Постановка задачи управления надежностью сложных технических систем и ее некорректность Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков В.К., Масоди Д.А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТЬЮ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ЕЕ НЕКОРРЕКТНОСТЬ

Работа выполнена по гранту 08-08-00086-а

В статье рассматриваются причины некорректности постановки задачи управления надежностью на основе косвенного метода прогнозирования показателей надежности.

Задача управления надежностью сложных технических систем или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности сложных систем, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием сложных технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.

В математической модели задачи управления надежностью заданными являются классы функций, описывающих законы изменения характеристик надежности, и характеристики условий применения уникальных объектов, а искомыми являются требуемые законы распределения характеристик технического качества.

Под управлением надежностью понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности.

Математической моделью задачи управления надежностью, как установлено в работах, посвященных косвенным методам прогнозирования надежности [1], является система интегральных уравнений Фредгольма 1го рода. Это уравнения связи между характеристиками комплекса испытаний и показателями надежности

Р„(«)= | КЛ^„(х)^(х), (1)

да

Кп{п) = | РПи(х)(ЛР*0), (2 )

где р_(я) - распределение вероятности отказа по числу испытаний;

/2-(и) ~ функция надежности (дополнительная функция распределения времени безотказной работы) ;

и - случайное наибольшее значение нагрузки в одном испытании при стационарном (в стохастическом смысле) процессе нагружения;

х - случайная величина сопротивляемости, необратимые изменения которой в процессе испытаний не учитываются;

р ~(х) и р .(х) ~ соответственно: функция распределения наибольшего значения нагрузки в одном испытании и функция распределения сопротивляемости;

- функция распределения наибольшего значения нагрузки после п испытаний;

п - число испытаний в серии.

Функция ^(*) (функция распределения случайной величины х ) считается непрерывной. Тогда

х

Рх(Х)= I

—да

и уравнение (1) запишется в виде

да

Р„(п)= |

—да

где функция есть плотность функции распределения случайной величины X .

Функцию Р„{п) можно содержательно интерпретировать как фазовую траекторию системы в координатах

время-надежность. Функция ф „{х) есть, в этом случае, управление, определяющее необходимый закон изменения технических характеристик системы, позволяющий получить требуемый закон изменения надежности Р~(р) • Управляемыми параметрами системы являются способы агрегирования подсистем, технические характеристики отдельных элементов, методы контроля качества и т. д.

В данной работе принято допущение, что функция распределения наибольшего значения нагрузки после п испытаний .Рй(лг) подчиняется закону экстремальных распределений и имеет вид:

F¡(x) = exp\-exp

о! п

-В\ х— цл----

Ч Р

где Ц и р - параметры распределения.

Функция надежности записывается в виде:

Яд(Х) = 1 -ЛОО = 1 - ехр{-ехр[-/? (Ж-//)]}.

Уравнение (1) записывается в «стандартной» форме

р„(п)= | К(х,п)фх(х)ск,

(3)

где К (х, п) = ехр ■< — ехр

-р\х—^+іпп

(і — ехр {-ехр [—р (х — ^)]})

ядро интегрального уравнения.

Из физического смысла задачи следует, что функции №) и ф Xх) принадлежат классу Ь2 , т. е. классу функций с интегрируемым квадратом модуля на соответствующем интервале. Это означает, что данные функции принадлежат гильбертову пространству —(—^,^) .

Параметры распределения Ц и р определяются статистическим путем на основе анализа экспериментально полученных данных и, следовательно, являются неточными. Неточность связана как с погрешностью измерений, так и погрешностью, возникающей при статистической обработке данных.

Функция Рп (п) , задаваемая исходя из требований к надежности проектируемой системы, также является неточной. Это объясняется тем, что реальное распределение отказов не может абсолютно точно соответствовать теоретической функции распределения. Поэтому правильнее задавать класс функций распределения, удовлетворяющих определенным ограничениям. Это усложняет задачу, но зато более адекватно отражает ее физическую сущность.

Данная задача относится к классу обратных задач математической теории надежности. Обратные задачи являются некорректными, т. е. их решения неустойчивы к изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач [2].

Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.

Исходные данные задачи управления надежностью, получаемые обычно в результате статистических измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении приближенных решений и при оценке их погрешностей, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.

Основы теории решения некорректных задач заложили академики А.Н. Тихонов, М.А. Лаврентьев и их последователи.

К настоящему времени разработано большое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике.

Определение [3]. Задачу Ах = у (4)

называют корректной по Тихонову на множестве Меи, а само множество М называют ее множеством (классом) корректности, если:

1) точное решение задачи существует и принадлежит множеству МеХ, т. е. уеЫ=ЛМ;

2) решение единственно на множестве М, т. е. оператор обратим на множестве М;

3) существует непрерывная зависимость решения х от правой части у, когда вариации у не выводят решение за пределы множества М, т. е. оператор а_1 непрерывен в относительной топологии множества N.

При решении уравнения типа (4) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, у} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {АЬг у§\, аппроксимирующую в выбранной топологии пару {А, у}.

Определение [4] . Пусть (X, г) (У, р) - метрические пространства, а оператор А взаимно однозначен.

Параметрическое семейство определенных на всем пространстве У многозначных отображений {Яа: У^Х}

называется регуляризатором (регуляризиующим оператором или алгоритмом) задачи (1.1) на множестве Б е Х, а Б называется множеством регуляризируемости, если для всякого числа г > 0 существует 5 > 0 и

значение параметра а=а(5) такие, что при любых элементах уд е А(Р п Д(А)) (Б(А) - область определения

оператора А) и у5е У, ^(У о, УР <3 , для произвольного элемента х е Р^^у будет справедливо неравенство г (хА 1 у 0) <6. Иными словами, существует возможность выбрать значение параметра а(3) независимо от элемента у ^ е А(Р п ^(А)) таким образом, чтобы множества Ра(3) сходились к точке А^У при

3^о.

В настоящий момент разработано большое число методов решения широкого класса некорректных задач [4]. Существующие методы решения некорректных задач основаны, как правило, на численных методах поиска решений и отличаются громоздкостью, что затрудняет применение данных методов на практике, в частности, в задаче управления надежностью.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода [5], являющееся математической моделью задачи управления надежностью: ь

|К(х,^)г(5) = и(х), с < х < Л, (5)

а

где z(s) - искомая функция из пространства Г , и(х) - заданная функция из пространства V ,

К (х, s) - ядро интегрального уравнения [5].

Пространства Г и V , в большом числе практически важных задач, принадлежат классу гильбертовых

пространств £ , т. е. классу функций интегрируемых с квадратом модуля на соответствующем интервале.

Данное уравнение является классической некорректной задачей, т. е. бесконечно малым изменениям правой части и(х) могут соответствовать произвольно большие изменения решения z(s) .

Некорректность задачи решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, т.е. неустойчивость решения, усугубляется в случае приближенно известных исходных данных: правой части и( х) и ядра интегрального оператора К (х, s) . В этом случае задача становится «существенно некорректной» [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Дедков В.К. Обратная задача теории надежности. - М.: ВЦ РАН, 2004.

2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,

1979. Изд. 2-е.

3. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмиче-

ский аспект. - М.: Изд-во МГУ, 1992.

4. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1979.

5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. - Мн.: Наука и техника, 1984.

6. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1979.