CC BY
103
Дедков В.К., Масоди Д. А. УСЛОВИЯ НЕКОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Статья посвящена постановке некоторых актуальных некорректных задач в линейных пространствах.
Под некорректными (неустойчивыми) задачами обычно понимаются задачи, в которых малые возмущения исходных данных могут вызвать большие изменения результатов. В течение долгого времени считалось, что эти задачи не имеют практического значения и их теория не может привести к содержательным математическим результатам. Такое мнение было распространено даже после работы А. Н. Тихонова 1943 г., в которой впервые была указана практическая важность подобных задач и возможность их устойчивого решения. В конце пятидесятых, и особенно в начале шестидесятых годов, появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привлекли к ней внимание многих математиков.
Основным объектом исследования теории некорректных задач являются операторные уравнения первого рода
Ли=£ (1)
в линейных нормированных пространствах и (иеи) и Г (£еГ)г А - заданное отображение (оператор), действующий из и в Г (в общем случае и и Г есть произвольные топологические пространства).
Трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны, главным образом, с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В этих условиях обычные методы, используемые для приближенного решения корректных задач, оказываются, как правило, непригодными.
Широкий класс задач физики и техники может быть описан в абстрактной форме уравнением (1) с вполне непрерывным, в частности интегральным оператором А, где и - искомый элемент. Уравнения такого вида возникают, например, при исследовании так называемых обратных задач, когда исходя из некоторых характеристик физического поля необходимо восстановить характеристики самой среды, которая порождает это поле.
Естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, £} известны нам лишь приближен-
но, т. е. в действительности считать известной пару {Аъ, fs}, аппроксимирующую в выбранной топологии пару {А, f}. Ошибки можно интерпретировать, например, как неадекватность идеализированной математической модели (1) и описываемой ею физической реальности; кроме того, погрешность может возникнуть как за счет ошибок измерения исходных данных, так и за счет построения приближенной модели для уравнения (1) с целью проведения численных расчетов.
Основная задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным [Аъ, £#}
такой последовательности приближенных решений иъ, $, которая сходится в пространстве и к точному решению
и уравнения (1) при условии сходимости исходных данных {Аъ, fs}^■{А, £}.
В начале ХХ века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия, которым должна
удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия корректности по Адамару [1] и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (1) условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:
1) для любого feF существует элемент иеи такой, что Au=f, т. е. область значений оператора К(Л)=Г (существование);
2) элементом f решение и определяется однозначно, т. е. существует обратный оператор А-1 (единственность);
3) имеет место непрерывная зависимость и от f, т. е. обратный оператор А-1 непрерывен (устойчивость).
При выполнении этих условий задача (1) называется корректно поставленной (корректной) (по Адамару).
Задачи рассматриваемые в классической математической физике (задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Коши для уравнений теплопроводности и волнового уравнения), удовлетворяют условиям корректности Адамара при естественном выборе пространств и, Г. Поэтому было высказано мнение, нашедшее широкое распространение в литературе [1, 6], что задачи, не удовлетворяющие условиям 1)-3) и называемые некорректно поставленными задачами, лишены физического смысла и в принципе не могут быть решены. Мотивировалось это тем, что при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности (неизбежные при численном решении (1)) исходных данных (например, правой части f) могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении и, следовательно, приближенное решение, полученное как решение уравнения Au=fs , лишено разумного смысла и практической ценности. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений в геофизике, гидродинамике, спектроскопии, т. е. «корректно поставленные задачи - это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления» [4].
Важно отметить, что устойчивость (свойство 3)) задачи (1) зависит от выбранных топологий в и и Г и, вообще говоря, подходящим выбором топологий (например, наделив Г сильнейшей топологией) можно добиться непрерывности оператора А-1. Но это будет лишь формальным преодолением трудности, так как обычно топологии навязываются нам постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.
Таким образом, если не изменить постановку неустойчивых задач, то обычные методы, применяемые для
решения корректных задач, оказываются, естественно, непригодными для решения некорректных, так как
сколь бы малой не была погрешность исходных данных, нельзя быть уверенным в малости погрешности решения. Поэтому потребности практики в решении некорректных задач привели к необходимости пересмотреть классическое понятие корректности и выработать более широкий и приспособленный к реальным нуждам подход. Начало этому было положено в 1943 г. А. Н. Тихоновым [7].
Обозначим образ множества Меи в пространстве Г при отображении А через Ы=ЛМ.
Задачу (1) называют корректной по Тихонову [8] на множестве Меи, а само множество М называют ее множеством (классом) корректности, если:
1) точное решение задачи существует и принадлежит множеству Меи, т. е. feN=AM;
2) решение единственно на множестве М, т. е. оператор обратим на множестве М;
3) существует непрерывная зависимость решения и от правой части f, когда вариации f не выводят решение за пределы множества М, т. е. оператор А-1 непрерывен в относительной топологии множества N.
Проанализируем сформулированные требования 1) - 3). В отличие от корректных по Адамару постановок
задач, где первое условие устанавливается теоремой существования, в рассматриваемой ситуации обычно трудно указать в замкнутом виде условия того, чтобы множество М было множеством существования. Вопрос о разрешимости на заданном множестве М конкретных прикладных задач обычно решается на основе физических соображений. Это обстоятельство и объясняет разумность условия 1). Что касается условия 2), то его отличие от соответствующего условия Адамара в том, что обратимость оператора требуется лишь на множестве М.
В условии 3) непрерывная зависимость обратного оператора предполагается только на множестве N=AM, т. е. устойчивость задачи (1) восстанавливается сужением класса возможных решений до множества М (или, что
то же, сужением возможных правых частей f до множества N). Поэтому задачу (1), корректную по Тихонову, называют также условно-корректной задачей, а устойчивость по Тихонову (т. е. условие 3)) - условной
устойчивостью.
Рассмотрим несколько примеров некорректных задач, часто встречающихся в физике и технике.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода
b
J K (x,t)u(t)dt = f (x), c < x < d . (2)
a
К уравнению такого типа приводит целый ряд задач математической физики, геофизики, теории вероятности и теории надежности [2].
Будем считать, что функция K(x, t), называемая ядром этого уравнения, измерима, замкнута и удовлетворяет условию Гильберта-Шмидта
J JK 1(x,t)dxdt«да, (3)
свободный член уравнения f(x) - некоторая заданная функция из ¿¿[c, d], u(t) - искомая функция из
¿¿[a, b]. Поскольку ядро K(x, t) замкнуто, то соответствующее однородное уравнение
b
J K (x,t)u(t )dt = 0 (4)
a
имеет лишь тривиальное решение; тогда оператор А, определяемый левой частью уравнения (2) b
Au = JK(x,t)u(t)dt = 0 ,
a
обратим, т. е. существует А-1. Так как оператор А вполне непрерывен [3], то А-1 неограничен, поскольку в противном случае единичный оператор 1= А-1А будет вполне непрерывным оператором, что в бесконечном пространстве L2 невозможно, ибо единичный шар некомпактен [3].
При принятых допущениях уравнение (2) не может быть разрешимо для любой функции f(x)e[c, d], поскольку тогда R(A)=L2, и по теореме Банаха об обратном операторе || А_1||<да [3]. Таким образом, для задачи (2) нарушены первое и третье условия корректности.
Одной из прикладных задач, описываемой уравнением Фредгольма 1-го рода с бесконечными пределами интегрирования, является обратная задача теории надежности.
Уравнения связи между характеристиками комплекса испытаний и показателями надежности записываются в следующей форме [2]
+да
P^)=iF7\^)Ru(x)dFM (5)
—да
+да
Rx(n)= j FlMdFni*)’ (6)
—да
где Рп(П) - распределение вероятности отказа по числу испытаний; - функция надежности (до-
полнительная функция распределения времени безотказной работы); й - случайное наибольшее значение нагрузки в одном испытании при стационарном (в стохастическом смысле) процессе нагружения; х - случайная величина сопротивляемости, необратимые изменения которой в процессе испытаний не учитываются; Fa(x) и Fi(x) - соответственно: функция распределения наибольшего значения нагрузки в одном испытании и функция распределения сопротивляемости; n - число испытаний в серии.
Решению данной некорректной задачи посвящена работа [2].
В настоящее время по теории некорректных задач существует обширная литература, и эта теория приобрела более или менее законченный характер. В списке литературы, прилагаемом к данной статье, приведено лишь очень небольшое число источников, относящихся к данной теме. Однако, несмотря на это, остается еще целый ряд важных неисследованных областей, в первую очередь, это относится к аналитическим методам построения устойчивых решений большого числа некорректно поставленных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hadamard J. Le probleme Cauchy. Paris, 1932.
2. Дедков В. К. Обратная задача теории надежности. М.: ВЦ РАН, 2004.
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. Изд. 2-е.
4. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: «Мир»б 1964.
5. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический
аспект. - М.: Изд-во МГУ, 1992.
6. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1953.
7. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач. -ДАН СССР, 1943, т. 39, №5, с. 131-198.
8. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. Изд. 2-е.
