Методы решения задачи управления надежностью сложных технических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков В.К., Масоди Д.А. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТЬЮ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Работа выполнена по гранту 08-08-00086-а

В настоящий момент разработано много методов решения широкого класса некорректных задач, к которым в частности относится и задача управления надежностью. Существующие методы решения некорректных задач основаны, как правило, на численных методах поиска решений и отличаются громоздкостью, что затрудняет применение данных методов на практике. В данной статье излагается новый метод решения некорректных задач, обеспечивающий устойчивое к малым изменениям исходных данных решение уравнения (7), представляемое конечным рядом Фурье, т. е. в аналитическом виде.

Ключевым моментом, на котором основывается излагаемый в данной статье метод решения некорректных задач, является свойство изоморфизма гильбертовых пространств.

Теорема 1 (об изоморфизме). Любые два сепарабельных гильбертова пространства изоморфны между собой [1].

Следствие. Пространства Ь2[а, Ь] и І2 - изоморфны между собой, и их можно не различать, поскольку они представляют собой различные реализации гильбертова пространства Н.

Здесь 12 - гильбертово пространство элементами которого являются последовательности чисел {£п} та* І I2

ких, что У <* ; ^2[а, Ь] - гильбертово пространство функций интегрируемых с квадратом модуля на

п=1

соответствующем интервале.

Изоморфизм, т. е. взаимно однозначное отображение пространств Ь2[а, Ь] и І2 осуществляется при помощи разложения функция в ряд Фурье по ортонормированной системе функций.

Теорема 2. В сепарабельном гильбертовом пространстве Н всякая полная ортонормированная система {фп} является базисом, т. е для любого їєН имеет место разложение *

/ = У(/А)ф„, (6)

причем ||/|| = X К/Фи)| (равенство Парсеваля).

п=1

Ряд в правой части (6) называется рядом Фурье элемента їєН по ортонормированной системе {фп}, а числа (Уфп) ЄС - коэффициентами Фурье. С - поле комплексных чисел [2].

Итак, между всевозможными последовательностями чисел со сходящимся рядом из их квадратов, т. е. пространством І2, и векторами гильбертова пространства Н существует взаимно-однозначное соответствие. Такое соответствие сохраняет, очевидно, и линейные операции.

Рассмотрим матричное представление линейного ограниченного оператора в ортонормированном базисе.

Пусть А - определенный на всем сепарабельном гильбертовом пространстве Н линейный ограниченный оператор, а {} - ортонормированный базис в Н. Положим

Аф1=д1, (я1,ф^ = [Лфк,ф^ = а^к , 3, к = 1, 2, ... .

Числа азк - коэффициенты Фурье в разложении вектора дк по базису фз . Поэтому *

Як = У ajkфj , к = 1, 2, ■■■ у=1 у

и

Діа/ = 1^ <* , 3, к = 1, 2.................

Матрица {аук\-к 1 определяет оператор А [3].

Отметим важное свойство, которое будет иметь большое значение в дальнейшем, называемое свойством аппроксимации, которым обладают гильбертовы пространства: любой ограниченный линейный оператор из Н аппроксимируется по операторной норме конечномерными операторами [2,3].

Далее, основываясь на рассмотренных свойствах гильбертовых пространств, опишем новый метод решения некорректных задач. Докажем необходимые и достаточные условия регуляризации решений.

Рассмотрим операторное уравнение первого рода, являющееся абстрактной записью интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, представляющего собой математическую модель задачи управления надежностью ь

|К(х ,5)г(5) = и(х) , с < х < і, (5)

а

или

Ли=ї (7)

в гильбертовых пространствах иєІ2 (иєи) и ¥єЬ2 (їєГ), где А - заданное отображение (оператор),

действующий из и в Г.

Исходные данные, т. е. пара {Л, ї}, известны нам приближенно. Иными словами, вместо точных данных {Л0, їт} мы имеем приближенные данные {Ль, Ь, їь, 3}, где числа Л и 3 характеризуют погрешности исходных данных в естественной метрике гильбертова пространства

|| Ль - Лт || < Ь, || їт - їь II < б, (8)

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {Аь, ї§} такой последовательности приближенных решений иь, з, которая сходится в пространстве и к точному решению ит уравнения (7) при условии сходимости исходных данных {Аь, їз}^-{Л0, їт}.

Разложим по данной ортонормированной системе оператор А и правую часть ї и неизвестную функцию и

уравнения (7). Иными словами, сопоставим векторам и и ї их коэффициенты Фурье в ортонормированной

системе {фп}, а оператору А - бесконечную матрицу его коэффициентов.

и О {/1, /2, ..., /п, ...}, где / = (и ,ф);

ї о {^ ^ ..., ^ ...Ь где %і = {ї ф;

Л О ^3*j=l , где ау = (Афі,ф.

Данное соответствие есть изоморфизм линейных пространств L2 и l2• Уравнение (7) в пространстве ! запишется в матричном виде

аіі аі2

ац а22

а\п

а2п

ап, ап2 ••• ап

Г2

. (9)

Обозначим бесконечную матрицу и вектор-столбцы уравнения (9), по аналогии с (7), А, и за-

пишем (9) в виде

АН = /. (Ю)

Систему (10) удобно преобразовать к виду

й=Ьй + В~1/ , (11)

где Ь = — А) , а О = - диагональная матрица (в простейшем случае - I - единичная).

Далее

да

7, = Х1Уу + ^Р г 1 2 - (12)

У=1

Решая данную бесконечную систему мы получим последовательность приближенных коэффициентов Фурье искомой функции u.

В метрике пространства ! квадратичная погрешность значений вектора {у} определяется как

2(ут—у,-) • (13)

,=1

После проведения преобразований, получаем 2

,=1

где

<8,/г )2

(і-?)'

0 < q < 1. (14)

Теорема 3. Устойчивое (к малым изменениям е) приближенное решение уравнения (8) u дается с помощью оператора

1 п п / \

Я(и,а) = Я(и-) = X у,ф, = X (ии,в,Ф )Ф Р (15)

п /=1 /=1

1 л{е)

(а = — - параметр регуляризации), если п брать равным целой части функции —-—-, т. е. п = n(е) =

где при

8 ^0,к ^0 , 0 , т](е)^ 0 , а п(е)^х.

Доказательство. Так как для всякого і | <р± | < M, то п (е)

и- X їіфі

£ (г~г)фі

1 їіф,

і=п(е)+1

да да

Так как ряд ХУ,ф = х \и,ф ,)ф , сходится, то его остаток X 7^1 стремится к нулю при п(е)^да •

/=1 ,=1 ,=п(е)+1

Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

(п(еЬ т \2п(е) , ^)1/2

\А^(у]—7) И(Ф)) *

п(е) 1 т \ п(е) / т \

1 (г ГГ і )ф < І і=1 (Гі-Гі)

см|п(Ех £ |(гТ-г,)| | <м^п(є)е2 = м.

^ 0

,/|| «I 21"

' V - е J

при 8 ^ 0, Л ^ 0 •

Таким образом устойчивое к малым изменениям исходных данных решение уравнения (7) дается конечной суммой (15) (конечным рядом Фурье), т. е. в аналитическом виде.

Регуляризация решения некорректной задачи осуществляется при помощи согласования погрешности решения и погрешности исходных данных путем изменения размерности редуцированного конечномерного пространства.

Для изоморфного отображения пространства Ьг в пространство I , т. е. отображения пространства

функций, с интегрируемым квадратом модуля, в пространство бесконечных последовательностей, необходимо вычислить коэффициенты Фурье левой части интегрального уравнения и коэффициенты матричного представления оператора по определенной ортонормированной системе функций. Ортонормированная система функций на интервале (—да, да) строится на основе полиномов Эрмита, заданных формулой

„2

Нп(х) = (-1) е

п х2 (Те'

(хп

Эта система принимается в качестве базиса пространства Ь^-~да,да) •

к

п

е

Решение некорректной задачи управления надежностью устойчивое к изменению исходных данных получается в виде отрезка ряда Фурье по данной ортонормированной системе функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения Наука, 1979.

2. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - 2-е изд. - М.: Наука, 1977.

4. Садовничий В.А. Теория операторов: Учеб. для вузов. - 4-е изд., испр. и доп. - М.:

2001.

- М.:

Дрофа,