Разработка аналитического метода решения некорректных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Масоди Д.А. РАЗРАБОТКА АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

В данной статье рассматриваются возможности аналитического решения некорректных задач в гильбертовом пространстве.

Постановка задачи

Рассмотрим операторное уравнение первого рода

Аи=Д (1)

в гильбертовых пространствах и (иеи) и Г (feF)f где А - заданное отображение (оператор), действующий из и в Г.

Исходные данные, т. е. пара {А, f}, известны приближенно. Иными словами, вместо точных данных {Ао, Дт} мы имеем приближенные данные {Ль, Ь, Д§, 8}, где числа Л и 8 характеризуют погрешности исходных данных в естественной метрике гильбертова пространства

||Лй,-Лт||<Л,|| Дт-Д5||<8, (2)

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {Ай, Д} такой последовательности приближенных решений иъ, 8, которая сходится в пространстве и к точному решению ит уравнения (1) при условии сходимости исходных данных {Аь, Д$}^{Ао, Дт}«

Решение

В настоящее время существует большое число методов решения поставленной задачи, основанных, как правило, на методе регуляризации, предложенном А. Н. Тихоновым [6]. Основным недостатком метода регуляризации является необходимость решения сложных вариационных задач, требующих разработки громоздких алгоритмов численного нахождения решений для каждого частного случая задачи (1).

В данной работе излагается новый подход к решению подобных задач, позволяющий получить устойчивое решение уравнения (1) или максимально приблизиться к нему аналитическим путем.

Приведем без доказательства некоторые сведения из функционального анализа, необходимые для дальнейшего изложения.

Определение 1. Гильбертовым пространством называется множество Н элементов Х1, Х2, Хз..., обладающее следующими свойствами:

1) Н представляет собой линейное пространство, т. е. в Н определены действия сложения элементов и умножения их на комплексные числа;

2) в Н введено скалярное произведение, т. е. отображение ( , ^ : Н х Н ^ С, где С - поле комплексных чисел, обладающее свойствами:

a) (хъх2) = (Хг,хЪ) ;

b) (Ахъхг) = ^(хъхг) ;

c) (хъ+хг,хз) = (хъ,хз) + (хг,хз) ;

й) (х ,х ) >0 при х/0; е) (х ,х) = 0 при х=0;

3) Н является полным метрическим пространством относительно метрики р(Х1, Х2) = =11 Х1 - Х2 ||, где

для любого элемента ХеН его норма определяется из соотношения

их н=7(х,х) •

Гильбертово пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество, т. е. такое множество, замыкание которого совпадает со всем пространством.

Определение 2. Векторы Х1 и Х2 вещественного или комплексного пространства называются ортогональными,

если [хъхг) = 0 •

Определение 3. Система векторов {х*} называется ортогональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям индекса к попарно ортогональной; система называется ортонормированной, если для любых

индексов 1, ^ выполняется соотношение (хъх^ = 81,] , где 51г^ - символ Кронекера.

Теорема 1. В сепарабельном гильбертовом пространстве Н всякая полная ортонормированная система {фп} является базисом, т. е для любого ДеН имеет место разложение

I = Ё(I,<р„)р„, (3)

п=1

12

причем ||У|| = 2І(У,РП)| (равенство Парсеваля) [5].

п=1

Ряд в правой части равенства (3) называется рядом Фурье функции Ї по ортонормированной системе {фп},

а коэффициенты Сп = (/ Рп) коэффициентами Фурье. Таким образом, мы сопоставили вектору Ї (например, Ї -функция є Ьгіа, Ь]) произвольного гильбертова пространства бесконечную последовательность (комплексных) чисел {Сі, С2, ■■■, оп, ...} вида Сі = (У ,р^ , обладающую свойством 1|сп| •

Обратно [1, 7] , каждая последовательность комплексных чисел {сп}єІ2 есть коэффициенты Фурье некото-

рого вектора їєИ.

Иными словами, устанавливается взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) между произвольным гильбертовым пространством Н и векторами гильбертова пространства І2 ={Сп} бесконечных последовательностей вида (Сі, С2, ■■■, Сп, ...) для которых 1< <х> •

п=1

Остановимся теперь на матричном представлении ограниченного оператора в ортонормированном базисе.

Пусть А - определенный на всем сепарабельном гильбертовом пространстве Н линейный ограниченный оператор, а {фп} - ортонормированный базис в Н. Положим Афп=Яп, Ру) = кР^ = а]к , к = 1, 2, ... .

Числа а^к - коэффициенты Фурье в разложении вектора дк по базису ф^ . Поэтому

= 1 ар} , к = 1, 2, ...

j=1

іЫ2=і|(,?і,^)| <®, j, к = 1, 2, ^ .

Покажем, что матрица {ад}.^ определяет оператор А, т. е. покажем, что по матрице {ajk} и ортонорми-

рованному базису [фк} можно однозначно восстановить оператор. Было показано, что Афк = £к = 2аікР\ , k

м 7

1, 2,

Задача состоит в нахождении значения Af для любого вектора fєH. Пусть / = 2#р*

/„ = 2#крк • Тогда А/м = 2лІРі , где Л = 2а#) .

к=1 к=1 7=1

В силу непрерывности оператора А далее имееем, что ек = (А/ ,Р ) = 1іш (а/м,Рк) = ііш лї = Ііт Xа^#7 = Xа*/#7 .

к \ ^ ^ к/ Nк 7 7=1 7

Следовательно, для любого вектора fєH справедливо равенство А/ = 2Ср* , где Ск = 2###; , т. е. дей-

к=1 7=1 7

ствительно получено матричное представление оператора А в базисе [фк} [1, 3, 5, 7].

Вернемся к уравнению (1). Сопоставим векторам u и f их коэффициенты Фурье в ортонормированной системе {фп}, а оператору А - бесконечную матрицу его коэффициентов.

u О (уі, уг, ..., Уп, ...), где у. = (у ,р) ;

f о (#l, #2, ..., ...Ь где # = (/ ,р);

A О {ац}'°7=1 , где а.7 = (А р^,<р) .

Тогда уравнение (1) запишется в матричном виде

ац а12

а 21 а 22

а1и

а2п

^уЛ

У 2

(1*)

...................У Ч "‘У ч •••/

или в виде бесконечной системы линейных уравнений

#1 = апУ1 + а12У2 + ■■■ + а1пУп + ■■■ #2 = а21У1 + а 22 У 2 + ■■■ + а2пУп + ■■■

#„ = ап1У1 + амУг + ■■■ + аппУп + ■■■

(1**)

Полученную систему легко разрешить относительно Уі У1 = ап#1 + а 21# 2 + ■■■ + ап1#п + ■■■

У2 = Й12#1 + а 22#2 + ■■■ + ап2#п + ■■■

.............................. , (4)

У„ = а 1п#1 + а 2 п# 2 + ■■■ + а „#„ + ■

где черта сверху означает комплексное сопряжение.

Коэффициенты суть коэффициенты Фурье вектора (функции) u в ортонормированном базисе {ф^, т.

і = Ї.УРі = £ (ир)р,

(5)

Однако в случае неточно заданных исходных данных нельзя брать в качестве решения уравнения (1) ряд

(5), т. к. полученное решение не обладает устойчивостью к изменению входных данных.

Рассмотрим основные подходы к решению поставленной в начале данной статьи некорректной задачи. Иными словами укажем способ построения по приближенным данным {Аh, fs} такой последовательности приближенных решений Uh, 8, которая сходится в пространстве U к точному решению ит уравнения (1) при условии сходимости исходных данных {Аh, f8}^■{Ao, Дт}.

Введем следующие обозначения

г, = {т,б,<р) , I, = (/гр) , щ = (а„<Рр<р) , Г, = (мт=^) - = {/тр) , щ = (Ао(рр(р) ■

Запишем систему (4) для случая приближенных данных

7\ ~ ап%\ ^ а г\^2 ■■■ ^ ап\%п “*"•••

У2 а 22^2 С1п2^п ■■■

Уп СІ Іп^і & 2п^2 "'~*Г & пп1? п '''

и

и

а

или, в развернутом виде,

{uKS,<p) = {Ah<pl,<p)il + [Ah(pl,(p^i2 + ■■■ + [A„(pv(p^ln + ■

{uk,s,<p2) = {Ah(p1,(p1)il + (A„<p2,<p^2 + ■ ■ ■ + (А„(рг,(р^п + ■

(uh,s,<P„) = {Ah<p„,<p)il + {Ан(рпі,(р^г + ■ ■ ■ + {А„<Р„,<Р„)Іп + ■ ■

после преобразований

(uh.sp) = (<pvAhq>і) І! + (<P2Ah<Pi) |2 + ■ ■ ■ + {<P„A<P)L + ■ ■ {uh,s,q>^j = (<?! A^2) І! + (<PvAk<P?) І2 + ■ ■ ■ + {<РтАн<Р?) f „ + ■

{uh,S,<P„) - [PvAPn) I! + {<PvAh<P„) |2 + ■ ■ ■ + {<Pn’Ak<P„) І „ + ■

(б)

Оценим погрешность правых частей системы (4*) при MAh, - Ат || < h, || fT - f II < S«

J = |as^|-|as|J =N|kJ_|ai/|||lJ - IU»ll|kJ_IU*ll||lJ-

< (||a|| ±*)(||J| ± ^) - ||a|||||J = sh + s\\Ah\\+h\\il

к^0

т. е. неопределенность. Это и означает неустойчивость.

Погрешность же решения уравнения (1) в этом случае есть неопределенность вида <х2-0. Однако если наложить на коэффициенты У( = ограничение вида

\2 _ / ~ , \2

u

= И(у~Уі) ^ ^(6,/z) , 0 при S—>0,//—>0 ,

(7)

то устойчивое (к малым изменениям є) приближенное значение и дается с помощью оператора Я(ий,^ , а) =

1 « „ « / \ 1 гі(є)

К(иызг —) = ^Уі<рі = ^\иіі8>(Рі}(Рі (сс = — ), если п брать равным целой части функции —, т. е. п = п{є) п і=1 1 1 І=1 П £

2

є

, где при б^ 0, h ^ 0 , є (б, h) ^ 0 , т](є)^ 0 , а л(є)^да [б].

В самом деле, так как для всякого i I фі I < M [1, 2, 3], то

п(є)

И-1 yt<pt

l!(rrfi)<P,

i=l

X rPi

і=п(є)+1

Так как ряд XytPt = Z (M,P,) P-,

І=1 І=1

применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

сходится, то его остаток X У$1 стремится к нулю при п{£)^&>. Далее,

г=и(^)+1

»/ _ч ”«| „II I (”<eV -ч2"<е>/ ч2)

С {їгу)<Рі < 2 |r -ГііН ^ і 2 (ггуд 2 Ы г ^

=1 i=1 V i=1 i =1 J

м|и(е)х2|гі-ГіГ|' <М^п{є)є2 =М

при

є (б,h) ^ 0

Таким образом, задача построения устойчивого решения уравнения (1) по неточно заданным исходным данным сводится к задаче аппроксимации бесконечных рядов, стоящих в правых частях системы (6), таким обра-

зом, чтобы выполнялось условие (7).

ЛИТЕРАТУРА

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. - М.: ИЛ, 1962.

2. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. II. - 4-е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2002.

3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. Изд. 2-е.

4. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический

аспект. - М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Садовничий В. А. Теория операторов: Учеб. для вузов. - 4-е изд., испр. и доп. - М.: Дрофа, 2001.

6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. Изд. 2-е.

7. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004.

и

<

+

<