производной задаче (второй ступени).

Реализация магистрального решения в этом случае требует более сложной процедуры.

Полученное решение дает новый, более реалистический критерий устойчивости развития, который, в отличие от прежнего, отражает инвестиционную деятельность. Оно может быть модифицировано с учетом различных реальных ограничений, отраженных в полной социо-эколого-экономической модели, и использовано в качестве эффективного начального приближения при численном итерационном улучшении управления [5].

1. Постановка задачи

Рассматриваемая концептуальная модель региона [2] описывается следующими соотношениями:

с = (E - A)y - Bu - Azz - Bzuz - Avv - Bvuv, (1)

r = 7 + N(r - 7) - Cy - Du - Dzuz + Czz + imr - exr, (2)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 09-01-00170-а, 09-01-90203-Монг_а, 10-06-00081-а), РГНФ (проект 11-02-00171).

к = и - [3]к , кг = иг - [3г ]кг, ку = и' - [3' ]к',

(3)

(4)

(5)

(6)

0 < у <Г(к), 0 < г <Гг (кг), 0 < V <Г(к'),

в = -([v] + И1т + [ Ит/ ])(в — в) , 0(0) = 0,

х' = х’0 (1 + 01ац), г е 1],

Здесь у, г, V - векторы выпусков продукции по отраслям, активного природо-социо-

(и, иг, и'), (3,3г, 3') - основные фонды, мощности и инвестиции (векторы) и темпы амортизации в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном секторах (диагональные матрицы); р - матрица-строка цен (ценовых поправок); г - вектор индексов состояния природной среды и социума; в - вектор инновационных индексов (агрегированное описание изменения за счет инноваций элементов матриц А, Аг, В , Вг С , Б , Сг, Бг и других параметров); г (?) - заданная функция (опорная), например получаемая из статистического прогноза; тг, ехг - миграционные потоки загрязнений и ресурсов; А, Аг, А' - матрицы прямых затрат в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном секторах; В , Вг, В'’ - матрицы фондообразующих затрат в указанных секторах; N -матрица коэффициентов взаимовлияния компонентов природной и социальной подсистем; С - матрица коэффициентов прямого воздействия отраслей экономики на компоненты природной и социальной подсистем, а Б, Бг - матрицы коэффициентов воздействия на указанные компоненты при инвестициях в отрасли экономики и в природо-социо-восстановительный сектор; ИПт , И^ J - матрицы, отражающие влияние инвестиций и диффузии инноваций,

где И~, Ищ - коэффициенты «инновационности» инвестиций в г -й отрасли (к -м секторе), относящиеся к _/ -му инновационному индексу; И^ - коэффициент диффузии; выражения вида [X ] - диагональные матрицы, построенные из компонент вектора X ; а^ - весовые коэффициенты. Матрицы В и

Вг зависят от И , что отражает факт удорожания инвестиционных проектов с ростом их инновационности.

Данная модель может трактоваться как непрерывная, так и дискретная по времени. Точкой сверху в

непрерывном варианте обозначаются производные по времени (так к = — и т.д.), а в дискретном - ко-

времени (типично - году), к = 1. Все величины в правых частях уравнений и в конечных соотношениях берутся в момент ? .

Агрегирование параметров (и определение их зависимости от в) может быть выполнено различными способами. Один из естественных способов подробно описан в [2], и на этом мы останавливаться не будем. В общем случае все матрицы и функции Г(к), Гг (кг), Г' (к') могут зависеть от ? и вектора в, а также от г для учета инноваций, необратимости природных процессов при чрезмерных воздействиях, экономических ущербов от ухудшения качества природной среды и т.п. Эти зависимости уточняются при планировании сценарных расчетов, а по умолчанию принимаются линейными, например

Основные типичные ограничения на управляющие воздействия представлены в (4). Возможны дополнительные ограничения, связанные с конкретными задачами, например, по трудовым ресурсам, по располагаемым инвестициям, ограничения, отражающие требования устойчивого развития, и т.п.

Предлагается достаточно очевидный критерий оптимальности - максимум функционала благосостояния П Р = П(?^) - конечного значения накопленного дохода за вычетом штрафа за нарушение ограничений устойчивого развития П(?), динамика которого описывается уравнением

восстановления, активных инноваций, с - конечное потребление; (к, кг, к'), (Г(к), Гг(кг), Г'(к')),

(7)

нечные разности к =

к (? + к) — к (?) к

, где к - временной шаг, который удобно задавать равным единице

П = (рс - Б (г)) ^ = (р((Е - А) у - Бы -

(8)

- А'' - Бгыг - Ауу - Буыу) - Б(я, г)) е-р

при заданных ограничениях и заданном состоянии в начале периода:

П(0) = 0, к (0) = к0, к1 (0) = к0, ку (0) = к0у, г (0) = г0, в(0) = 0,

где р - матрица-строка прогнозируемых цен (ценовых поправок), Б - штраф за нарушение условий устойчивого развития, я - вектор штрафных коэффициентов; р - коэффициент дисконтирования.

При подходящем выборе параметра р функционал П можно трактовать и как накопленное душевое потребление, если принять, что население растет экспоненциально (в этом случае р рассматривается как сумма темпов дисконтирования и роста населения).

В целом это сложная многомерная вырожденная задача оптимального управления, которая не поддается напрямую исследованию общими методами. Для решения в [2] предложена следующая многоступенчатая схема.

1. Вводятся упрощающие, но достаточно естественные допущения и находится магистральное решение.

2. Найденное магистральное решение модифицируется с учетом реальных факторов и ограничений модели, игнорированных при упрощениях.

3. Модифицированное решение уточняется в итерационной процедуре.

В данной работе рассматривается в основном первый этап (который является решающим, поскольку доставляет глобальное приближенно оптимальное решение) при новых более реалистичных допущениях, что позволяет получить лучшее начальное приближение на втором этапе.

Третий этап для рассматриваемой модели оказывается достаточно трудоемким, но может быть успешно реализован в параллельных вычислениях [5] и таким образом принципиальных трудностей не представляет.

2. Поиск магистрального решения

Из методических соображений будем предполагать, что инновационным изменениям подвергаются лишь элементы матриц А и С (которые и по содержанию - наиболее существенные параметры). Они рассматриваются как функции в. Остальные параметры считаются константами. Восстановительный и инновационный секторы работают с полным использованием мощностей, которые принимаются линейно зависящими от основных фондов: Г' = у'к1, Гу = ууку, где У ,У - некоторые диагональные матрицы. Мощности производственных отраслей (производственные функции) Г' (к’) считаются вогнутыми функциями. Темп дисконтирования р полагается нулевым. Ограничения на г учитываются косвенно посредством штрафов. Население и трудовые ресурсы по отраслям принимаются постоянными. Выпуски и основные фонды отраслей ограничены снизу из условий минимальной занятости населения. Матрицы В, В' принимаются нулевыми.

Задачу будем решать в два этапа:

1) зафиксируем в(^) = вР и найдем решение при этом условии;

2) проварьируем вР и получим окончательное решение.

Для решения задачи на первом этапе применим метод кратных максимумов (МКМ) [3, 4]. Предположим, что управления ы, ы' и и1 не ограничены, для компонентов к , к', к имеются нижние границы (), а верхнюю ()ы и нижнюю () границы для в1 построим как решения уравнений относительно этих переменных из (1) при у1 = у1кУ/ с условиями на левом и правом концах (рис. 1).

в* ж

Рис. 1

Рассмотрим обобщенный лагранжиан Кротова [6], задавая функцию Кротова в виде р = п + а(к,к',ку,г,в):

L — G — f Rdt, Jo

О = а(кр,кр,кр,гР,вр)-а(к0,к0,к0у,г0,в0),

Я = р((Е - А(в))у - Бы - А'У к' - Б'ы' - Ауууку - Буыу) -

- Б(г) + ^^(ы -8к) -Ч^(У"кУ + Н)(в-в) + 477(ыУ -8к) + дк дв дк

+ —(ы' - 8'к') +—(г + N (г - г) - С(в) у + С'Ук' + ’тг - ехг).

дк' дг

да да да да да

Здесь —,-------, ---, —, — рассматриваются как матрицы-строки производных а по компонен-

дк дкУ дк' дг дв

там соответствующих векторов.

Применяя последовательно метод кратных максимумов, приходим к следующим уравнениям относительно а :

да п да пг да пу да ^ - у да г

— = рБ ,----= рБ',-------= рБ ,----у(в-в) = иу, — = п',

дк дк' дку дв дг 1

где цу = р(Аууу +8уБу), п' = (С'У1 )-1 р(А'У + 8'Б'). При этом

ф = п + р(Бк + Б'к' + Буку) -^Цуу \пуУ}(в1 - в1) + п'г, (9)

1

Ь = р(Б'кр + Букр +п'гр -XМуу 1пУ^(вр -в1))-

F ' ^ ,VF ' Ч 'F Z^r1, / V^F

где

—loF ((E — А(в) — ПС (в)) y — BSk) — S (r) + nz (r + N (r — r) + imr — exr ))dt + const, const — p(BkF — Bk0 — Bzkz — Bvk0v + nz (rF — r0) + £ Mvj ln fj в — вj)).

j

Будем минимизировать L последовательно по y , в, L, r (при каждом t) и по kzF и kyF . Обозначим К — p(E — А(в) — nzC(e)). Минимизация по у дает: " — y'u — Г (ki) при К > 0, yl (t) — y\ при К < 0. Соответственно

R — К(в)yUu — pBSk — S(r) + nz(r + N(r — r) + imr — exr).

Минимизируя далее по в, получаем нижнюю границу

ej — в/ (t) — в j — (в j — ej ) exp(tf j (tF — t))

при всех t, так как К (в) - убывающая функция в. Минимум по k достигается в точке k (в1 (t)), та-

"i i "i dR

кой, что k’ (в1 (t)) — k при К (в) < 0 и k’ (в1 (t)) - решение уравнения —т — 0 с учетом вогнутости

dk'

г’ (ki).

Из указанных выше условий видно, что в общем случае может иметь место одна точка переключения

k' (t) и y(t) на рассматриваемом временном интервале, причем с нижней границы на верхнюю.

Л;Г7 „ - „dR

Минимум L по r достигается в стационарной точке r , удовлетворяющей условию — — 0 , посколь-

dr

ку на r ограничений нет. Тогда

L — p(BzkF + BvkV +nzrF — й(в1 (t))) + const, где (tF)) - значение интеграла в выражении при найденных оптимальных значениях перемен-

ных. Значения kF , kzF и kvF принимаются равными значениям на последней магистрали. Результат минимизируется по вF , что даст окончательное магистральное решение.

3. Реализация магистрального решения и пример

Отметим, что данная конструкция функции Кротова соответствует двукратному переходу от исход-

ной задачи к производной: вначале получается первая производная задача, где роль управлений наряду с исходными играют k , kz и kv , затем делается переход к следующей производной задаче, путем перехода к

единственной фазовой переменной

д — ф(ж,k, kz,kv ,в, r) — п + p(Bk + Bzkz + Bvkv) — £/nvl ln f1 (в — в1) + nzr.

j

Это задача первого порядка для уравнения

д — у(в, r) — К(в) y — pBSk — S (r) + nz (r + N (r — r) + imr — exr) (10)

с функционалом I — —g(tF) ^ inf при начальном условии

д(0) — д — p(Bk0 + Bzk0 + bvf0 )—£ tfj in fj (^ — вj)+nX

j

и при указанных выше ограничениях на остальные переменные.

Минимизация этого функционала сводится к максимизации правой части уравнения (10), которая совпадает с выражением функции R и дает уже найденное разрывное магистральное решение (второй ступени). Его траектория, как видно, разрывна в начальный момент и в точках переключения компонент k , внутри промежутка (0,tF), т.е. представляет собой чередование нескольких непрерывных магистралей.

Для аппроксимации магистрального решения в исходном классе допустимых процессов предлагается алгоритм с минимальным числом переключений исходных управлений [7]. Он состоит в непрерывном переходе на магистраль из заданного начального состояния и между магистралями с минимальным числом переключений управлений (в данном случае два для каждого управления km и kv ). Рассмотрим это на конкретном примере для агрегированной версии модели с одномерными секторами производства, восстановления и инноваций и для условного региона, прототипом которого служит Байкальский регион по состоянию на 2010 год.

Пример.

Расчеты проводились для условного региона при следующих исходных данных:

tF — 20, p — 1, S — Sz —Sv — 0.05, A, — 0.5, А(в) — (1 + в)А,, C0 — 0.9-10—5, С(в) — (1 + в)С0, B — 1,

Az — 8000, Bz — 1, Av — 200,250,300, Bv — 1, Cz — 1, k0 — 400, kF — 800, k0z —10, k0v — 6, в0 — 0, в ——0.8, вР ——0.75, r0 — 0.8, rF — 0.9, r — 1, N — —0.01, imr — 0.1, exr — 0.1, S(r) — s(r — r )2, s —10000,

yt — 50,kt —100,yu —r4k , Y —10, f — 0.0002, H — 0.01,Y — 0.0015.

На рисунках 2-7 представлены магистральное решение и один из членов аппроксимирующей последовательности. При магистральном решении получено значение функционала полезности П — 7485.29 , а при аппроксимации П — 7153.57 . Видно, что управление, реализующее это решение, носит сложный переключательный характер даже при минимально возможном для данной реализации числе точек переключения. Это обусловлено, во-первых, наличием двух магистральных участков (соответствующих нижней границе k и его стационарному оптимуму), а во-вторых, более сложной реализацией магистрали второй ступени по сравнению с [1].

Заключение

Рассмотренная задача является одним из представителей класса задач управления на моделях экономических, эколого-экономических или социо-эколого-экономических систем, связанных с решением актуальных проблем устойчивого развития. Для этой задачи при принятых предположениях о неограниченности линейных управлений (инвестиций) получается единственная оптимальная траектория, не зависящая от граничных условий (магистраль). Решение в целом с учетом граничных условий оказывается разрывным: переходы между граничными точками и магистралью и между магистралями происходят «скачком». Каждый скачок реализуется последовательностью кусочно-гладких траекторий при неограниченно возрастающих управлениях в окрестностях точек разрыва, а практически - при достаточно больших управляющих воздействиях.

I I

I I

II -I I

!/

и

Т „

I * *

V

I управление Ы

I

Рис. 2

-1

'-4—аппроксимация 1

магистраль

г г г г г

к' 1 г к' 2 у к' 3

Рис. 4

>г

в(г)

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

в

в~ 08

/

ппрс*ксимация

магистраль

/

к" (г)

\ аппроксимация

магистраль

0 1 . . 10 15

V Тв

Рис. 3

к (г ) к

р 700 ■

к

к

/

/

/

/ ;аппроксимация

■ магистраль

0 1 / t г /

‘к 1 ‘к 2 V 'Ч-З

► г

Рис. 5

г (г )

1,00

/V

г

магистраль

аппроксимац

:ия

-►г

Рис. 6

Рис. 7

Магистральное решение задачи устойчивого социо-эколого-экономического развития региона находится из достаточно простых соотношений и позволяет получить практически значимые выводы, поскольку исходные идеализирующие допущения достаточно хорошо отражают реальную ситуацию.

В частности ему соответствует важный критерий устойчивости развития региональной системы, который включает не только экономические, но и экологические и социальные параметры. В отличие от критерия, полученного в [1], где восстановительные и инновационные мощности принимались неограниченными, а учитывались только затраты на текущее функционирование соответствующих секторов,

г

в

к

г

0

здесь, как видно, он включает и инвестиционные параметры, а именно, коэффициенты фондообразующих затрат B z и Bv .

Стратегическая магистраль устойчивого развития находится при условии

c — к(Az, Bz )r(k) — pBSk — S(r),

исходя из заданного желаемого значения потребления с. Резервы для этого заключены в выборе k , S(r) и инновационном изменении Az (которые в описанной процедуре поиска магистрального решения из методических соображений не были учтены).

Рассмотренная здесь новая постановка задачи оптимального развития региона приводит к более сложному магистральному решению, чем в [1] с точки зрения его реализации. В отличие от [1] здесь получается магистраль не первой, а второй ступени.

Возможны различные способы аппроксимации магистрального решения. При практической реализации выбор способа аппроксимации будет зависеть от конкретных условий. В частности, можно синхронизировать переключения отдельных компонент за счет выбора величин управляющих воздействий; тогда выход на магистраль или переход на новую магистраль потребует всего двух моментов переключения вектора управления.

При ограниченных инвестициях как управляющих воздействиях магистральный характер решения сохраняется, но оно становится приближенным и в дальнейшем может быть использовано в качестве эффективного начального приближения в итерационной процедуре улучшения [5] для полной модели, представленной в разделе 2. Однако при этом переключения компонент не будут синхронизированы, и число точек переключения (в общем случае 2п, где n - размерность вектора k ) может быть достаточно большим. В таком случае для повышения эффективности итераций улучшаемый процесс целесообразно рассматривать как дискретно-непрерывный, где дискретными шагами служат моменты переключений, и применять соответствующие алгоритмы улучшения (например, [8, 9]) аналогично тому, как это делалось при практической реализации скользящих режимов [10].

Литература

1. Ухин М.Ю., Ачитуев С. А. Оптимизация стратегий развития региона на многокомпонентной модели // Автоматика и телемеханика. 2008. № 3. С. 178-189.

2. Гурман В.И., Рюмина Е.В. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона / под ред. В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. М.: Наука, 2001. - 175 с.

3. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

4. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и те-

лемеханика. 2003. № 3. С. 61-71.

5. Гурман В. И., Матвеев Г. А., Трушкова Е. А. Социо-эколого-экономическая модель региона в параллельных вычислениях // Управление большими системами. Выпуск 32. М.: ИПУ РАН, 2011. С. 109-130.

6. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1973. - 447 с.

7. Гусева И.С., Трушков В.В. Реализация магистральных решений высших порядков // Вестник БГУ. 2010.

№9. С. 29-34.

8. Гурман В.И., Расина И.В. Сложные процессы // Методы решения задач оптимального управления на основе принципа расширения. Новосибирск: Наука, 1990. С. 84-94.

9. Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов // Юбил. сб. научн. тр. к 10-летию СИПЭУ. Иркутск: УКИзд-во Макаров, 2004. С. 180-192.

10. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Ухин М.Ю. Улучшение управления, реализующего скользящий режим // Автоматика и телемеханика. 2008. № 3. С. 161-171.

Расина Ирина Викторовна, кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой математических и естественно-научных дисциплин Сибирской академии права, экономики и управления, тел. (3952)422869, e-mail: irinarasi-na@ gmail.com.

Блинов Александр Олегович, инженер-исследователь Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, тел. (48535)98094, e-mail: sarmat@pereslavl.ru

Гусева Ирина Сергеевна, студент магистратуры Восточно-Китайского педагогического университета, тел. (8621)13764974778, e-mail: ig 19@mail.ru

Rasina Irina Victorovna, candidate of physical and mathematical sciences, head of department of mathematical and natural sciences, Syberian Academy of Law, Economics and Management.

Blinov Alexander Olegovich, research engineer of Ailamazyan Program Systems Institute of RAS.

Guseva Irina Sergeevna, master degree student of East China Normal University.