CC BY
26
УДК 550.834
М.П. Кутовенко
ИНГГ СО РАН, Новосибирск
ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ РАССЕИВАЮЩИХ ОБЪЕКТОВ В ИСТИННЫХ АМПЛИТУДАХ ДЛЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ДАННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ
M.P. Kutovenko
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS (IPGG SB RAS)
Pr. Academika Koptyuga, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
GAUSSIAN BEAMS BASED TRUE-AMPLITUDE IMAGING: MULTI-COMPONENT SURFACE DATA
In the paper we propose true-amplitude imaging of the scatterers/reflectors places within a priori known macrovelocity model of some complex geological medium (the model which describes the travel time with the adequate accuracy grade).
This approach is based on the weighted summation of the initial (pre-stack) multicomponent seismic data. The true-amplitude weights are computed by means of tracing of specified Gaussian beams (GB). GB is an asymptotic solution of elastic wave equations. This solution is concentrated in the vicinity of P/S rays.
The presented approach is a natural development of the one described in the paper [1] for the environment, which is described by the elasticity theory equations and, in comparison with its scalar analogue, uses multi-component seismic data.
The results of the numerical experiment are presented in the paper.
Введение
Настоящая работа посвящена построению изображений отражающих/рассеивающих объектов изучаемой геологической среды для заданной скоростной модели, то есть для модели, с достаточной степенью точности описывающей времена пробега волн. В настоящее время существует множество подходов для построения волновых изображений. Все их можно разделить на два основных семейства - кинематические и динамические. В настоящей работе мы будем иметь дело с динамическим подходом, причем нас будут интересовать процедуры построения изображений в истинных амплитудах, то есть такие, при реализации которых строятся изображения, свободные от влияния вышележащей толщи и системы возбуждения и регистрации (условия освещения). Наиболее распространенные подходы для построения таких изображений берут свое начало от работ [2, 3] и основаны на применении различных видов асимптотического разложения функции Грина в неоднородной среде. Вплоть до настоящего времени наиболее распространенным является использование нулевого члена лучевого разложения, которое верно только для регулярного поля лучей. Миграционная процедура, свободная от этого недостатка предложена в работе [4] и опирается на представление функции Грина в виде суперпозиции гауссовых пучков [5, 6]. Однако этот подход связан с
проведением чрезвычайно громоздких вычислений и не известны его реализации, обеспечивающие построение изображений в истинных амплитудах.
В работе [1] предлагается процедура построения изображений в истинных амплитудах, существенно отличающаяся от всех остальных в первую очередь потому, что она не опирается ни на какое асимптотическое разложение функции Грина и предусматривает использование отдельных Гауссовых пучков, а не их суперпозиции. Замечательным фактом при этом оказалась и возможность получения с помощью этих же Гауссовых пучков так называемых «селективных» изображений. Селективные изображения -это такие изображения среды, на которых представлены только лишь определенным образом расположенные (наклоненные) в пространстве отражающие объекты. Они несут в себе чрезвычайно полезную информацию при изучении распределения в среде различного рода сингулярных объектов, таких как разломы, зоны повышенной трещиноватости и другие.
Однако, алгоритм, предложенный в работе [1], основывается на модели, в которой процессы распространения волн описываются волновым уравнением, тогда как реальные среды устроены гораздо сложнее. Безусловно, более близкой к реальным средам является упругая изотропная среда. Поэтому целью данной работы является развитие подхода, описанного в работе [1], на случай упругих изотропных сред, и создание на этой основе алгоритма обработки многокомпонентных сейсмических данных многократного перекрытия, обеспечивающего достоверное восстановление расположения и контрастности отражающих/рассеивающих объектов, помещенных в макроскоростную модель сколь угодно сложного строения.
Постановка задачи
Рассматривается полуплоскость ъ > 0 заполненная неоднородной упругой средой с параметрами Ламе
л(х,г) = Ло(х,г) + л ^(х,г), М^Х2) = Цо(х,г) + и плотностью
Р(х,2)=ро(х,2) + р1(х,г),
представленными в виде суперпозиции параметров плавной скоростной модели и ее резко меняющегося возмущения. Для описания процессов отражения/рассеяния, происходящих на этой составляющей скоростного строения будем использовать Борновское приближение (приближение однократного рассеяния). При этом полное волновое поле представляется в виде суммы двух компонент:
и(х, г; х8, г8; со) = ид (х, х8, г8; со) + (х, г; х8, г8; со),
где и о есть волновое поле, распространяющееся в среде, описываемой гладкой составляющей, а щ порождено наличием отражающих/рассеивающих объектов.
Однократно рассеянное волновое поле представляется интегральным выражением:
и 1 (х,х; ^, л; со) | |0(х,х; ^, г|; со) • Ь^ио(х,х; ^, л; со))^ёг|, я;
Здесь
^ л”- л д ( (5иох <5Ц
Я ( Ли
ь^й°^=&1х-'с1‘уП+2^
V д г
дх
Рь 1
^(ио) =— ^;сЦуи + 2|а;—— ^ и/г Эг^ -1 П дх
дъ
\ — дх
&
1Ох
Ох
V V
^ ^дип^ дп
дх
Ох
2
; )
\\
+ РjЮ 11()х ,
V V
дъ
дх
+ р]СО и02,
для значений индекса] = 0,1.
Через О(х,г;^,г|;со) обозначена матрица Грина, удовлетворяющая следующей краевой задаче:
Ь0(О) = 1-8(х-5)-8(2-л)
Тй<О)|2=0=0;+К.С.
Считается, что на поверхности ъ = 0 зарегистрированы однократно рассеянные волновые поля для набора источников типа горизонтальной и вертикальной сосредоточенной силы. Эти данные будут представлены в виде
двумерной матрицы Ф(хг,х8;со) = (фу,ф^). Задача заключается в определении по этим данным либо сами функции щ, р |, либо их некоторых комбинаций.
Описание метода и формулировка основного результата
Для построения изображения в некоторой текущей точке (х^^),
расположенной в целевой области, выпустим из нее пару продольных лучей в направлении дневной поверхности. Для каждого из этих лучей построим по
Гауссову пучку и^Ь^(х,2;х,:г;хо&8;со), где (х0ё,0) и (х0з,0) задают
координаты точек, в которых вышеупомянутые лучи пересекают свободную поверхность. Напомним, что Гауссов пучок - специальное асимптотическое решение уравнений динамической теории упругости, характеризующееся сосредоточенностью в окрестности фиксированного луча и глобальной регулярностью. Двойное применение теоремы Грина позволяет получить следующее интегральное тождество:
Х52 Хг2
} } Т|Ы(хг;со)Т -Ф(хг;х8;со)-Т|Ь2(х8;со)Тс1хгс1х8 =
I иёЬ1(^'п;хь2ьх0г;со)-Ь1/йёЬ2(^,Г1;х1,2Ьх08;со)\(1^(1г1; я;
(1)
Цы (х; ХА, г-х; х0, со) = ТЙ (и§Ь (х; хА, ъ-х, х0г; со)];
где Тп (и
= Ы1уй + 2(1^1^, 2=0 г Эх
х
^=0
<3их <3и,
дх дх
х51 хп
х
Опишем теперь выбор Гауссовых пучков, используемых в соотношении (1). Как известно, продольный Гауссов пучок в лучевой системе координат (в, д) задается в следующем виде:
Po(so,0)vp(so,0)QP(so)
Ро<А°>р<Л°^Р(Ю
ехр 1^тр(б) ЄХр|~Гр(б)я
Ниже будем считать, что длина луча отсчитывается от свободной поверхности вглубь среды и в интересующей нас точке (х^,х^) равна 50.
-1
Далее, Гр(8) = Р(8)рОр (б), где функции С)р(8) и Рр(8) удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
аор
Э2уР
2 Л 2
у0р (5,0) 9ч
я
=оО
р
РР(80) = Р?
РР(в0) = Р0Р
'0 А и дополнительному условию
ОР(80)РР(8°)-РР(Б0«Р(Б°)
.к 1 —
со
с безразмерной постоянной к, управляющей шириной Гауссова пучка.
Во всех дальнейших рассмотрениях начальные данные 0Р и Рр выбираются
таким образом, чтобы обеспечить минимальную ширину пучка именно в той точке, в которой и строится изображение.
Теперь, воспользовавшись сосредоточенностью Гауссовых пучков в узкой окрестности луча, можно свести интегрирование в правой части соотношения (1) по некоторой достаточно малой окрестности точки (х^,х^). В итоге получаем тождество, определяющее «изображение в истинных амплитудах»:
Х52Хг2
1 1 Т|Ь1(хг;ю)Т -Ф(хг;х8;со)-Т|Ь2(х8;сй)Тсіхгсіх8 =
х , х ,
БІ ГІ
= ю • Р(со) | I
V(xl,zl)
ф|Ь1-ф?2
(ІЦ +2\іі со82(2|3) + ур рі со8(2|3))
V
где и§Ьі = їі -ф§Ьі, і= 1,2.
Интегральное уравнение, которое нужно разрешить, получилось абсолютно такое же, как и в скалярном случае, рассмотренном в работе [1]. Следуя изложенному в ней алгоритму, мы восстанавливаем функцию:
2
1
2
Яр =
+2|И1 со82(2Р) +Р1 со8(2|3)
2' уо
В частности, при (3 = 0 эта функция равна импедансу продольной волны:
к(3 = !р1 =
2'у0
Численный эксперимент
Для проведения тестового расчета использовалась модель однородного упругого полупространства, характеризующегося скоростями продольных и поперечных волн равными соответственно 3 865.47 м/с, 1 364.89 м/с и
-5
плотностью 4204г/м . Система наблюдения поверхностная. Количество источников 35, расположение: начиная с точки 200м с шагом 25 м. Количество приемников 70, расположение: начиная с точки 200 м с шагом 50 м.
На рис. 1 справа представлено истинное строение среды, слева результат применения процедуры построения изображений.
Результирующее изображение является суммой изображений для лучей, выходящих из точек наблюдения под углами от -30 до 30 градусов с осью OZ с шагом 10 градусов. Расположение границы восстановлено верно, близко расположенные точечные рассеиватели разделены.
Рис. 1
1. Протасов, М.И. Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах/ М.И. Протасов, В.А. Чеверда // Докл. РАН. - 2006. - Т. 407(4). - C. 441-446.
2. Beylkin, G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem of a casual generalized Radon transform/ G. Beylkin// J. Math. Phys. - 1985. - V. 26(l). - PP. 99-108.
3. Bleistein, N. On the imaging of reflectors in the earth/ N. Bleistein // Geophysics. -1987. - V. 52. - PP. 931-942.
4. Hill, N.R. Prestack Gaussian-beam depth migration/ N.R. Hill // Geophysics. - 2001. -V. 66(4). - PP. 1240-1250.
5. Popov, M.M. A new method of computation of wave fields using Gaussian beams / M.M. Popov // Wave motion. - 1982. - V. 4. - PP. 85-97.
6. Cerveny, V. Computation of wave fields in inhomogeneous media. Gaussian beam approach / V. Cerveny, M.M. Popov, I. Psencik // Geoph. J. R. Astr. Soc. -1982. - V. 70. - PP. 109-128.
© М.П. Кутовенко, 2008
