Построение изображений рассеивающих объектов в истинных амплитудах по многокомпонентным поверхностным данным при помощи Гауссовых пучков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 550.834

М.П. Кутовенко, М.И. Протасов, Д.М. Вишневский ИНГГ СО РАН, Новосибирск

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ РАССЕИВАЮЩИХ ОБЪЕКТОВ В ИСТИННЫХ АМПЛИТУДАХ ПО МНОГОКОМПОНЕНТНЫМ ПОВЕРХНОСТНЫМ ДАННЫМ ПРИ ПОМОЩИ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ

В статье предлагается метод построения отражающих\рассеивающих объектов внутри априори известной макроскоростной модели (модели, которая с необходимой точностью описывает времена пробега волн) сложной геологической среды.

Подход основан на взвешенном суммировании многокомпонентных сейсмических данных. Веса вычисляются с помощью специальным образом протрассированных в сторону системы наблюдения Гауссовых пучков (ГП). ГП - это асимптотическое решение системы уравнений динамической теории упругости. Такое решение сосредоточено в окрестности P/S луча и экспоненциально убывает при удалении от него.

Представленная работа - естественное распространение работы [1] на случай упругой изотропной модели среды.

Приведены и прокомментированы результаты численных экспериментов.

M.P. Kutovenko, M.I. Protasov, D.M. Vishnevskiy

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS (IPGG)

Acad. Koptyug av. 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation

GAUSSIAN BEAMS BASED TRUE-AMPLITUDE IMAGING: MULTI-COMPONENT SURFACE DATA

In the paper we propose true-amplitude imaging of the scatterers/reflectors within a priori known macrovelocity model of some complex geological medium (the model which describes the travel time with the adequate accuracy grade).

This approach is based on the weighted summation of the multi-component seismic data. The true-amplitude weights are computed by means of specified Gaussian beams (GB). GB is an asymptotic solution of elastic wave equations. This solution is concentrated in the vicinity of P/S rays.

The presented approach is a natural extension of the one described in the paper [1]. This method is developed in the framework of elasticity and therefore it handles multi-component seismic data.

The results of the numerical experiment are presented and discussed.

Введение:

Настоящая работа посвящена построению изображений отражающих/рассеивающих объектов изучаемой геологической среды для заданной макро модели среды, то есть для модели, с достаточной степенью точности описывающей времена пробега волн. Более того мы будем иметь дело с динамическим подходом, причем нас будет интересовать процедура построения изображений в истинных амплитудах, то есть позволяющая получать изображения, которые количественно описывают параметры среды.

Алгоритм, предложенный в работе [1], основывается на модели, в которой процессы распространения волн описываются волновым

уравнением, тогда как реальные среды устроены гораздо сложнее. Безусловно, более близкой к реальным средам является упругая изотропная среда. Поэтому целью данной работы является развитие подхода, описанного в работе [1], на случай упругих изотропных сред и создание алгоритма обработки многокомпонентных сейсмических данных многократного перекрытия, полученных от источников типа «центра давления», обеспечивающего достоверное восстановление расположения и контрастности отражающих/рассеивающих объектов, помещенных в макроскоростную модель сколь угодно сложного строения.

Постановка задачи:

Рассматривается полуплоскость R^{x,z -.z> 0) заполненная

неоднородной упругой средой с параметрами Ламе:

X(x,z) = Aq (x,z) + /,| (x,z) , H(x,z) = juq(x,z) + //1 (x, z) и плотностью

p(x,z) = Pq(x,z) + P\(x,Z) ,

представленными в виде суперпозиции параметров гладкой модели среды и ее резко меняющегося возмущения. В Борновском приближении полное волновое поле представляется в виде суммы нисходящего (incident) и восходящего отраженного\рассеяного (reflected) волновых полей:

и{х, z; xs,zs,co) = u^in^ {х, z; xs,zs',co) + {x, z; xs,zs\ со)

- (in)

где мv 7 есть волновое поле, распространяющееся в среде,

- - - (ref)

описываемой гладкой составляющей, а м порождено наличием

отражающих/ рассеивающих объектов.

Волновое поле в Борновском приближении представляется

интегральным выражением:

u^re^\xr,zr;xs,zs;co)= JJ T(xr , zr ; V, x s , z s ;co) > d^d?l

Ri

(1)

здесь Li оператор динамической теории упругости, соответствующий неизвестным параметрам среды, а Г(х, z;^,rj;(D) - матрица Грина,

удовлетворяющая следующей задаче:

L0(T(x,z;^,?l;O))) = / • ё(х - £) • S(z ~ V) (2)

+ Условие излучения здесь I - единичная матрица размерности 2x2, L 0 оператор динамической теории упругости, коэффициенты которого - известные параметры макро модели.

Считается, что на линии z = zr зарегистрированы однократно рассеянные волновые поля для источников типа «центра давления». Будем также предполагать, что параметр Ламе n(x,z) =0 в некотором приповерхностном слое, что, в частности, верно в случае регистрации данных на море. Задача заключается в определении по этим данным либо

самих функции /.\(x,z) , H\(x,z) , P\(x,z) либо их некоторых комбинаций в предположении, что макро скоростная модель: 1q(x,z) , jUq(x,z) , P(/x,z) известна.

Описание метода и формулировка основного результата;

Для построения изображения в некоторой текущей точке (Xj, Zj) ,

расположенной в целевой области, выпустим из нее продольный упругий

Гауссов пучок йpb (x,z;xi,zi;a,/3,co) в

сторону системы наблюдения и вычислим от него нормальную к линии приемников (г - receivers) производную:

Рис. 1. Геометрия алгоритма.

ди pb (х, z; Xj,Zj;a,fl; со)

д2

= Т%Ъ (х, zr; Xj, Zj; а, /?; fi>);

(3)

z=z,.

Затем проинтегрируем по координате приемника произведение производной (3) и матрицы Грина (2). В однородной упругой среде, используя метод перевала, показано, что:

Хг 2

- -ЕЬ

I Г(дтг,гг;#,?7;о)-Г^ (xr , zr ; Xj, zf \а,Р\со )dx

Xr1

1 77 gb

и* (¿f, rj\ Xj, Zj; a, /?;со)

2 Л(л

(4)

Ввиду локальности Гауссовых пучков тождество (4) в первом приближении, на высоких частотах верно в неоднородной среде.

Теперь, из точки (xj, zj) выпустим скалярный Гауссов пучок

ФрЬ (х, z;xt, zi;a, /3;со) в направлении системы наблюдения и вычислим от него нормальную к линии источников (s - sources) производную:

= wf{x,Ts,Xj,Zj-,aJ-,co)

дф%Ь (х, z; Xj, Zj; ot, P\со)

д

z

(5)

Z=z„

и проинтегрируем по координате источника произведение производной (5) и функции падающего волнового поля - й(,п)(х,г;хх,г/,со). в этом случае, переходя к потенциалам, и используя теорему Грина можно получить равенство:

r

1

(6)

Теперь умножим обе части интеграла однократного рассеяния (1) на производные (3), (5) и проинтегрируем по координатам источников и приемников. Принимая во внимание вспомогательные утверждения (4), (6), и следуя работе (Протасов, Чеверда, 2006), получаем тождество, определяющее «изображение в истинных амплитудах»:

а2 ^2 /-> 2 П

гг 2 cos р

Jda Je^{-/®[r(xi.,zi.;x0i.) + r(xi.,zi.;x0J]}-----;--dco ■

где в правой части стоит суперпозиция прямого и «почти обратного» преобразований Фурье от функции:

В результате, получена функция, которая является искомой комбинацией возмущенных параметров среды.

Численный эксперимент

Численный эксперимент был выполнен для упругой скоростной модели North See. Синтетические данные, используемые в эксперименте, были получены конечно-разностным моделированием, доминирующая частота импульса Рикера в источниках - 40 Гц.

Использовалась следующая система наблюдений: 81 источник с шагом 50 м, начиная с точки x = 127.5 м, 161 приемник с шагом 25 м, начиная с точки x = 127.5 м, глубина линий возбуждения и приема 10 м. Время регистрации 3.1 сек., шаг дискретизации по времени 1 мс. Шаг сетки, на которой восстанавливаются параметры среды -5 м, угол раствора Р был взят

равным 0, а угол ос принимал значения: - 25°: 5°: 25°. Эти углы были выбраны на основе предварительной трассировки лучей. На Рис.2. представлен результат применения описанного алгоритма к данным в сравнении с истинным распределением скорости в модели.

Лу + 2Mi cos2 (2/?) + (Vq )2 Р\с os(2/?)

(10)

1800 „ 2000 оз 2200

X

^ 2400 2600 2800

1800

„ 2000

03 2200

X

^ 2400 2600 2800

Рис. 2. Сверху истинное распределение скорости P-волны в модели, снизу

восстановленная функция R

Заключение

Представленный метод основан на процедуре, сохраняющей истинные амплитуды, и применим так же в случае, если поле лучей содержит каустики и фокальные точки. Стоит отметить, что использование P-пучков дает возможность обрабатывать полное волновое поле без предварительного разделения на P и S волны. Подобная же методика может быть применена и к S-пучкам, для получения PS изображения. Несмотря на то, что рассуждения относятся к случаю регистрации данных в воде, метод может быть адаптирован к случаю обработки данных, зарегистрированных на дне.

Благодарности

Исследование выполнено совместно с московским исследовательским центром компании Schlumberger при частичной поддержке грантов РФФИ

№ 08-05-00265, 10-01-92604, 10-05-00233, 10-05-00337. Автор выражает благодарность компании StatoilHydro за разрешение использовать скоростную модель North See для численных экспериментов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Протасов, М.И., В.А. Чеверда Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах // Докл. РАН. - 2006. - Т. 407(4). - C. 441-446.

2. Beylkin, G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem of a casual generalized Radon transform/ G. Beylkin// J. Math. Phys. - 1985. - V. 26(l). - PP. 99-108.

3. Bleistein, N. On the imaging of reflectors in the earth/ N. Bleistein // Geophysics. -1987. - V. 52. - PP. 931-942.

2. Hill, N.R. Prestack Gaussian-beam depth migration/ N.R. Hill // Geophysics. - 2001. -V. 66(4). - PP. 1240-1250.

1500 2000 2500 3000 3500 4000

Вынос (м)

1500 2000 2500 3000 3500 4000

Вынос (м)

© М.П. Кутовенко, М.И. Протасов, Д.М. Вишневский, 2010