CC BY
62
УДК 517.518.823
( Б. Болдсайхан, Т.Г. Дармаев, Б.В. Хабитуев, Ф.В. Хандаров МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЛЬСОВОЙ ВОЛНЫ ПО ХАОТИЧЕСКИМ РЯДАМ1
В работе рассматривается подход к моделированию пульсовой волны с использованием реконструкции обыкновенных дифференциальных уравнений по хаотическим рядам.
Ключевые слова: традиционная медицина; математическое моделирование; динамические системы.
В. Boldsaikhan, T.G. Darmaev, В. V Khabituev, F. V. Khandarov MODELING OF PULSE WAVE USING THE CHAOTIC SERIES
The paper deals with an approach to modeling of the pulse wave using ODE reconstruction for the chaotic series.
Key words: traditional medicine, mathematical modeling, dynamical systems.
1. Введение
В последнее время наблюдается тенденция развития медицины превентивного действия. Главной чертой методов западной медицины является то, что процесс постановки диагноза в ней происходит последовательно, а не параллельно, и поэтому требует длительного временного отрезка для обследования пациента. В связи с этим практический интерес представляет пульсовая диагностика, в частности, методы восточной медицины. Интерес к исследованию пульсовой волны вызван тем, что в ней закодирована информация о процессах, протекающих не только в сердце и кровеносной системе, но и в различных функциональных системах организма.
Большинство известных математических моделей кровотока основаны на «резервуарной» модели Отто Франка опубликованной в конце 19 века [1]. Развитие данной идеи привело к появлению ряда интересных работ [2,3], однако недостатком данных моделей является то, что эти модели являются довольно «общими» и сложно применимыми на практике.
Другой подход при моделировании кровотока заключается в использовании теории гидродинамики [4]. При использовании этого подхода возникает множество проблем: кровь сама по себе является не Ньютоновской жидкостью, течение крови происходит по сосудам и венам, нужно учитывать регуляционные функции организма и т.д. Отчасти ввиду этих причин большинство подобных моделей довольно сложны, и кроме того зачастую они применимы лишь при очень серьёзных ограничениях (например модель, описанная в работе [4] применима только для небольших участков вены).
В данной работе рассматривается способ построения динамической модели пульсовой волны по хаотическим рядам.
2. Построение динамической модели пульсовой волны по хаотическим рядам
Коллективом авторов была создана и внедрена информационная система диагностики функционального состояния организма человека [5]. Одной из заявленных возможностей системы является работа с различными медицинскими диагностическими аппаратами, в частности с аппаратами позволяющими регистрировать сигнал пульсовой волны [6]. В ходе внедрения системы авторами была создана и наполнена база показаний данных приборов.
Сигнал пульсовой волны представляет собой замеры показаний датчиков в нескольких точках. Таким образом, показания прибора можно рассматривать как временной векторный ряд, где каждый замер является вектором состояния объекта. В работах [7,8] рассматриваются подходы и основные проблемы построения динамических моделей по временным рядам.
Искомую модель представим в виде:
^- = F(x,t) at
где х - вектор состояния объекта.
Для определения функции F используем первые N значений вектора состояния. В таком случае
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-07-92202-Монг_а)
процедура построения модели необходимо решить следующие задачи:
[йЭД
- по временному ряду ) рассчитывается временной ряд
- подбирается функция і'їх.і). аппроксимирующая зависимости і . г'отх.
Первая задача решается путём численного дифференцирования, причём при наличии шумов необходимо использовать специальные методы.
Стандартным решением второй задачи является представление функции /■ в виде полинома К -той степени. Коэффициенты полинома вычисляются при помощи метода наименьших квадратов.
3. Модель пульсовой волны
При построении модели допущены следующие упрощения:
- рассматриваются только первые 3 компоненты вектора х (показания датчиков с левой руки);
3
- функция I1' ищется в виде: ~ | |(а/ + ) ;
7=1
- для определения коэффициентов функции Ррассматриваются первые 201 измерение.
Для расчёта коэффициентов искомой функции использован алгоритм основанный на нелинейной регрессии по методу наименьших квадратов с использованием метода Гаусса -Ньютона 19].
Исходный ряд представляет собой показания датчиков в точках Цон, Кан, Чаг за один сердечный цикл (рис. 1) [10]. На рисунке отчётливо видна фаза систолы (1 от 0 до 60) и фаза диастолы (1 от 60 до 200).
Наиболее удачные результаты были получены при следующем начальном приближении искомых коэффициентов: [1 1 0.5 0.5 0.5 0.5; 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5; 0.5 0.5 0.5 0.5 1 1].
Рис. 1. Показания датчиков в точках Цон.Кан.Чаг Значения коэффициентов полученной модели представлены в таблице 1.
Таблица 1
Значения коэффициентов модели
} а[1,]] Ь[1,]] а [2,]] Ь| 2-і | а [3,]] ь[»Л
1 1.0000 -1.0049 1.0156 0.0028 -3.2877 0.0043
2 0.5000 -0.9969 -0.3438 -0.0009 -11.8026 0.0165
3 0.5000 -0.9934 -0.8158 0.0006 1.1124 0.0029
Полученную систему дифференциальных уравнений достаточно сложно решить аналитически, кроме того, для оценки решения нам нужны лишь значения в расчётных точках. Система была проинтегрирована при помощи метода Рунге - Кутты четвёртого порядка с начальными условиями:
х(0) = - 300, у(0) =-407, г(0) = -150
Здесь х - первая координата вектора, у - вторая координата вектора, ъ - третья координата вектора.
Результаты численного интегрирования представлены ниже (рис. 2, рис. 3)
Рис. 2. Численное решение системы Сплошная линия - х(1/. штрих уи/. точки - г(0
Рис.З. Фазовый портрет системы
Большинство моделей полученных в ходе численных экспериментов достаточно хорошо моделируют фазу систолы. Однако, стоит отметить, что в целом полученные модели не показывают качественных улучшений по сравнению с другими моделями [1,3,4]. Кроме того, плохо моделируется фаза диастолы и в целом модель недостаточно хорошо аппроксимируют исходные данные. Эти проблемы возникли по ряду причин:
- в качестве исходного ряда был использован реальный сигнал, который представляет собой замеры пульса за один сердечный цикл;
- вид функции F(x, t);
- способ нахождения производной исходного ряда.
Таким образом, необходимо решить следующие задачи:
- фильтрация исходного сигнала, исходный сигнал является реальным, немодельным сигналом, кроме того, нас интересуют достаточно продолжительные реализации, содержащие от 200 сердечных циклов. Таким образом, необходима фильтрация начального сигнала;
- нахождение вида функции F(x,t). Если моделирование фазы систолы не составляет особого труда (большинством исследователей рассматривают её как экспоненту), то моделирование фазы диастолы - достаточно сложная задача. Вполне вероятно, что функцию F(x,t) нужно брать в достаточно сложном виде, задачу подбора вида функции можно решить в частности используя аппарат нейронных сетей при наличии достаточно продолжительных реализаций исходного сигнала;
- нахождение производной реального сигнала. Для поиска производной подобного сигнала необходимо использовать нестандартные методы аппроксимации [8].
Заключение
Моделирования процесса кровотока и пульсовой волны в частности - сложная задача. Большинство существующих моделей математически сложны и неудобны для применения на практике. В тоже время исследования подобных моделей важны для практики.
В работе рассматривается подход, к моделированию пульсовой волны основанный на методе реконструкции обыкновенных дифференциальных уравнений по хаотическим рядам. Приведены результаты тестирования подхода на реальных данных, рассмотрены основные проблемы и способы их решения.
Литература
1. Рашевски Н. Некоторые аспекты математической биологии. М.: Медицина, 1966. - С. 236.
2. Хабитуев Б.В., Цыбиков A.C. Модификация модели кровеносной системы Франка // Математика, ее приложения и математическое образование: III Всероссийская конф. с междунар. участием. - Улан-Удэ, 2008.-С. 365-373.
3. Кантор В.Я., Кунделев А.Ю. Применение моделей упругого резервуара при расчете параметров кровеносной системы // Проблемы машиностроения. - Харьков, 2002. - Т. 3. - С. 71-75.
4. Волобуев А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // Успехи физических наук. Российская академия наук. - 1995. - Т. 165, №2. - С. 177-187.
5. Информационная система функциональной диагностики с использованием методов тибетской и монгольской медицины / Т.Г. Дармаев и др. // Инфокоммуникационные образовательные технологии: модели, методы, средства, ресурсы: материалы II Байкальской межрегион. науч.-практ. конф. с междунар. участием (г. Улан-Удэ - с. Максимиха, оз. Байкал, 23-25 июня 2011 г.). - Улан-Удэ, 2011. - С.38-45.
6. Дудин С.А. Система диагностики и коррекции организма человека // Методы и алгоритмы принятия эффективных решений: сб. тр. Междунар. науч. конф. (ТТИЮФУ (ТРТУ)). Таганрог, 2009.
7. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Современные проблемы моделирования по временным рядам // Известия Саратовского университета. Сер. Физика. - Саратов, 2006. - С. 3-27.
8. Безручко Б.П. Моделирование по временным рядам в приложении к обработке сложных сигналов // Известия высших учебных заведений. Обзоры актуальных проблем нелинейной динамики. - Саратов, 2009. -Т. 17, №4. - С. 193-207.
9. Нелинейная регрессия по методу наименьших квадратов с использованием метода Гаусса-Ньютона: [Электронный ресурс]. URL: http://matlab.exponenta.ru/statist/book2/12/nlinfit.php
10. Чжуд-ши. Канон тибетской медицины / пер. с тиб. яз. Д.Б. Дашиева. - М.: Восточная литература РАН, 2001.-768 с.
Болдсайхан Бадамжав, д-р мед. наук, проф.; Монгольский университет науки и технологий; директор Центра системных исследований Монгольского университета науки и технологий; 210646, Улан-Батор, ул. БагаТойруу, 34; 99133579; e-mail: Bbld51@yahoo.com
Дармаев Тумэн Гомбоцыренович; канд. физ.-мат. наук; доц.; директор Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации; 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24 «а»; (3012)221215; e-mail: dtg@bsu.ru
Хабитуее Баир Викторович', инженер Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации; 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24 «а»; (3012)221215; e-mail: bairinc0@gmail.com
Хайдаров Фёдор Владимирович - научный сотрудник Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации; 670000, г.Улан-Удэ, ул. Смолина, 24 «а»; (3012)221215; e-mail: fhandar@rambler. га
Boldsaikhan Badamjav; Ph. D., Sc.D., M.D., prof.; Director of system science research center, Mongolian university of science and technology; 210646, Ulaanbaatar, Baga Toiruu 34; 99133579; e-mail: Bbld51@yahoo.com Darmaev Tumen Gombotsyrenovitch; Ph.D. in math; Associate Professor; Director of scientific and educational centre of system research and automatization; 670031, Ulan-Ude, ul. Smolina , 24 «а» ; (3012)221215; e-mail: dtg@bsu.ru
Khabituev Bair Victorovitch - Software Engineer of scientific and educational centre of system research and automatization; 670042, Ulan-Ude, Ulan-Ude, ul. Smolina, 24 «а»; (3012)221215; e-mail: bairinc0@gmail.com Khandarov Fedor Vladimirovitch - Research associate of scientific and educational centre of system research and automatization; 670000, Ulan-Ude, ul. Smolina, 24 «а»; (3012)221215; e-mail: fhandar@rambler.ru
