CC BY
83
УДК 51-76
doi: 10.18101/2304-5728-2017-1-78-85
АШМА-МОДЕЛЬ ПУЛЬСОВОГО СИГНАЛА
О Раднаев Базар Баирович
магистр Института математики и информатики Бурятский государственный университет Россия, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: bakumandiamond@gmail.com
© Цыбиков Анатолий Сергеевич
кандидат педагогических наук
заведующий кафедрой информационных технологий Бурятский государственный университет Россия, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: cas313@rambler.ru
© Хабитуев Баир Викторович
старший преподаватель кафедры информационных технологий Бурятский государственный университет Россия, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: bairincO@mail.ru
В статье рассматривается один из подходов моделирования пульсовой волны человека, представленного в виде временного ряда, по методологии Бокс-Дженкинса. Построена ARIMA-модель (модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего) сфигмограммы пульсовой волны лучевой артерии человека. Модели данного типа могут иметь практическое применение в области функциональной диагностики.
Ключевые слова: моделирование пульсовой волны, ARIMA, модель авторегрессии и скользящего среднего.
Введение
В течение многих лет, восточная медицина доказывала высокую эффективность в лечении различных хронических заболеваний. Наиболее перспективной областью в восточной биометрии считается математический анализ пульсового сигнала (сфигмограммы), как главного источника информации о функциональном состоянии организма человека [1].
Анализ и моделирование пульсового сигнала позволяет получить множество информативных параметров, интерпретируемых с точки зрения восточной медицины.
Рассмотренны известные попытки математического моделирования пульсовой волны такие как метод сплайн-аппроксимации, основанный на применении интерполирующих сплайнов разных порядков - кубических и локальных В-сплайнов, модель Акулова, представляющая собой
произведение экспоненциальной и тригонометрической функции с тремя параметрами, модель Самарского, основанная на законе сохранения энергии и импульса и др. Каждая из этих моделей и подходов имеют свои достоинства и недостатки, и все же остаются далеко не совершенными в виду сложности данного биофизического явления в организме человека [2].
Одним из перспективных подходов статистического моделирования пульсового сигнала, представленного в виде временного ряда, является применение методологии Бокс-Дженкинса (АММА-модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего) [3, 4, 5].
Математическое описание
Временной (динамический) ряд - последовательность наблюдений некоторого признака X в последовательные моменты /. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда и обозначаются хь (=1,..., п.
АЫМА-модель представляет собой синтез двух различных методов моделирования временного ряда: скользящего среднего и авторегрессии
[3].
Модель скользящего среднего с/-го порядкаМА(ф временного ряда X, имеет вид:
(!)
У=1
где г,1, - белый шум, bj - параметры модели. Модель содержит с/ / параметров (Ь1, Ь2, ..., Ьч, и о2), значения которых оценивается по принципу максимального правдоподобия.
Модель авторегрессии р-го порядка АЩр) временного ряда X, имеет несколько иной вид:
р
+ (2)
¿=1
где е( - белый шум, аг - параметры модели, с - константа. Модель содержит р+1 параметров (а;, а2, ..., ар, и а), значения которых, как правило, оценивается по методу наименьших квадратов.
Итак, объединенив две вышеуказанные модели получаем модель авторегрессии и скользящего среднего порядка (р, ф - АШЛА(р, ф:
+ ^ агХ(_г + £ ; + (3)
¿=1 }=\
которая содержит р+д+1 параметров.
В случае если наблюдаемый ряд Xt имеет признаки нестационарности (например, какие-либо детерминированные тренды - полиномиальный, линейный и т.д.), то модель не может является адекватной. Тем не менее в этом случае, некоторая разность наблюдаемого процесса порядка d, может оказаться стационарной: Ad X,. где А оператор разности, AX=XrXt_1 - разность первого порядка (аналог дифференцирования), Ad - последовательное взятие первой разности d раз. Теперь для описания полученного процесса Ad Xt уже можно эффективно применить ARMA - модель. В итоге, получили модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего порядка. При этом р - параметр AR-части, с! - степень интеграции, q - это параметр MA -части. A RIMA (р, d, q) (от английского — «AutoRegressive Integrated Moving Average»):
Л dXt=c + fjaiXt_i+fjb]8t_]+st (4)
i=1 j=1
Алгоритм построения
I этап. Идентификация параметров.
1. Установить порядок разности интеграции d, то есть добиться стационарности ряда, взяв достаточное количество последовательных разностей (X, X,- Xt_i). Порядок d устанавливается исходя из поведения автокорреляционной функции ряда.
2. К полученному стационарному ряду Yh подбираем ARMA(p,q). Исходя из поведения автокорреляционной и частной автокорреляционной функции, устанавливаем параметры р и q. Если ряд имеет сезонную составляющую с определенным периодом, в модель необходимо внести сезонную корректировку. Сезонные модели ARIMA являются обобщением обычных моделей ARIMA. Полная сезонная модель может быть представлена в виде A RIMA (p. d, q)(Ps, Ds, Qs) где к параметрам модели добавлены сезонные параметры: сезонный параметр авторегрессии - Ps, сезонная разность - Ds, сезонный параметр скользящего среднего - Qs.
II этап. Оценивание параметров.
С помощью специальных численных процедур по известным данным на данном этапе оцениваются коэффициенты а ¡. а2, ..., ар, h/, Ъ2, .... h4 и а при условии, что мы уж знаем р и q. Оценка значений параметров проводится на основе метода наименьших квадратов и принципа максимального правдоподобия.
III этап. Проверка адекватности модели.
Исходной информацией для анализа адекватности модели служат остатки (в данном случае остаточные ошибки - это предполагаемые значения st). Проверяем качество модели при помощи критерия AIC. Мы предполагали, что Et является белым шумом, поэтому, проверяем некоррелированность остатков.
Кроме того существуют более формализованные критерии, например, критерий предложенный Акаике AIC для модели ARMA(p,q) выглядит следующим образом:
AIC(p,q) = lncr2 + 2-
Т
(5)
ст2=-
RSS
T-p-c
где Т- число наблюдений, ДОЗ1- остаточная сумма квадратов.
Выбор подкласса моделей производится на основе сравнение показателей качества с различными значениями параметров р и д.
IV этап
Практическое применение модели. Анализ различных путей модификации модели, в том числе необходимости предобработки исходного сигнала.
Модель пульсового сигнала
Для реализации данного подхода на эмпирических данных выбран реальный пульсовой сигнал человека, полученного с помощью специального аппаратно-программного комплекса (рис.1.).
20 00 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4250 4500
Номера на&л.
Рис. 1. График сфигмограммы пульсовой сигнала
Идентификация и оценка параметров модели производится с применением программного пакета STATISTIC А 10. С помощью модуля «Time Series Analysis» производится оценка параметров модели по принципу максимального правдоподобия, качественный и количественный анализ
автокорреляционных и частных автокорреляционных функций, анализ остатков, критериальная и визуально-графическая оценка адекватности модели, а также прогнозирование. В результате проведенных расчетов и экспериментов в рамках методологии получено три класса моделей реальной пульсовой волны, отвечающих требованиям адекватности(Табл. 1).
Таблица 1.
Классы моделей и их характеристики качества
№ Модель А1С \¥
1 АММА(2, 1, 0)(1, 1, 0) 8,0334239058 0,87201 12165760
2 АММА(1, 1, 0)(1, 1, 0) 8,1158696188 0,86185 13211282
3 АММА(2, 0, 0)(1, 1, 0) 8,1996723144 0,87821 14639777
Исходя из количественных характеристик, анализа остатков (в т.ч. остаточной коррелограммы) и полученного прогноза определена модель под №1 с лагом 146 как наиболее адекватная среди рассматриваемых.
Итак, выбранная модель АШМА{2. 1, 0)(1, 1, 0) с оцененными параметрами приобретает следующую аналитическую форму:
=с + 1,33699646176872(А1Х,_1) - 0,5328006151115 (д1^) -
-0,52515 75 3 6913 316 ( А1 (146)Х,_2) +
А1С( 2,0) = 1п 12165760+2^- = 8,0334239058 у ' 9353-2 3953
Графики остатков и остаточной автокорреляционной функции приведены ниже (рис. 2, 3).
3000 3500
Номера на&л
Рис. 2. График остатков ARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)
Лаг Корр. СтОш
1 - 023 ,015 9
2 + 005 ,015 9
3 + 074 ,015 9
4 - ОБО ,0159
5 — 051 ,015 9
6 + 039 , 015 9
7 - 001 ,015 9
3 + 002 ,0159
9 - 041 , 015 9
10 - 051 ,015 9
11 - 0В2 ,015 9
12 + ООЗ , 0159
13 - 02 9 ,015 9
14 - 093 ,0159
15 - 004 ,015 9
16 + 005 ,0159
17 - 052 ,0159
ia — 05В , 015 9
19 - 035 ,0159
20 + ООЕ ,015 9
21 — 047 , 0159
22 02 6 ,0159
23 006 ,0159
24 - 04В ,015 9
25 + 033 ,0159
26 — 02 4 ,015Е
27 - 019 ,015В
2В ■+ 046 , 015Е
29 - ООЗ , 015 В
30 006 , 015Е
-1,0
Автокоррепяцион. функция
ПЕР1 : АРПСС (2,1.0X1,1,0} остатки :
(Стандартные ошибки - оценки белого шума)
О р 2,13 ,1443 2,23 ,3272 23,ва ,оооо 49,3В ,0000 59,54 ,0000 65,61 ,0ООО 65,61 ,0000 65,63 ,0000 72,30 ,0000 82,60 ,0000 109,3 ,0000
105.5 ,0000
112.6 ,0000 И«,7 0,000 146,В 0,000 1¿6,9 0,000 157,9 0,000
171.3 0,000 176,1 0,000 176, 4 0,000
135.1 0,000 137, S 0,000 133,0 0,000
197.2 0, 000 201,6 0,000 203, 9 0,000
205.4 0,000 213,7 0, 000 213,7 0,000 213, 9 0,000 О
___у
f
¡i
гп il
L
п
с:
г
i
__
_
__ -,
-0,5
0,0
0,5
1.0
— Дов. ингтере.
Рис. 3. Коррелограмма остатков ARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)
На основе полученной модели построен прогноз на два сердечных цикла пульсового сигнала (рис. 4). График прогноза считаем вполне удовлетворительным .
3500 3750 4000 -Наблкщ. - Прогноз -±90,0000%
Рис. 5. Прогноз АШМА(2, 1, 0)(1, 1, 0)
Заключение
Таким образом, в данной работе мы применили методологию Бокс-Дженкинса для моделирования дискретного пульсового сигнала человека. Построены адекватные модели АЫМА с применением пакета 8ТАТ18Т1СА 10. Получен прогноз на несколько реализаций сердечного цикла.
Дальнейшее логическое продолжение исследования носит экспериментальный характер. Необходимо выявление взаимосвязей полученных параметров с различными физиологическими состояниями и типологическими особенностями организма человека.
Литература
1. Бороноев В. В. Пульсовая диагностика заболеваний в тибетской медицине: физические и технические аспекты. — Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005. — 250 с.
2. Дармаев Т. Г., Цыбиков А. С., Хабитуев Б. В. Математическое моделирование пульсовых волн на основе теории солитонов и уравнения Кортевега Де Фриза // Вестник Бурятского государственного университета. — 2014. — Вып. 9(1).— С. 35 -39.
3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов прогноз и управление / Под ред. В. Ф. Писаренко. — Москва: Мир, 1974. — Кн. 1. — 406 с. — Кн. 2. — 197 с.
4. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Статистическое моделирование по временным рядам. — Учебно-методическое пособие. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. — 23 с.
5. Халафян А. А. Статистический анализ данных. — 3-е изд. — Москва: ООО «Бином-Пресс», 2007. — 512 с.
ARIMA-MODEL OF PULSE WAVE
Bazar B. Radnaev
Master, Institute of Mathematics and Informatics
Buryat State University
24a Smolina St., Ulan-Ude 670000, Russia
Anatoliy S. Tsybikov
Cand. Sci. (Education), Department of Information Technologies
Buryat State University
24a Smolina St., Ulan-Ude 670000, Russia
Bair V. Khabituev
Senior Lecturer, Department of Information Technologies
Buryat State University
24a Smolina St., Ulan-Ude 670000, Russia
The article deals with one of the approaches to human pulse wave modeling represented in the form of time series according to the Box-Jenkins method. We have constructed the ARIMA-model (autoregressive integrated moving average model) of the sphygmogram of human radial artery pulse wave. Models of this type may have practical application in the field of functional diagnostics. Keywords: pulse wave modeling, ARIMA, autoregressive integrated moving average model.
