Новый подход к решению обратной задачи надежности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков В.К., Массоди Д.А. НОВЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НАДЕЖНОСТИ

Постановка задачи

Обратная задача или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности уникальных и малосерийных объектов, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.

Уравнения связи между характеристиками комплекса испытаний и показателями надежности записываются в следующей форме [2]

+да

РМ= \Р7\хЖЛх)с1РЛх% (!)

—да

+да

ям =!р:шрлх)>

где Р- (п) - распределение вероятности отказа по числу испытаний;

К^{п) - функция надежности (дополнительная функция распределения Бремени безотказной работы);

и - случайное наибольшее значение нагрузки в одном испытании при стационарном (в стохастическом смысле) процессе нагружения;

х - случайная величина сопротивляемости, необратимые изменения которой в процессе испытаний не учитываются;

^ (х) и ^ (х) - соответственно: функция распределения наибольшего значения нагрузки в одном испытании и функция распределения сопротивляемости; п - число испытаний в серии.

Решению данной некорректной задачи вариационными методами посвящена работа [2].

Уравнение (1) есть уравнение Фредгольма 1-го рода вида ь

| К (х,1)и(1)& = / (х), с < х < й (3)

а

и является типичной некорректной задачей [8].

Будем считать, что функция К(х, С), называемая ядром этого уравнения, измерима, замкнута и удовлетворяет условию Гильберта-Шмидта

||К г(х,{)дхЛ <да, (4)

свободный член уравнения £(х) - некоторая заданная функция из 1/2 [с, З], и(С) - искомая функция из

L2[a, Ь]. Поскольку ядро К(х, С) замкнуто, то соответствующее однородное уравнение ь

| К (х,1)и()й = 0 (5)

а

имеет лишь тривиальное решение; тогда оператор А, определяемый левой частью уравнения (3) ь

Аи = |К(х^)и()й = 0 ,

а

обратим, т. е. существует А-1. Так как оператор А вполне непрерывен [5], то А-1 неограничен, поскольку в противном случае единичный оператор 1= А_1А будет вполне непрерывным оператором, что в бесконечном пространстве Ь2 невозможно, ибо единичный шар некомпактен [5].

При принятых допущениях уравнение (2) не может быть разрешимо для любой функции £(х)е[о, З], поскольку тогда К(А)=Ь2, и по теореме Банаха об обратном операторе || А-1||<да [5]. Таким образом, для задачи (2) нарушены первое и третье условия корректности.

Запишем уравнение (3) в общем операторном виде Аи=£, (6)

где и, Ь2[а, Ь], А - компактный оператор.

На практике наиболее частым является случай, когда исходные данные, т. е. пара {А, f}, известны нам приближенно. Иными словами, вместо точных данных {Ао, fт} мы имеем приближенные данные {Аь, Ь, fs, 8},

где числа Ь и 8 характеризуют погрешности исходных данных в естественной метрике гильбертова пространства

|| Аь - Ат || < Ь, || ^ - fs II < 8, (7)

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {Аь, fs} такой последовательности приближенных решений иъ, 8, которая сходится в пространстве и к точному решению ит уравнения (6) при условии сходимости исходных данных {Аь, fs}^■{Aо, ^}.

Решение

В настоящее время существует большое число методов решения поставленной задачи, основанных, как правило, на методе регуляризации, предложенном А. Н. Тихоновым [8].

Основным недостатком метода регуляризации является необходимость решения сложных вариационных задач, требующих разработки громоздких алгоритмов численного нахождения решений для каждого частного случая задачи (6).

В данной работе излагается новый подход к решению подобных задач, позволяющий получить устойчивое решение уравнения (6) или максимально приблизиться к нему аналитическим путем.

Приведем без доказательства некоторые сведения из функционального анализа, необходимые для дальнейшего изложения.

Определение 1. Гильбертовым пространством называется множество Н элементов х1, х2, хз..., обладающее следующими свойствами:

1) Н представляет собой линейное пространство, т. е. в Н определены действия сложения элементов и умножения их на комплексные числа;

2) в Н введено скалярное произведение, т. е чисел, обладающее свойствами: а

отображение ( , ^ : H х H ^ С, где С - поле комплексных

где для лю-

хьх2) = (х2?х^ ;

Лхг,х^ = х1,х2 ; х1+ х2,х^ = (хихъ) + (х2,хз) ;

х ,х) > 0 при xФ0; х , х) = 0 при x=0;

Н является полным метрическим пространством относительно метрики р(Х1, Х2) = ||х2 — хЦ бого элемента хеН его норма определяется из соотношения

IIх 11=

Гильбертово пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество, т. е. такое множество, замыкание которого совпадает со всем пространством.

Определение 2. Векторы Х1 и Х2 вещественного или комплексного пространства называются ортогональными,

если (х1,х2) = 0 .

Определение 3. Система векторов {Хк} называется ортогональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям индекса k попарно ортогональной; система называется ортонормированной, если для любых

индексов i, j выполняется соотношение (х1,х^ = 8^ , где 51г^ - символ Кронекера.

Теорема 1. В сепарабельном гильбертовом пространстве H всякая полная ортонормированная система {фп} является базисом, т. е для любого fеH имеет место разложение

/ = £(/,<Рп), (8)

причем ||/|| = £І(Уря)| (равенство Парсеваля) [7].

п=1

Ряд в правой части равенства (3) называется рядом Фурье функции f по ортонормированной системе {фп},

а коэффициенты Сп = (/ Рп) коэффициентами Фурье. Таким образом, мы сопоставили вектору f (например, f -функция є L2[a, Ь]) произвольного гильбертова пространства бесконечную последовательность (комплексных) чисел {Cll c2, ■■■, Cn, ...} вида сп ={[f5рn) , обладающую свойством £< <х> .

п=1

Обратно [1, 10] , каждая последовательность комплексных чисел {сп}єІ2 есть коэффициенты Фурье неко-

торого вектора fєH.

Иными словами, устанавливается взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) между произвольным гильбертовым пространством Н и векторами гильбертова пространства і2 = {Сп} бесконечных последовательностей вида {Сі, С2, ..., Сп, ...} для которых £< <х> .

п=1

Остановимся теперь на матричном представлении ограниченного оператора в ортонормированном базисе.

Пусть А - определенный на всем сепарабельном гильбертовом пространстве Н линейный ограниченный оператор, а {фп} - ортонормированный базис в Н. Положим Афп=дп, {§кР}) = ^Ар^-,Ф^} = ajk , 1, к = 1, 2, ... Чис-

ла а^к - коэффициенты Фурье в разложении вектора дк по базису фі . Поэтому

1, 2, .

£ Ы2= £|( ёр\ j=l j=l|' ^1

< го ,

1, 2, . .

Вернемся к уравнению (6). Сопоставим векторам и и f их коэффициенты Фурье в ортонормированной системе {фп}, а оператору А - бесконечную матрицу его коэффициентов.

и О (/1, /2, ..., /п, ...), где / ={и ,ф) ;

f о (#1, ^ ■, ...Ь где # = (/ р ;

, где = (А<р1 ,р,.) .

А о

Тогда уравнение (6) запишется в матричном виде

(6*)

V/

или в виде бесконечной системы линейных уравнений

ап а12 ■ ■ а1п ■■■ 71 #1

а21 а 22 ■ ■ а2п ■■■ 72 #2

ап1 ап2 ■ ■ апп ■■■ 7п #п

#1 = анУі + «12^2+ ■■■+ аіп^п + ■■ #2 = а21^1 + а22Ї2 + ■■■ + а2пїп + ■

#„ = ап1Ї1 + ап2Їг + ■■■ + аппїп + ■

к

и

Полученную систему можно решить относительно коэффициентов у±, например, методом последовательных приближений (см. [3]).

Для этого преобразуем систему (б*) к виду

й=Ш+ О-? , (9) где Ь = вЛР - А) ,

- диагональная матрица (в простейшем случае - В - единичная матрица I).

После преобразования (9) с единичной матрицей в качестве В матричное уравнение (6*) примет вид

(10)

|Ї1' 1 - аи —а12 ■ ■ а1п ■ ■ Л ІЇ1 ^ 'п"

£2 = —а21 1 — а 22 ■ ■ а2п Ї2 + У 2

їп ап1 ап 2 ■ ■ 1 апп Уп

V"/ V

или

"/V'"/ V"/

'Ї1' '/11 /12 /1 п ■ ■ Л 'Ї1' 'У1"

Ї2 = 121 / 22 ■ /2п Ї2 + У 2

/п1 /п2 /пп їп Уп

V- ■ V- ■ ■ ■ ■ / ■ ■ V- ■/

(11)

Далее

да

(12)

^=2+7, ^, 2,

j=1

Решая данную систему мы получим последовательность приближенных коэффициентов Фурье искомой функции

В метрике пространства І2 квадратичная погрешность значений вектора {у±} определяется как

ч 2

Ця-{,)

(13)

і=1

После ряда преобразований получаем

!(£-£,) < 4£ X УлЦV.

І=1 І=1 V=1 2

||2. 8і

(14)

Бесконечный ряд, стоящий в правой части (14) очевидно расходится. Однако, применяя методы суммирования расходящихся рядов (методы Абеля, Чезаро и т. д.) [9], можно найти его обобщенную сумму г2, стремя-

щуюся к нулю при 3 —0,к—0 . т. е.

£(^,.)2 <Е(з,ь )2

І=1

Устойчивое (к малым изменениям є) приближенное значение и дается с помощью оператора К(иъ,8 , а)

1

К ( иъ, 8 , — )

п

?.уі<рі = 'Е(ик,е,<р)<рі (« = -),

если п брать равным целой части функции

п(є

т. е. п

п( є)

2

є

, где при 8 — 0, И — 0 , є —— 0 , 7^ (є) —— 0 , а п(є)—да [8].

В самом деле, так как для всякого і |ф± | < М [1, 3, 5], то

Х(УГУ,)<Р,

со

+ 2 У.ср,

І=п(є)+1

Так как ряд 2У^1 = 2\ и>ФиФ1 сходится, то его остаток 2 У$1 стремится к нулю при л(£)—х. Далее,

г=1 1 1 1=1 1 г=и(г)+1

применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

п (г)

2

Є), . и(б-) (п(є) ч2и(£')/ 4 2*)

- {ггУ,)<Р, ^ 2 \ггГ,Ы ~ ] 2 (гг?,) X {<р.) [

1 І=1 V 2=1 І =1 /

А/|и(г)х ^М^п{е)е2 =М

при 3 —— 0, к — 0 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. - М.: ИЛ, 1962.

2. Дедков В. К. Обратная задача теории надежности. - М.: ВЦ РАН, 2004.

3. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. II. - 4-е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2002.

4. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. - 5-е изд., испр. - Л.: Физ-матгиз, 19 62.

5. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968.

6. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический

аспект. - М.: Изд-во МГУ, 1992.

7. Садовничий В. А. Теория операторов: Учеб. для вузов. - 4-е изд., испр. и доп. - М.: Дрофа, 2001.

8. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. - 2-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 197 9.

и

є

<

9. Харди Г. Расходящиеся ряды. - М.: ИЛ, 1951.

10. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. - М.: МЦНМО,

2004.